6. Kombinatorik, följder och serier
6.2. Följder och serier
4 4 Pascals triangel.
historia Triangeln var bekant inom indisk, arabisk, persisk och kinesisk matematik under det tionde eller elfte århundradet, och i Italien under det sextonde. Al-Karaj¯ı (953 1029) kände till den, liksom troligen även–Umar Khayy¯am (1048 1131). Den kallas Khayy¯ams triangel i Iran, Yang Huis triangel i Kina (efter Yang Hui, 1238
1298), och Tartaglias triangel i Italien (efter Niccolò Fontana Tartaglia, 1500 1577). Blaise Pascal (1623 1662) behandlade tri-angeln i en uppsats 1654.
etymologi Triangeln är uppkallad efter Blaise Pascal.
jämför binomialkoefficient s. 106
permutation
definition omordning av en följd
kommentar En följd med n element kan ordnas på n! olika sätt, d.v.s. antalet permutationer av en mängd med n element är n!. Permutationen är en bijektion, och det man räknar är alltså antalet bijektioner av en ändlig mängd på sig själv.
Antalet följder med k element utvalda bland n element (alltså med hänsyn till ordningen) är n(n − 1) · · · (n − k + 1), och betecknas ibland P (n, k). När k = n får man P (n, n) = n!.
etymologi Permutation kommer från latinets permutatio ’fullständig förändring’.
jämför följd s. 110, kombination s. 106
6.2. Följder och serier
aritmetisk serie
definition serie sådan att dess termer bildar en aritmetisk talföljd
kommentar Summan av en ändlig aritmetisk serie ges av formeln
n X j=0 aj = n X j=0 (a0+ jd) = (n + 1)a0+ an 2
jämför aritmetisk talföljd s. 109
aritmetisk talföljd
definition talföljd sådan att differensen1 mellan ett godtyckligt element (utom det första) och närmast föregående alltid är lika stor
kommentar En aritmetisk talföljd kan ges genom formeln aj = a0+ jd, där d är differensen.
exempel Följden (2, 6, 10, 14, 18, 22), som har differensen 4.
etymologi Adjektivet aritmetisk förklaras av att varje term utom den första och den sista är lika med det aritmetiska medelvärdet av sina grannar.
binomialserie
definition serie som fås av utvecklingen av en potens av binomet 1 + z
kommentar Om a är ett godtyckligt komplext tal, så kan potensen (1 + z)a av binomet 1 + z utvecklas i en serie som konvergerar för alla komplexa tal z med |z| < 1: (1 + z)a = ∞ X k=0 a k zk.
Här är ak = a(a − 1)(a − 2) · · · (a − k + 1)/k!. Om a är ett naturligt tal, så är serien ändlig och utvecklingen gäller för alla komplexa tal z. Koefficienterna ak för naturliga tal a och k återfinner vi i Pascals triangel.
jämför binomialkoefficient s. 106, kvadreringsreglerna s. 93, Pascals triangel s. 107
element i en följd
definition följdens värden
kommentar En följd (aj) säges ha elementen aj.
faltning
definition den operation som till två givna talföljder ordnar deras faltningspro-dukt
etymologi Ordet faltning kommer av det tyska ordet Faltung med samma be-tydelse, bildat till verbet falten ’att vika ihop’.
faltningsprodukt
definition hav två talföljderi talföljd vars element med index j är summan, om den existerar, av alla produkter av tal i de givna talföljderna vilkas index har summan j
kommentar Definitionen innebär uttryckt med formler att faltningsprodukten av två talföljder (aj)j∈Zoch (bj)j∈Zär talföljden (cj)j∈Z definierad av cj =P
k∈Zakbj−k, j ∈ Z, om summan existerar.
Om talföljderna (aj) och (bj) är sådana att aj = bj = 0 då j 6 m för något tal m ∈ Z, så är summan ändlig och faltningsprodukten existerar.
jämför glidande medelvärde s. 43
Fibonaccis talföljd
definition följden 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
kommentar Följden definieras rekursivt av att F (0) = 0, F (1) = 1 och Fj+2 = Fj+ Fj+1, j ∈ N, och ges explicit av formeln
Fj= α j− βj √ 5 , j ∈ N, där α = 12 √ 5 + 1 > 1 och β = 1 2 −√5 + 1 < 0 är de två rötterna till ekvationen 1 + x = x2.
historia Fibonaccis talföljd är uppkallad efter Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci (troligen omkring 1170 efter 1240).
jämför gyllene snittet s. 178, rekursionsformel s. 112
följd
definition funktion definierad på ett intervall av heltal
kommentar Funktionsvärdena kallas ofta följdens element i analogi med en mängds element. Oftast skrivs funktionsvärdet i punkten j ∈ Z som aj i stället för det annars vanliga a(j).
En följd kan vara ändlig eller oändlig. I det första fallet kan den anges som (a0, a1, a2, . . . , an) eller (aj)n
j=0; i det andra som (aj)j∈N, (a0, a1, a2, . . . ) eller (aj)j∈Z, (. . . , a−2, a−1, a0, a1, a2, . . . ).
En följd med två element kallas ett ordnat par, en följd med tre element en trippel.
exempel De ordnade paren (1, 3) och (3, 1) är olika, medan mängderna {1, 3} och {3, 1} är lika.
geometrisk serie
definition serie sådan att dess termer bildar en geometrisk talföljd
kommentar Summan av en ändlig geometrisk seriePn
j=0aj =Pn j=0a0kj ges av formeln n X j=0 aj = a0 kn+1− 1 k − 1 , förutsatt att kvoten k inte är 1.
Summan av en oändlig geometrisk serie P∞
0 aj = P∞
0 a0kj är a0/(1 − k) förutsatt att |k| < 1.
geometrisk talföljd
definition talföljd sådan att kvoten1mellan vilket element som helst (utom det första) och det närmast föregående alltid är lika stor
kommentar En geometrisk talföljd kan ges genom formeln aj = a0kj, där k är kvoten.
historia Användning av geometriska talföljder med kvoten 2 och 1/2 finns belagd i egyptisk matematik från omkring 1800 f. Kr. De användes vid multiplikation respektive division.
etymologi Adjektivet geometrisk förklaras av att varje term utom den första och den sista är lika med det geometriska medelvärdet av sina grannar.
harmonisk serie
definition serie sådan att dess termer bildar en harmonisk talföljd
kommentar Ibland avser man med termen endast serien 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + · · · , det enklaste exemplet på en harmonisk serie.
harmonisk talföljd
definition talföljd sådan att inverserna av elementen bildar en aritmetisk talföljd
kommentar Inversen av elementen skall tas i multiplikativ mening, d.v.s. det är 1/aj som skall bilda en aritmetisk följd.
exempel (1/2, 1/6, 1/10, 1/14, 1/18, 1/22).
etymologi Förklaringen till att följden kallas harmonisk är att den grundfrekvens som en svängande sträng alstrar är omvänt proportionell mot dess längd.
jämför aritmetisk talföljd s. 109, harmonisk serie s. 111
index
definition tal som fogas till bokstäver för att skilja dem åt
kommentar Man säger att bokstäverna är indicerade. Beteckning med index är särskilt praktisk då man betecknar olika storheter som på något sätt hör samman, t. ex. en följd av tal.
Ett index kan skrivas nedtill till höger eller upptill till höger; undantagsvis på andra platser.
Termen har en annan betydelse i statistiken.
exempel I följden a1, a2, a3är talen 1, 2 och 3 index.
etymologi Index kommer från latinets index ’pekfinger, markör’.
jämför konsumentprisindex s. 276
Kroneckerdelta
definition hpå en given mängd Xi den funktion på X × X som tar värdet 1 när argumenten är lika och annars värdet 0
kommentar Kroneckerdelta skrivs oftast δxy och man har alltså δxx= 1, δxy= 0 då x 6= y, x, y ∈ X.
etymologi Kroneckerdelta är uppkallat efter Leopold Kronecker (1823 1891).
jämför Diracmåttet s. 142
numerisk serie
oordnat par
definition mängd med ett eller två element
exempel Av tre element kan man bilda nio ordnade par, sex oordnade par och tre mängder med två element.
jämför ordnat par s. 112
ordnat par
definition följd med två element
kommentar Ett ordnat par skrivs (a, b) och utläses ”det ordnade paret a b” eller kortare ”paret a b”. Två par (a, b) och (c, d) är lika om och endast om a = c och b = d. Således är (1, 2) 6= (2, 1) 6= (2, 1, 2).
jämför mängd s. 17, oordnat par s. 112, talpar s. 113
rekursion
definition metod att beräkna en funktions värde för ett visst argument genom att utnyttja dess värden för argument som är mindre än det aktuella
kommentar En viktig klass av funktioner är de rekursiva.
etymologi Rekursion kommer från latinets recursio ’återvändande’, substantiv till recurrere ’att återvända, att skynda tillbaka’.
rekursionsformel
definition formel för bestämning av en följd varvid varje element beräknas ur ett eller flera av de föregående elementen
exempel Fibonaccis talföljd kan definieras rekursivt genom att Fj+2= Fj+1+ Fj, j ∈ N, med begynnelsevärdena F0= 0, F1= 1.
jämför Fibonaccis talföljd s. 110
serie
definition addition av termer i en talföljd
kommentar En serie är en talföljd där man avser att, om möjligt, summera alla elementen, som kallas seriens termer.
Serien med termerna a0, a1, a2, . . . skrivsP∞ j=0aj. Om summan existerar, så skrivs även den P∞
j=0aj. Man måste alltså förstå när det är serien själv eller dess summa som åsyftas.
jämför talföljd s. 112
talföljd
definition följd av tal
exempel Den ändliga följden (2, 3, 5, 7) av de fyra första primtalen. Den oändliga följden (2, 3, 5, 7, 11, . . . ) av alla primtal.
jämför följd s. 110, aritmetisk talföljd s. 109, geometrisk talföljd s. 110, harm-onisk talföljd s. 111
talpar
definition ordnat par av tal
kommentar En punkts läge i ett plan kan anges med ett talpar. Det första talet är då x-koordinaten och det andra y-koordinaten.
exempel (4, 6), som kan utläsas ”punkten fyra sex”.