7. Matematisk argumentation
7.3. Matematiska resultat
axiom
synonym postulat (äldre synonym)
definition grundförutsättning i en matematisk teori
kommentar En matematisk teori består av satser som bevisas gälla under vissa förutsättningar. Förutsättningar som gäller för hela teorin kallas axiom. De är inte logiskt härledda från andra påståenden inom teorin, utan tjänar som utgångspunkter för denna.
Man har tidigare ofta sagt att axiomen är ”självklara sanningar”. Detta uttryckssätt är missvisande. De är helt enkelt förutsättningar som man kommer överens om innan man bygger upp teorin.
Det kan förefalla egendomligt att termen postulat, som betyder ’något begärt’, kan vara synonym till axiom. Termen skall emellertid förstås i ett dialektiskt sammanhang: ett postulat var ett påstående som en mästare krävde att hans elever skulle acceptera för att han skulle kunna gå vidare och bygga upp teorin. Därigenom fick postul-aten karaktären av överenskommelser, precis som axiomen.
etymologi Axiom kommer av grekiskans axí¯oma ’allmänt erkänd värdering, axiom’, av áxios ’värd’.
Postulat är från latinets postulatum ’krav, fordran’, ett substantiv till verbet postulare ’att kräva’, en avledning av poscere ’att fordra’.
exempel Inom teorin för grupper kan man ta den kommutativa lagen, alltså att xy = yx för alla element x, y i en grupp, som ett axiom. Då får man teorin för abelska grupper. Om man stryker detta men behåller övriga axiom, så får man teorin för allmänna grupper.
Ett annat exempel är parallellaxiomet, som användes inom den euklidiska geometrin. Om man stryker det, så får man en mer allmän geometri.
axiomatisk
definition hom teorii som bygger på användningen av axiom och härledningar från dessa
definition
definition uttalande som ger en precis bestämning av en symbols betydelse
kommentar Den symbol som definieras kallas definiendum och kan vara ett ord, en term, en matematisk symbol eller ett längre uttryck. Det som förklarar definiendum kallas definiens.
En definition bör vara så utformad att man kan avgöra huruvida ett objekt uppfyller den eller inte.
Det finns flera typer av definitioner:
En ostensiv definition är en definition där man tar hjälp av verkligheten och pekar på ett eller flera exempel på föremål som om-fattas av definitionen.
En terminologisk definition (den typ som förekommer i denna bok) anger ett språkligt uttryck som idealiskt kan ersätta en term i varje sammanhang utan att betydelsen ändras. (Böjningsformer eller syntax kan göra att man måste skriva om litet.)
En lexikalisk definition anger mer eller mindre precist ett ords betydelse med hjälp av synonymer, tillhörighet till större grupper etc. En stipulativ definition anger hur en term kommer att använd-as i ett visst verk.
Definitionerna kan också ordnas efter en skala deskriptiv –
pre-skriptiv, med andra ord beskrivande – normerande. En
termino-logisk definition är en rekommendation, och kan utnämnas till stand-ard eller norm. Kraften i rekommendationen kan variera starkt. En lexikalisk definition å andra sidan är oftast beskrivande: den redogör för språkbruket utan att ta ställning till om det är lämpligt eller
ej. En stipulativ definition slutligen är normerande eller tvingande och måste accepteras av läsaren om texten skall kunna förstås, men dess räckvidd är mycket begränsad: den gäller endast det verk där författaren är suverän.
Aristoteles’ definitionsteknik innebär att man går upp en nivå (till genus ’släktet’) och sedan preciserar (differentia specifica ’särskiljande drag’) för att peka ut arten inom släktet. Ett exempel på detta är de olika definitioner av en kvadrat som nämns nedan; det överordnade begreppet är här rektangel eller romb. Att definiera ett reellt tal som ett komplext tal med imaginärdel noll är också ett exempel på denna teknik, men mindre lämpligt i undervisningen. I matematiken är där-för en annan form vanlig: man beskriver en term med hjälp av andra, mer välkända termer; ett reellt tal är ett tal som kan approximeras godtyckligt noga med rationella tal.
exempel Man pekar på ett antal röda föremål och säger: ”De här är röda.” Detta är en ostensiv definition av färgen röd. Pekandet kan förstås kompletteras med att man pekar på ett antal gula, blå, gröna . . . föremål och säger: ”De där är inte röda.” Barn lär sig ofta genom denna metod.
En kvadrat kan definieras på flera ekvivalenta sätt:
En kvadrat är en rektangel där alla sidor är lika långa; alternativt En kvadrat är en romb där en vinkel är rät ; alternativt
En kvadrat är en romb där alla vinklar är räta.
Se vidare diskussionen om definitionen av en cirkel i Anders Teng-strands kåseri, sidan 292.
etymologi Ordet definition kommer av latinets definitus, perfekt particip av verbet definire ’att begränsa, att avgränsa, att innesluta inom gräns-er, att noga bestämma, att närmare ange, att fastställa, att in-skränka, att förklara, att definiera’.
jämför explicit definition s. 126, implicit definition s. 126
existenssats
definition sats som påstår existensen av ett visst matematiskt objekt
kommentar Satsen som påstår existensen behöver inte ge någon metod för att hitta eller beräkna objektet.
Satsen behöver heller inte påstå att existensen är entydig. Ofta är det svårare att bevisa icke entydig existens än entydig existens.
En existenssats som ger en metod att beräkna en lösning är allmänt sett värdefullare än en som inte ger en sådan metod.
exempel En känd existenssats säger att det existerar en lösning till differential-ekvationen u0(t) = f (t, u(t)), t ∈ R, med begynnelsevärdet u(0) = 0 om f : R2 → R är kontinuerlig. Satsen säger att det finns minst en lösning, men det kan finnas flera (till exempel om f (t, y) = 2p|y|; man har då lösningarna u(t) = ((t − t0)+)2 för godtyckligt t0 > 0). Om f uppfyller ett visst villkor som garanterar entydighet, så duger ett enklare bevis.
explicit definition
definition definition som bestämmer det som skall definieras direkt i termer av redan kända egenskaper
kommentar En funktion är explicit definierad om man anger vilka dess värden är för alla värden på argumentet.
En egenskap definieras explicit genom att man beskriver den med hjälp av redan kända egenskaper.
Definitionerna i denna bok är alla explicita; de innehåller termer som anses vara kända eller definieras i andra termposter.
exempel Funktionen f är explicit definierad genom att man föreskriver att f (x) = x3för x > 0 och f (x) = x4 för x < 0.
etymologi Ordet explicit kommer av latinets explicitus ’tydlig’, egentligen ’ut-vecklad, klart synlig’, av verbet explicare ’utveckla’.
jämför implicit definition s. 126
förmodan
synonym hypotes2
definition utsaga som troligen är sann enligt någons gissning
exempel Goldbachs förmodan säger att varje jämnt heltal större än 2 kan skrivas som summan av två primtal. Den är lätt att verifiera för små tal, och med dator har den verifierats upp till åtminstone 1018. Men den har inte bevisats. (Christian Goldbach, 1690 1764.)
Riemannhypotesen uttalar sig om var nollställena till en viss ana-lytisk funktion ligger. Denna förmodan har inte bevisats. (Bernhard Riemann, 1826 1866.)
generalisering
definition hav ett givet påståendei påstående med mer utsträckt giltighet än det givna påståendet
kommentar Ordet syftar också på processen att generalisera.
Det givna påståendet säges vara ett specialfall av generaliser-ingen.
exempel En cirkelskivas area är πr2, där r är dess radie. Formeln kan lätt generaliseras till en elliptisk skiva: dess area är πab, där a och b är halvaxlarnas längder. Formeln A = πr2 är ett specialfall av formeln A = πab, och den senare är en generalisering av den första. (Det är svårare att generalisera formeln för en cirkels omkrets, 2πr, till en ellips.)
implicit definition
definition definition som bestämmer det som skall definieras indirekt genom att ange egenskaper som det skall uppfylla
kommentar En funktion kan vara implicit definierad genom att man anger en ekvation som dess värden skall uppfylla. En egenskap kan likaså definieras implicit genom att man anger ett påstående som skall vara sant vid den rätta definitionen och endast då.
exempel Ekvationen y5+3x2y3+7 = 0 bestämmer implicit den reella variabeln y som en funktion av den reella variabeln x.
Från semantiken har vi ett exempel på en implicit definition: elev kan definieras implicit genom uttalandet: Om du har en lärare, så är du elev till den läraren.
Egenskapen att vara fullt utrustat kan bestämmas implicit gen-om att man anger att påståendet Exempelvis skall svenskan också framgent vara ett språk fullt utrustat för att tala om naturvetenskap på skall vara sant.
jämför explicit definition s. 126
korollarium
synonym följdsats
definition resultat som följer jämföreselsevis lätt från en sats eller en proposition
kommentar I klassisk matematik får ett lemma inte ha några korollarier, men man ser ändå detta ibland.
etymologi Korollarium betyder något som man får på köpet, som bonus. Det kommer av latinets corolla ’liten krans’, och syftade på de kransar som gavs till gäster på banketter.
lemma
, bestämd form lemmat, plural flera lemmansynonym hjälpsats
definition matematiskt resultat i en teori som skrivs ut som en etapp på väg mot en sats eller proposition
kommentar Ett lemma har ofta inte något intresse som självständigt resultat, utan hjälper till för att vi skall komma fram till något väsentligare. Men vissa mycket viktiga resultat kallas av historiska skäl ändå för lemman, t. ex. Zorns lemma.
etymologi Lemma kommer av grekiskans l¯e´mma ’sats’, ursprungligen något som man förutsätter, tar för givet; grundordet är lambánein ’att ta’.
omvändning
definition htill ett givet påståendei påstående som uppstår ur det givna genom att en implikation vänds
exempel Påståendet
Om två rektangelområden är kongruenta, så har de samma area har omvändningen
Om två rektangelområden har samma area, så är de kongruenta. Det första påståendet är sant, det andra falskt. Om vi inskränker påståendet till speciella rektanglar, till exempel till kvadrater, så blir även det andra påståendet sant – man har då infört ett nytt antag-ande.
proposition
definition matematiskt resultat i en teori som är mindre viktigt än en sats men viktigare än ett lemma
sats
synonym teorem
definition viktigt matematiskt resultat i en teori
etymologi Teorem är substantiv till det grekiska verbet the¯oreín ’att betrakta, att överväga, att undersöka’.
villkor
definition krav som ställs på ett matematiskt objekt eller i en sats
kommentar Man skiljer på nödvändiga villkor och tillräckliga villkor. Ett
nöd-vändigt villkor för en viss egenskap kan inte strykas utan att
egen-skapen går förlorad. Ett tillräckligt villkor medför egenskapen. Om således A ⇒ B, så är A tillräckligt för B, och B är nödvändigt för A.