Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoängTankeformer och strategier vid
huvudräkning hos elever i år 3
Third grade pupils’ mental methods and strategies of arithmetic
Marie Johansson
Marie Svensson
Lärarexamen 210hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2008-01-16
Examinator: Per Jönsson
Sammanfattning
Syftet med detta arbete är att undersöka vilka huvudräkningskunskaper några elever i år 3 har. Vi har gjort en empirisk undersökning bestående av kvalitativa intervjuer och löpande observationer av 11 elever i skolår 3 och deras lärare. Vi ville kartlägga deras tankemetoder och strategier vid sju olika huvudräkningsuppgifter. Resultaten visade en stor spridning på eleverna. Några valde olika strategier beroende på uppgifterna, andra valde alltid samma metod och en tredje kategori hade svårigheter med att räkna
uppgifterna utan hjälpmedel. Vår undersökning visar att 6 av våra elever saknar den grundläggande taluppfattningen och huvudräkningsförmågan som krävs för att effektivt lösa våra uppgifter.
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 8
2. Syfte och frågeställningar ... 10
Frågeställningar ... 10
3. Litteraturgenomgång ... 11
3.1 Styrdokument ... 11
3.2 Huvudräkning ... 12
3.3 Varför inte algoritmer? ... 12
3.4 Taluppfattning ... 13
3.4.1 Subtraktions- och additionstabellerna ... 15
3.4.2 Svårigheter vid subtraktion ... 15
3.5 Beräkningsmetoder ... 16
3.5.1 Addition ... 16
3.5.2 Subtraktion ... 17
3.6 Varför är huvudräkning viktigt? ... 18
3.6.1 Hur kan elever utveckla effektiva huvudräkningsstrategier? ... 19
4. Metod ... 21 4.1 Val av metod ... 21 4.2 Urval ... 22 4.3 Etik ... 22 4.4 Bortfall ... 22 4.5 Val av uppgifter ... 23 4.6 Genomförande ... 25 4.7 Diskussion av metod ... 26 4.7.1 Reliabilitet ... 26 4.7.2 Validitet ... 27 5. Resultat ... 28
5.1 Intervjun med läraren ... 28
5.2 Vilka strategier använder eleverna för att lösa några huvudräkningsuppgifter samt vilka strategier förväntar sig läraren att eleverna använt? ... 29
5.3 Hur varierar eleverna sina strategier beroende på uppgifterna? ... 33
5.4 Vilka uppgifter ställer till med problem för eleverna och varför? ... 37
6. Diskussion ... 39
6.1 Diskussion av elevresultat ... 40
6.1.1 Vilka strategier använder eleverna för att lösa några huvudräkningsuppgifter samt vilka strategier förväntar sig läraren att eleverna använt? ... 40
6.1.2 Hur varierar eleverna sina strategier beroende på uppgifterna? ... 40
6.1.3 Vilka uppgifter ställer till med problem för eleverna och varför? ... 42
6.2 Tankar om undersökningen ... 42 6.3 Slutsats ... 43 6.3.1 Vidare forskning. ... 44 7. Litteraturförteckning ... 46 8. Bilagor Elevintervju ... Bilaga 1 Lärarintervju ... Bilaga 2
1. Inledning
Vi har under vår egen skolgång blivit undervisade i standardalgoritmer och känner en avsaknad av huvudräkningsstrategier. Vi har insett att vi tänker enligt uppställning vid beräkningar i huvudet, vilket inte alltid är okomplicerat. Vi har själv inga minnen av undervisning i huvudräkning från vår skoltid. Huvudräkning under vår skoltid handlade om att träna multiplikationstabellen och att kunna den utantill. Algoritmräkning
introducerades väldigt tidigt och man räknade uteslutande i matematikboken.
Vi har, under vår verksamhetsförlagda tid på våra partnerskolor, sett väldigt lite undervisning i huvudräkning i de första tre skolåren. Med huvudräkning i dessa skolår menar vi förmågan att kunna lösa uppgifter inom talområdet 0-100 i huvudet utan papper och penna eller annat hjälpmedel. Våra erfarenheter är att dagens elever mest blir tränade i en metod och det är skriftlig huvudräkning som innebär att eleverna använder sig av mellanled vid uträkning av vissa additions- och subtraktionsuppgifter. De delar upp talen i hundratal, tiotal och ental och skriver ut dessa i ett vågrätt led för att sedan summera dem var för sig till den slutgiltiga summan. Undervisningen i skolan fokuserar på räknesätten addition och subtraktion i dessa årskurser och detta är vår inriktning.
Elever i år 3 har fått en del matematikundervisning och borde därför ha en del grund-läggande kunskaper. I Clarkes (2006) artikel står det att 80 % av alla elever i år 3 ska kunna addera och subtrahera två tvåsiffriga tal genom huvudräkning. Han anser att innan eleverna kan detta bör de inte arbeta med några vertikala beräkningar. Clarke (a.a.) menar att det ”hellre bör ägnas tid till att fördjupa begreppsuppfattning och
huvudräkningsstrategier än skriftliga beräkningar i standaralgoritmer” (s. 21). I litteraturdelen på sidan 12 presenterar vi begreppet strategier.
HÖJMA-projektet som utfördes på 80-talet av Unenge (1982) visade att många elever i undersökningen hade brister i sin taluppfattning som resulterade i att när de gjorde en beräkning i huvudet använde de komplicerade och minneskrävande strategier. Vissa elever beräknade uppgifterna genom uppställning enligt algoritmer. Resultatet visade
även att många elever hade svårigheter med att se rimligheten i sina svar och saknade effektiva strategier för sina beräkningar i huvudet.
Den grundläggande taluppfattningen är nödvändig för den framtida matematiken i senare årskurser. Eleverna kommer då att utföra mer avancerade beräkningar som kräver större belastning på deras arbetsminne. Kan eleven hitta en effektiv strategi minskas belastningen på minnet och är mindre tidskrävande (Löwing & Kilborn, 2003).
McIntosh (1995) menar att med en god taluppfattning främjas elevernas tro på sig själva och sina förmågor vilket gör att de lättare kan hitta den strategi som är lämplig för uppgiften och mest effektiv.
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med detta arbete är att undersöka vilka huvudräkningskunskaper några elever i år 3 har. Detta betyder att vi vill undersöka om eleverna har den grundläggande
tal-uppfattning som krävs för att kunna välja en effektiv strategi vid huvudräkning inom talområdet 0-100. Det vi är intresserade av att se är hur eleverna angriper en huvud-räkningsuppgift, vilka metoder de använder och om de använder samma strategi i alla uppgifter.
Frågeställningar
1. Vilka olika strategier använder eleverna för att lösa några huvudräkningsuppgifter i talområdet 0-100?
2. Hur varierar eleverna sina strategier beroende på uppgiften?
3. Vilka uppgifter ställer till med problem för eleverna och varför?
4. Vilka strategier förväntar sig läraren att eleverna använder och överensstämmer dessa med elevernas använda strategier?
3. Litteraturgenomgång
3.1 Styrdokument
I styrdokumenten finner vi ett flertal mål som vi anser betydelsefulla för vårt arbete. I läroplanen (Skolverket, 2000) för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet står det under rubriken kunskaper och mål att sträva mot:
Skolan skall sträva efter att varje elev - utvecklar sitt eget sätt att lära, - utvecklar tillit till sin egen förmåga,
(Skolverket, 2000 s. 10)
Detta tolkar vi som att läraren bör ge tillfälle för eleverna att utveckla sina egna matematiska strategier som de kan känna sig trygga med och känner att de klarar av.
Enligt de nya målen i matematik som eleverna ska ha uppnått i slutet av det tredje året finner vi:
beträffande tal och talens beteckningar
- kunna /…/ ange siffrornas värden i talen inom heltalsområdet 0-1000, - kunna jämföra /…/ och dela upp tal inom heltalsområdet 0-1000,
(Skolverket, 2008-12-04)
Vi tolkar detta vara en del av en god taluppfattning som eleverna bör ha för att kunna hantera tal inom talområdet 0-1000. Vi kommer att gå djupare in på taluppfattning och räknesätten addition och subtraktion senare i litteraturdelen.
beträffande räkning med positiva heltal
- kunna förklara vad de olika räknesätten står för och deras samband med varandra /…/, - kunna räkna i huvudet med de fyra räknesätten /…/, och
- kunna addera och subtrahera tal med hjälp av skriftliga räknemetoder när talen och svaren ligger inom talområdet 0-200,
(Skolverket, 2008-12-04)
Räknesättens samband innebär att med detta samband kunna kontrollräkna genom att använda addition istället för subtraktion och upptäcka rimligheten med svaret t.ex. 5-3=2 kan kontrollräknas genom 3+2=5. Vår uppfattning om skriftlig räknemetod har vi hämtat från Rockström (2000). En skriftlig räknemetod är skriftlig huvudräkning där eleven får möjlighet att skriva ner sina tankegångar i form av mellanled.
Vi hade velat ha den lokala kursplanen för matematik från skolan vi utförde
undersökningen på, men svaret vi fick av två olika lärare var att de är för gamla och inaktuella. Skolan håller på att skriver matriser och nya lokala mål vad det gäller matematik, men dessa är inte färdiga.
3.2 Huvudräkning
I Bonniers svenska ordbok (2002) kan man läsa följande om huvudräkning: ”räkning som utförs utan att man använder papper o. penna”. Hedrén (2000) menar att
huvudräkning är uträkningar utförda enbart i huvudet och endast uppgiften och svaret skrivs ned. Unenge (1982) anser att huvudräkning är att lösa en uppgift exakt utan hjälpmedel. McIntosh (2006) är inne på samma linje och menar att huvudräkning är beräkningar som genomförs helt och hållet i huvudet. Löwing (2008) anser att i all räkning ingår huvudräkning. Rockström (2000) beskriver metoden skriftlig
huvudräkning, vilken innebär att eleven skriver ner sina tankar i mellanled och inte som en algoritm. Hon anser att detta är huvudräkning då delmomenten räknas i huvudet. När vi nedan benämner huvudräkning är det McIntosh (2006) benämning vi syftar på, att beräkningarna utförs i huvudet utan hjälpmedel som t.ex. fingrar eller papper och penna.
3.3 Varför inte algoritmer?
Vi har, under vår sista termin, fått ta del av viss litteratur som har diskuterat
algoritmernas vara eller icke vara. En algoritm är: ”ett handlingsmönster (metod) som alltid leder till en lösning genom stegvis användning av en på förhand bestämd rutin” (Löwing, 2008 s. 103). En algoritm utförs alltså på samma sätt oberoende av hur talet ser ut (Löwing & Kilborn, 2003). Många forskare förespråkar att istället för att
undervisa eleverna i algoritmer bör man utgå från elevernas egna strategier för att på så sätt kunna främja deras tro på sig själva. Vi anser att en strategi är ett planerat
tillvägagångssätt för uträkning bestående av en eller flera metoder beroende på
uppgiften. Olika beräkningsmetoder presenteras i litteraturdelen på sidan 16. McIntosh (2006) hänvisar till Colburn som tidigt pratade om varför man inte bör lära ut algoritmer. Colburn ansåg att elever inte bör få instruktioner om hur de ska utföra en operation. En elev bör heller inte lägga något på minnet som hon inte förstår. Genom att låta eleverna
använda sina egna metoder kan lärarna upptäcka många bra lösningsstrategier och genom att uppmuntra dem till det ger eleverna självförtroende och stärker deras tro på den egna förmågan. Elevers reflekterande över hur de har gått tillväga är det bästa för lärandet.
Clarke (2006) visar i en artikel att elever som blir undervisade i algoritmer tenderar att helt övergå till dessa efter ett tag och släppa sina egna strategier helt och hållet. De fokuserar mer på metoden än på innebörden och förståelsen av talen. Han menar att eleverna släpper sin eftertanke när de ger upp sina strategier och reflekterar därför ej längre över uppgifterna. Clarke (a.a.) anser däremot att algoritmer kan introduceras som en snabbare väg efter skolår 5 då eleverna har bättre grundläggande kunskaper. Hedrén (1999) är inne på samma spår och menar att om algoritmerna introduceras så sent att eleverna undrar varför de inte har fått lära sig dem tidigare, så har de kommit in i rätt tid.
Van den Heuvel-Panhuizen (2006) skriver i sin artikel att flickor har mer benägenhet att använda sig av och ta till sig algoritmer. Hon konstaterar att pojkar presterar
genomgående bättre än flickor i matematik. Analysen visade att pojkar oftare använder abstrakta strategier och därmed visar på en högre förståelse medan flickor i år 3 oftare använde algoritmer.
3.4 Taluppfattning
På 80-talet genomförde Unenge (1982) en undersökning om huvudräkning (HÖJMA projektet). Undersökningen gjordes med elever i år 5 som intervjuades med syftet att eleverna verbalt redogjorde för sina lösningsmetoder. Eleverna fick fyra aritmetiska uppgifter inom talområdet 0-500. Uppgifterna ställde prov på elevernas kunskaper vid tiotalsövergångar. Unenge (a.a.) anser att just beräkning med tiotalsövergång visar om elevernas taluppfattning är god. Med en god taluppfattning menar han att man ser talens inbördes storlek.
Malmer (1991) hävdar att en klar uppfattning av positionssystemet och dess innebörd tillhör den grundläggande kunskapen, att eleverna förstår att siffrornas position bestämmer siffrans värde i talet. Enligt Malmer (a.a.) finns det förutom en god
taluppfattning och tabellkunskap ytterligare två ofrånkomliga förutsättningar för en effektiv huvudräkning. Dessa är förmåga att tillämpa räknelagar och att man har fantasi och kreativitet. Med räknelagar menar Malmer (a.a.) för addition främst associativa lagen (a+b)+c=a+(b+c) t.ex. (5+4)+3=5+(4+3) och kommutativa lagen a+b=b+a t.ex. 5+4=4+5. Fantasi och kreativitet innebär att, till skillnad från algoritmräkning som innebär att följa ett visst mönster för att utföra en uträkning, man ska kunna anpassa strategin efter hur den lämpar sig för uppgiften.
I övrigt stämmer Malmers (a.a.) uppfattning överens med Löwings & Kilborns (2003) samt Löwings (2008) utvidgade definition av taluppfattning som citeras nedan:
behärska talens ordning både framåt och bakåt i talraden, till en början upp till 100, senare upp till 1000,
känna talens grannar och grannens granne samt hur man går framåt och bakåt med 10- steg i talraden,
behärska tiotals- och hundratalsövergångarna /…/ behärska 10- och 100-kamraterna,
kunna dela upp tal på olika sätt i termer,
vet att om man lägger till 1 eller 2 till en av termerna i en addition /…/ så ökar summan med 1 respektive 2,
kunna utnyttja den kommutativa lagen för addition /…/, kunna använda den associativa lagen för addition /…/.
(Löwing, 2008 s. 113)
Att behärska talens ordning innebär att man kan rabbla talen i ordning både framåt och bakåt. Man ska även kunna börja från ett godtyckligt tal, t.ex. på 5 och rabbla uppåt. Talens grannar innebär att man kan addera och subtrahera med talet 1. Att kunna grannens granne innebär att kunna addera och subtrahera med talet 2. Detta mönster finner vi i lilla additionstabellen och lilla subtraktionstabellen. Tiotals- och hundratals-övergångar kräver kunskaper om siffrors platsvärde och att tio ental är det samma som ett tiotal. Att behärska t.ex. tiotalsövergångar menas att kunna växla ental till tiotal (27+15=42). Tiokamrater innebär att eleverna kan alla additionskombinationer
bestående av två tal som är lika med tio. Tjugokamrater är alla kombinationer av två tal som är lika med tjugo. Man bör även veta ett alla tal kan delas upp på olika sätt t.ex. så kan talet 4 delas upp i 2+2, 1+3, 3+1, 1+1+2. Den kommutativa lagen är a+b=b+a och den associativa lagen är (a+b)+c=a+(b+c) (Löwing & Kilborn, 2003). Vi utgår från Löwings (2008) sammanfattning när vi nedan benämner begreppet grundläggande taluppfattning.
3.4.1 Subtraktions- och additionstabellerna
Löwing & Kilborn (2002) skriver att en viktig baskunskap är att ha additions- och subtraktionstabellen automatiserad. Den lilla additionstabellen är kombinationer med addition mellan talen 1 till 9. Den stora additionstabellen är 10 till 19. Den lilla
subtraktionstabellen är kombinationer med subtraktion mellan talen 1 till 10. Den stora subtraktionstabellen är 11 till 20 (Löwing & Kilborn, 2003). Dessa tabeller bör finnas sparade i elevernas långtidsminne. De bör kunna utföra enkla operationer som t.ex. 6+5 i huvudet utan att behöva belasta arbetsminnet. Elever som inte har automatiserat additions- och subtraktionstabellerna måste använda mer minne för att kunna utföra de enklare beräkningarna vilket kräver både tid och uthållighet. Dessa elever samt elever som har fastnat med hjälpmedel, t.ex. fingerräkning, får problem när uppgifterna blir svårare och uträkningarna mer avancerade. Genom att eleverna direkt i en uppgift känner igen tabellerna och har dem automatiserade, förkortas arbetsgången i en svårare uppgift (Johansson m.fl., 1983). Löwing & Kilborn (2003) menar att om eleverna fastnar med hjälpmedel när talområdet blir större och kravet på förkunskaper ökar får dessa elever inget flyt i sitt räknande. Det kan även finnas elever som har brister i arbetsminnet vilket innebär att deras förmåga att hålla uträkningar i huvudet en längre stund är begränsad.
3.4.2 Svårigheter vid subtraktion
Malmer (1999) säger att räknesättet subtraktion innehåller svårigheter för eleverna. Eleverna vill gärna tillämpa den kommutativa lagen även vid subtraktion och detta ställer till problem för dem. Kilborn (1991) anser att det är av stor vikt att utveckla en mängd tankeformer hos eleverna om olika tillvägagångssätt i subtraktion för att ge eleverna bra metoder vid huvudräkning. Johansson m.fl. (1983) anser att de elever som kan subtraktionstabellen utantill lättare klarar uppgifter i subtraktion med växling. Det är viktigt att eleverna förstår sambandet mellan addition och subtraktion för att på så sätt kunna kontrollräkna och se rimligheten med svaret. Löwing (2008) skriver att
subtraktion är en invers till addition t.ex. 6+4=10 motsvarar 10-6=4 och 10-4=6. Malmer (1999) pratar också om problematiken kring tiotalsövergångar. Hon anser att osäkra elever ofta binder upp sig vid en specifik strategi och inte vågar tro på sin egen
förmåga att hantera uppgiften. Malmer (1996) nämner framför allt två svårigheter med tiotalsövergångar i subtraktion. Den första är att växlingarna eleverna tvingas göra kan bli fel om de tänker enligt algoritmer och den andra är att eleverna får många moment att hålla i huvudet vilket kan göra att vissa moment ”tappas bort”.
Hedrén (2000) genomförde ett projekt om alternativa strategier till standardalgoritmer. Undersökningen skedde under ett antal år i en svensk klass där eleverna inte fick någon undervisning i standardalgoritmerna under deras första fem skolår. Syftet med projektet var att undersöka om eleverna hade och utvecklade egna strategier för aritmetiska beräkningar och om eleverna föredrog att använda dessa även efter undervisning i algoritmer. Hedréns resultat visar att eleverna hade störst svårigheter vid tiotals-övergångar i subtraktion. Eleverna hade svårt att förstå att den kommutativa lagen inte fungerar som vid addition. De kunde inte förstå att 1-8 inte går att vända på och få samma svar.
3.5 Beräkningsmetoder
Enligt Löwing & Kilborn (2003), Löwing (2008) och Malmer (1991) finns det ett flertal metoder som kan kombineras till strategier som man kan tillämpa vid lösning av
additions- och subtraktionsuppgifter. Vi redovisar nedan några olika metoder för addition och subtraktion.
3.5.1 Addition
Uppräkning
Löwing (2008) anser inte att detta är en addition men likväl en strategi som används av elever som t.ex. fingerräknar 14, 15, 16, 17, 18.
Öka här/minska där
Denna metod innebär att man kan flytta över från det ena talet till det andra. Eleverna lär sig detta tidigt då de arbetar med t.ex. dubbling 5+3=4+4 (Malmer, 1991).
Runda tal
Eleverna hanterar tal lättare då termerna är s.k. runda tal, t.ex. 25+16=25+15+1. Ett runt tal är t.ex. 5, 10, 25, 120. Tiokamraterna är ett exempel på att skapa runda tal (Löwing & Kilborn, 2003). Denna metod liknar metoden N10 (se nedan).
Räkna från största termen
Räkna från första termen utgår från den kommutativa lagen. Räkna från största termen
innebär att man börjar räkna från det största talet och uppåt (Löwing, 2008).
Metafor eller tidigare känd kunskap
Löwing (2008) presenterar två nya strategier som är metafor och tidigare känd kunskap. Dessa är uppbyggda på elevernas tankar och föreställningar där de kan dra paralleller från vardagliga situationer till en matematisk operation. En metafor kan t.ex. vara att en elev tänker på sin familj som består av fem personer, tre barn och två vuxna (3+2=5). Eleverna kan även dra slutsatser utifrån tidigare känd kunskap bl.a. automatiserade tabeller. De vet sedan innan att 3+1 är 4 och kan då dra slutsatsen att 4+1 är 5.
Metod 1010 (split strategy)
Eleverna delar upp talen i tiotal och ental och lägger samman dessa var för sig (25+16=20+10+5+6) (Hedrén, 2000).
Metod N10 (jump strategy)
Handlar i stort sett om att utgå från den största termen och bryta upp det andra talet i några termer som gärna är runda tal. Tanken är att hoppa i steg på tallinjen.
(25+16=25+15+1) (Hedrén, 2000).
3.5.2 Subtraktion
Runda tal
Se under addition och runda tal.
Komplettera
Ett sätt att använda komplettera är genom uppräkning som innebär att man börjar räkna från subtrahenden till minuenden. I subtraktionen 5-2 är 2 subtrahenden och 5
minuenden. Elever som använder denna metod använder oftast fingerräkning och räknar alltså 3, 4, 5 (Löwing & Kilborn, 2003). Ett annat sätt för att bestämma differensen är att man räknar upp i steg (41-38 kan beräknas i två steg genom att först räkna från 38 till 40 och sedan till 41). För denna metod krävs att eleven kan talraden bakåt och framåt, tiotalsövergångar samt uppdelning av talen (Löwing, 2008).
Ta bort
Ta bort handlar om att räkna bakåt i steg. Denna metod fungerar bäst om skillnaden
mellan de två talen är liten t.ex. 41-38 räknas 40, 39, 38. För denna metod krävs att eleven kan talraden och tiotalsövergångar (Löwing, 2008). Risken finns att
fingerräknaren hamnar fel i sin nedräkning om de utgår från fel tal (Löwing & Kilborn, 2003).
Fast differens
Vid subtraktion mellan två tal kan uträkningen förenklas genom att man antingen lägga till eller ta bort samma tal från båda termerna för att få enklare tal att räkna med t.ex. 43-18. Om man i denna uppgift tar bort 3 från båda talen får man en lättare uträkning: 40-15 (Malmer, 1991).
3.6 Varför är huvudräkning viktigt?
Flera författare pratar om vikten av att undervisa eleverna i huvudräkning. Malmer (1990) framhåller att framför allt användningen av miniräknare ställer stora krav på elevernas förmåga att kunna se om svaret är rimligt eller ej. Hedrén (2000) menar att eleverna i större utsträckning utför beräkningar med hjälp av miniräknare och datorer vilket har minskat behovet av att utföra algoritmiska uträkningar på papper. De tekniska hjälpmedlen ställer större krav på att eleverna ska kunna välja lösningsmetod och
beräkna ett rimligt svar med hjälp av överslagsräkning. Val av uträkningsmetod kan inte göras av tekniska hjälpmedel utan måste göras av människan. Malmer (1991) anser att man bör arbeta med att utveckla elevernas färdigheter i överslagsräkning för att de ska kunna bedöma ett svars rimlighet. Johansson m.fl. (1983) betraktar huvudräkning som den vanligaste metoden för att utföra beräkningar i vardagliga situationer. Hedrén (2001) skriver att vi kan hamna i många situationer som kräver huvudräkning där vi inte har
tillgång till hjälpmedel. Han betraktar huvudräkning som det mest grundläggande sättet att räkna på. Vid överslagsräkning, i skriftliga räknemetoder och i algoritmräkning använder vi huvudräkning.
3.6.1 Hur kan elever utveckla effektiva huvudräkningsstrategier?
Löwing & Kilborn (2003) skriver om att den duktige huvudräknaren studerar först uppgiften och väljer den strategi som är lämpligast. Strategin bör vara sådan att den är effektiv och ger enklast deloperationer vilket leder till färre tal att hålla i minnet. Vid huvudräkning gäller det alltså att hitta en strategi som kräver mindre belastning på minnet eller i alla fall en ”lättare” belastning. Malmer (1990) påstår att för att bli framgångsrik i huvudräkning krävs det; goda kunskaper om taluppfattning,
positionssystemet, tabellkunskap, tals delbarhet och räknelagarna. Löwing & Kilborn (2003) vill att man fokuserar mer på att bygga upp elevernas förståelse för ovanstående än på färdighet. Författarna anser genom att tidigt träna huvudräkning får eleverna en djupare kunskap och förståelse för räknelagar vilket underlättar vid räkning av mer avancerad matematik.
McIntosh (1995) skriver att elever som har goda grundläggande kunskaper och är trygga i dessa uppvisar större förmåga att kunna variera sina strategier. De mer osäkra eleverna väljer oftast att hålla fast vid en och samma strategi som kan visa sig vara ineffektiv. McIntosh (a.a.) anser att det behövs matematikpass där eleverna får diskutera sina strategier och på så sätt upptäcka att det finns många olika sätt att räkna samma uppgift på. Malmer (1990) vill att matematikundervisningen ska innehålla huvudräkning på ett naturligt sätt.
Löwing & Kilborn (2003) har utformat fyra hörnstenar som huvudräkning bör vila på: Eleven får utveckla sina strategier i sociala sammanhang, tillsammans med andra men att de ändå är personliga.
Eleverna bör hitta bra strukturer för sitt tänkande.
Eleven ges möjlighet att färdighetsträna för att få ”flyt” i sitt räknande.
Få eleverna trygga i inlärningsprocessen genom att de kan följa sin egen utveckling och genom att de hela tiden vet vad de kan och att övning lönar sig.
Hedrén (2001) tycker att om eleven kan utföra beräkningen i huvudet bör läraren inte uppmana eleven att använda en algoritm och papper och penna. Vill man veta hur eleven tänker tycker han att det är mer lämpligt att göra en intervju. Läraren får gärna visa egna strategier som förslag men bör inte rekommendera eleven att använda en viss strategi. Eleverna bör istället delge varandra sina tankar och strategier och diskutera deras effektivitet.
4. Metod
I detta avsnitt tar vi upp val av metod, urval, bortfall, val av uppgifter, genomförande och diskussion av metod. För att få svar på våra forskningsfrågor har vi intervjuat och observerat 11 elever samt intervjuat deras lärare. Vår metod gav oss underlag som kunde analyseras och ge svar på våra frågor. Intervjuerna och observationerna har gett oss kunskaper om hur elevernas tankegångar ser ut. Detta går vi in på mer i vårt resultat. Lärarintervjun gav oss svar på hennes förväntningar på hur eleverna skulle lösa
uppgifterna.
4.1 Val av metod
För att få svar på våra frågor har vi genomfört kvalitativa intervjuer med elever och deras lärare med löpande observationer vid elevintervjuerna. Under elevintervjuerna fick eleverna lösa sju uppgifter genom att använda huvudräkning. För att få eleverna att utförligt förklara hur de tänkt ställde vi frågan: ”Hur tänkte du?”. Enligt Johansson & Svedner (2006) är kvalitativ intervju lämpligt för att få så uttömmande svar som möjligt. Man kan på så sätt anpassa följdfrågorna efter den intervjuades svar. Vi valde att göra löpande observationer för att kunna samla in ett stort underlag och på efterhand plocka ut det som var relevant (a.a.). Löpande observationer innebär att man antecknar så mycket som möjligt. Enligt Bjørndal (2005) bör man på förhand ha bestämt vad som ska observeras och vad som ska registreras. Våra löpande observationer skedde vid det tillfälle då eleverna löste uppgifterna. Det vi valt att observera och registrera var elevernas kroppsspråk t.ex. om de använder fingrarna vid räknandet, om de pratar tyst för sig själva och hur lång tid det tar för dem att räkna. Vid lärarintervjun använde vi kvalitativ intervju med fasta frågeområden (se bilaga 2). Denna intervju pågick under ca 45 minuter och utfördes i lärarrummet där vi kunde sitta ostörda.
Vi valde att inte spela in elevintervjuerna för att undvika att eleverna skulle känna sig stressade. Vi anser att det faktum att vi är en intervjuare och en observatör som är koncentrerade på var sin uppgift får tillräckligt med underlag. Vid ett fåtal tillfällen bad vi någon elev upprepa vad de sagt för att förtydliga. Lärarintervjun var tänkt att bli
inspelad med en diktafon men p.g.a. ett tekniskt missöde var vi tvungna att även här använda oss av anteckningar.
4.2 Urval
Vi har valt en kommunal F-9 skola i en mindre ort i Skåne. Klassen är en 2-3:a som består av totalt 25 elever. Vi har valt att fokusera på de 12 elever (sex flickor och sex pojkar) som går i år 3. Vi har valt att intervjua alla 12 eleverna för att ingen ska känna sig utpekad eller åsidosatt (Doverborg & Samuelsson, 2000).
Läraren är en kvinna i 50-årsåldern. Hon är från början förskolelärare som för ca 8 år sedan omskolade sig till lärare med matematik och naturorienterad ämnesinriktning. Hon är ensam klasslärare för 2-3:an med hjälp av en fritidspedagog och en personlig assistent.
4.3 Etik
Enligt Johansson & Svedner (2006) finns det flera punkter att utgå från vad det gäller hur man tillämpar god forskningsetik. Då deltagarna i vår undersökning inte är myndiga skickades ett informationsblad med förfrågan till målsman för godkännande att deltaga (se bilaga). Målsman gavs möjlighet att kontakta oss om de hade frågor. Deltagarna i vår undersökning fick tydlig reda på syftet och tillvägagångssättet. Både elever och skola behandlades anonymt, vilket vi tydliggjorde från allra första början. Vi har
namngett eleverna med versalerna A till och med L. Eleverna gavs möjlighet att avbryta om de kände att de inte ville vara med.
4.4 Bortfall
När det var dags för oss att intervjua Elev H såg vi tydligt på hans kroppsspråk att han inte var bekväm i situationen. Vi försökte ändå komma igång, men under andra frågan sa han tydligt att han inte ville delta i undersökningen, så vi avbröt. Han blev tillfrågad
även vid ett senare tillfälle men ville fortfarande inte. Därför blev underlaget 11 elever istället för 12 som det var tänkt.
4.5 Val av uppgifter
Vi har valt att avgränsa detta arbete till två räknesätt, addition och subtraktion, på grund av våra elevers åldersnivå. De har inte arbetat så pass mycket med de övriga räknesätten att de skulle ge oss något intressant underlag.
Enligt Unenge (1982) är det framför allt vid test av uppgifter som innehåller tiotals-övergångar som man tydligt kan se hur väl eleverna kan hantera dessa uppgifter i huvudet och om de har en effektiv strategi för att kunna lösa dem. Därför ställer våra uppgifter stora krav på elevernas talförståelse och förmåga att kunna hantera talen i huvudet vid räkning av tiotalsövergångar. Vi har valt att använda uppgifter där 6 av uppgifterna ligger inom talområdet 0-50 och en ligger inom 0-100. Detta för att eleverna ska få så lite tal att hålla ordning på i huvudet som möjligt.
För att kunna utforma uppgifter som låg på elevernas nivå har vi dels utfört försöks-intervjuer på 5 stycken elever varav en i år 2, tre i år 3 och en i år 4. Detta för att se hur olika åldrar tog till sig uppgifterna och på så sätt se om de var tydliga och bra utformade. Vi måste även påpeka att syftet inte var att få ett rätt svar utan att få en uträkning och ett tillvägagångssätt, därför har vi accepterat uträkningar med felaktiga svar. Vårt syfte med detta arbete är att kartlägga elevernas strategier. Vi har även tittat i elevernas matematikböcker i serien Mattekul (Jonsson och Ring, 2006) och funnit att våra uppgifter förekommer i liknande former.
Dessa var uppgifterna och de gavs i följande ordning: Uppgift 1: 9+14=
Den första svårigheten som är direkt synlig är att uppgiften står i omvänd ordning med det mindre talet först jämfört med vad eleverna är vana vid i deras matematikböcker. På detta sätt vill vi se om de har kunskap om den kommutativa lagen. En annan svårighet med denna uppgift är tiotalsövergången. Vi är intresserade av att få veta om eleverna kan se att 9 är granne med 10 och flytta över ett från 14.
Uppgift 2: 15-8=
Någon av eleverna kan se att denna uträkning ligger nära ”dubblan” av 8 (8+8=16) och vetat att svaret borde bli ett mindre än åtta. Svårigheten med denna uppgift är tiotals-övergången i subtraktion.
Uppgift 3: 13+77=
Återigen har vi valt att sätta det lilla talet först för att se om de kan använda den kommutativa lagen vid addition. Entalen är valda för att se om eleverna kan
tiokamraterna och att dessa tillsammans blir ett tiotal som de måste lägga till tiotalen.
Uppgift 4: 25+16=
Med denna uppgift ville vi se om eleverna räknar med runda tal, metoden N10 (25+15 och sedan +1) och återigen hur de hanterar tiotalsövergången.
Uppgift 5: 35-16=
Även denna uppgift innehåller beräkning med runda tal, men subtraktion istället för addition och elevernas förmåga att räkna med tiotalsövergång nedåt.
Uppgift 6: 41-38=
Denna uppgift är tänkt för att se om eleverna uppfattar talens storlek och att de ligger nära varandra på tallinjen.
Uppgift 7: Du har 31 kronor i din plånbok och handlar godis för 12 kronor. Hur mycket pengar har du kvar?
Syftet med denna uppgift är att se om eleverna väljer en annan strategi som skiljer sig från deras tidigare på grund av att det är en textuppgift. Uppgiften kräver att eleverna förstår texten och ur den kan hämta talen som ska användas vid uträkningen.
I undersökningen var det fem av eleverna som först räknade addition på några av subtraktionsuppgifterna, fyra pojkar och en flicka. Efter anmärkning av oss fick eleverna möjlighet att räkna om med rätt tecken. Teckenfelen har vi bortsett från i resultatet då det är strategierna vi är intresserade av och inte om de får rätt eller fel svar.
Frågorna till läraren finns i bilaga 2. Dessa frågor ställdes för att få en bakgrund och uppfattning om hennes syn på huvudräkning. För att vi ska kunna, utifrån våra sju uppgifter, säga var eleverna befinner sig kunskapsmässigt var det intressant att jämföra vårt resultat med lärarens uppfattning om eleverna.
4.6 Genomförande
Vi lämnade en förfrågan i god tid till föräldrarna där vi bad om lov att få intervjua deras barn (se bilaga 1). Alla föräldrarna gav sitt godkännande. Platsen för intervjuerna var lärarnas kök/fikarum. Vi intervjuade och observerade en elev i taget för att även kunna se kroppsspråk, om eleven behövde lång tid för att lösa varje uppgift m.m. Marie S var intervjuare och Marie J observatör.
Vi genomförde största delen av undersökningen dag 1 under en matematiklektion och två elever blev intervjuade under en svensklektion på eftermiddagen. Dag 2 utförde vi intervjuer med resterande elever under ett matematikpass på förmiddagen. Läraren blev intervjuad under dag 3.
Vi började varje intervju med att eleven bjöds in till fikarummet. Efter lite småprat förklarade vi syftet med vår undersökning. Vi poängterade att det viktigaste inte var att svaret blev rätt utan att vi var intresserade av hur de tänkte när de kom fram till det. Vi gav dem en uppgift i taget för att de skulle kunna koncentrera sig och inte skulle stirra sig blinda på vad som skulle komma. Uppgifterna var laminerade för att de skulle kunna tåla att hanteras. Beroende på hur eleven beskrev sin strategi för uträkningen blev följdfrågorna anpassade efter varje elev. Varje intervju dokumenterades i stort sett ordagrant för att kunna analyseras i efterhand. Vi försökte bemöta alla elevers svar på ett neutralt sätt genom att varken säga rätt eller fel. Om det tog stopp vid flera uppgifter på rad så frågade vi om de ville ha hjälp av papper och penna eller ”hundraband” (ett långt snöre med 100 pärlor på med jämna tiotal i en färg och udda tiotal i en annan färg). I så fall tog vi fram det och antecknade hjälpmedel i resultatet.
En intervju tog allt mellan 5-15 minuter att genomföra beroende på hur snabba eleverna var på att räkna ut uppgifterna och förklara sina strategier. Vi hade på förhand valt ordningen eleverna blev intervjuade i. Vi kallade dem för Elev A till och med Elev L.
4.7 Diskussion av metod
Nedan vill vi förtydliga och diskutera metodavsnittet. Vi kommer att gå in på för- och nackdelar med vårt tillvägagångssätt.
4.7.1 Reliabilitet
Vi valde elever i år 3 för att de har kommit längre i sina matematiska tankar och att verbalt kunna uttrycka hur de tänker vid huvudräkning. Deras verbala förmåga är dock inte så pass utvecklad att de exakt kan formulera hur de har tänkt. Enligt Malmer (1996) är detta en felkälla man måste räkna med. Skolverket (2008-12-04) har nyligen tagit fram mål för år 3 vilket bidrog till att vi valde den åldern. På så sätt kunde vi jämföra målen med hur långt eleverna har kommit i matematik eller borde ha kommit.
Tillförlitligheten är som alltid diskuterbar. Marie S är väldigt bekant för eleverna och Marie J är det inte. Marie S utförde därför intervjun och Marie J observerade. För att få eleverna att våga uttrycka sig så krävs att intervjuaren är en för eleverna känd person (Doverborg & Samuelsson, 2000). Observatören satt och antecknade under tiden vilket kan ha fått eleverna att fundera på vad det var som skrevs ner. Detta förklarades dock för dem i början.
Platsen för intervjun var i lärarnas kök/fikarum som ligger mellan två klassrum. Eleverna hade alldeles nyligen flyttat från en annan lokal och det var svårt att hitta en bra plats att utföra intervjun på. Naturligtvis hade vi hellre valt att sitta i ett litet enskilt rum där eleverna inte skulle bli störda under den kvalitativa intervjun, men eftersom att klassen hade flyttat till nya lokaler under den tidigare veckan på grund av ombyggnad så var där rörigt med mycket spring i rummet. Detta upplevdes som störande av oss och kan ha påverkat eleverna.
De flesta elever blev intervjuade under matematiklektionen och några under en svensk-lektion. Detta kan ha påverkat så att eleverna som blev intervjuade under matematik-lektionen var mentalt inställda på räkning medan eleverna som intervjuades under svenskpasset kanske hade svårare att ställa om. Wyndhamn (1988) skriver om att skolan som miljö påverkar eleverna mer än vad man tror. Om det på schemat står att eleverna ska ha matematik ställer de in sig tankemässigt på detta ämne.
Några av eleverna har en ganska otrygg familjesituation vilket kan ha påverkat elevernas dagsform och i sin tur undersökningsresultatet.
För att vi skulle kunna generalisera vårt resultat hade vi behövt göra en mer omfattande undersökning. Det innebär att den skulle gjorts i fler klasser, på olika skolor med olika förutsättningar och olika pedagogiska inriktningar.
4.7.2 Validitet
Vi anser att vår metod gav oss ett väldigt stort underlag att arbeta med. Våra intervjuer och observationer med eleverna var grundligt utförda med noggranna anteckningar.
En fråga som har väckts hos oss är om resultatet hade blivit annorlunda om eleverna hade delgivits uppgiften både verbalt och visuellt. Vissa elever kan ha lättare för att förstå auditiva uppgifter.
5. Resultat
Vi väljer att redovisa intervjun med läraren först då den förklarar vissa begrepp som används vid redovisningen av resultaten från elevintervjuerna. Därefter redovisas resultat enligt våra forskningsfrågor. Fråga 1 och 4 redovisas tillsammans för att en jämförelse lättare ska kunna göras.
5.1 Intervjun med läraren
Läraren berättade först hur hon ser på huvudräkning. Hon anser att huvudräkning är ”att man har strategier att tänka, utan att man ställer upp talen”. Vi frågade vad hon anser om mellanled på vilket hon svarade ”att vissa mellanled är huvudräkningsalgoritmer”. Detta svar tolkade vi som att hon menade att just de skrivna mellanleden är en sorts huvudräkningsalgoritm.
Läraren anser att hon presenterar olika metoder för eleverna så att eleverna kan välja den strategi som passar dem bäst. Hennes mål är att eleverna lär sig att avgöra vilken strategi som passar bäst till vilket tal. Hon tror att elever som har svårt för matematik har svårare för att hitta en lämplig strategi. Hennes elever har övat mycket på talens uppdelning i olika termer som är en förutsättning för huvudräkning. Eleverna har även fått träna på att tänka uppräkning och nedräkning. De har arbetat med talgrannar, 10-kompisar och med att jämföra tal med varandra.
Vi frågade vad hon anser om hjälpmedel som fingerräkning och hundraband (se sidan 25) och hur länge hon tycker att eleverna ska få använda dessa. Hon svarade
att ”eleverna ska helst ha släppt fingerräkning i 3:an”. Vad gäller hundraband anser hon att eleverna får använda det så länge det behövs och att eleverna brukar släppa det efterhand. Hon avslutar med att säga ”matematik ska vara roligt och man ska inte fastna i teknik om man har förståelse”.
Störst fokus på lärarintervjun lades på att läraren fick förklara vilka strategier/metoder hon trodde att eleverna hade använt vid beräkningarna vilket redovisas tillsammans med forskningsfråga 1 nedan.
5.2 Vilka strategier använder eleverna för att lösa några
huvudräkningsuppgifter samt vilka strategier förväntar sig
läraren att eleverna använder?
Syftet med undersökningen var att ge svar på våra forskningsfrågor. Vi har analyserat och diskuterat insamlat material för att få svar på våra frågor. Vi kommer nedan att presentera strategier och lösningsförslag utifrån elevsvaren. Vi redovisar varje uppgift för sig med elevsvar. Då vi är ute efter att kartlägga vilka strategier som eleverna väljer att använda vid de olika uppgifterna redovisar vi alla elever och de olika strategier de använt. För varje uppgift gör vi en sammanfattning av strategierna och metoderna som använts. Efter elevsvaren under varje uppgift redovisar vi vilka strategier deras
klasslärare, i intervjun med henne, trodde skulle förekomma. När vi nedan skriver att eleverna räknar enligt mellanled menar vi att de räknar enligt en metod som de lärt sig från matematikböckerna. Metoden innebär att eleverna drar pilar eller streck från det ena tiotalet till det andra och beräknar dessa tillsammans och sedan gör det samma med entalen. Dessa skrivs ut som ett litet mellanled som slutligen läggs ihop för att få svaret.
I de uppgifter eleverna räknat med mellanled innebär det att eleverna utför en skriftlig räknemetod i huvudet. Hade de haft tillgång till papper och penna hade de valt att skriva ner uträkningen. Hos några elever kunde vi se att de med fingrarna drog osynliga streck mellan tiotalen och entalen. Denna metod benämns enligt Hedrén (2000) som 1010.
Uppgift 1: 9+14:
Elev L använde strategin 14+10-1. Elev G sa ”11 plus 9 är 20 och sedan har jag 3 till och då blir det 23”. Elev A, B, C, E och F valde att räkna ental och tiotal var för sig enligt mellanled. Elev D och J valde att räkna på fingrarna och räknade då från 14 och uppåt 9 steg. Elev K väljer samma metod, men utan att räkna på fingrarna. Elev I sa ”9 plus 4 är 14 och så lägger jag till 10”.
Använda strategier och metoder är: Runda tal (metoden N10), tjugokamrater, metoden 1010, räkna från största termen vid fingerräkning och uppräkning.
Läraren trodde att eleverna som hon anser har god taluppfattning (Elev A, B, C, E, F och L som vi väljer att kalla grupp 1) skulle kunna se att 9 är granne med 10 och därför räkna 14+10-1. Eleverna som inte har kommit så långt (Elev G och K som vi väljer att kalla grupp 2) skulle räkna ental och tiotal för sig (enligt metoden 1010), 10+9+4. Elev D (tillsammans med Elev I och J kallas grupp 3) skulle använda fingrarna.
Uppgift 2: 15-8:
Elev B visade prov på att ha automatiserat denna uträkning och kunde svaret direkt. Elev C, E, F, G, K och L kunde 8:ans uppdelning i 5 och 3. De minskade därför först 15 med 5 för att sedan ta bort de övriga 3 från 10. Elev G sa ”Om man tar bort 5 från båda och sedan 3 så blir det 7”. Elev A ser även 8:ans delbarhet men vet inte hur hon ska gå vidare. Elev D och I räknar baklänges på fingrarna. Elev I hamnar ändå fel i uträkningen. Elev J sa ”jag tog bort 8 från 15 och fick 11”.
Använda strategier och metoder är: Automatisering, uppdelning av tal, fast differens runda tal och ta bort med hjälp av fingrar.
Här trodde läraren att grupp 1 (se ovan) hade automatiserat uträkningen och därför skulle kunna se direkt vad svaret blir. Grupp 2 (se ovan) skulle räkna 15-5-3. Grupp 3 (se ovan) skulle återigen använda fingrarna.
13+77:
Elev A, B, C, E, F, G och L valde att beräkna antingen ental eller tiotal först, men var för sig. Elev K sa ”7 plus 3 är tiokompisar. Jag tar 3 till 77 så har jag 80 och så lägger jag till 10 så blir det 90”. Elev D och Elev J som inte använde sig av denna metod räknade uppåt på fingrarna med början på 77. Detta lyckades för Elev D. Elev I försökte enligt den första metoden, men kunde inte hålla siffrorna i minnet och blev erbjuden papper och penna. Eftersom hon inte hade automatiserat tiokamraterna så blev beräkningen ändå felaktig.
Använda strategier och metoder är: Metoden 1010, tiokamrater, runda tal (metoden N10) och räkna från största termen vid uppräkning med fingrar.
Läraren trodde enligt syftet med uppgiften att grupp 1 (se ovan) genast skulle se 10-kamraterna och räkna samman de olika tiotalen. Grupp 2 (se ovan) trodde hon skulle räkna 77+10+3. Grupp 3 (se ovan) har läraren inget förslag för och tror att uppgiften är svår för dem.
25+16:
Den metoden som Elev A, B, C, E, F, K och L använde var, återigen, att beräkna ental och tiotal var för sig. Elev G började med att dela 16 i 5+1+10. Han sa ”Jag tar 25 plus 5 plus 1 och får 31 och sen plus 10 så blir det 41”. Elev D räknade på fingrarna igen. Elev J som tidigare räknade på fingrarna fick nu, efter egen önskan, använda ett hundra-band. Elev I fortsätter med hjälp av papper och penna. Hon beräknar 2+1=3 men saknar förståelsen för att dessa är tiotal. Hon fortsätter med 5+6=11 och hennes slutgiltiga svar är 11+3=14.
Använda strategier och metoder är: Metoden 1010, runda tal (metoden N10), räkna från största termen vid uppräkning med fingrar och beräkningar med hjälpmedel.
Läraren trodde att grupp 1 (se ovan) skulle växla 5+6 i huvudet till ett tiotal och ett ental och därefter lägga till de övriga tiotalen. Hon trodde att grupp 2 (se ovan) skulle räkna 25+10+6 och grupp 3 (se ovan) skulle behöva hjälp av fingrarna och räkna upp från 25. Även på denna uppgift har läraren inget lösningsförslag för kategori 3.
35-16:
Denna uppgift löste endast Elev A och G genom att beräkna ental och tiotal var för sig innehållande ett negativt tal. Elev B, E och K utförde beräkningen 35-10=25, 25-6=19. Elev L är ensam om sin metod som är 35-6=29, 29-10=19. Elev C klarar inte att lösa uppgiften. Hon räknar 10=20, 6+5=11 och avslutar med 20-11=19. Elev F räknar 30-10=20, 6-5=1 och till sist 20+1=21. Elev A räknar som Elev F men förstår att 5-6=-1 och tar bort den från 20. Elev I uttrycker ”så här svåra uppgifter kan inte jag” och hoppar över uppgiften. Elev D räknar på sina fingrar men nedräkningen blir felaktig. Elev J använder sitt hundraband och även hennes beräkning blir fel.
Använda strategier och metoder är: Metoden 1010, runda tal, ta bort med hjälp av fingerräkning och beräkning med hjälpmedel.
Läraren trodde att grupp 1 (se ovan) skulle räkna 35-6-10, grupp 2 (se ovan) skulle räkna 35-10-6 och grupp 3 (se ovan) skulle räkna med hjälp av fingrarna från 35 och nedåt.
41-38:
Endast Elev B och Elev E klarar att lösa uppgiften korrekt. Elev B började med att beräkna 40-30=10, 10-8=2 och avslutar med att lägga till 1. Elev E räknar 41-30=11, 11-8=3. Han berättar att han har räknat något liknande nyligen. Elev D använder fingrarna och räknar nedåt från 41 till 38. Fingrarna visar 3, men han svarar 38. Elev C, F, G, I och K försöker lösa uppgiften enligt metoden ental och tiotal var för sig. Elev I:s uträkning blir felaktig redan vid tiotalen. Slutgiltiga svaret får hon till 27 (40-30=20, 8-1=7). Elev F och Elev G räknar 40-30=10, 8-1=7, båda svarar 7. Elev C sa ”Jag tar 40 minus 30 som blir 10. Sen tar jag 8 plus 1 som är 9. 10 minus 9 blir 1”. Elev K räknar 40-30=10 och 10-8=2. Elev L räknar 41-30=21 och 21-8=13. Elev A börjar med att försöka lösa uppgiften med hjälp av fingrarna, men ger upp. Elev J använde ett hundraband till hjälp, men sa ”41 minus 38 går inte så det blir 0”.
Använda strategier och metoder är: Metoden 1010, runda tal, tidigare känd kunskap, ta bort med fingerräkning och beräkning med hjälpmedel.
Läraren trodde att grupp 1 (se ovan) direkt skulle se att talen ligger nära varandra och räkna upp från 38 till 41 eller från 38 till 40 och därefter 40 till 41 (2+1). Grupp 2 (se ovan) trodde hon skulle räkna ner från 41 till 38. Även på denna uppgift har läraren inget lösningsförslag till grupp 3 (se ovan).
Du har 31 kronor i din plånbok och handlar godis för 12 kronor. Hur mycket pengar har du kvar?
Elev C, Elev K och Elev L använder samma metod. Elev L sa ”30 blir 21 och sen tog jag bort 2 till så blir det 19”. Elev E och Elev G räknar 31-2=29 och 29-10=19. Elev D som tidigare har varit konsekvent med fingerräkningen väljer här att försöka dela upp 12 i 10+2. Han räknar först 31-10=21, men vet inte hur han ska fortsätta. Elev B däremot kan slutföra uträkningen genom att subtrahera 21 med 2. Elev I räknar tiotalen 3-1=2, men protesterar vid entalen och säger att 1-2 inte går alltså blir det 0. Hennes svar blir 20. Elev A räknar på samma sätt, men vänder på entalen och räknar 2-1=1.
Hon adderar 1:an till tiotalen och svaret blir 21. Elev F sa ”31 minus 10 är 20, sedan räknar jag ner till 19 och sen 18”. Elev J behöver både lotsning och hjälp av sitt hundra-band för att lösa uppgiften.
Använda strategier och metoder är: Runda tal (metoden N10), metoden 1010 och beräkning med hjälpmedel.
Läraren trodde att elevernas uppfattning om textuppgiften var att den skulle vara svår. Grupp 1 (se ovan) skulle räkna 31-10-2. Hon trodde inte att grupp 2 och 3 (se ovan) skulle klara av att ta ut talen och ställa upp dem för uträkning.
Det var ingen elev som använde sig av kontrollräkning vid någon av uppgifterna för att kontrollera om uträkningen var korrekt. Vi upplevde inte att eleverna reflekterade över rimligheten i deras svar.
5.3 Hur varierar eleverna sina strategier beroende på
uppgifterna?
För att få svar på denna fråga har vi analyserat resultaten och kategoriserat eleverna efter deras lösningsstrategier; kategori 1, kategori 2 och kategori 3. Våra kriterier för i vilken kategori eleverna skulle placeras i har varit hur strategierna är anpassade efter uppgiften, om strategierna är framgångsrika, effektiva samt ger mindre belastning på arbetsminnet.
Elev A Flicka Kategori 2 Elev B Pojke Kategori 1 Elev C Flicka Kategori 2 Elev D Pojke Kategori 3 Elev E Pojke Kategori 1 Elev F Flicka Kategori 2 Elev G Pojke Kategori 1 Elev I Flicka Kategori 3 Elev J Flicka Kategori 3 Elev K Pojke Kategori 1 Elev L Flicka Kategori 1
Kategori 1
Elev B har både additions- och subtraktionstabellerna automatiserade. I uppgiften 41-38 använder han inte den effektivaste strategin, men är ändå en av de få som kommer fram till rätt svar. Han började med att beräkna 40-30=10, 10-8=2 och avslutar med att lägga till 1. I två av subtraktionsuppgifterna använder han metoden runda tal. I tre av
uppgifterna använder han metoden 1010, vilket innebär att tiotal och ental räknas var för sig, eftersom dessa inte krävde så många deloperationer.
Elev E använder i mer än hälften av uppgifterna metoden N10, d.v.s. runda tal. Han kan dra paralleller mellan en tidigare erfarenhet och liknande uppgifter. I tre uppgifter (samma som Elev B) använder han metoden 1010. Vid upp t.o.m. enkla tresiffriga tal t.ex. 321+123 är metoden användbar men vid större tal ger den mer belastning på arbetsminnet och kräver då papper och penna t.ex. 547+965.
Elev G:s lösning visade prov på säkerhet genom att våga dela och flytta över för att få runda tal t.ex. i första uppgiften då han räknar med en tjugokamrat. Han använder sig av fyra metoder; ”öka här/minska där”, runda tal, N10 och 1010. Hans svaghet visas i uppgiften 41-38 där han missar att utföra den slutgiltiga beräkningen. Han räknar 40-30=10, 8-1=7. Han har inte riktigt kunskap om talens placering på tallinjen. I
textuppgiften väljer han den effektiva metoden N10, vilket innebär att man räknar med runda tal och hoppar i steg, som hade kunnat fungera i ovanstående uppgift. Varför han inte använde den i 41-38 tror vi beror på entalens storlek.
Elev K använde främst metoden N10, d.v.s. runda tal vid sina uträkningar. Vi anser att han är på god väg att utveckla sin förmåga att kunna anpassa beräkningsmetoden efter uppgifterna. Han är den enda av eleverna som nämner tiokamraterna och använder dessa vid en uträkning. Detta anser vi är effektivt och visar prov på säkerhet i
taluppfattning. Han är den av eleverna i kategori 1 som inte varierar sina strategier lika mycket. Uträkningarna är ändå effektiva och korrekta.
Elev L visar på kunskaper i additionstabellen och talgrannar. Hon använde metoderna: öka här/minska där, runda tal, och 1010. Elev L hade svårigheter med att förklara sina uträkningar, men vi kunde trots det lätt se hennes tankegångar. I uppgiften 41-38 har
hon en strategi som fungerar, men p.g.a. en felberäkning blir svaret felaktigt. Hon räknar 41-30=21 och 21-8=13.
Likheterna mellan eleverna i denna kategori är att de utförde uträkningarna relativt snabbt och korrekt. Deras taluppfattning är god enligt Löwings (2008) sammanfattning i litteraturdelen (se sidan 14). De har god minneskapacitet och kan hålla tal i minnet för att kunna förenkla uppgifterna och beräkna med runda tal. De har ingen genomgående strategi, utan kan anpassa sina strategier efter uppgifterna. De nya målen i kursplanen för år 3 i matematik anger den lägsta kunskapsnivån eleverna bör ha. Gemensamt för eleverna i denna grupp är att de har förmågan att välja olika lösningsstrategier. De uppfattar siffrans värde efter dess placering i talet. Eleverna i denna grupp löste
uppgifterna med hjälp av runda tal och visade på så sätt att de kan dela upp ett tal så att det blir anpassat till uppgiften. De visar stor förmåga att kunna räkna i huvudet med addition och subtraktion.
Kategori 2
Elev A använder genomgående att räkna tiotal och ental var för sig. I en av de första uppgifterna börjar hon med att dela upp ett tal men saknar förståelse för hur hon ska fortsätta uträkningen. Hon ser att det finns en effektivare metod men känner sig inte trygg med den och väljer sedan att använda metoden 1010 i de övriga uppgifterna. Det som gjort oss förbryllade är att hon i en uppgift visar att hon förstår att den
kommutativa lagen endast går att tillämpa vid addition men trots det så använder hon den i den följande subtraktionsuppgiften, 5-6=-1 och 1-8=8-1.
Elev C använder metoderna runda tal och metoden 1010. Hon är ganska snabb men har en stor osäkerhet på den egna förmågan och ville ha bekräftelse på om hennes svar var korrekta. Vi upplever det som att Elev C inte förstod hur hon skulle hantera entalen i subtraktionen 35-16 och därför blev det en addition mellan dessa. Entalen som hon fick till 11 subtraheras från 20 och svaret blir 19. Vi blev väldigt konfunderade eftersom det slutgiltiga svaret är rätt men uträkningen felaktig. Vi tolkar att detta är ett slarvfel då hon på ett bra sätt kunde utföra subtraktionen 15-8. Felet uppstod när hon adderade entalen istället för att subtrahera. Detta visar hon i ytterligare en subtraktionsuppgift. I textuppgiften med subtraktion gör hon däremot inte detta fel utan löser den korrekt, 31-10-2=19.
Elev F verkar ha problem gällande den kommutativa lagen. Hon tror att den
kommutativa lagen för addition är tillämpningsbar vid subtraktion. I de subtraktions-uppgifter där entalens minuend är mindre än subtrahenden väljer hon att byta plats på dessa, 35-16 räknar hon 30-10=20, 6-5=1. Hon utför uträkningar främst genom att beräkna tiotal och ental var för sig enligt metoden 1010.
Likheterna mellan eleverna i denna kategori är att de var relativt framgångsrika i sina beräkningsmetoder. Vi upplevde att eleverna behövde längre tid på sig för att utföra beräkningarna. Elev A, C och F använder metoden 1010 på största delen av uppgifterna, alltså att räkna tiotal och ental var för sig. Alla i denna grupp har goda kunskaper om positionssystemet och uppdelning av tal. Vi anser att alla i denna grupp kan addera och subtrahera med hjälp av en skriftlig räknemetod eftersom de använder metoden 1010 vid huvudräkning. Det intressanta är att de tre eleverna som använder sig till största del av denna metod är samtliga flickor och det skulle kunna knytas till Van den Heuvel-Panhuizen (2006) som menade att flickor är mer benägna att använda algoritmer (sidan 13). Vi har sett att den kommutativa lagen för addition tillämpas även vid subtraktion vilket ställer till med problem.
Kategori 3
Elev D, tror vi, på grund av brist på strategi, valde att använda fingrarna. Trots våra tals storlek räknar han ändå på fingrarna. Trots den konsekventa användningen av finger-räkning väljer han att i textuppgiften prova en annan metod. Han fastnar halvvägs i uträkningen och går då tillbaka till fingerräkning och räknar om. Det som är intressant att diskutera är om bytet av strategi är p.g.a. att uppgiften är en textuppgift med vardagsanknytning.
Elev I försöker enligt metoden 1010 på de flesta uppgifter men uträkningarna blir alla felaktiga. Metoden 1010, där man räknar tiotal och ental var för sig, kräver förståelse för positionssystemet vilket Elev I alltså inte visar. Hon har liten kunskap om additions- och subtraktionstabellerna eftersom beräkningen 7+3 enligt henne blir 9. Hennes
uträkningar tog väldigt lång tid och vid uppgift 13+77 blir hon erbjuden papper och penna då hon verkar ha svårt att komma ihåg delmomenten i huvudet. På flera uppgifter behöver hon räkna om och vi ser redan på de första uppgifterna att svaren blir felaktiga.
På en uppgift använder hon fingerräkning och räknar baklänges från minuenden men utan framgång.
Elev J använde fingerräkning i de tre första uppgifterna. I resterande behövde hon ta hjälp av ett hundraband. Trots hundrabandet blir uträkningen 41-38 fel. Uträkningarna tog lång tid och vid fingerräkningen var hon osäker på om hennes svar var rätt. När hon istället fick räkna med hundrabandet svarar hon mer säkert. Hennes användning av hundrabandet innebär uppräkning/nedräkning av talen. I additionen 25+16 lägger hon först upp 25 pärlor och räknar därefter till 16 pärlor en efter en.
Likheterna mellan eleverna i denna kategori är att de alla behöver hjälpmedel vid uträkningarna. De hjälpmedel vi syftar på i detta fall är hundraband, fingerräkning och papper och penna. Dessa elever har ingen variation på olika lösningsstrategier.
Användningen av hjälpmedel gör att deras uträkningar tar lång tid. Vi misstänker att alla tre har begränsad minneskapacitet och avsaknad av metoder för hur de ska behandla tal i huvudet. På flera av uppgifterna var dessa elever tvungna att räkna om uppgifterna eftersom att delmomenten glömdes bort. I vår litteraturdel har vi behandlat begreppet taluppfattning och vilka kriterier som krävs för en grundläggande taluppfattning. Jämfört med detta kan vi se att dessa tre elever inte uppfyller dessa än. De visar liten kunskap om additions- och subtraktionstabellerna som innehåller tiokamraterna, talgrannarna och grannars grannar.
5.4 Vilka uppgifter ställer till med problem för eleverna och
varför?
Alla våra uppgifter innehåller tiotalsövergångar och i subtraktionsuppgifterna blev detta svårt för flera elever att hantera. Uppgifterna har många delmoment som gör att det kan bli svårt för en del elever att hantera alla tal och delmoment i huvudet. Flera av våra elever använde den kommutativa lagen vid beräkning av subtraktionsuppgifter. Framför allt i uppgiften 41-38 visade det sig att eleverna inte hade kunskap om tallinjen och kunde se att talen ligger nära varandra. Då hade de sett att de lättast kunnat räkna addition med metoden komplettering som innebär uppräkning alternativt nedräkning
stegvis. I uppgiften 41-38 visar två elever tydligt att de inte behärskar den kommutativa lagen. Både Elev F och G vänder på beräkningen 1-8, räknar 8-1 och svarar 7.
6. Diskussion
Grunden för huvudräkning är en god taluppfattning. Eleverna bör finna bra strukturer för sitt tänkande och lämpliga strategier som de känner sig trygga med. Arbetet gick ut på att kartlägga deras tankemetoder och strategier vid sju olika huvudräkningsuppgifter. Vi gör här en sammanfattning av svaren utifrån våra frågeställningar:
1. Vilka olika strategier använder eleverna för att lösa några huvudräkningsuppgifter i talområdet 0-100?
Eleverna använde metoderna runda tal (N10), metoden 1010, uppräkning genom att räkna från största termen, ta bort, tidigare känd kunskap och beräkning med hjälpmedel (se sidan 16 och framåt).
2. Hur varierar eleverna sina strategier beroende på uppgiften?
Vi delade in eleverna i tre kategorier. Kategori 1 kan anpassa strategin efter uppgiften. De har förmågan att kunna välja olika lösningsstrategier. Kategori 2 använder en
strategi i de flesta uppgifter. Denna är metoden 1010, alltså att räkna ental och tiotal var för sig. I ett fåtal uppgifter använder någon ta bort och runda tal, N10 (Hedrén, 2000). Kategori 3 använde hjälpmedel till alla uppgifter. En av eleverna försökte med metoden 1010 (Hedrén, 2000), men utan framgång.
3. Vilka uppgifter ställer till med problem för eleverna och varför?
I litteraturdelen har vi skrivit om att subtraktion och tiotalsövergångar är svårt för eleverna (se sidan 15 och framåt). Vårt resultat har visat just detta.
4. Vilka strategier förväntar sig läraren att eleverna använder och överensstämmer dessa med elevernas använda strategier?
Hon förväntar sig att de använder, runda tal (N10), metoden 1010, uppräkning,
kategori 3 stämde hennes förväntningar överens med vårt resultat. För de övriga två kategorierna överensstämmer endast tre elever med vårt resultat.
6.1 Diskussion av elevresultat
Vi har valt att presentera och diskutera forskningsfrågorna 1 och 4 tillsammans och resterande var för sig. Detta enligt resultatdelen.
6.1.1 Vilka strategier använder eleverna för att lösa några
huvudräkningsuppgifter samt vilka strategier förväntar sig läraren att eleverna använt?
Vår kategorisering av eleverna efter strategier stämmer inte riktigt överens med lärarens uppfattning om vissa elever. Vi är helt överens om eleverna i kategori 3. De elever vi placerade annorlunda var: A, C, F, G och K. Eleverna A, C och F är relativt
konsekventa i sitt val av metod som inte alltid är framgångsrika därför placerade vi dem i kategori 2. Elev G däremot har variation på strategier som är effektiva och placerades i kategori 1. Elev K använde i stort sett samma metod men framgångsrikt och hanterade uppgifterna relativt effektivt och placerades i kategori 1. Framför allt eleverna i kategori 1 visade en variation på strategier som läraren inte hade förutsett. Läraren gav endast ett uträkningsförslag, en tänkbar strategi, vardera för grupp 1 och 2 och vår undersökning visar att det fanns fler strategier hos eleverna än vad hon hade förväntat sig. Vår kategorisering baseras enbart på våra resultat och läraren baserar sin uppfattning på lektioner, matematikböcker, laborationer m.m. För att man som lärare ska kunna ta reda på exakt hur elevernas tankeformer ser ut rekommenderar Hedrén (2001) att man gör intervjuer med eleverna. Vi ser detta tydligt i framför allt Elev G som visade sig ha många effektiva strategier som kanske undgått läraren. Vid intervjuer kan man upptäcka var elevernas tankegångar går snett och hjälpa dem vidare.
6.1.2 Hur varierar eleverna sina strategier beroende på uppgifterna?
Eleverna som har behövt hjälpmedel vid uträkningarna visar att de inte har några tanke-former om hur uppgifterna kan lösas. Vår teori om varför Elev J inte har släppt sitt hundraband är att hennes tilltro till den egna förmågan inte är tillräckligt stor och
taluppfattningen är bristande. Vi tror inte att hon är på väg att släppa varken finger-räkning eller hundraband eftersom att hon inte gjorde någon utfinger-räkning av våra uppgifter utan dessa. Elev I har liknande problem men använder inte hundraband. Elev D som använde fingrarna som hjälpmedel till alla uppgifter. Han kan ha begränsat arbetsminne som gör att han behöver fingrarna och dessa blir då hans trygghet. Löwing (2003) skriver att när talområdet blir större får elever som räknar med hjälp av fingrar eller föremål problem. Elever i år 3 borde inte behöva ta hjälp av fingrarna vid uträkning av uppgifter som våra utan bör ha redskapen för att kunna välja en effektiv strategi de känner sig trygga med och kan tillämpa. Baserat på vår undersökning tolkar vi att eleverna i kategori 3 kommer att ha svårt att uppfylla målen för år 3 i matematik. Dessa tre elever behärskar inte talraden varken framåt eller bakåt. De har svårigheter med tiotals- och hundratalsövergångar och behärskar inte tiokamraterna. De visar däremot prov på att kunna dela upp tal, t.ex. 8 i 5 och 3. Detta stämmer bra överens med vad läraren sagt att de har tränat på. Eleverna valde många gånger att räkna från största termen när de gjorde sina uppräkningar vid addition. Detta kan vara ett tecken på att de har kunskaper om den kommutativa lagen men det kan även vara så att de lärt sig metoden räkna från största termen (se sidan 17). Elev D och J räknade med hjälpmedel vid alla subtraktionsuppgifter och därför kunde vi inte se om de hade försökt tillämpa den kommutativa lagen. Elev I vände på uträkningen 1-8 och räknade istället 8-1 vilket visar att hon inte har förståelse för att den kommutativa lagen inte går att tillämpa vid subtraktion.
Vår kategori 2 består av tre flickor som använder sig av i stort sett en och samma metod. Vi upplevde att dessa elever fokuserade mer på metoden än på själva uppgiften. Malmer (1999) skriver att osäkra elever gärna binder upp sig vid en viss strategi. Att det är tre flickor kan vara en tillfällighet men som Van den Heuvel-Panhuizen (2006) skriver i sin artikel så har flickor mer benägenhet att hålla sig till algoritmer. Hon konstaterar att pojkar presterar bättre än flickor vilket kan förklara varför vår kategori 1 består av 4 pojkar och 1 flicka. Flickorna i kategori 2 behöver bygga upp en förståelse för
räknelagarna och att kunna dela upp tal på olika sätt. Får de bättre förståelse för hur man kan dela upp tal på olika sätt kan de också se att det finns lättare tal att räkna med, t.ex.
runda tal (se sidan 16), vid framför allt subtraktion. Även dessa elever behöver bygga
6.1.3 Vilka uppgifter ställer till med problem för eleverna och varför?
För att eleverna ska kunna hantera subtraktionsuppgifter i huvudet bör de delges en mängd tankeformer om olika tillvägagångssätt i subtraktion (Kilborn 1991). Lärarens mål är att eleverna lär sig att avgöra vilken strategi som passar bäst till vilken uppgift och hon anser att hon presenterar olika metoder för eleverna så att de kan välja den strategi som passar dem bäst. Vi ser utifrån våra resultat att många av eleverna inte har tagit till sig tillräckligt många strategier för att lösa våra uppgifter effektivt.
6.2 Tankar om undersökningen
Vi tyckte att det var anmärkningsvärt att ingen av eleverna använde kontrollräkning på någon av uppgifterna. Detta kan ha att göra med att eleverna inte ser sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion. Eleverna verkade heller inte kunna uppskatta om det fanns någon rimlighet i deras svar och att de kunde använda överslagsräkning för att se denna rimlighet. Enligt Malmer (1991) bör eleverna träna sina färdigheter i
överslagsräkning för att kunna bedöma svarets rimlighet. Något annat som vi finner intressant är att de flesta av eleverna inte har automatiserat någon av additions- och subtraktionstabellerna. Löwing & Kilborn (2003) nämner som vi skrivit i litteraturdelen att tabellerna bör vara automatiserade för att eleverna ska spara arbetsminnet från minneskrävande deloperationer. Johansson m.fl. (1983) anser att subtraktionstabellen bör vara automatiserad för att underlätta vid räkning med växling i tiotalsövergång.
Vår undersökning har visat samma resultat som Unenges (1982) och Hedréns (2001). Vi har alla kommit fram till att tiotalsövergång vid subtraktion är problematisk för eleverna. Intressant är att resultatet visar samma problem 1982, 2001 och 2008. Detta kan vi inte generalisera utan gäller enbart för den klass som vi har undersökt.
I dagens samhälle har flertalet elever tillgång till mobiltelefoner, datorer m.m. De har större möjlighet att utföra beräkningar med hjälp av tekniska hjälpmedel vilket ställer större krav på elevernas förmåga att kunna genomföra överslagsräkning och se rimligheten med svaret. Det ställer även större krav på elevernas förmåga att välja
