FMCW-radar för mätning och beräkning av målbana

Full text

(1)2000:181. EXAMENSARBETE. FMCW-radar för mätning och beräkning av målbana. Rahman Aljasmi. Civilingenjörsprogrammet Institutionen för Systemteknik Avdelningen för Signalbehandling. 2000:181 • ISSN: 1402-1617 • ISRN: LTU-EX--00/181--SE.

(2) FMCW-radar för mätning och beräkning av målbana. V. z dR/dt. t = t0. Målbana. R0 Sensor. y. x. Rahman Aljasmi.

(3) Abstract In this work we study the use of ”Frequency-Modulated Continuous Wave radar” (FMCWradar) for measuring range and radial velocity of a target. We also study a sequence of measured range and velocity values in order to estimate the path parameters of a target. We perform a two-dimensional Fourier transform on the radar data. The position of the maximum of the absolute value of the transformed data plane gives a coarse approximation of the radial range and the radial velocity. We then use the periodogrammethod to refine the estimates of the range and radial velocity. To estimate the target-path we use the least square method in two steps. The studied radar system and the selected waveform parameters indicate the accuracy of 1 cm and 2 cm/s for range and radial velocity, respectively, which gives a good accuracy for the target-path parameters..

(4) Sammanfattning I detta arbete studeras möjligheterna att använda s.k. "Frequency-Modulated Continuous Wave radar" (FMCW-radar) för att mäta avstånd och radiell hastighet till ett mål. Vidare undersöks möjligheten att använda en följd av sådana mätdata för att skatta banparametrar för ett mål. Vi utför en två-dimensionell Fouriertransform på radardata. Genom att söka upp maximala värdet av transformerade datas absolutvärden erhåller vi en grov skattning av avstånd och radiell hastighet. Därefter används periodogrammetoden för att få en förfinad skattning. För att skatta banparametrar utnyttjar vi minsta kvadratmetoden i ett tvåstegs förfarande. För den här studerade vågformen och valda radar- och vågformsparametrar fås en mätnoggrannhet av storleksordningen 1cm och 2 cm/s för avstånd respektive radiell hastighet vilket ger en tillräcklig noggranhet på banparametrarna..

(5) Innehållsförteckning. 1. Inledning.............................................................................................................................. 1. 2. Ballistisk banmodell och mätgeometri ................................................................................ 3. 3. Radarmetod och vågform .................................................................................................... 4. 4. Signalbehandling ................................................................................................................. 6 4.1. Vågform ....................................................................................................................................6. 4.2. Mottagen signal och sampling...................................................................................................7. 4.3. 2-dimensionell spektralskattning...............................................................................................9. 4.4. Skattning av avstånd och radiell hastighet ..............................................................................11. 4.5. Numerisk kontroll ...................................................................................................................12. 5. Skattning av banparametrar ............................................................................................... 14. 6. Simuleringar ...................................................................................................................... 15. 7. Resultat och diskussion ..................................................................................................... 16. 8. Referenser.......................................................................................................................... 17.

(6) 1. Inledning. I detta arbete studeras möjligheterna att använda s.k. ”Frequency-Modulated Continuous Radar” (FMCW-radar) för att mäta ett måls avstånd och radiella hastighet. Vidare undersöks möjligheten att använda en begränsad följd av sådana mätdata för att skatta banparametrar för ett mål. I vårt fall antas att målet går på en rätlinjig bana med konstant hastighet under observationstiden. FMCW-radar, till skillnad från pulsradar [1] sänder en kontinuerlig signal, som frekvensmoduleras. I denna studie är frekvensen sågtandsmodulerad med en bärfrekvens på 60GHz [4]. En fullständig banbeskrivning av ett mål som går i en rätlinjig bana med konstant hastighet innehåller sex parametrar i kartesiska koordinater, position och hastighet i tre dimensioner: R0 = [R0x, R0y, R0z] och ν = [ν0x, ν0y, ν0z]. I vårt fall begränsar vi oss till att skatta tre banparametrar relaterade till ett enda radarsystem. Dessa parametrar är hastighet, avstånd och tidpunkten då målet passerar origo (radarsystemet).. 3m. 3m. 8m. Fig.1.1 Typiskt dimension för en stridvagn. I föreliggande studie antas radarsystemet vara placerat på en stridvagn för att bestämma banparametrar för projektiler och robotar som antingen kan träffa eller passera stridvagnen på nära håll. En sensor behöver därför kunna skilja mellan en klar miss och en hotande träff. För en hotande träff måste banbestämningen dessutom göras med stor noggranhet, så att en effektiv bekämpning av hotet kan genomföras. En stridvagn (se Fig.1.1) har typiska dimensioner på 8*3*3 m (längd * bredd * höjd) vilket betyder att det är tillräckligt om den noggranna banbestämningen utförs för passageavstånd mindre än ca 10 m. Ett radarsystem som utnyttjar en periodisk vågform har ett största mätavstånd, Rmax, som kan tolkas entydigt [7]. På samma sätt ger vågform och bärfrekvens en största entydig hastighet [7]. I vårt fall utnyttjar vi en FMCW-vågform med linjärt frekvenssvep som upprepas i ett sågtandsmönster där entydigt mätbara avstånd ligger i intervallet 0 ≤ R < 75 m och motsvarande hastighet i –2500 < ν < 2500 m/s. För att studera signalbehandlingen i radarsystemet simuleras den reflekterade signalen i ett frirymdsfall utan reflexer från omgivningen. Den mottagna och nedblandade signalen samplas innan den digital signalbehandlingen sker. Samplade data ordnas i två dimensioner efter sampelnummer under aktuellt svep samt svepnumret. Därefter Fouriertransformeras data med en 2-dimensionell "Fast Fourier transform".. 1.

(7) Spektraltoppens läge ger information om avstånd i ena dimension och radiell hastighet i den andra dimensionen. Ett i radarsystemet synligt mål kommer att ge upphov till två toppar i spektraldata. Vi utnyttjar den starkaste spektraltoppen för att skatta avstånd och radiell hastighet. En första grov skattning erhåller vi direkt ur spektraltoppens läge i FFT-data varefter en förfinad skattning görs mha periodogrammetoden. Den noggrannhet som eftersträvas vid vår banbestämning vid hotande träff ges i [4]. Där anges bl. a. standardavvikelsen för avstånds och hastighetsfel till σr = 5 cm respektive σv = 4 cm/s. Dessa värden är dock starkt knutna till en aktuell tillämpnings mätgeometriska förutsättningar varför kraven skall ses som ett exempel.. 2.

(8) 2. Ballistisk banmodell och mätgeometri. Vi betraktar en fix sensor som enbart kan observera ett måls avstånd och radiell hastighet. Vi antar att sensorn mäter föremål som rör sig med konstant hastighet och kurs. En målbana relativt sensorn kan då beskrivas med tre parametrar, se Fig.2.1. Vi har valt parametrarna passageavstånd R0 (minsta avstånd mellan mål och sensor), passagetidpunkt t0, och målets hastighet ν. ν. z t =t0. dR/dt. Mål. Målbana R. R0 Sensor. y. x Fig 2.1: Mätgeometri för mätbana. Detta val av parametrar ger följande uttryck för avstånd och radiell hastighet map tiden. R (t) =. R 0 2 + ν 2 (t − t 0 ) 2. (2.1). . ν 2 (t − t 0 ) dR ( t ) = R (t) = dt R (t). Det är dessa tre banparametrar R0, ν, och t0 som vi vill skatta, och för att denna skattning ska ha hög noggrannhet krävs i sin tur att bakomliggande mätningar av avstånd och radiell hastighet också har hög noggrannhet.. 3.

(9) 3. Radarmetod och vågform. För att mäta in målbanan studeras i detta arbete FMCW-radar med gemensam antenn för sändning och mottagning. En fördel med CW-vågformen är att den utsända signalen kan ha låg toppeffekt. Nedan visas en enkel skiss på en FMCW-radar . Antenn. Cirkulator. Blandare. Mottagare Signalbehandlare. Källa. Fig.3.1 Enkel skiss på FMCW-radar Ett CW-system med gemensam antenn (se Fig.3.1) kan medföra problem vid mottagning genom att sändaren läcker direkt till mottagaren via antennen. En läckande direktsignal på ingången uppträder som ett mycket starkt stillastående mål (ν = 0) på mycket kort avstånd ( ≈ 0 ). Läcksignalen förhindrar mottagarens normala funktion om den är större än mottagarens dynamikområde. I tillämpningar med kort räckvidd ( 0.5 km) är dock praktiska mottagarprestanda tillräckligt bra för att vi skall kunna bemästra problemet. Dessa aspekter behandlas dock ej här, utan vi antar att ingen läcksignal förekommer. Vi vill nu studera den mottagna signalens beroende av ett måls avstånd och radiella hastighet. Fig.3.2 visar frekvensen för utsänd och mottagen signal som funktion av tiden för en sågtandad vågform. Den mottagna signalen blandas med utsänd signal varvid vi tillvaratar den blandade signalen på skillnadsfrekvensen. Under periodtiden Tm erhålls skillnadsfrekvensen, fb (beat frequency), som beror på fördröjningstiden τ, vilket visas i Fig 3.2.. Fig.3.2 Sänd och mottagen frekvens, med modulationstid (svepstid) Tm och fördröjningstid τ.. 4.

(10) Från Fig.3.2, ser vi att bandbredden B och modulations tiden Tm bildar en triangel, och på samma sätt bildar skillnadsfrekvensen fb och fördröjningstiden τ en annan triangel. Relationerna mellan bandbredd, modulationstid, skillnadsfrekvens och fördröjningstid ger den s.k. FMCW-ekvationen [9] enligt fb + fd B = τ Tm. där. 2R τ = c. (3.1). .. 2R fd = λ. är signalens tidsfördröjning och. är signalens dopplerfrekvens (pga. målets rörelse), jämför [7]. Vi studerar även villkor för upplösning i avstånd och hastighet. Upplösning i avstånd ges av [7] ∆R =. c 2⋅B. (3.2). där c är ljushastighet i vakuum = 3.0*108 m/s. Upplösningen i radiell hastighet ges av. .. ∆R =. λ c = 2 ⋅ Tobs 2 ⋅ Tobs ⋅ f c. (3.3). där λ är våglängden, Tobs är observationstiden och fc är bärfrekvensen. I denna studie begränsar vi observationstiden (koherent signalbehandlingsintervall) så att målets rörelse blir mindre än upplösningen i avstånd, vilket leder till följande olikhet Tobs <. ∆R. (3.4). .. R max. .. där Rmax är maximal radiell hastighet. Vi kan därmed skriva upplösningen i hastighet på följande sätt. .. ∆R =. c 2 ⋅ Tobs ⋅ f c. > 2. c ∆R. .. (3.5) fc. R max. som leder till följande villkor för produkten av upplösningarna i avstånd och hastighet. .. ∆ R ⋅ ∆R >. c . λ . R max = R max 2f c 2. (3.6). Ekvation 3.6 används för att välja rätt parameter för estimering av signalen med önskad upplösning i avstånd och radiell hastighet.. 5.

(11) 4. Signalbehandling. Den mottagna signalen som är fördröjd i tiden, dämpad av atomosfären och innehåller brus blandas ned till basbandet med utsänd signal (homodyn nedblandning). Signalen samplas med frekvensen 2*B (där B är signalens bandbredd). För att erhålla ett enstaka par av mätvärden (avstånd och radiell hastighet) under ett observationsintervall Fourier- transformeras signalen 2-dimensionellt. Ena dimensionen består av antalet sampel under en period (ett svep) och andra dimensionen av antalet perioder under observationstiden. Positionen för absolutvärdet av spektraldata tolkas som radiell hastighet och avstånd. Denna skattning kan ge fel på upp till halva upplösningen i avstånd respektive radiell hastighet. Därför förfinas beräkningen av spektralläget och sedan löses två ekvationer för att också förfina beräkningen av radiell hastighet och avstånd från spektralläget. 4.1. Vågform. I detta arbete studeras radar vid höga mikrovågsfrekvenser, med en bandbredd mellan 10500MHz, en periodtid Tm mindre än 1 µs och en total mättid mindre än ca 1 ms för en enstaka observation. Den transmitterade FMCW-signalen beskrivs i det komplexa talplanet som följande: s ( t ) = P ⋅ A( t )e j2 π φ( t n ) t n  t n  B 2 B φ( t n ) = (f c − ) t n + tn  Tm 2  nTm ≤ t < (n + 1)Tm t n = t − nTm n ∈ { 0, 1, 2, 3, L }.. (4.1-1). Enveloppen på signalen. A(t), väljs normerad dvs Tm 2 ∫ A ( t ) dt = 1 . 0. (4.1-2). där beteckningen och exempel på signalparametrar ges i Tabell 4.1-1. Beteckning. Förklaring. st(tn) fc B Tm n. periodiskt utsänd signal bärfrekvens frekvenssvepets bandbredd periodtid antal perioder/observation. Exampel på värde. 60 GHz 128 MHz 0.5 µs 100. Tabell 4.1-1. 6.

(12) För en vågform med parametrar enligt Tabell 4.1-1 erhålls mätegenskaper enligt Tabell 4.1-2, där entydigt mätintervall för avstånd, R, och radiell hastighet, R& , ges enligt [8] c  R max = Tm 2  0 ≤ R < R max . (4.1-4). . c R min, max = m 4f c Tm  . . . R min < R < R max. (4.1-5). Beteckning. Förklaring. Rmax ∆R. entydigt mätavstånd upplösning i avstånd. R max, min. entydig radiell hastighet. ∆R. upplösning i radiell hastighet. .. .. Exempel på värde 75 m 1.2 m ± 2500 m/s 50 m/s. Tabell 4.1-2 Erforderlig noggrannhet i bandata (5 cm resp. 4 cm/s enligt sektion 1) nås genom att dels utnyttja ett stort antal mätdata för banbestämningen, dels skatta läget inom upplösningsintervallen. Standardavvikelsen i mätdata ges approximativt av [8] σ=. M0. (4.2-3). 2⋅S/ N. där M0 är upplösningen i avstånd för avståndsskattning eller i radiell hastighet för radiell hastighetsskattning och S/N är signal-brus förhållandet. Ekvation 3.6 kan används för att kontrollera att vår simulerade signalbehandling ger rimliga fel avseende mätdata. 4.2. Mottagen signal och sampling. Det från målet reflekterade och mottagna EM-fältets effekt bestäms av radarekvationen, se [7, 8]. Vid beräkningen av den mottagna signalen antar vi att den mottagna signalen från ett mål vid mottagningstidpunkten (t) kommer från målets position vid samma tidpunkt, dvs R(t) = R(t-ε), där ε < εmax = Rmax/c. Den mottagna medeleffekten ges av [7, 8] _. P r (t) =. Pt G ant 2 σλ2. (4.2-1). (4π)3 R (t ) 4 e 2 α R ( t ). _ P r ( t ) varierar långsamt över modulationstiden Tm = 2εmax. Den periodiska mottagna signalen är. 7.

(13) s r (t) =. _. P r ( t ) ⋅ A( t − τ) ⋅ e j2 π φ( t − τ) + ω( t ). (4.2-2). där ω(t) är komplexvärt additivt vitt Gaussist brus med spektraltätheten Pbrus = kTbrus [8], som främst erhålls från mottagaren. Denna brussignal definieras som ω( t ) =. Pbrus B ⋅ ( ξ + iη ) 2. (4.2-3). där beteckningarna ges i Tabell 4.2-1. Beteckning _ Pt Gant σ λ α k Tbrus. Förklaring. Exempel på värde. utsänd medeleffekt antennförstärkning [GtGr]1/2 t = "transmitter", r = "receiver" radarmålarea från idealt punktmål våglängd atmosfärsdämpning Boltzmanns konstant Radarsystemets systembrustemperatur. 14dB 1dm2 5 mm 16 dB/km 1.38 10-23 Ws/K 1000 K. Tabell 4.2-1 Den mottagna signalen, sr, blandas med utsänd signal till en lågfrekvent signal i basbandet. Denna lågfrekventa signal kommer att uppvisa två olika frekvenser under ett sveps periodtid. Frekvensen skiftar då utbredningstiden till och från mål uppnås, se Fig.4.1 och Fig.4.2 för en brusfri signal dvs ω(t) = 0. För att erhålla ett par av mätvärden, dvs ett avståndsvärde och ett hastighetsvärde, samplas mottagen signal med bandbredden, B med samplingsintervall 1/(2B) över en viss observationstid, jämför Tabell 4.1-1.. Fig.4.2-1 FMCW-frekvenser. Utsänd och mottagen frekvens för målavståndet 60 m.. Fig.4.2-2 LF-signal. Mottagen och nedblandad signal för målavståndet 60 m.. 8.

(14) 4.3. 2-dimensionell spektralskattning. En samplad följd av mätvärden för ett mål under observationstiden Tobs, beror av tre frekvenser fb, B-fb och fd. Den låga frekvensen fd ger en fasförskjutning mellan på varandra följande svep. Genom att lägga upp mätdata med perioden Tm och arrangera dessa i två dimensioner kommer mätdatas frekvenser att i ena dimensionen vara fb och B-fb och i den andra fd. Fouriertransformeras mätdata i två dimensioner erhålls därmed två spektraltoppar i positionerna .(fb, fd ) och ( B- fb, fd ). Vi betraktar den nedblandade signalen s mix = s r (t n ) ⋅ s t (t n )* = =. _ _. P r P t A m ( t n − τ)e − j2 π φr ( t n ) ⋅ A t ( t n ) * e j2 π φ t ( t n ) =. = Χ( t n )e − j2 π φr ( t n ) ⋅ e j2 π φ t ( t n ). (4.3-1) där nT m ≤ t < ( n + 1) T m n ∈ { 1, 2 , 3 L  t n = t − nT m   φ ( t ) =  f − B  ( t − τ ) + B ( t − τ ) 2 c n n  r n 2 Tm   B B   2 φ t ( t n ) =  f c − 2  ( t n ) + T ( t n )   m   B B B 2  2t n τ − τ  φ mix ( t n ) = φ t ( t n ) − φ r ( t n ) =  f c −  τ + 2 T T   m m . }. där asterisken betecknar komplexkonjugat. Den nedblandade signalens fasfunktion för ett mål som ligger på ett avstånd R och har en radiell hastighet R& , kan approximativt skrivas som .. s mix ≈ e. j2 π(. B 2R 2f c R tn ) nTm ) j2 π( Tm c c . e. (4.3-2). Skillnadsfrekvens. Det betyder att information om avstånd och radiell hastighet för ett föremål kan fås med 2dimensionell Fouriertransform av den nedblandade signalen se Fig.4.3-1.. FFT-1. Hastighet Avstånd. FFT-1 FFT-1 FFT-1. Fig.4.3-1 Dataflöde vid föreslagen signalbehandling i FMCW-radar.. 9. *. *.

(15) Ett exempel på realdelen av samplade data ges i Fig.4.3-2.. Fig. 4.3-2 2-diminsionell mätdata. Realdelen av brusfria samplade data under en observation omfattande 100 svep med 128 sampel/svep.. Fig. 4.3-3 10-logaritmen av absolutvärdena av FFT för data enligt Fig.4.3-2. Data avser ett mål med en närmandehasighet på ca. 2000 m/s på avståndet 60 m. Den högsta och samtidigt smalaste toppen syns till höger.. I detta arbete antas att den reflekterade signalen kommer endast från ett mål. Målsignalen kommer i allmänhet att uppträda som en starkare och en svagare topp i transformplanet. Då dessa spektralkomponenter påverkar varandra inbördes, fönstrar vi tidsdata så att endast en del av mätdata från varje period, Tm, utnyttjas. Vi väljer att utnyttja de tidsdata som bygger upp den starkaste spektraltoppen. Detta val görs med ledning av spektraltoppens läge som i ena dimensionen approximativt motsvarar avståndet eller målsignalens tidsfördröjning, jämför Fig.4.3-4. Utgående från de tidsdata som ger den starkare toppen i frekvensplanet, gör vi en noggrann skattning av den maximala spektraltoppens spektralläge se Fig.4.3-5. Härvid har vi provat metoder som 2-dimensionell interpolering [5], monopulsmetoden [4], "zero padding" i FFT [5] och periodogrammetoden [2]. De två första metoderna gav inte tillräckligt goda resultat,. Fig.4.3-4 Den del av tidsdata som ingår i förfinad skattning (den andra delen ersätts med nollor).. Fig.4.3-5 Principiellt exempel på spektraldata i en dimension med ett verkligt maximalläge mellan position nr:3 och nr:4.. 10.

(16) medan "zero padding" i FFT och periodogrammetoden i princip ger samma prestanda. Av de sistnämnda valde vi periodogrammetoden då vi fann den enklast att implementera. Periodogrammetoden kan i korthet beskrivas som följer: 1 M −1 N −1 Pˆper (f1 , f 2 ) = x[m, n ] e − j2 π[f1m + f 2 n ] MN m = 0 n = 0. ∑ ∑. 2. (4.3-1). Vi söker sedan ( f1, f2 ) för max( Pˆ per(f1, f2)). Bestämningen görs numeriskt varvid vi utnyttjar läget från föregående FFT som startvärde och anpassar intervallet för sökningen, som ett exempel se Fig.4.3-5, startvärdet är fålla ("FFT-bin") nr:4 och sökningen sker mellan fålla nr:3 och nr:5. 4.4. Skattning av avstånd och radiell hastighet. Skillnadsfrekvensen för ett enskilt svep under en periodtid beror väsentligen på avståndet (τ) medan hastigheten (fd) endast ändrar frekvensen motsvarande en bråkdel av avståndsupplösningen. Vi har ju valt en modulationstid för att få entydig hastighetsmätning i intervallet ±2500 m/s och entydig avståndsmätning i intervallet 0 till 75 m, se Tabell 4.1-2. Den mottagna signalens fasvinkel är fördröjd i tiden. Tidsfördröjningen τ ger information om målets avstånd och påverkar den mottagna signalens frekvens. När mottagen signal blandas med utsänd signal får vi en fasvinkel φ enligt följande: B 2 B B  2τt n − φ =  f c − τ + τ ≈ Tm 2 Tm  2f . 4B B Rt n 2τ t n = c R ⋅ nTm + ≈ fcτ + cTm Tm c. (4.4-1). Trots avvägningen vid valet av vågformens periodtid, Tm, och observationstid, Tobs, finns en viss koppling mellan avstånd och hastighet i frekvensdata. Vid en noggrannare uppskattning måste man därför lösa ut avstånd och hastighet ur ett ekvationssystem som härleds från den blandade signalens fasvinkel. Då målet befinner sig längre bort än halva avståndet för entydig mätning erhålls en utbredningstid större än svepets halva periodtid varför vi utnyttjar den tidiga delen av svepdata. För detta fall erhålls avstånd och hastighet enligt 2f c .  2B ˆ B − T c R − c R = f 1  m  − 2f c n R. = fˆ 2  c. (4.4-2). Vid korta avstånd, utnyttjas svepdata under sveptidens senare del. Vi erhåller i detta fall avstånd och hastighet enligt 2f c .  2B ˆ 2 B − T c R − c R = f 1  m  − 2f c n R. = fˆ 2  c. där beteckningar ges i Tabell 4.4-1. 11. (4.4-3).

(17) Beteckning. Förklaring. fc n fˆ1 fˆ 2. bärfrekvens 60 GHz antal perioder/observation skattad frekvens för spektrums maxposition i "avståndsled" skattad frekvens för spektrums maxposition i "hastighetsled". Tabell 4.4-1 4.5. Numerisk kontroll. För att undersöka hur stora numeriska fel vår uppskattning av spektraldata och efterföljande beräkning av avstånd och hastighet ger, studeras ett mätfall där ett mål går mot mätande radar med passageavståndet 1 m, dvs. med konstant närmandehastighet och linjärt varierande mätavstånd. Vidare undersöks data utan påfört mottagarbrus. Vi studerar mätdata för tre olika hastigheter vid sex olika avstånd enligt Tabell 4.5-1 Parameter. 1 Närmandehastighet 2241.79 m/s Mätavstånd 60, 50, 40, 30, 20, 10 m. Fall 2 1513.92 m/s 60, 50, 40, 30, 20, 10 m. 3 301.41 m/s 60, 50, 40, 30, 20, 10 m. Tabell 4.5-1 Parametrarna för den valda vågformen för denna kontroll ges enligt Tabell 4.5-2. Beteckning. Förklaring. fc B Tm n. bärfrekvens frekvenssvepets bandbredd periodtid antal perioder/observation. Värde 60 GHz 128 MHz 0.5 µs 100. Tabell 4.5-2 Beräknade avstånd och radiella hastigheter från signalens spektraldata jämförs med modellen för målet (se avsnitt 2 ) som funktion av observationstidens medeltid tm. Vi erhåller resultat enligt Fig.4.5-1 och Fig.4.5-2. Vi lägger märke till att vi har kvarstående numeriska fel vid uppskattningen av avstånd och hastighet. Dessa fel synes växa med ökande hastighet. Detta kan bero på att ekv.(4.4-2) och (4.4-3) bygger på en approximativ relation mellan frekvens och mätdata. En förklaring kan vara att avståndet varierar under observationstiden.. 12.

(18) Fig.4.5-1 Numeriska avståndsfel. Numeriska avståndsfel som funktion av avståndet för tre olika fall med passageavstånd 1m, enligt Tabell 4.51 och Tabell 4.5-2, skattat från brusfria signaler.. Fig.4.5-2 Numeriska hastighetsfel. Numeriska hastighetsfel som funktion av avståndet för tre olika fall med passageavstånd 1m, enligt Tabell 4.5-1 och Tabell 4.5-2 , skattat från brusfria signaler.. 13.

(19) 5. Skattning av banparametrar. För att skatta passageavstånd, passagetid och hastighet för ett föremål, behövs data om avstånd, radiell hastighet (se sektion 2) och observationstid. Banparametrarna är olinjärt beroende av mätdata. Vi väljer att skatta banparametrarna genom att lösa två linjära problem efter varandra med hjälp av minsta kvadratmetoden. Medelavstånd och radiell medelhastighet fås enligt R 0 2 + ν 2 (t m − t 0 ) 2. R (t m ) =. .. ν 2 (t m −. R (t m ) =. (5.1). t0). (5.2). R (t m ). där tm är medeltiden för observation. Vi har tre obekanta ( R0, ν, t0 ) som ska lösas från mätdata (avstånd, radiell hastighet). Vi multiplicerar ekv.(5.1) med ekv.(5.2) och erhålles en ekvation som enbart innehåller två parametrar, ν2 och ν2t0, som är linjärt beroende av resulterande mätdata. .. R (t m ) ⋅ R (t m ) = ν 2 (t m − t 0 ). (5.3). Ekv.(5.3) kan skrivas på matrisform. .    R ( t m1 ) ⋅ R ( t m1 )   t m1 .   t m2 R ( t m 2 ) ⋅ R ( t m 2 ) =     M M   t .  R ( t mn ) ⋅ R ( t mn )   mn. − 1  − 1 M   − 1.  ν2  ⋅ 2  ν ⋅ t 0 . (5.4). Ekv.(5.4) kan lösas med minsta kvadratmetoden. Vi erhåller därvid parametrarna ν och t0. Den återstående parametern, R0, löses ut ur ekv.(5.1) i kvadrat som skrivs på matrisform  R ( t m1 )    R ( t m 2 )  M    R ( t mn ) . 2. 1  1 =  M  1. ( t m1 − t 0 ) 2   ( t m2 − t 0 ) 2   M  ( t mn − t 0 ) 2 . R 2  ⋅  0  ν 2 . (5.5). Vi sätter in passagetid och hastighet från ekv.(5.4) och löser ut den återstående parametern R0 enligt minsta kvadratmetoden.. 14.

(20) 6. Simuleringar. Från ekvationerna (5.1) och (5.2) beräknas felfria medelvärden för avstånd och radiell hastighet. Dessa jämförs med skattade värden efter mottagning i en brusig mottagare och signalbehandling. Vi kan därefter studera vilket SNR som behövs för att mäta målets avstånd och radiella hastigheter med tillräcklig noggranhet för att skatta banans parametrar inom acceptabla felgränser. Fig.6.1 och 6.2 är ett exempel på skillnaden mellan ideala och från simuleringarna skattade mätdata. I denna mätning har vi en utsänd effekt på 50 W och signalen består av 1000 perioder (Tobs = 0.5 ms). Mätningarna börjar vid drygt 60 m och slutar på knappt 40 m avstånd för ett mål som har en hastighet på 2000 m/s, passageavstånd 1 m och passagetid 30.02 µs. Det betyder att vi under den observerade delen av bana erhåller 21 mätningar av avstånd och radiell hastighet. Detta fall har i exemplet nedan upprepats fyra gånger.. Fig.6.1 Avståndsfel som funktion av avståndet upprepats fyra gånger.. Fig.6.2 Radiell hastighetsfel som funktion av avståndet upprepats fyra gånger.. För skattade data (se Fig.6.1 och Fig.6.2) får vi en skattad standardavvikelse för mätning av avstånd och radiell hastighet på respektive σr = 0.0075 m och σv = 0.017 m/s. Standardavvikelsen enligt ekvation (4.2-3) ger σr = 0.0061 och σv = 0.018 för avstånd respektive radiell hastighet. Detta tyder på att estimeringen av avstånd och radiell hastighet är rimlig. Vi skattar banparametrar enligt sektion 5 för de estimerade data som visas i Fig.6.1 och Fig.6.2 och erhålles ett resultat enligt Tabell 6.1.. Beteckningar. Verkligt värde. Skattade värden fall 1. fall 2. fall 3. fall 4. 1. 0.97 m. 0.96 m. 0.90m. 1.07 m. Passagetid. 30.02 µs. 30.25.µs. 30.24.µs. 30.24.µs. 30.25.µs. Hastighet. -2000 m/s. Passageavstånd. -1999.87 m/s -2000.24 m/s -2000.25 m/s -1999.80 m/s. Tabell 6.1.. 15.

(21) 7. Resultat och diskussion. Denna schematiska studie tyder på att det är möjligt att utföra banbestämning mot enstaka mål med tillräcklig noggrannhet. Vald vågform och övriga radarparametrar kräver dock en sändeffekt som är i högsta laget. Skattningen av banparametrarna blir osäkrare för högre banhastighet och små passageavstånd, då R0 går mot noll. Det beror på att mätningen av avstånd och radiell hastighet påverkas mycket litet av passageavståndet, då R0 är litet. Mätning och banbestämning bedöms i vårt fall behöva utföras ca 15 ms före passagen av en punkt på målbanan belägen 10 m från passagepunkten. För högre hastigheter måste följaktligen banbestämningen grundas på mätningar gjorda på större avstånd. T.ex. måste observationen av ett mål som har en hastighet på 2000 m/s avbryts vid 40 m avstånd från sensorn (origo). För att kunna uppföra en fullständig parameterskattning för ett mål på linjär bana bestämt av sex parametrar [R0x, R0y, R0z, νx, νy, νx ] fordras minst tre i rummet åtskilda mätsystem som vardera mäter parametrarna [R0i, νi, t0i ]. Vi förutsätter härvid att man av strålningsgeometrien kan skilja mellan fram och baksida för det plan som bildas av de tre sensorernas positioner (annars erhålls en tvetydighet). Med tanke på den försämring av skattningen av passageavståndsparametern som erhålls för små passageavstånd är det lämpligt att tillföra en 4:e sensor för att säkerställa en acceptabel mätgeometri för minst tre sensorer.. .. Möjligheterna att erhålla goda skattningar av mätdata ( R, R ) är beroende av vågformsvalet. Inom ramen för valet av en FMCW-vågform finns det anledning att studera avvägningen mellan bandbredd och observationstid. Vidare kan det finnas anledning att studera våglängdsvalet. Mer komplicerade överväganden berör möjligheterna att utnyttja koherent signal behandling under så lång tid att ett mål kan vandra genom flera upplösningsceller i avstånd. Skattningen av banparametrarna i två steg mha minsta kvadratmetoden är inte optimal därför finns det anledning att studera en förbättrad skattning av banparametrar bl.a. genom att vikta data med hänsyn till mätdatas osäkerhet samt att jämföra uppnådda resultat med Cramér-Rao:s gräns. I arbetet studeras enbart ett enda mål. Det visade sig att periodogrammetoden gav bra resultat för skattning av avstånd och radiell hastighet. Det är inte alltid sant att vi bara har ett enda mål, utan det kan vara flera mål samtidigt. I denna fall kan andra metoder än periodogrammetoden kan vara aktuella.. 16.

(22) 8. Referenser. [1] G.W.Stimson, Introduction to Airborne Radar. SciTECH PUBLISHING, INC,1998. [2] S.MKay, Modern Spectral Estimation: Theory and Application. Englewoods Cliffs: Prentice Hall, 1988. [3] J.H.Justice, N.L.Owsley, J.L.Yen, A.C.Kak, Array Signal Processing. Englewoods Cliffs: Prentice Hall, 1985. [4] J.Kjellgren, "Krav på radar för aktivt skydd av stridsvagn", Försvarets förskningsanstalt, Linköping FOA-R--96-00373-3.3--SE, 1996-12-21. [5] A.V.Oppenheim, R.W.Schafer, Cliffs:Prentice Hall, 1989.. Discrete-Time. Signal. Processing.. Englewoods. [6] N.Levanon, Radar Principles. Wiley-Interscince. John Wiley & sons, 1988. [7] M.I.Skolnik, Introduction To Radar Systems. McGraw-Hill, Inc, 1980. [8] M.I.Skolnik, Radar Handbook, McGraw-Hill, Inc, 1990. [9] James A. Scheer, James L. Kurtz, Coherent Radar Performance Estimation Artech House,Inc, 1993.. 17.

(23)

No results found