Analys och optimering av godsflöden i Linköpings city

Full text

(1)LiU-ITN-TEK-A--12/033--SE. Analys och optimering av godsflöden i Linköpings City Lovisa Engberg 2012-06-04. Department of Science and Technology Linköping University SE-601 74 Norrköping , Sw eden. Institutionen för teknik och naturvetenskap Linköpings universitet 601 74 Norrköping.

(2) LiU-ITN-TEK-A--12/033--SE. Analys och optimering av godsflöden i Linköpings City Examensarbete utfört i Tillämpad matematik vid Tekniska högskolan vid Linköpings universitet. Lovisa Engberg Handledare Stefan Engevall Examinator George Baravdish Norrköping 2012-06-04.

(3) Upphovsrätt Detta dokument hålls tillgängligt på Internet – eller dess framtida ersättare – under en längre tid från publiceringsdatum under förutsättning att inga extraordinära omständigheter uppstår. Tillgång till dokumentet innebär tillstånd för var och en att läsa, ladda ner, skriva ut enstaka kopior för enskilt bruk och att använda det oförändrat för ickekommersiell forskning och för undervisning. Överföring av upphovsrätten vid en senare tidpunkt kan inte upphäva detta tillstånd. All annan användning av dokumentet kräver upphovsmannens medgivande. För att garantera äktheten, säkerheten och tillgängligheten finns det lösningar av teknisk och administrativ art. Upphovsmannens ideella rätt innefattar rätt att bli nämnd som upphovsman i den omfattning som god sed kräver vid användning av dokumentet på ovan beskrivna sätt samt skydd mot att dokumentet ändras eller presenteras i sådan form eller i sådant sammanhang som är kränkande för upphovsmannens litterära eller konstnärliga anseende eller egenart. För ytterligare information om Linköping University Electronic Press se förlagets hemsida http://www.ep.liu.se/ Copyright The publishers will keep this document online on the Internet - or its possible replacement - for a considerable time from the date of publication barring exceptional circumstances. The online availability of the document implies a permanent permission for anyone to read, to download, to print out single copies for your own use and to use it unchanged for any non-commercial research and educational purpose. Subsequent transfers of copyright cannot revoke this permission. All other uses of the document are conditional on the consent of the copyright owner. The publisher has taken technical and administrative measures to assure authenticity, security and accessibility. According to intellectual property law the author has the right to be mentioned when his/her work is accessed as described above and to be protected against infringement. For additional information about the Linköping University Electronic Press and its procedures for publication and for assurance of document integrity, please refer to its WWW home page: http://www.ep.liu.se/. © Lovisa Engberg.

(4) Sammanfattning Expanderande st¨ ader resulterar i ökande behov av godstransporter och för att beh˚ alla en fungerande godsdistributionen kan ˚ atgärder behöva vidtas. Trafikstockning och f¨ ors¨ amrad stadsmiljö är negativa effekter som kan förknippas med en d˚ aligt fungerande godsdistribution. Citylogistik handlar om att kontrollera och optimera godstransporter i urbana omr˚ aden (city) s˚ a att negativa effekter minimeras. Olika typer av citylogistiska ˚ atgärder och koncept har identifierats. Till dem h¨ or till exempel samdistribution, reglering av godstransporter och avancerade IT-system. Inom ramen f¨ or projektet SAMLIC [6], som startades i Linköping 2004, genomf¨ ordes pilotförsöket PILOT [5] med det övergripande syftet att utv¨ ardera ekonomisk potential med samdistribution i Linköpings city. Under PILOT omsattes ett samdistributionskoncept i praktiken. En databas med information om godsdistributionen under försöket upprättades för senare analys. Syftet med detta examensarbete har varit att formulera matematiska modeller ¨ over godsdistributionen i ett medelstort city, som kan ge underlag för utv¨ ardering av citylogistiska koncept och i synnerhet samdistributionskoncept. De matematiska modeller som tagits fram är optimeringsmodeller för ruttplanering och metoder f¨ or att lösa optimeringsmodellerna har implementerats. F¨ or att utv¨ ardera modellerna och metoderna har en fallstudie av Linköpings city gjorts, med datamaterial fr˚ an PILOT. Modellerna ger m¨ ojlighet till effektiva analyser och jämförelser av citylogistiska koncept. Fallstudien visar dessutom att optimering av godsdistributionen i city inneb¨ ar god f¨ orb¨ attringspotential vilket ger ytterligare motiv till att anv¨ anda modeller som verktyg. I denna rapport g¨ ors grundliga beskrivningar av optimeringsmodeller och lösningsmetoder. Grundl¨ aggande kunskap i optimeringslära förbättrar först˚ aelsen av dessa avsnitt. Nyckelord: citylogistik, godsdistribution i city, samdistribution, ruttplanering.. i.

(5) ii.

(6) Abstract Urbanization and city expansion result in an increasing need of transportation of goods, and in order to maintain efficiency, measures are needed. The aim of city logistics is to minimize negative impacts associated with city center goods distribution, such as traffic congestion and negative impacts on the living environment. Several city logistic measures have previously been suggested, such as freight consolidation, governance and advanced IT systems. Within the SAMLIC project [6] started in 2004, a demonstration project known as PILOT [5] was carried out in central Link¨ oping, wherein the concept of freight consolidation was applied in reality. The objective was to evaluate the economic potential of freight consolidation. The aim of this thesis was to formulate mathematical models of the distribution of goods in a medium sized Swedish city. The models are to be used in the evaluation of city logistic measures, focusing on freight consolidation. The distribution problem is modelled as a vehicle routing problem, and methods for solving the resulting optimization problems have been implemented. Using data from PILOT, the models have been applied on Linköping with the purpose of evaluating the methods, as well as investigating the potential of using models for planning the distribution of goods. Conclusions involve that analyses of, and comparisons between, city logistic measures can be efficiently made using mathematical models. The case study also indicates that goods distribution can be improved through the use of optimization methods, which further motivates mathematical modelling. Key words: city logistics, city center goods distribution, freight consolidation, vehicle routing.. iii.

(7) iv.

(8) F¨ orord Detta examensarbete har utf¨ orts vid Statens väg- och transportforskningsinstitut (VTI) i Link¨ oping under v˚ aren 2012. Jag vill börja med att tacka Maud G¨ othe-Lundgren, forskningschef p˚ a VTI, som gav mig möjligheten att göra detta. P˚ a VTI arbetar engagerade forskare och ingenjörer som tillsammans skapar en motiverande milj¨ o. Jenny Karlsson, min handledare vid VTI, är inte bara hängiven sin egen forskning utan har även varit otroligt engagerad i b˚ ade detta examensarbetes och min personliga utveckling. För detta vill jag tacka henne djupt. Ett stort tack vill jag ¨ agna Stefan Engevall, min handledare vid Institutionen f¨ or teknik och naturvetenskap vid Linköpings universitet (ITN), som har varit en k¨ alla f¨ or s˚ av¨ al motivation som inspiration. Jag vill även tacka George Baravdish, min examinator vid ITN, som har visat intresse för b˚ ade examensarbetets syfte och genomförande.. v.

(9) vi.

(10) Inneh˚ all Sammanfattning. i. Abstract. iii. F¨ orord. v. 1 Inledning 1.1 Bakgrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nul¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Syfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Rapportens disposition . . . . . . . . . . . . 1.5 Statens v¨ ag- och transportforskningsinstitut 2 Litteraturstudie 2.1 Logistik . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Citylogistik . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Samdistribution i city . . . . . . . . 2.4 Optimeringsmodellering . . . . . . . 2.5 Modellering av godsdistribution . . . 2.6 Klassisk ruttplanering . . . . . . . . 2.7 L¨ osningsmetoder . . . . . . . . . . . 2.8 Optimerande l¨ osningsmetoder för ruttplanering . . . . . . . . . . . . . 2.9 Heuristiker f¨ or ruttplanering . . . . . 2.10 Utvidgning av klassisk ruttplanering. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 1 1 3 3 4 4. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 5 5 5 6 6 7 7 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12 15 18. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 3 Problembeskrivning 20 3.1 Generell beskrivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Avgr¨ ansningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Matematisk formulering 24 4.1 Modell A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 Modell B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.

(11) 5 L¨ osningsmetoder 27 5.1 L¨ osningsmetoder för Modell A . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 L¨ osningsmetoder för Modell B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.3 Heuristiker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6 Fallstudie 34 6.1 Datainsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.2 Instanser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7 Metoder f¨ or implementering 37 7.1 Datagenerering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.2 Optimeringsverktyg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.3 Algoritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Utv¨ ardering av lo ¨sningsmetoder 8.1 L¨ osingsprocesser . . . . . . . . 8.2 L¨ osningstider . . . . . . . . . . 8.3 L¨ osningskvalitet . . . . . . . . . 8.4 L¨ osningsegenskaper . . . . . . . 8.5 Slutsats . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 39 39 40 41 42 44. 9 Analys av citylogistiska koncept 45 9.1 Analysm¨ ojligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 9.2 Fallstudie: Linköpings city . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 9.3 Diskussion kring modeller som verktyg . . . . . . . . . . . . . 47 10 Slutsatser 49 10.1 Slutsatser om modellering och l¨ osningsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 10.2 Slutsatser om modeller som verktyg . . . . . . . . . . . . . . 49 10.3 Idéer till fortsatt arbete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.

(12) Kapitel 1. Inledning I detta kapitel presenteras bakgrunden till examensarbetet, problemet som behandlas och syftet med arbetet.. 1.1. Bakgrund. Urbanisering och ett expanderande city ger ett ökande behov av godstransporter och d¨ armed ¨ okande partikelutsläpp och ökande risk för trafikstockning. Den f¨ ors¨ amrade stadsmilj¨ on p˚ averkar slutligen kommersen i city. Det växande problemet har lett till ett flertal projekt och försök (se till exempel [10] och [3]) med avsikten att ta fram en fungerande logistisk lösning för distribution i city. Det finns olika s¨ att att minska negativa effekter förorsakade av godstransporter, bland vilka samdistribution a¨r en beprövad metod (se avsnitt 1.1.3). V¨ agsystem dedikerade f¨ or transporter i city, avancerade IT-system eller reglering av godstransporter är exempel p˚ a andra ˚ atgärder som nämns i [14] och [10].. 1.1.1. Fallet Link¨ opings city. I Linköpings city r˚ ader k¨ obildning vid vissa avlossningsplatser, vilket försämrar stadsmilj¨ on s˚ av¨ al som chaufförernas arbetsmiljö. Tr˚ anga gator gör att framkomligheten f¨ or stora fordon är begränsad, varför en överg˚ ang fr˚ an stora lastbilar till mindre och dessutom mer miljövänliga bilar a¨r o¨nskvärd. Intresset f¨ or logistiska l¨ osningar ökar hos transportföretag, fastighetsägare och kommun men grundliga undersökningar och verklighetsförankrade lösningsförslag ¨ ar en f¨ oruts¨ attning för implementering. [5]. 1.1.2. Distribution i Link¨ opings city. När en butik i city har gjort en beställning av varor hos sin leverantör, startar en kedja av transporter mellan dessa. Transporterna utförs av trans1.

(13) portf¨ oretag som kan ¨ aga hela eller delar av godsets transport. I denna rapport betraktas godsets sista transportsträcka som avslutas vid butikernas leveransplats i city. Detaljerade beskrivningar av situationen i Linköping finns i rapporter publicerade inom projektet SAMLIC (se till exempel [7]). I Link¨ opings city verkar ett flertal transportföretag (även transportörer) med b˚ ade lokal och rikstäckande verksamhet. Vanligt är att varje transportör disponerar en lokal godsterminal relativt centralt, dit gods anländer inför vidare transport eller – vilket för det mesta gäller gods med mottagare i city – slutlig leverans. I figur 1.1 har n˚ agra godsterminaler i Linköping markerats.. Figur 1.1: N˚ agra godsterminaler i Link¨ oping markerade i r¨ ott. Link¨ opings city omringat i svart.. Ofta a ¨r det godsavsändaren som bestämmer vilken transportör som ska utf¨ ora leveransen och godsmottagaren har i dagsläget sällan möjlighet att p˚ averka valet. Detta leder lätt till att en godsmottagare f˚ ar leveranser av m˚ anga transport¨ orer, ofta under samma dag. Detta beskriver f¨ ormodligen situationen i de flesta svenska kommuner.. 1.1.3. SAMLIC. Projektet SAMLIC startades av lokalt representerade transportörer i Link¨ oping. Under v˚ aren 2004 genomfördes pilotförsöket PILOT [5] under ledning av Statens v¨ ag- och transportforskningsinstitut (VTI), med det o¨vergripande syftet att utv¨ ardera ekonomisk potential med samdistribution i Link¨ opings city. SAMLIC skulle sedan utarbeta permanenta lösningar för samdistribution, med förhoppning om att samtliga transportörer aktiva i 2.

(14) Linköpings city skulle delta. Ett flertal rapporter om SAMLIC och PILOT har sammanst¨ allts, n˚ agra av dessa är [5], [6], [7], [13]. Under PILOT samverkade tre transportörer under sammanlagt nio veckor. Link¨ opings city indelades i tre zoner (med ungefärligt likvärdig godsefterfr˚ agan) och varje transport¨ or fick i uppdrag att utföra samtliga leveranser till sin tilldelade zon. Under projektets g˚ ang fyllde chaufförerna i enkäter om bland annat godsm¨ angd, leverans- och lossningsadresser och ankomst- och avresetider till och fr˚ an bes¨ okta avlossningsplatser. Alla uppgifter samlades i en databas inf¨ or kommande bearbetning och analys. Efter pilotf¨ ors¨ oket samlade tv˚ a av de tre deltagande transportörerna in uppgifter om sin normala distribution i city, för att effekterna av samdistributionen sedan skulle kunna utvärderas. Mindre omfattande förberedelse, mindre noggrannhet och kortare mätperioder p˚ averkade dock efterundersökningarnas tillf¨ orlitlighet. Grundlig genomg˚ ang och bearbetning av data samt analyser och efterstudier har utf¨ orts av VTI. Resultaten p˚ avisade stora miljömässiga vinster med samdistribution, s˚ asom kortare total körsträcka, bättre utnyttjande av fordonens lastf¨ orm˚ aga samt kortare total körtid. Dessa faktorer bedömdes or transportörerna i form av ökad lönsamhet, även kunna ge positiva effekter f¨ samt f¨ or handeln tack vare ett mer attraktivt city. Förslag f¨ or permanent inf¨ orande av samdistribution publicerades 2006 i [6], men ˚ ar 2012 har SAMLIC:s koncept fortfarande inte införts i Linköpings city.. 1.2. Nul¨ age. Idag finns ¨ overgripande principer (se [6]) och modeller (se [3]) som beskriver godsdistributionen i city. Varje stad är dock unik och m˚ anga befintliga modeller ¨ ar dessutom anpassade för mycket stora städer. Innan en modell kan formuleras kr¨ avs analyser av stadens förutsättningar för att utreda vilka komponenter och vilken detaljeringsgrad som är väsentliga för att besvara aktuella fr˚ agest¨ allningar. Projektet SAMLIC gav en fingervisning om vad samdistribution i Linköpings city ger f¨ or effekter. Optimeringsaspekter och matematiska modeller odet var emellertid helt utelämnade, varför effekter av optimerad över godsfl¨ distribution fortfarande inte a ¨r klarlagda.. 1.3. Syfte. Syftet med detta examensarbete är att utveckla optimeringsmodeller för analys av citylogistiska koncept (se avsnitt 2.2) och specifikt för bedömning av potentialen med optimerad samdistribution. 3.

(15) 1.3.1. Uppdragsprecisering. Uppdraget best˚ ar i att • utveckla optimeringsmodeller för citylogistiska koncept i svenska medelstora stadsk¨ arnor; • implementera l¨ osningsmetoder för de utvecklade optimeringsmodellerna; • anv¨ anda optimeringsmodellerna med datamaterial fr˚ an PILOT [5] för analys av citylogistiska koncept i Linköpings city; • diskutera optimeringsmodellernas och lösningsmetodernas styrkor och svagheter; samt • identifiera utmaningar med modellering av citylogistiska koncept.. 1.4. Rapportens disposition. I kapitel 2 presenteras och förklaras den teori som ligger bakom arbetet. I kapitel 3 identifieras och beskrivs det problem som i kapitel 4 formuleras med matematiska modeller. I kapitel 5 föresl˚ as lösningsmetoder för att lösa det modellerade problemet. I kapitel 6 inleds en fallstudie med beskrivningar av hur data har samlats in, i kapitel 7 förklaras hur lösningsmetoderna har implementerats och i kapitel 8 utvärderas lösningsmetoderna med hjälp av data fr˚ an fallstudien. I kapitel 9 presenteras och analyseras resultat fr˚ an fallstudien. Slutligen sammanfattas erfarenheter och idéer som arbetet givit i kapitel 10.. 1.5. Statens v¨ ag- och transportforskningsinstitut. Statens v¨ ag- och transportforskningsinstitut (VTI) bedriver forskning och utveckling inom transportsektorn p˚ a uppdrag av Näringsdepartementet. VTI ar ett tv¨ arvetenskapligt institut och verksamheten omfattar forskningsom¨ r˚ aden som trafiks¨ akerhet, miljö och transportsystem. VTI arbetar nära svenska universitet och h¨ ogskolor där liknande forskning bedrivs och medverkar aven framg˚ angsrikt i internationella projekt över hela världen. [24] ¨. 4.

(16) Kapitel 2. Litteraturstudie I detta kapitel samlas all teori som ligger bakom arbetet och som till viss del beh¨ ovs f¨ or att f¨ orst˚ a kommande kapitel i rapporten.. 2.1. Logistik. Council of Supply Chain Management Professionals [25] definierar logistik som det att planera, implementera och kontrollera effektiv transport och lagerh˚ allning av gods samt relaterade informationsflöden. Logistikverksamheter inkluderar typiskt transport av gods, förvaltning av fordonsflotta och lager, utformning och administration av försörjningskedjor och produktionsplanering.. 2.2. Citylogistik. Taniguchi et al [16] definierar begreppet citylogistik som ”the process for totally optimizing the logistics and transport activities by private companies with the support of advanced information systems in urban areas considering the traffic environment, its congestion, safety and energy savings within the framework of a market economy” En citylogistisk l¨ osning ska utg¨ ora en logistisk lösning och uppfylla samhällsmässiga krav och samtidigt bevara möjligheten att flera transportörer bedriver sin verksamhet i city. Ett ¨ overgripande syfte med citylogistik är att minimera negativa effekter av transporter i city ur ekonomiskt, miljömässigt och socialt h˚ allbarhetsperspektiv. Russo et al [14] klassificerar fyra citylogistiska ˚ atgärder, nämligen • materiell infrastuktur, till exempel vägsystem för transport; • icke-materiell infrastruktur, till exempel intelligenta transportsystem; 5.

(17) • utrustning, till exempel fordon med önskade egenskaper; samt • regelverk, till exempel trafikbegränsningar. F¨ or respektive ˚ atg¨ ardsklass förknippas typiska beslutsfattare, m˚ alsättningar och planeringshorisonter.. 2.2.1. Projekt inom citylogistik. Karlsson et al [10] sammanfattar rapporter fr˚ an citylogistiska demonstrationsprojekt genomf¨ orda inom Europa under de senaste tio ˚ aren. Projekten har utf¨ orts i st¨ ader av olika karaktärer och skilda förutsättningar. Citylogistiska ˚ atg¨ arder varierar bland projekten men utgörs i de flesta fall av kombinationer av ett flertal ˚ atgärdklasser. P˚ a en övergripande niv˚ a är projektens syften liknande, men specifika m˚ al skiljer sig. Typiska syften är ökad milj¨ ov¨ anlighet till f¨ oljd av minskad energi˚ atg˚ ang, minskade föroreningar och partikelutsl¨ app; ¨ okad ekonomisk vinst och minskade trafikflöden. I vissa fall kan akt¨ orer ha motstridiga syften, till exempel d˚ a b˚ ade privata och offentliga intressenter deltar med ekonomiska respektive miljömässiga syften. Gemensamt hos projekten är de anmärkningsvärt positiva resultaten av de citylogistiska ˚ atg¨ arderna.. 2.3. Samdistribution i city. Begreppet samdistribution kan ha olika betydelser, men här ges den definition som anv¨ ands i denna rapport och vars koncept omsatts i praktiken inom till exempel SAMLIC [13]. City ¨ ar h¨ ar ett avgränsat urbant omr˚ ade. Samdistribution i city innefattar omlastning och slutleverans av gods med leveransadress inom detta omr˚ ade. Omlastning sker i en s˚ a kallad samlastningsterminal. Speciellt med samdistribution ¨ ar att ett flertal transportörer – med skilda verksamheter – samarbetar f¨ or att skapa en effektiv distribution. Ofta leder samdistribution till att antalet leveranstillfällen reduceras avsevärt, eftersom en möjlighet att ett fordon levererar gods fr˚ an samtliga transportörer uppst˚ ar.. 2.4. Optimeringsmodellering. Lundgren et al [12] beskriver en metodik för att angripa och lösa ett verkligt optimeringsproblem, fr˚ an identifiering till utvärdering av resultat. Figur 2.1 illustrerar i stora drag denna process. Det verkliga problemet a¨r ofta mycket komplext och beh¨ over förenklas för att kunna formuleras. Förenklingen ska vara s˚ adan att problemet blir modellerings- och lösbart men samtidigt bevarar det verkliga problemets karakteristik i största möjliga m˚ an. Vilken 6.

(18) Figur 2.1: Modelleringsrocessen. Figur inspirerad av Lundgren et al [12], figur 1.1, sida 9.. lösningsmetod som b¨ ast l¨ ampar sig för en viss optimeringsmodell beror p˚ a modellens egenskaper. I praktiken har problem ofta gemensamma egenskaper och kan därför beskrivas med modeller av samma struktur. Klassiska modeller och lösningsmetoder har utvecklats, som i m˚ anga fall utgör utg˚ angspunkt vid modellering och optimering. I kommande avsnitt beskrivs delar av en modelleringsprocess för godsdistribution.. 2.5. Modellering av godsdistribution. Ett godsdistributionsproblem best˚ ar typiskt i att ta beslut om hur distributionen ska ske, till exempel i vilken ordning och av vilket fordon godset ska distribueras. Optimeringsmodeller kan användas för att beskriva dessa beslut och i slut¨ anden f¨ or att fatta de optimala besluten. Tack vare sin typiska struktur kan i m˚ anga fall ett godsdistributionsproblem beskrivas med en ruttplaneringsmodell. Detta görs bland annat av Lundgren et al [12].. 2.6. Klassisk ruttplanering. Modeller f¨ or ruttplanering introducerades ˚ ar 1959 av Dantzig och Ramser [4] och har sedan dess utgjort ett stort ämne för forskning. Idag ligger fokus p˚ a komplicerade och sammansatta varianter av Dantzig och Ramsers klassiska modell, vilka utvecklats f¨ or att a ¨nnu närmare beskriva den verklighet som avbildas. Exempel p˚ a utvidningar ges i avsnitt 2.10. Det klassiska ruttplaneringsproblemet (eng. vehicle routing problem, förkortat VRP) beskrivs och modelleras av bland annat Lundgren et al [12]. Problembeskrivningen inkluderar typiskt • fordon med kapacitetsbegr¨ ansningar i en eller fler dimensioner, • en godsterminal vilken fordonen m˚ aste utg˚ a fr˚ an och ˚ atervända till, 7.

(19) • leveransplatser till vilka godset i godsterminalen ska transporteras av fordonen, samt • f¨ ardv¨ agar mellan samtliga platser (leveransplatser och godsterminalplats), l¨ angs vilka fordonen kan färdas. I figur 2.2 illustreras ett ruttplaneringsproblem och i figur 2.3 föresl˚ as en l¨ osning.. Figur 2.2: Komponenter i ruttplaneringsproblem: en godsterminal, tre fordon, gods destinerade till fyra godsmottagare och ett n¨ atverk.. Figur 2.3: T¨ ankbar l¨ osning av problemet i figur 2.2. I denna l¨ osning anv¨ ands tv˚ a rutter och tv˚ a fordon. Nedan f¨ oljer tv˚ a alternativa modellformuleringar av ruttplaneringsproblemet, b˚ ada h¨ amtade ur [12]. Problemet som modelleras best˚ ar av en godsterminal, K fordon med lastkapacitet b samt n leveransplatser. Till plats i = 1, . . . , n ska en godsmängd di levereras och kostnaden att använda länken mellan plats i och j a ¨r cij . Godsterminalen motsvaras av plats i = 0.. 2.6.1. Modell P1: Konstruktion av optimala rutter. I denna formulering modelleras besluten om huruvida ett visst fordon ska f¨ ardas p˚ a en viss l¨ ank. Dessa beslut resulterar i successiv konstruktion av rutter. 8.

(20) Med beslutsvariablerna ( 1 om plats i bes¨ oks av fordon k yik = 0 annars ( 1 om fordon k använder länken mellan plats i och j xijk = 0 annars kan modellen formuleras min. d˚ a. z=. K X n X n X. cij xijk k=1 i=0 j=0 n X. P1. di yik ≤ b. k = 1, . . . , K. (2.1a). yik = K. i=0. (2.1b). yik = 1. i = 1, . . . , n. (2.1c). xijk = yjk. j = 0, . . . , n k = 1, . . . , K. (2.1d). xijk = yik. i = 0, . . . , n k = 1, . . . , K. (2.1e). xijk ≤ |S| − 1. S ⊆ {1, . . . , n}. i=1 K X k=1 K X k=1 n X i=0 n X j=0. XX i∈S j∈S. k = 1, . . . , K xijk ∈ {0, 1}. (2.1f). i = 0, . . . , n j = 0, . . . , n k = 1, . . . , K. yik ∈ {0, 1}. i = 0, . . . , n k = 1, . . . , K. M˚ alfunktionen speglar att rutter ska konstrueras s˚ a att kostnaden minimeras. Villkor 2.1a ¨ ar kapacitetsvillkor som förbjuder att fordonens lastkapacitet överskrids. Villkor 2.1b tvingar samtliga rutter att passera terminalen och villkor 2.1c ser till att varje leveransplats besöks av ett och endast ett fordon. Villkor 2.1d och 2.1e p˚ atvingar användande av en och endast en länk till respektive fr˚ an en besökt leveransplats. Villkor 2.1f kallas subtursförbjudande villkor och kr¨ avs för att förhindra att s˚ a kallade subturer uppst˚ ar i rutterna. En subtur har bildats om en rutt inte är sammanhängande utan best˚ ar av tv˚ a eller fler frist˚ aende delar. Subturen” som passerar terminalen ¨ ar till˚ aten eftersom den skulle kunna utgöra en rutt. I figur 2.4 illustreras en l¨ osning som inneh˚ aller en subtur. Per definition är variablerna binära. 9.

(21) Figur 2.4: Den mellersta rutten ¨ ar inte sammanh¨ angande utan inneh˚ aller en subtur.. Antalet subtursf¨ orbjudande villkor växer exponentiellt när antalet leveransplatser ¨ okar vilket gör Modell P1 sv˚ ar att implementera och att lösa inom rimlig tid.. 2.6.2. Modell P2: Val av optimala rutter. En alternativ formulering av ruttplaneringsproblemet har ett s˚ a kallat övert¨ ackningsproblem (eng. set covering problem) som utg˚ angspunkt. Här antas alla t¨ ankbara rutter vara givna och modellen beskriver problemet att välja den optimala kombinationen av rutter. M¨ angden R inneh˚ aller alla rutter och varje rutt r ∈ R förknippas med en kostnad cr . De n leveransplatserna förbinds med rutt r genom parametern air definierad av air =. ( 1 0. om plats i besöks under rutt r annars. En rutt r definieras i denna modell av de platser som besöks, vilka kan beskrivas av m¨ angden Sr = {i = 0, . . . , n : air = 1}. Alla rutter i R m˚ aste uppfylla kapacitetsvillkor motsvarande villkor 2.1a och passera terminalen. Matematiskt beskrivs detta X. di ≤ b. (2.2). i∈Sr. a0r = 1 Med beslutsvariablerna xr =. ( 1 0. om rutt r används annars 10. (2.3).

(22) kan modellen formuleras min. z=. X. cr xr. P2. r∈R. d˚ a. X. air xr ≥ 1. i = 1, . . . , n. (2.4a). r∈R. xr ∈ {0, 1}. r∈R. Villkor 2.4a ser till att rutter v¨ aljs s˚ a att samtliga leveransplatser besöks minst en g˚ ang. Antalet t¨ ankbara rutter ¨ ar ofta mycket stort, vilket kan leda till att mängden R blir orimlig att ta fram i sin helhet.. 2.7. L¨ osningsmetoder. Beroende p˚ a en modells struktur, storlek och egenskaper a¨r en viss lösningsmetod mer eller mindre l¨ amplig att använda. Lundgren et al [12] delar in lösningsmetoder i optimerande och ickeoptimerande metoder. Optimerande metoder är exakta, vilket innebär att ¨ de alltid finner den optimala l¨ osningen. Aven icke-optimerande metoder kan finna optimum, men det beteendet g˚ ar inte att garantera. Heuristiker a¨r en typ av icke-optimerande metoder som ofta är betydligt mindre beräkningskrävande ¨ an optimerande l¨ osningsmetoder och därför typiskt används p˚ a sv˚ arlösta problem, ofta med framg˚ ang. Tv˚ a grundl¨ aggande klassificeringar av optimeringsproblem är linjärprogrammeringsproblem (¨ aven linj¨ ara problem eller LP-problem) och heltalsprogrammeringsproblem (¨ aven heltalsproblem). I modeller av LP-problem a ett kontinuerligt intervall medan det i modeller är variabler definierade p˚ av heltalsproblem finns ett heltalskrav. I b˚ ada fallen kan dock m˚ alfunktion och villkor beskrivas med linj¨ ara funktioner. Ofta är det intressant att studera LP-relaxationen av ett heltalsproblem. Ett heltalsproblem LP-relaxeras genom att eliminera heltalskrav men beh˚ alla variablernas övre och undre gränser. Som exempel kan ges binaritetskravet x ∈ {0, 1} som i en LPrelaxation ers¨ atts med kravet 0 ≤ x ≤ 1. [12] Simplexmetoden ¨ ar en optimerande lösningsmetod för linjära problem, som beskrivs utf¨ orligt i [12]. Heltalsproblem a¨r generellt sett mer sv˚ arlösta men kan l¨ osas med s˚ a kallad tr¨ adsökning, där utg˚ angspunkten är det LP¨ relaxerade problemet. Aven tr¨ ads¨ okning beskrivs i [12]. Tack vare trädsökning kan lösningsmetoder f¨ or LP-problem användas även för heltalsproblem. Metoder f¨ or att l¨ osa LP-problem och heltalsproblem – ofta simplexmetoden och tr¨ ads¨ okningsalgoritmer – finns implementerade i kommersiella programvaror (se kapitel 7), vilka kan användas för att lösa problem av mindre storlek. I praktiken ¨ ar optimeringsproblem emellertid ofta stora och kräver därmed omfattande ber¨ akningar för att lösas. Metoder för att bryta ned 11.

(23) stora problem till mindre delproblem, eller p˚ a andra sätt göra dem mer hanterbara, har d¨ arf¨ or utvecklats. Ett exempel är kolumngenereringsmetoden, vilken beskrivs i avsnitt 2.8.1. Inom optimeringsl¨ ara är det ofta intressant att prata om optimistiska och pessimistiska skattningar eller otill˚ atna och till˚ atna lösningar. En till˚ aten l¨ osning ¨ ar en l¨ osning som uppfyller alla villkor i en optimeringsmodell, men inte n¨ odv¨ andigtvis a¨r optimal. Varje till˚ aten lösning a¨r en s˚ a kallad pessimistisk skattning av optimum, det vill säga garanterat inte bättre än optimum. En otill˚ aten lösning är en lösning som inte uppfyller alla villkor. Ett exempel ¨ ar optimum till en LP-relaxation av ett heltalsproblem, vilket inte n¨ odv¨ andigtvis uppfyller heltalsvillkoret. LP-optimum sägs d˚ a vara en otill˚ aten l¨ osning till heltalsproblemet. Ett LP-optimum är alltid en optimistisk skattning av motsvarande heltalsoptimum, det vill säga garanterat b¨ attre. I kommande avsnitt beskrivs lösningsmetoder lämpade för stora ruttplaneringsproblem.. 2.8. Optimerande l¨ osningsmetoder f¨ or ruttplanering. Ett verkligt ruttplaneringsproblem är ofta stort. I Modell P1 tar sig detta uttryck i ett mycket stort antal subtursförbjudande villkor, medan Modell P2 blir sv˚ arl¨ ost p˚ a grund av den stora mängden av tänkbara rutter. En optimerande l¨ osningsmetod för Modell P1 presenteras i kapitel 5. Modell P2 kan angripas med kolumngenerering, vilket beskrivs nedan.. 2.8.1. Kolumngenerering. I Lundgren et al [12] introduceras kolumngenerering p˚ a ett pedagogiskt sätt. Ett mycket stort antal variabler kan göra det orimligt eller olämpligt att lösa ett optimeringsproblem. För övertäckningsproblem kan i dessa fall kolumngenerering vara en effektiv lösningsmetod. Den ¨ overgripande idén med kolumngenerering är att först utesluta en (mycket stor) m¨ angd variabler och sedan ˚ aterinföra dessa successivt. I en itererande process l¨ oses problemet p˚ a nytt för varje utesluten variabel som ˚ aterinf¨ ors. F¨ orhoppningen – vilken ofta infrias – är att ett optimalitetsvillkor ska bli uppfyllt (det vill säga optimum ska hittas) innan mängden variabler blir f¨ or stor och problemet därmed blir för beräkningskrävande. ˚ Aterinf¨ orande av variabler sker enligt en viss strategi. Med hjälp av information fr˚ an l¨ osningen i den aktuella iterationen, kan den uteslutna variabel som har potential att förbättra lösningen mest identifieras. Identifieringsprocessen kan dessutom modelleras med en optimeringsmodell. L¨ osningsg˚ angen sammanfattas nedan. 12.

(24) Steg 1: Reducera m¨ angden variabler. Steg 2: L¨ os problemet med aktuell mängd variabler. Steg 3: Identifiera den variabel som har potential att förbättra lösningen mest med hj¨ alp av information fr˚ an lösningen. Avbryt om ingen förb¨ attrande variabel hittas, annars ˚ aterinför variabeln och g˚ a till Steg 2. Den information som h¨ amtas fr˚ an lösningen i den aktuella iterationen osningen, vilket ¨ ar ett visst värde förknippat med varje villär den duala l¨ kor. Lundgren et al [12] skriver om dualitet och hur den duala lösningen tas fram. Med hj¨ alp av denna information kan en variabels reducerade kostnad ber¨ aknas, vilken ger en antydan om hur en förändring i variabelns värde p˚ averkar l¨ osningen. Duala lösningar existerar emellertid bara för LPproblem, vilket f˚ ar som f¨ oljd att kolumngenerering endast kan tillämpas p˚ a dessa. Genom att LP-relaxera heltalsproblem och använda trädsökning kan osas. även heltalsproblem l¨ Kolumngenerering ¨ ar en optimerande metod för LP-problem och i kombination med tr¨ ads¨ okning ¨ aven f¨ or heltalsproblem. Nedan beskrivs kolumngenerering i detalj med hj¨ alp av LP-relaxationen av Modell P2. Kolumngenerering f¨ or ruttplanering Eftersom Modell P2 beskriver ett övertäckningsproblem är kolumngenerering (i kombination med tr¨ ads¨ okning) en möjlig lösningsmetod. Som nämnt i avsnitt 2.6.2 ¨ ar antalet variabler (rutter) i denna modell ofta stort vilket ger ytterligare motiv till att anv¨ anda just kolumngenerering. I detta avsnitt beskrivs kolumngenerering till¨ ampat p˚ a LP-relaxationen av Modell P2, vilken benämns Modell LP-P2. Att reducera m¨ angden variabler innebär här att välja ut en delmängd av rutter, ben¨ amnd R0 ⊂ R. R0 -restriktionen av Modell LP-P2 syftar till den motsvarande modell d¨ ar m¨ angden R ersatts med R0 . Den reducerade kostnaden f¨ or en rutt r beräknas genom c¯r = cr −. n X. air vi. i=1. där vi , i = 1, . . . , n betecknar den duala lösningen till R0 -restriktionen av Modell LP-P2. I pedagogiskt syfte antas här att alla rutter har samma ruttkostnad, det vill s¨ aga cr = c, ∀r ∈ R. Om en utesluten rutt har en negativ reducerad kostnad har den potential att f¨ orb¨ attra l¨ osningen och ju lägre reducerad kostnad desto större förbättring kan f¨ orv¨ antas. Rutten som ˚ aterinförs är därför den med lägst 13.

(25) reducerad kostnad, f¨ orutsatt att den är negativ. Om den ˚ aterinförda rutten ben¨ amns r0 kan detta beskrivas n X c¯r0 = min c¯r = min c − air vi r∈R. r∈R. i=1. r0. Men att finna enligt ovan blir ekvivalent med att lösa ett optimeringsproblem. Enligt avsnitt 2.6.2 definieras en rutt av de leveransplatser som bes¨ oks samt av villkor 2.2 och 2.3. Omvänt kan det därför sägas att varje upps¨ attning ai , i = 0, . . . , n som uppfyller n X. di ai ≤ b. i=1. a0 = 1 ai ∈ {0, 1},. i = 1, . . . , n. definierar en rutt i R. Tack vare detta kan uttrycket c¯r0 = minr∈R c¯r utvecklas till optimeringsmodellen nedan. c¯r0 = min d˚ a. c¯ = c −. n X i=1 n X. vi ai. SUB-P2. di ai ≤ b. (2.5a). i=1. a0 = 1 ai ∈ {0, 1}. (2.5b) i = 1, . . . , n. (2.5c). Den ˚ aterinf¨ orda rutten r0 definieras genom att sätta air0 = ai , ∀i = 0, . . . , n. Hur modellen ovan formuleras d˚ a antagandet om gemensamma ruttkostnader inte kan g¨ oras visas i kapitel 5 och nämns även av Choi et al [1]. Ett optimalitetsvillkor uppfylls d˚ a varje rutt i R har en icke-negativ reducerad kostnad, det vill säga d˚ a den genererade rutten r0 har en ickenegativ reducerad kostnad eftersom c¯r0 = min c¯r ≥ 0 ⇒ c¯r ≥ 0, r ∈ R r∈R. I detta l¨ age kan ingen rutt i R förbättra lösningen i den aktuella iterationen, vilket betyder att l¨ osningen även utgör optimum för Modell LP-P2. L¨ osningsg˚ angen f¨ or kolumngenerering p˚ a Modell LP-P2 sammanfattas nedan. Steg 1: V¨ alj ut en delmängd R0 ⊂ R. Steg 2: L¨ os R0 -restriktionen av Modell LP-P2 och tag fram den duala l¨ osningen vi , i = 1, . . . , n. Steg 3: Formulera och lös Modell SUB-P2. Avbryt om lösningen är ickenegativ, annars identifiera den nya rutten r0 , inkludera den i R0 och g˚ a till Steg 2. 14.

(26) 2.9. Heuristiker f¨ or ruttplanering. Laporte et al [11] sammanfattar klassiska och moderna heuristiker för ruttplaneringsproblem. De klassiska heuristikerna karakteriseras av sin enkla algoritm som, trots att endast relativt f˚ a tänkbara lösningar utforskas, ofta hittar en l¨ osning av god kvalitet. M˚ anga klassiska heuristiker kan utvecklas för att passa det specifika problemet ännu bättre. Moderna heuristiker (¨ aven kallade metaheuristiker) gör ofta en grundlig utforskning problemet f¨ or att finna en lösning av mycket god kvalitet. För att en metaheuristik ska bli som mest effektiv krävs emellertid mycket noggrant utvalda parameterv¨ arden och stor beräkningskraft. M˚ anga heuristiker kr¨ aver inte att en fullgod optimeringsmodell har formulerats, utan har en problembeskrivning som utg˚ angspunkt. Nedan ˚ aterges tv˚ a klassiska heuristiker, b˚ ada behandlade i [11]. Beteckningar som används har introducerats i avsnitt 2.6.. 2.9.1. Clarke and Wright-algoritmen. Clarke and Wright-algoritmen ¨ ar en heuristik för ruttplaneringsproblem som introducerades ˚ ar 1964 i [2]. Heuristiken skapar nya, “billigare” rutter genom gynnsamma sammanfogningar av redan skapade rutter. I figur 2.5 illustreras utg˚ angsl¨ aget och n˚ agra viktiga beteckningar i Clarke and Wright-algoritmen. Utg˚ angsläget är de n triviala rutterna mellan godsterminalen och varje leveransplats. För att bedöma nyttan av en sammanfogning ber¨ aknas besparingen sij som uppst˚ ar d˚ a plats i och j besöks under samma rutt. Med kostnader cij förknippade med användning av länk. Figur 2.5: Utg˚ angl¨ age i Clarke and Wright-algoritmen. Med hj¨ alp av ruttkostnader c0i , cj0 och cij ber¨ aknas den kostnadsminskning som uppst˚ ar d˚ a tv˚ a rutter sammanfogas med l¨ ank (i, j). (i, j) ber¨ aknas besparingen genom sij = ci0 + c0j − cij. i, j = 1, . . . , n. vilket motsvarar kostnadsminskning efter sammanfogning av rutt (0, . . . , i, 0) och rutt (0, j, . . . , 0) till rutt (0, . . . , i, j, . . . , 0). En negativ besparing bety15.

(27) der att den motsvarande sammanfogningen resulterar i en kostnadsökning. Negativa besparingar ¨ ar därför inte intressanta. Heuristiken beskrivs av följande algoritm. Steg 1: Skapa de n triviala rutterna (0, i, 0), i = 1, . . . , n. Beräkna besparingarna sij och sortera dem i avtagande ordning. Steg 2: V¨ alj den st¨ orsta besparingen sij . Avbryt om sij ≤ 0 eller om ingen besparing ˚ aterst˚ ar. Steg 3: Om rutterna (0, . . . , i, 0) och (0, j, . . . , 0) existerar och kan sammanfogas utan att mängden gods överstiger fordonens kapacitet, sammanfoga rutterna till rutten (0, . . . , i, j, . . . , 0) och stryk besparingen sij . G˚ a till Steg 2. Figur 2.6 visar en t¨ ankbar första iteration i Clarke and Wright-algoritmen.. Figur 2.6: En t¨ ankbar iteration i Clarke and Wright-algoritmen. De tv˚ a streckade l¨ ankarna ers¨ atts med en sammanfogande l¨ ank.. 2.9.2. Svepalgoritmen. Svepalgoritmen gjordes känd av Gillett et al [8] ˚ ar 1974. Algoritmen kan delas upp i tv˚ a faser: i den första fasen grupperas leveransplatserna och i den andra fasen skapas optimala rutter inom respektive kluster. För att använda svepalgoritmen kr¨ avs vinkeln θi mellan varje leveransplats i = 1, . . . , n och terminalen. I figur 2.7 (se längre ned) framg˚ ar hur θi definieras. Nedan beskrivs svepalgoritmens tv˚ a faser. Fas 1: Gruppering av leveransplatser Grupperingen av leveransplatser sker efter stigande vinkel θi . Leveransplatser inkluderas i en grupp s˚ a länge gruppens totala mängd gods inte o¨verstiger fordonets kapacitet. Algoritmen kan illustreras med en str˚ ale som sveper ett varv runt terminalen. Grupperingen av mottagare sker i den ordning de p˚ atr¨ affas av str˚ alen. Algoritmen beskrivs nedan. 16.

(28) Steg 1: Sortera leveransplatserna i = 1, . . . , n efter stigande vinkel θi . Steg 2: Inkludera leveransplatser i en grupp efter sorterad ordning. En leveransplats kan inte inkluderas om dess tillhörande godsmängd leder till att fordonets kapacitet överskrids. Om en leveransplats som inte kan inkluderas p˚ atr¨ affas, g˚ a till Steg 3. Avbryt om alla leveransplatser ing˚ ar i en grupp. Steg 3: P˚ ab¨ orja en ny grupp och g˚ a till Steg 2. I figur 2.7 illustreras en t¨ ankbar gruppering.. Figur 2.7: T¨ ankbar gruppering av leveransplatser med svepalgoritmen. Referenslinjen (lodr¨ at) ¨ ar godtycklig.. Fas 2: Skapande av rutter När grupperingen ¨ ar utf¨ ord ska rutter konstrueras. Problemet att hitta de optimala rutterna inom varje grupp av leveransplatser (inklusive terminalen) blir ett handelsresandeproblem, vilket beskrivs av en modell där länkar mellan platserna ska v¨ aljas s˚ a att rutten blir s˚ a billig som möjligt. I Lundgren et al [12] finns ett flertal f¨ orslag p˚ a heuristiker för handelsresandeproblem, bland andra n¨ armaste granne-heuristiken, billigaste ins¨ attning och l¨ angst bort-ins¨ attning. Nedan beskrivs principerna för längst bort-insättning. Leveransplatserna i en grupp fr˚ an Fas 1 betecknas med mängden G och till G adderas terminalen. En delrutt best˚ aende av platserna i delmängden G0 ⊂ G ut¨ okas successivt med ˚ aterst˚ aende platser i G (vilket matematiskt betecknas G\G0 ) tills alla platser ing˚ ar i delrutten. Initialt inneh˚ aller G0 en godtycklig plats. Algoritmen beskrivs nedan. Steg 1: Initiera G0 med en plats. Steg 2: Finn den plats i G\G0 som har l¨ angst kortaste avst˚ and till delrutten 0 G . Matematiskt g¨ ors detta genom att finna l ∈ G\G0 som uppfyller ckl = max min0 cij , d¨ ar k ∈ G0 . j∈G\G0 i∈G. 17.

(29) Steg 3: Inkludera plats l i delrutten p˚ a billigast s¨ att. Avbryt om alla platser ing˚ ar i rutten, annars g˚ a till Steg 2. Att inkludera plats l i delrutten p˚ a billigast sätt, innebär att inkludera den s˚ a att den totala kostnadsökningen – som uppst˚ ar till följd av att fler l¨ ankar beh¨ ovs – blir s˚ a liten som möjligt. Matematiskt görs detta genom att finna l¨ anken (k, m), k, m ∈ G0 som uppfyller ckl + clm − ckm = min0 cil + clj − cij i,j∈G. och ers¨ atta denna med länkarna (k, l) och (l, m).. 2.10. Utvidgning av klassisk ruttplanering. Ett verkligt ruttplaneringsproblem kan ha en mycket komplex problembeskrivning och kan d¨ armed kräva en avancerad modell. Exempel p˚ a utvidgningar av den klassiska ruttplaneringsmodellen är att även hantera krav p˚ a leveranstidpunkt (eng. VRP with time windows), att till˚ ata att en leveransplats bes¨ oks av fler ¨ an ett fordon (eng. split delivery VRP ) eller att hantera fordon av olika typer (eng. heterogenous fleet VRP ). Ett exempel p˚ a en utvidgad variant av ruttplaneringsmodellen ges nedan.. 2.10.1. Modell f¨ or citylogistik. Crainic et al [3] f¨ oresl˚ ar en väl utarbetad modell för godsdistribution i city anpassad f¨ or stora st¨ ader. Problembeskrivningen omfattas av ett distributionssystem med tv˚ a niv˚ aer där stora och sm˚ a lastfordon samverkar. De stora lastfordonen utg˚ ar fr˚ an samlastningsterminaler förlagda utanför city, vartefter lasten f¨ ordelas p˚ a sm˚ a fordon vid omlastningsplatser i city. De sm˚ a fordonen utf¨ or sedan den slutliga leveransen. Problembeskrivningen ar mycket detaljrik och noggrannheten bevaras väl i modellformuleringen ¨ som tar h¨ ansyn till och till˚ ater m˚ anga scenarier. Modellen är i grunden ett overt¨ ackningsproblem. ¨ Problemet modelleras med scheman (eng. schedules) och uppdrag (eng. work assignments) konstruerade för de stora respektive sm˚ a fordonen. Ett schema karakteriseras av de omlastningsplatser i city som besöks, under vilken tidsperiod bes¨ oket sker samt kostnaden att använda schemat. Ett uppdrag best˚ ar av en sekvens av deluppdrag (eng. work segments) och ett deluppdrag definieras i sin tur av de kunder som besöks, under vilken tidsperiod bes¨ oket sker samt kostnaden att utföra deluppdraget. Varje deluppdrag startar och slutar vid en omlastningsplats. I modellen finns ocks˚ a alla t¨ ankbara resv¨ agar (eng. itineraries) som ett gods kan färdas, fr˚ an den samlastningsterminal d¨ ar godset finns fram till dess mottagare i city. En resväg karakteriseras bland annat av det schema och deluppdrag den utnyttjar. 18.

(30) Optimeringsproblemet best˚ ar i att välja resvägar s˚ a att den totala kostnaden minimeras under villkoret att allt gods blir levererat. Författarna ger problemet ben¨ amningen two-echelon, synchronized, scheduled, multi-depot, multiple-tour, heterogeneous vehicle routing problem with time windows vilket senare f¨ orkortas 2SS-MDMT-VRPTW.. 19.

(31) Kapitel 3. Problembeskrivning I detta kapitel ges f¨ orst en generell beskrivning av en dags godsdistribution i city i en svensk kommun. I den generella beskrivningen ing˚ ar delar som ar v¨ asentliga att beakta vid modellering. Vidare beskrivs förenklingar av ¨ och avgr¨ ansningar i problembeskrivningen, vilka görs med hänsyn till detta examensarbetes begr¨ ansade omfattning. Problembeskrivning, förenklingar och avgr¨ ansningar g¨ ors med rapporter om SAMLIC (se till exempel [5] och [6]) som underlag.. 3.1. Generell beskrivning. I nedanst˚ aende avsnitt ges den generella beskrivningen av godsdistribution i city.. 3.1.1. Tidsperspektiv. I city distribueras gods dagligen. Antalet leveranser varierar ofta med avseende p˚ a veckodag, men fr˚ an ett övergripande perspektiv h˚ aller distributionen en j¨ amn niv˚ a. Generellt sett blir tidsperspektivet och planeringen viktigare ju större omfattning distributionen har. Köbildning och d˚ alig framkomlighet vid leveransplatser eller tidskrävande av- och p˚ alastningar kan f˚ a till följd att en arbetsdag inte r¨ acker till och att godset därmed inte kan levereras i tid. I ett medelstort city förekommer visserligen dessa tidsrelaterade problem, men s¨ allan till den grad att godset inte hinner distribueras under avsedd arbetsdag. Det ¨ ar d¨ arf¨ or sällsynt att gods har krav p˚ a speciell leveranstidpunkt eftersom mottagare inte anser det nödvändigt.. 3.1.2. Transport¨ orer, terminaler och fordon. Ett flertal transport¨ orer kan bedriva sin verksamhet i city och ofta helt oberoende av varandra. Vilket gods som ska distribueras av vilken transportör 20.

(32) avgörs typiskt av godsavs¨ andaren, men i vissa fall av godsmottagaren. Transport av gods p˚ ab¨ orjas redan hos godsavsändaren och godset passerar ofta ett flertal godsterminaler för omlastning, innan slutlig leverans. För gods med destination i city sker den sista omlastningen ofta i en citynära terminal. Transport¨ orer verksamma i city disponerar typiskt en citynära terminal. Varje transport¨ or f¨ orfogar ¨ aven över en fordonsflotta av varierande fordonstyper. En fordonstyp karakteriseras av dess kapacitet i olika dimensioner, till exempel begr¨ ansning i lastvolym, lastvikt eller körsträcka.. 3.1.3. Mottagare och gods. Godsmottagare motsvarar butiker i city som efterfr˚ agar gods. Varje godsmottagare f¨ orknippas med en leveransadress där godset mottages. Varje dag ska gods distribueras fr˚ an de citynära terminalerna till mottagare i city. Godset ¨ ar uppdelat i sändningar och en sändning syftar till den mängd gods som f¨ orekommer p˚ a samma fraktsedel. Varje sändning bär information om bland annat dess volym, vikt och mottagare och best˚ ar av ett eller flera kolli med olika dimensioner. Ett flertal sändningar kan vara destinerade till samma mottagare och ett flertal mottagare kan ha en gemensam leveransplats i city. Detta g¨ or att en stor mängd gods kan behöva transporteras till samma plats (typisk situation för gallerior). Figur 3.1 illustrerar förh˚ allandet mellan gods, kolli, s¨ andning, mottagare och leveransplats.. Figur 3.1: F¨ orh˚ allande mellan gods, kolli, s¨ andning, mottagare och leveransplats.. Vissa godstyper kr¨ aver speciell transport eller kan av n˚ agon orsak inte samlastas med andra godstyper. Detta gäller till exempel matvaror som ofta kräver kylda transporter. 21.

(33) 3.1.4. V¨ agn¨ at. V¨ agarna i city sp¨ anner upp ett vägnät. Vägnätet till˚ ater ofta m˚ anga alternativa f¨ ardv¨ agar mellan tv˚ a platser. Enkelriktade gator, tidsberoende trafikf¨ orbud och d˚ alig framkomlighet är vanligt förekommande i city. Utöver trafikregler kan det dessutom finnas önskem˚ al om hur vägar nyttjas, till exempel ¨ onskem˚ al om att vissa vägar i möjlig m˚ an h˚ alls fria fr˚ an tung trafik.. 3.1.5. Kostnader. Den totala kostnadsbilden för distribution i city är mycket komplex. Olika akt¨ orer (till exempel kommun, transportörer eller godsmottagare) har dessutom ofta olika kostnadsbilder. Kostnader kan förknippas med till exempel arbetstid, avgaser och partikelutsläpp och förvaltning av terminaler och fordon. Kostnader kan delas upp efter kostnadsslag, s˚ asom kostnader av miljöp˚ averkan eller ekonomiska kostnader. Ett m˚ al med en distributionslösning kan vara att minimera kostnader av ett eller flera kostnadsslag.. 3.2. Avgr¨ ansningar. I nedanst˚ aende avsnitt görs förenklingar och avgränsningar av den generella beskrivningen, med detta examensarbetes omfattning och syfte i ˚ atanke. F¨ orenklingar och avgr¨ ansningar görs s˚ a att problemets karakteristik bevaras i st¨ orsta m¨ ojliga m˚ an.. 3.2.1. Tidsperspektiv. Tidsperspektivet i distributionen bortses helt. Som nämnts i den generella beskrivningen ovan, finns sällan krav p˚ a speciell leveranstidpunkt, varför detta heller inte modelleras. Ett fullastat fordon antas dessutom kunna leverera sin last under en arbetsdag, varför det inte är nödvändigt att kontrollera en rutts tids˚ atg˚ ang.. 3.2.2. Transport¨ orer, terminaler och fordon. Varje transport¨ or antas förfoga o¨ver en terminal och vid samdistribution antas en samlastningsterminal vara tillräcklig. Fordonsflottan begr¨ ansas till att best˚ a av endast en fordonstyp med m¨ ojlighet till kapacitetsbegränsning i ett flertal dimensioner. Fordonsflottans storlek antas vara tillräcklig för att en föreslagen distributionslösning ska kunna genomf¨ oras. Kapacitetsutnyttjandet antas endast p˚ averkas av vilket gods som lastas p˚ a fordonen. Exempelvis innebär detta att fordonen inte till˚ ats ha n˚ agon begr¨ ansning i tillryggalagd körsträcka, men efterom distribution i city sällan 22.

(34) eller aldrig kr¨ aver l˚ anga k¨ orstr¨ ackor kan antagandet i just detta fall anses fullt rimligt.. 3.2.3. Mottagare och gods. Endast gods som kan lastas och samlastas godtyckligt, det vill säga inte beh¨ over speciella transporter, betraktas. Kylda transporter är ofta av tillräcklig omfattning f¨ or att en separat distributionslösning kan göras. Enstaka gods som inte kan samlastas anses vara av mycket liten omfattning. Alla s¨ andningar med gemensam mottagare sammansl˚ as och betraktas som en s¨ andning. Detta g¨ ors f¨ or att reducera problemets storlek. I m˚ anga avseenden ¨ ar det optimalt att leverera en mottagares samtliga sändningar vid samma tillf¨ alle, varf¨ or denna inskränkning inte är särskilt betydande. Hela s¨ andningen antas beh¨ ova distribueras vid samma leveranstillfälle – sändningen kan med andra ord inte delas upp. Om en sändning inte skulle rymmas p˚ a ett fordon antas den dock kunna fördelas p˚ a fler fordon, av vilka samtliga f¨ orutom eventuellt ett blir fullastat.. 3.2.4. V¨ agn¨ at. Vägnätet i city speglas h¨ ar i ett nätverk best˚ aende av länkar mellan alla inblandade platser (mottagare och terminal) samt tillhörande avst˚ and. Varje länk motsvarar en given f¨ ardv¨ ag mellan länkens ändpunkter och avst˚ andet är längden av denna.. 3.2.5. Kostnader. Endast kostnader som linj¨ art beror av fordonens respektive tillryggalagda sträcka studeras och m˚ alet med distributionsplaneringen är att minimera summan av dessa. B˚ ade ekonomiska kostnader och kostnader förknippade med milj¨ op˚ averkan, s˚ asom koldioxid- och partikelutsläpp, kan kopplas till fordonens k¨ orstr¨ acka.. 23.

(35) Kapitel 4. Matematisk formulering Problemet som beskrivs i kapitel 3 formuleras med ruttplaneringsmodeller. F¨ oljande m¨ angder och parametrar införs. M¨ angder P :. m¨ angden av mottagare p. P0 :. m¨ angden av mottagare P och terminal p0 , P ∪ p0. N:. m¨ angden kapacitetsdimensioner n hos fordonstyp. Parametrar dpq :. avst˚ and f¨ orknippat med länk (p, q), p, q ∈ P0. Kn :. kapacitet f¨ orknippad med kapacitetsdimension n, n ∈ N. kpn :. gods p:s utnyttjande av kapacitetsdimension n, p ∈ P , n ∈ N. N¨ atverket definieras matematiskt av mängden av länkar (p, q) ∈ P0 × P0 . Gods p syftar till s¨ andningen destinerad till mottagare p, p ∈ P .. 4.1. Modell A. Modell A ¨ ar av samma typ som Modell P1 och modellerar valet av länkar s˚ a att optimala rutter bildas. Parametern maximalt antal rutter r, R = |P |. R: Beslutsvariablerna xpqr = ypr =. ( 1. om länk (p, q) används under rutt r. 0 ( 1. annars. 0. annars. om plats p besöks under rutt r. 24.

(36) införs och Modell A formuleras nedan. min. z=. R X X X. dpq xpqr. A. r=1 p∈P0 q∈P0. X. d˚ a. kpn ypr ≤ Kn. r = 1, . . . , R n ∈ N. (4.1a). p∈P R X. yp0 r = R. (4.1b). r=1 R X. p∈P. (4.1c). xpqr = yqr. q ∈ P0 r = 1, . . . , R. (4.1d). xpqr = ypr. p ∈ P0 r = 1, . . . , R. (4.1e). xpqr ≤ |S| − 1. S ⊆ P r = 1, . . . , R. (4.1f). xpqr ∈ {0, 1}. p, q ∈ P0 r = 1, . . . , R. ypr = 1. r=1. X p∈P0. X q∈P0. XX p∈S q∈S. ypr ∈ {0, 1}. p ∈ P0 r = 1, . . . , R. M˚ alfunktionen minimerar den totala körsträckan. Villkor 4.1a ser till att fordonens kapacitet inte ¨ overstigs. Villkor 4.1b tvingar alla rutter att passera godsterminalen p0 . En rutt r som aldrig lämnar terminalen, det vill säga uppfyller yp0 r = 1 och ypr = 0, p ∈ P , inkluderas inte i distributionslösningen. Därför tolkas parametern R som det maximala antalet rutter som kan ing˚ a i lösningen. Villkor 4.1c ser till att alla platser i P besöks. Villkor 4.1d och 4.1e p˚ atvingar anv¨ andande av l¨ ankar till och fr˚ an en besökt plats. Villkor 4.1f är subtursf¨ orbjudande villkor. Per definition är variablerna binära.. 4.2. Modell B. Modell B ¨ ar av samma typ som Modell P2 och modellerar valet av rutter. Mängden och parametrarna R:. m¨ angden av rutter r. dr :. l¨ angden av rutt r ( 1 om plats p ∈ P0 besöks under rutt r. apr =. 0. annars. införs. En rutt r definieras h¨ ar av de platser p som besöks, vilka betecknas av mängden Pr = {p ∈ P0 : apr = 1}, samt besöksordning. En rutts totala 25.

(37) last ¨ overstiger inte fordonets kapacitet, det vill säga uppfyller X kpn ≤ Kn n ∈ N. (4.2). p∈Pr \{p0 }. och varje rutt passerar terminalen, det vill säga uppfyller p0 ∈ Pr. (4.3). Med hj¨ alp av beslutsvariablerna ( 1 om rutt r används yr = 0 annars formuleras Modell B nedan. min. z=. X. dr yr. B. r∈R. d˚ a. X. apr yr ≥ 1. p ∈ P0. (4.4a). r∈R. yr ∈ {0, 1}. r∈R. M˚ alfunktionen minimerar den totala körsträckan och villkor 4.4a ser till att alla platser bes¨ oks ˚ atminstone en g˚ ang. Per definition a¨r variablerna binära.. 26.

(38) Kapitel 5. L¨ osningsmetoder I detta kapitel f¨ oresl˚ as l¨ osningsmetoder för modellerna i kapitel 4. B˚ ade optimerande metoder och heuristiker har studerats.. 5.1. L¨ osningsmetoder f¨ or Modell A. Sv˚ arigheten med Modell A ¨ ar de exponentiellt m˚ anga subtursförbjudande villkoren 4.1f. Nedan f¨ oresl˚ as en villkorsgenererande algoritm där hänsyn till dessa villkor tas f¨ orst om de bryts.. 5.1.1. Metod A-VG: Villkorsgenererande metod. I denna metod relaxeras (utesluts) samtliga subtursförbjudande villkor. Relaxationen av Modell A l¨ oses upprepade g˚ anger i en itererande process och i varje iteration kontrolleras om l¨ osningen inneh˚ aller subturer. Om subturer finns, stramas relaxationen ˚ at i nästa iteration med villkor som förbjuder just de subturer som uppst˚ att. Ett optimalitetsvillkor ¨ ar uppfyllt d˚ a en lösning som är fri fr˚ an subturer p˚ atr¨ affas. Om villkor som ¨ annu inte genererats adderades till relaxationen skulle l¨ osningen inte p˚ averkas, varför den relaxerade modellen i aktuell iteration ¨ ar ekvivalent med Modell A (det vill säga har samma lösning). Förhoppningen ¨ ar att en stor del av alla tänkbara subturer aldrig bildas, vilket inneb¨ ar att en stor del av de subtursförbjudande villkoren aldrig behöver genereras. Nedan beskrivs matematiskt hur villkorsgenereringen g˚ ar till. En subtur definieras av de mottagare som ing˚ ar i den, vilka kan betecknas med m¨ angden S 0 ⊂ P . Villkoret som förbjuder subturen skrivs matematiskt XX xpqr ≤ |S 0 | − 1 p∈S 0 q∈S 0. Eftersom subturer ¨ ar f¨ orbjudna i alla rutter, konstrueras ett villkor för varje rutt r = 1, . . . , R. Metoden beskrivs av algoritmen nedan. 27.

(39) Steg 1: Relaxera samtliga subtursförbjudande villkor. Steg 2: L¨ os relaxationen av Modell A. Steg 3: Avbryt om l¨ osningen a¨r fri fr˚ an subturer, annars identifiera subturerna och konstruera motsvarande subtursförbjudande villkor enligt ovan. Addera villkoren till relaxationen av Modell A och g˚ a till Steg 2.. 5.2. L¨ osningsmetoder f¨ or Modell B. Sv˚ arigheten med Modell B a¨r den stora mängden rutter R, men tack vare strukturen av ett ¨ overtäckningsproblem kan kolumngenerering tillämpas p˚ a dess LP-relaxation.. 5.2.1. Metod B-KG: Kolumngenererande metod f¨ or LP-relaxation. I denna metod angrips LP-relaxationen av Modell B, benämnd Modell LP-B, med en kolumngenererande algoritm som beskrivet i avsnitt 2.8.1. R0 -restriktionen av Modell LP-B, där mängden rutter R ersatts med delm¨ angden R0 ⊂ R, formuleras nedan. min. z=. X. dr yr. r∈R0. d˚ a. X. apr yr ≥ 1. p ∈ P0. 0 ≤ yr ≤ 1. r ∈ R0. (5.1a). r∈R0. Den reducerade kostnaden d¯r för beslutsvariabel yr beräknas genom X d¯r = dr − λp apr p∈P0. d¨ ar λp , p ∈ P0 ¨ ar den duala lösningen. Rutten som genereras, benämnd r0 , uppfyller d¯r0 = minr∈R d¯r och tas i avsnitt 2.8.1 fram genom att lösa Modell SUB-P2. Här formuleras en motsvarande modell, vilken dock kompliceras betydligt av ruttlängderna dr . Nedan beskrivs hur ruttl¨ angderna beräknas och hur rutten r0 sedan kan identifieras. Sist ges en sammanfattande algoritm för att lösa Modell LP-B. Ber¨ akning av ruttl¨ angder dr Ruttl¨ angderna dr , r ∈ R bestäms av ordningen i vilken platserna Pr = {p ∈ P0 : apr = 1} bes¨ oks. För att kunna beräkna dr görs följande antagande om m¨ angden R. 28.

(40) Givet rutterna r1 , . . . , rm som definieras av Pr1 = . . . = Prm med olika bes¨ oksordningar, antas att endast rutten rk , 1 ≤ k ≤ m som uppfyller angden R. drk = mini=1,...,m dri inkluderas i m¨ Antagandet kan g¨ oras utan inskränkning eftersom den kortaste rutten mellan givna mottagare alltid kommer att väljas i en optimal lösning. En direkt f¨ oljd av antagandet är att dr kan beräknas genom att lösa handelsresandeproblemet (se till exempel [12]) formulerat nedan. dr =. min. X X. dpq wpqr. TSP. p∈Pr q∈Pr. X. d˚ a. wpqr = 1. q ∈ Pr. (5.2a). wpqr = 1. p ∈ Pr. (5.2b). wpqr ≤ |S| − 1. S ⊆ Pr \ {p0 }. (5.2c). wpqr ∈ {0, 1}. p, q ∈ Pr. p∈Pr. X q∈Pr. XX p∈S q∈S. Beslutsvariablerna wpqr definieras av. wpqr =. ( 1 0. om länk (p, q) används annars. Identifiering av rutt r0 Med hj¨ alp av Modell TSP kan den reducerade kostnaden d¯r0 uttryckas d¯r0 = min min r∈R. X X. −. dpq wpqr. p∈Pr q∈Pr. d˚ a. X. X. λp. p∈Pr. wpqr = 1. q ∈ Pr. wpqr = 1. p ∈ Pr. wpqr ≤ |S| − 1. S ⊆ Pr \ {p0 }. wpqr ∈ {0, 1}. p, q ∈ Pr. p∈Pr. X q∈Pr. XX p∈S q∈S. Den yttre minimeringen ¨ over m¨ angden R kan ersättas med minimering under villkor 4.2 och 4.3, p˚ a samma s¨ att som i avsnitt 2.8.1. Detta skapar tv˚ a nästlade minimeringsproblem som emellertid kan sammansl˚ as. Den slutliga 29.

(41) formuleringen f¨ or problemet att identifiera r0 blir min. d¯ =. X X. dpq wpq −. p∈P0 q∈P0. d˚ a. X. λp ap. SUB-B. p∈P0. X. wpq = ap. q ∈ P0. (5.4a). wpq = ap. p ∈ P0. (5.4b). wpq ≤ |S| − 1. S⊆P. (5.4c). n∈N. (5.4d). p∈P0. X q∈P0. XX p∈S q∈S. X. kpn ap ≤ Kn. p∈P. ap0 = 1 wpq ∈ {0, 1} ap ∈ {0, 1}. d¨ ar de nya beslutsvariablerna ( 1 ap = 0 ( 1 wpq = 0. (5.4e) p, q ∈ P0 p ∈ P0. ap och wpq tolkas av om plats p besöks annars om länk (p, q) används annars. Den nya rutten r0 skapas genom att ansätta apr0 = ap , ∀p ∈ P0 . L¨ osningsg˚ ang Modell LP-B l¨ oses med följande algoritm. Steg 1: V¨ alj ut en delmängd R0 ⊂ R. Steg 2: L¨ os R0 -restriktionen av Modell LP-B och tag fram den duala lösningen λp , p ∈ P0 . Steg 3: Formulera och lös Modell SUB-B. Avbryt om lösningen är ickenegativ, annars identifiera den nya rutten r0 , inkludera den i R0 och g˚ a till Steg 2. Att l¨ osa Modell SUB-B a¨r dock inte trivialt p˚ a grund av de subtursförbjudande villkoren 5.4c. Modell SUB-B kan lösas med en villkorsgenererande algoritm liknande l¨ osningsmetoden för Modell A. Algoritmen för att lösa Modell SUB-B beskrivs nedan. Steg 1: Relaxera samtliga subtursförbjudande villkor. Steg 2: L¨ os relaxationen av Modell SUB-B. 30.

(42) Steg 3: Avbryt om l¨ osningen ¨ ar fri fr˚ an subturer, annars identifiera subturerna och konstruera motsvarande subtursförbjudande villkor. Addera villkoren till relaxationen av Modell SUB-B och g˚ a till Steg 2. En subtur mellan mottagare S 0 ⊂ P förbjuds här med det subtursförbjudande villkoret XX wpq ≤ |S 0 | − 1 p∈S 0 q∈S 0. 5.2.2. Metod B-HKG: Heuristisk kolumngenerering. I denna metod l¨ oses en restriktion av Modell B, där mängden av rutter R ersatts med en delm¨ angd av rutter R0 ⊂ R. Detta gör metoden heuristisk. Att konstruera en algoritm som genererar bra rutter är inte trivialt eftersom det inte alltid ¨ ar givet vad som karakteriserar en bra rutt. I denna metod genereras rutterna R0 med en algoritm inspirerad av Clarke and Wright-algoritmen. N¨ ar R0 genererats löses R0 -restriktionen av Modell B, vilken formuleras nedan. min. z=. X. dr yr. r∈R0. d˚ a. X. apr yr ≥ 1. p ∈ P0. (5.5a). r∈R0. yr ∈ {0, 1}. r ∈ R0. En rutt r refererar i denna metod direkt till dess besöksordning p˚ a formen (p0 , p1 , p2 , . . . , pr , p0 ) d¨ ar Pr = {p0 , p1 , p2 , . . . , pr } är ruttens besökta platser. Ruttgenerering I Clarke and Wright-algoritmen ersätts rutter med nya, sammanfogade rutter. I denna generering sparas d¨ aremot varje rutt som en g˚ ang konstruerats. Initialt skapas rutterna (p0 , p, p0 ), p ∈ P mellan terminalen och varje mottagare. Besparingar spq , p, q ∈ P beräknas genom spq = cp0 p + cqp0 − cpq och sammanfogningar av rutter g¨ ors p˚ a ett liknande sätt som i Clarke and Wright-algoritmen (se avsnitt 2.9.1). Besparingen spq f˚ as med andra ord d˚ a tv˚ a rutter sammanfogas med hj¨ alp av länken (p, q). Att spara alla rutter som en g˚ ang konstruerats innebär att länk (p, q) kan anv¨ andas till att utf¨ ora m˚ anga sammanfogningar, eftersom det (efter n˚ agra iterationer) finns m˚ anga rutter p˚ a formen (p0 , . . . , p, p0 ) respektive (p0 , q, . . . , p0 ). För att rutt r1 = (p0 , . . . , p, p0 ) och rutt r2 = (p0 , q, . . . , p0 ) ska kunna sammanfogas m˚ aste dock vissa krav vara uppfyllda. Det första kravet är att den sammanfogade ruttens godsleveranser inte f˚ ar överstiga fordonens 31.

(43) kapacitet. Det andra kravet är baserat p˚ a ett antagande om vad som karakteriserar en d˚ alig rutt: rutter som bes¨ oker en mottagare fler ¨ an en g˚ ang antas vara d˚ aliga, eftersom fler ¨ an ett bes¨ ok inte ¨ ar n¨ odv¨ andigt. Det andra kravet ¨ ar d¨ arf¨ or att mottagare bara f˚ ar förekomma en g˚ ang i den sammanfogade rutten, det vill s¨ aga att rutt r1 och rutt r2 inte har n˚ agon mottagare gemensamt. Ruttgenereringen beskrivs av algoritmen nedan. Steg 1: Initiera R0 med rutterna (p0 , p, p0 ), p ∈ P . Beräkna besparingarna spq och sortera dem i avtagande ordning. Steg 2: V¨ alj den st¨ orsta besparingen spq . Avbryt om spq ≤ 0 eller om ingen besparing ˚ aterst˚ ar. Steg 3: Identifiera alla rutter p˚ a formen (p0 , . . . , p, p0 ) och (p0 , q, . . . , p0 ). Utf¨ or sammanfogningar av dessa rutter med hjälp av länk (p, q). Spara endast sammanfogningar som uppfyller kraven ovan. Stryk besparingen spq och g˚ a till Steg 2. Denna algoritm resulterar i själva verket i att en mycket stor mängd rutter – i vissa fall hela mängden R – genereras, varför det är lämpligt att inf¨ ora parametrar som kan begränsa genereringen. Den strategi för begr¨ ansning som anv¨ ants här är att spara maximalt M sammanfogade rutter per besparing. Denna kontroll görs i Steg 3.. 5.3. Heuristiker. De ovan f¨ oreslagna l¨ osningsmetoderna kompletteras med heuristiska metoder.. 5.3.1. Metod H-CW: Clarke and Wright-algoritmen. Clarke and Wright-algoritmen tillämpad p˚ a problemet beskrivs här kortfattat. En rutt (p0 , . . . , p, q, . . . , p0 ) kan skapas genom sammanfogning om rutterna (p0 , . . . , p, p0 ) och (p0 , q, . . . , p0 ) existerar och mängden gods som ska levereras inte ¨ overstiger fordonens kapacitet. Om sammanfogningen utförs, g¨ ors en besparing spq som beräknas genom spq = cp0 p + cqp0 − cpq. p, q ∈ P. Algoritmen beskrivs nedan. Steg 1: Skapa de triviala rutterna (p0 , p, p0 ), p ∈ P . Beräkna besparingarna spq och sortera dem i avtagande ordning. 32.

(44) Steg 2: V¨ alj den st¨ orsta besparingen spq . Avbryt om spq ≤ 0 eller om ingen besparing ˚ aterst˚ ar. Steg 3: Om rutterna (p0 , . . . , p, p0 ) och (p0 , q, . . . , p0 ) existerar och kan sammanfogas utan att m¨ angden gods överstiger fordonens kapacitet, sammanfoga rutterna till rutten (p0 , . . . , p, q, . . . , p0 ) och stryk besparingen spq . G˚ a till Steg 2.. 5.3.2. Metod H-S: Svepalgoritmen. Svepalgoritmen till¨ ampad p˚ a problemet beskrivs här kortfattat. För att anv¨ anda svepalgoritmen krävs vinkeln θp förknippad med varje mottagare p ∈ P . I figur 2.7 visades hur θp definieras. Svepalgoritmens första fas, för att gruppera mottagarna, blir enligt följande. Steg 1: Sortera mottagarna i P efter stigande vinkel θp . Steg 2: Inkludera mottagare i en grupp efter sorterad ordning. En mottagare kan inte inkluderas om dess tillhörande godsmängd lecer till att fordonets kapacitet ¨ overskrids. Om en mottagare som inte kan inkluderas p˚ atr¨ affas, g˚ a till Steg 3. Avbryt om alla leveransplatser ing˚ ar i en grupp. Steg 3: P˚ ab¨ orja en ny grupp och g˚ a till Steg 2. I den andra fasen skapas en rutt för varje kluster av mottagare med hjälp av längst bort-ins¨ attning (se avsnitt 2.9.2).. 33.

(45) Kapitel 6. Fallstudie En fallstudie har gjorts av Linköpings city. Syftet med fallstudien är att testa modeller och l¨ osningsmetoder samt att analysera citylogistiska koncept för godsdistribution. H¨ ar beskrivs hur data har samlats in eller genererats och probleminstanser definieras. Resultat och analys av fallstudien presenteras i kapitel 9.. 6.1. Datainsamling. Under PILOT [5] samlades data om godsleveranser i Linköpings city in under nio veckor. PILOT genomfördes för att utvärdera potentialen med samdistribution, varf¨ or data bearbetades för att just den fr˚ ageställningen skulle kunna besvaras. R˚ adata är däremot intressant även för andra syften. R˚ adatan finns samlad i en databas som bland annat inneh˚ aller information om varje enskild s¨ andning som levererades under försöksperioden. Tre transport¨ orer deltog i PILOT varför det är tre transportörers samlade godsleveranser i city som uppm¨ atts. Uppgifter i databasen gör det emellertid möjligt att s¨ arskilja de tre verksamheternas respektive sändningar. I denna fallstudie har datamaterial fr˚ an PILOT-databasen använts. Nedan beskrivs mer detaljerat hur parametrar till optimeringsmodellerna tagits fram med hj¨ alp av denna.. 6.1.1. V¨ agn¨ at. V¨ agn¨ atet speglas i ett nätverk med länkar mellan terminalen och alla mottagare. Till varje l¨ ank (p, q) förknippas avst˚ andet dpq , p, q ∈ P0 . Hur avst˚ anden dpq kan tas fram a¨r beroende av vad de ska representera, vilket i sig beror p˚ a studiens fr˚ ageställning och vilken noggrannhet den kräver. I vissa fall kan f˚ agelavst˚ and vara tillräckliga, medan andra tillämpningar har fr˚ agest¨ allningar som kr¨ aver mer detaljerad data om de verkliga färdvägarna. 34.

No results found