KONTROLLSKRIVNING 2
Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
Datum: Fredag 19 apr 2013 Skrivtid: 10:15-12:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 3 av max 6 poäng.
Uppgift 1. (1p) Bestäm konstanten c så att
< ≤
= −
övrigt för
x x c x
f
0
5 2
2 , )
(
blir en täthetsfunktion.
Uppgift 2. (2p) En stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen
<
≥
= −
. 2 0
2 x 4 om
) 1
(
2x x x
F
Beräkna a) medianen och b) väntevärdet (=medelvärdet) till s.v. X.
Uppgift 3. (2p) Livslängd hos en viss transistortyp är exponentialfördelad s.v. med
fördelningsfunktionen
<
≥
= −
−. 0 0
0 x om ) 1
(
2 /
x x e
F
x
a) Bestäm sannolikheten att en sådan transistor (slumpvis vald) har livslängden som är större än 1 år.
b) Man köper 5 transistorer. Bestäm sannolikheten att minst 4 av dem har livslängden som är större än 1 år. (I b frågan kan du svara med ett uttryck som innehåller binomiska
koefficienter )
Uppgift 4. (1p) Den s.v. X har täthetsfunktionen
f ( x ) = 3 e
−3x, x ≥ 0
. Beräkna väntevärdet E(g(X)) därg ( x ) = e
−2x.Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (1p) Bestäm konstanten c så att
< ≤
= −
övrigt för
x x c x
f
0
5 2
2 , )
(
blir en täthetsfunktion.
Lösning:
) ( x
f måste satisfiera villkoret: Arean=1 dvs
∫
∞ ( ) =1∞
−
dx x
f .
Först beräknar vi integralen
Arean=
∫
∞ =∫
−∞
−
5
2 2
)
( dx
x dx c
x
f
∫
∫
= −=
3
0 2 3 1
0
dt ct t dt
c = 2 3
0 3
2 1
2 1
ct = c
Från ekvationen arean=1 har vi
3 2 1 1
3
2c = ⇒c= .
Svar: 0.2887
3 2
1 ≈
= c
< ≤
⇒ −
=
⇒
= ∫
∫
∞∞
−
∞
∞
−
för övrigt
x x c dx
x f dx
x f
0
5 2
2 , 1
) ( 1
) (
blir en täthetsfunktion.
Uppgift 2. (2p) En stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen
<
≥
= −
. 2 0
2 x 4 om
) 1
(
2x x x
F
Beräkna a) medianen och b) väntevärdet (medelvärdet) till s.v. X.
Substitution x− 2=t, dx=dt, Gränser : x=2⇒t =0,
x=5⇒t=3
2 av 4
Lösning:
a) Medianen bestämmer vi genom att lösa en av följande ekvationer:
5 . 0 ) (x =
F eller
∫
( ) =0.5∞
− x
dx x
f .
I vårt fall är det enklare att lösa
8 2 8
1 5 4
. 4 0 1 5 . 0 )
( = ⇒ −
2= ⇒
2= ⇒ x
2= ⇒ x = ± x
x x F
Eftersom x ≥2 väljer vi x= 8 ≈2.828.
b) Medelvärdet till s.v. X. beräknas med hjälp av följande formel
∫
∞∞
−
= xf x dx X
E( ) ( ) .
Först måste vi bestämma täthetsfunktionen
<
= >
= ′ −
. 2 0
2 x om ) 8
( ) (
3
x x x
F x f
Nu kan vi beräkna
4 4 2 0
8 8 8
) ( )
(
2 2 2
3 ∞=− + =
−
=
=
⋅
=
=
∫
∞∫
∞ −∫
∞ −∞
− xf x dx x x dx x dx x
X E
Svar: a) medianen är 8 ≈2.828 b) väntevärdet (=medelvärdet)=4
Uppgift 3. (2p) Livslängd hos en viss transistortyp är exponentialfördelad s.v. med
fördelningsfunktionen
<
≥
= −
−. 0 0
0 x om ) 1
(
2 /
x x e
F
x
a) Bestäm sannolikheten att en sådan transistor (slumpvis vald) har livslängden som är större än 1 år.
b) Man köper 5 transistorer. Bestäm sannolikheten att minst 4 av dem har livslängden som är större än 1 år. (I b frågan kan du svara med ett uttryck som innehåller binomiska
koefficienter )
3 av 4
Lösning:
a) p=P(X >1)=1−P(X ≤1)=1−F(1)=1−(1−e−1/2)=e−1/2 ≈0.60653
b) Låt Y beteckna antalet transistorer bland dem 5 köpta som har livslängden större än 1 år . Då är Y∈Bin(5, p) där p≈0.60653 och q=1− p≈0.39347.
0.3483 0.08208
0.26625 5 5
5 4
) 5 5 ( ) 4 ( ) 4
( 4 5 0 = ⋅ 4 + 5 = + =
+
=
= +
=
=
≥ P Y P Y p q p q p q p
Y P
Svar: a) 0.60653
b) 5 0.3483
5 5 4
5 4 5 0 4 5
= +
⋅
=
+
p q p q p q p
Uppgift 4. (1p) Den s.v. X har täthetsfunktionen
f ( x ) = 3 e
−3x, x ≥ 0
. Beräkna väntevärdet E(g(X) därg ( x ) = e
−2x.Lösning:
5 ) 3 5 ( 3 0 0
3 5 3
3 )
( ) ( )) ( (
5
0 5 0
3
2 ∞= − − =
= −
=
⋅
=
= ∞ ∞ − − ∞ − −
∞
−
∫
g x f x dx∫
e x e xdx∫
e xdx e xX g E
Svar: 3/5
4 av 4
