Tillämpad Matematik II Övning 2
Allmänt
Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.
Uppgifter
Typuppgifter i första hand
1. Låt 2 1
3 4 , 7 3
6 1 och 2 4 3
1 5 2 . Beräkna sedan
a typ b typ c d typ e f
g 2 h 2 i typ 2 j 3 2 4 k l 2
2. Låt 2 1
3 4 , 7 3
6 1 och 2 4 3
1 5 2 . Beräkna sedan
a b c d e f 3
3. Givet matriserna 3 2, 2 4 och 3 4. Vilka matrismultiplikationer är möjliga?
, , , , , , , , ,
4. Låt 2 1
3 4 , 7 3
6 1 och 2 4 3
1 5 2 . Beräkna sedan
a b c 2 d e f
g h i j 3 k l 2 2
5. Låt 2 1
3 4 och 2
1 . Beräkna sedan
a b c d e f
6. Låt 2 1
3 4 och 7 3
6 1 . Beräkna sedan
a 2 b c d
7. Sök en matris så att 3 3
a11 a12 a13
a21 a11 a22 a12 a23 a13
a31 a32 a33
.
8. Sök en matris så att 3 3
a13 a13 a12
a23 a23 a22
a33 a33 a32
.
9. Låt 12 1 Ξ 1 Ξ och beräkna
a 11 Ξ b 11 Ξ c 11 Ξ
d 11 Ξ Ξ e 11 Ξ Ξ Ξ f 11 14 Ξ 2 Ξ
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 2 1
10. Låt 2 1
3 4 och 2 4 3
1 5 2 . Beräkna sedan
a b c d e f
11. Låt 1 2
2 3 . Bestäm 1.
12. Lös matrisekvationen då 2 1
1 0 och 1 1
2 1 .
13. Lös matrisekvationen 2 2 då 2 1
1 0 och 4 6 .
14. Låt
2 3 2
0 2 1
2 1 1 ,
1 2 1
. Lös sedan i detalj med Gauss eliminationsmetod. Vad menas med begreppen elimination-
ssteg och bakåtsubstitution? Ange en grov formel för lösningstiden om ekvationssystemet har n ekvationer.
15. Kan man dra nytta av Gauss eliminationsmetod när det gäller att bestämma determinanter? Om så är fallet ange i föregående uppgift.
16. Vilka tre fall kan man få då man löser ett ekvationssystem? Utred dem geometriskt och förklara med begrepp som determinant, koefficientmatris, högerled och parallellitet.
17. Vad menas med att ett ekvationssystem är illa konditionerat?
18. Bestäm med hjälp av ett ekvationssystem den räta linje y k x m som går genom punkterna 1, 2 och 3, 4 .
19. En fondplacerare delar upp 25000 kr i tre poster varav de två första tillsammans är tre gånger så stor som den tredje. Dessa poster placeras sedan i olika värdepapper där den årliga avkastningen är 5%, 4% respektive 10%. Bestäm nu posternas storlek om den totala avkastningen vid årets slut är 1400 kr.
20. AB Len&Fin tillverkar en kräm som enligt reklamen sägs motverka rynkor. Denna kräver tre olika råvaror. Inköpspriset per gram råvara är 1 kr, 1.50 kr respektive 2 kr. Fraktkostnaderna per gram råvara är 2 kr, 1 kr respektive 1.50 kr. Till kund levereras burkar med kräm som väger 50 gram och betingar 80 kr i råvarukostnad och 70 kr i fraktkostnad. Hur många gram av de olika råvarorna går det åt för att tillverka en burk?
21. Beskriv arbetsgången att bestämma egenvärden och egenvektorer. Vad menas med sekularekvationen? Kan den alltid lösas exakt? Blir egenvärden och egenvektorer unikt bestämda? Hur många får man? Vad kan man säga om egenvärdena till en reell symmetrisk matris?
22. Bestäm egenvärden och normerade egenvektorer till 3 4 4 9 .
23. Matrisen
6 2 3
2 3 6
3 6 2
har en egenvektor 1
2 3
. Bestäm motsvarande egenvärde.
24. Matrisen a 2
3 4 har ett egenvärde Λ1 2. Bestäm a och Λ2.
25. Ange de olika stegen i minsta kvadratmetoden (MKM). Vad menas med funktionsval och modellparametrar? Skillnad på linjär och olinjär MKM. Diskret jämfört med kontinuerlig.
26. Vad menas med normalekvationerna? Några speciella egenskaper?
27. Använd MKM för att anpassa en rät linje y k x m till mätpunkterna x 1 2 3
y 1 2.5 2.6 . Rita mätpunkter och den anpassade funktionen i samma figur.
28. Vad menas med interpolation och extrapolation? Diskutera med hjälp av figuren i föregående uppgift.
29. Man vill approximera y x2 med en rät linje y k x i intervallet x 0, 1 . Ta hjälp av kontinuerlig MKM för att bestämma k.
30. Anpassa med MKM y ax bx2 till mätvärdena x 2 3 5 8 y 1.9 0.1 11 39 .
2 Tillämpad Matematik II, Övning 2 HH/ITE/BN
31.Sambandet mellan strömmen i och spänningen u i en olinjär elektrisk krets antas följa lagen i aun, där a och n är konstanter. Bestäm dessa med MKM och mätserien. Rita mätpunkter och den anpassade funktionen i samma figur.
u 8 12 15 20 28 36
i 41.1 55.6 65.8 81.6 105 127
32. Vad karakteriserar ett LP-problem? Ta hjälp av problemet nedan och dess grafiska lösning när du nu diskuterar vad som menas med min/max, objektfunktion, olika typer av bivillkor och synen på dem, positivitetskrav, nivåkurva, objektfunktionens gradient, tillåtet konvext område (simplex), hörnpunkter, redundanta bivillkor, aktiva bivillkor, optimal punkt, optimalt värde. Var kan man hitta den optimala punkten? Är den alltid unik? Finns det alltid en lösning till ett LP-problem? Om inte, vad kan det bero på?
33. En bonde håller kor och får. En ko behöver 1 LE (ladugårdsenheter) och ett får 2 LE på grund av frigång inomhus. Totalt förfogar bonden över 20 LE. En ko äter och dricker 3 ME (matenheter) medan ett får nöjer sig med 1 ME. Totalt finns 30 ME tillgängliga. Hur ska han hålla djur om han vill maximera sin vinst då försäljningspriset på en ko är dubbelt så högt som på ett får?
Om försäljningspriset skulle bli fyra gånger så högt? Eller om det blir endast en tredjedel? Rita figur och markera det godkända konvexa området (simplex) samt ange samtliga hörnpunkter och den optimala punkten. Rita en uppsättning nivåkurvor för var och ett av de tre optimeringsfallen du ska ta hänsyn till enligt ovan.
Extrauppgifter i andra hand i mån av tid
34. Låt 2 1
3 5 , 7 1
2 3 och 1 1 3
1 6 4 . Beräkna sedan
a b c 2 d e f
g h i 2 j k l 2
35. Låt 2 1
3 1 och 1 3
2 2 . Beräkna sedan .
36. Sök en matris så att 2 2 a11 a12
a21 3a11 a22 3a12 .
37. Lös matrisekvationen 1 1 då 1 2
2 3 och 2 3
1 1 .
38. Låt
2 2 1
1 0 1
2 1 1
,
1 1 2
1 0 1
1 2 2
och visa att de är varandras inverser. Bestäm sedan en matris sådan att .
39. Låt 12 1 Ξ 1 Ξ . Beräkna 11
Ξ
k1
k2 Ξ Ξ med hänsyn till att en 1 1-matris kan tolkas som en skalär.
40. Studera ekvationssystemet
2 4 1
4 6 5 6 8 4
x y z
2 3 6
och fullborda sedan Gauss eliminationssteg genom att fylla i den saknade
koefficienten i det utökade systemet
2 4 1 2
0 2 7
0 0 7 2
.
41. Anpassa med MKM y ax b x till mätvärdena x 2.0 3.0 5.0 8.0 y 0.5 2.1 5.9 11.8 .
42. Man vill approximera y x med en rät linje y k x m i intervallet x 0, 1 . Ta hjälp av kontinuerlig MKM för att bestämma k och m. Jämför med diskret MKM och x 0, 12, 1.
43. Gör om föregående uppgift men använd modellen y c2x2 c1x c0. Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls
44. Låt 2, 3 med avseende på en godtycklig bas 1, 2. Som nya basvektorer införes 1 1 4 2 och 2 1. Skriv i komponentform med avseende på den nya basen 1, 2.
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 2 3
45. Låt vara en kvadratisk matris. Man kan då skapa två matriser, modalmatrisen vars kolonner är egenvektorerna till och spektralmatrisen som är en diagonalmatris med egenvärdena till på huvuddiagonalen, motsvarande ordningen i . Man kan då visa att släktskapet mellan dessa tre matriser är . Låt 2 1
1 2 och beräkna sedan 1000 med hjälp av informationen ovan och att Sn Λ1 0
0 Λ2
n Λ1n 0
0 Λ2n . Du behöver inte räkna ut Λ1n och Λ2n. Dessa får ingå i den sökta resultatmatrisen.
46. är en kvadratisk matris som uppfyller relationen 2 . a) Visa att är inverterbar och ange inversen.
b) Bestäm 3.
47. Eva talar franska och tyska, Kalle talar engelska, franska och svenska, Stina talar engelska, svenska och spanska. Putte talar de språk de andra talar utom franska. Ingen talar något annat språk. Möblera en matris med aij 1 om person i talar språk j, annars aij 0. Förklara innebörden av elementen i matriserna och . Varför är de symmetriska?
4 Tillämpad Matematik II, Övning 2 HH/ITE/BN
