Tillämpad Matematik II Övning 2

(1)

Tillämpad Matematik II Övning 2

Allmänt

Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.

Uppgifter

Typuppgifter i första hand

1. Låt 2 1

3 4 , 7 3

6 1 och 2 4 3

1 5 2 . Beräkna sedan

a typ b typ c d typ e f

g 2 h 2 i typ 2 j 3 2 4 k l 2

Lösningsförslag: Standard matrisalgebra. Vi använder oss av enhetsmatrisen och nollmatrisen för första gången. Ladda upp med lite hjälpredor, sedan är det bara att räkna på

n : IdentityMatrix n ; n : 0 n; typ : Dimensions ; 2 1

3 4 ; 7 3

6 1 ; 2 4 3

1 5 2 ;

typ 2, 2 typ 2, 2 2 4 8 6

2 10 4 3 2 4 4 3

21 18

typ 2, 3 5 2

9 5 2 15 7

9 1 ^2,3

2 4 3

1 5 2

9 4

3 3 ²

2 1

3 4 typ 2 2, 2 2 Typfel

2. Låt 2 1

3 4 , 7 3

6 1 och 2 4 3

a b c d e f 3

Lösningsförslag: Räkna på!

2 1

3 4 ; 7 3

6 1 ; 2 4 3

1 5 2 ;

. 8 5

3 5 . 3 13 8

2 32 17 . . 11 57 34

11 13 1

. 23 19

15 10 . . 47 50

45 35 3 . 24 15

9 15

3. Givet matriserna 3 2, 2 4 och 3 4. Vilka matrismultiplikationer är möjliga?

, , , , , , , , ,

Lösningsförslag: Direkt studie av typerna ger att endast , , , , är möjliga.

4. Låt 2 1

3 4 , 7 3

6 1 och 2 4 3

(2)

a b c ² d e f

g h i j 3 k l 2 ²

Lösningsförslag: Tänk på matrispotenser i Mathematica; ⁿ

n st

MatrixPower , n .

2 1

3 4 ; 7 3

6 1 ; 2 4 3

1 5 2 ;

. . 15 14

12 15 . 13 14

14 17 . 9 17

3 16

. 39 26

66 51 .

1 2

23 24

12 11

. 3 . 73 54

28 29

. 31 18

36 17 .

5 3 4

3 41 22

4 22 13

. . 5 35

0 55

2 1

4 5

3 2

. 29 24

24 30 2 . . 308 270

102 45

5. Låt 2 1

3 4 och 2

1 . Beräkna sedan

a b c d e f

Lösningsförslag: Olika produkter mellan matris och vektor.

2 1

3 4 ; 2

1 ;

. . . . . . .

5

10 7 6 20 7

6 5 4 2

2 1

6. Låt 2 1

3 4 och 7 3

6 1 . Beräkna sedan

a 2 b c d

Lösningsförslag: Bara kvadratiska matriser inblandade. Räkna på!

2 1

3 4 ; 7 3

6 1 ;

2 ₂ . ₂. . ₂. . ₂ . ₂. . ₂ 4 1

3 6

7 6

18 19

8 5

3 5

0 0 0 0

7. Sök en matris så att 3 3

a11 a12 a13

a21 a11 a22 a12 a23 a13

a31 a32 a33

.

Lösningsförslag: Vi ser att också är kvadratisk, så förtrogenhet med matrismultiplikation tillsammans med lite provande ger 1 0 0

1 1 0 0 0 1

.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a11 a21 a12 a22 a13 a23

a31 a32 a33

(3)

a13 a13 a12

a23 a23 a22

a33 a33 a32

.

Lösningsförslag: Vi ser att också är kvadratisk, så förtrogenhet med matrismultiplikation tillsammans med lite provande ger a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

0 0 0 0 0 1 1 1 0 a13 a13 a12

a₂₃ a₂₃ a₂₂ a₃₃ a₃₃ a₃₂

9. Låt ¹₂ 1 Ξ 1 Ξ och beräkna

a ¹₁ Ξ b ¹₁ Ξ c ¹₁ Ξ

d ¹₁

Ξ Ξ e ¹₁

Ξ Ξ Ξ f ¹₁ ¹₄

Ξ 2  Ξ

Lösningsförslag: Derivering och integration av matriser.

1

2 1 Ξ 1 Ξ ;

1

1 Ξ 1 1

1

1 .D , Ξ Ξ

1 2

1 2 1 2

1 2

1

1 . Ξ

2 3

1 3 1 3

2 3

1

1D , Ξ .D , Ξ Ξ

1 2

1 2 1 2

1 2

1

1 . Ξ  ⁴₃ 

1 1 .¹

4 D , Ξ 2  Ξ

29 24

19 24 13 24

35 24

10. Låt 2 1

3 4 och 2 4 3

a b c d e f

Lösningsförslag: Standard matrisalgebra.

2 1

3 4 ; 2 4 3

1 5 2 ;

Det , , . , . , . , .

5, 5, 25, 25, 294, 0

11. Låt 1 2

2 3 . Bestäm ¹.

Lösningsförslag: Vi har ¹ a11 a12

a21 a22

1 1 a22 a12

a21 a11

1 a₁₁a₂₂ a₁₂a₂₁

a22 a12

a21 a11 . Så 1

1 3 2 2

3 2

2 1

3 7

2 7 2 7

1 7

Eller direkt i Mathematica

Inverse 1 2 2 3 

(4)

3 7

2 7 2 7

1 7

12. Lös matrisekvationen då 2 1

1 0 och 1 1

2 1 .

Lösningsförslag: Förmultiplicera båda led med ¹ och eftermultiplicera båda led med ¹. Vi får ¹ ¹

1 1 1. Observera ordningen i sista ledet!

2 1

1 0 ; 1 1

2 1 ; Inverse .Inverse

2 3

1 3 5 3

1 3

Inverse .

2 3

1 3 5 3

1 3

En ängslig koll

. . ₂

True

Eller en rå attack med Mathematica direkt mot ekvationen där de obekanta elementen i bestäms med hjälp av Solve. Det är viktigt att ansätta rätt, här ser vi ser att typ typ så

x11 x12

x21 x22

;

ekv . . 2

2 x11 x21 2 2 x12 x22 2 x11 2 x12 x21 x22

x11 2 x12 x12 x11

1 0 0 1

. Solve ekv First

2 3

1 3 5 3

1 3

13. Lös matrisekvationen ² 2 då 2 1

1 0 och 4 6 .

Lösningsförslag: Vi får ² 2 ² 2 ² 2 ¹ .

2 1

1 0 ; 4

6 ; Inverse . 2 . 4

6

En ängslig koll

. . 2 .

True

Eller en rå attack med Mathematica direkt mot ekvationen där de obekanta elementen i bestäms med hjälp av Solve. Det är viktigt att ansätta rätt, här ser vi ser att typ typ så

x11

x21

;

ekv . . 2 .

(5)

5 x₁₁ 2 x₂₁ 2 x₁₁ x₂₁

2 2 x₁₁ x₂₁ 4 2 x₁₁ 6

. Solve ekv First 4

6

14. Låt

2 3 2

0 2 1

2 1 1 ,

1 2 1

. Lös sedan i detalj med Gauss eliminationsmetod. Vad menas med begreppen elimination- ssteg och bakåtsubstitution? Ange en grov formel för lösningstiden om ekvationssystemet har n ekvationer.

Lösningsförslag: Vi kan följa skådespelet med följande programsnutt i Mathematica. Först den utökade matrisen .

M

2 3 2 1 0 2 1 2 2 1 1 1

;

n Length M ;

Print " Elimination "

DoPrint "j ", j, ": ", M ;

Doq M i, j M j, j

; M i q M j ;

Print"j ", j, ", i ", i, ", ", a10 i j

a10 j j

, " ", q, " ", M;

, i, j 1, n ;

, j, 1, n 

Print " Bakåtsubstitution "

Table 0, n 1 ;

Do i M i, n 1 M i . M i, i ; Print xi, " ", i ;

, i, n, 1, 1 Elimination

j 1:

2 3 2 1

0 2 1 2

2 1 1 1

j 1, i 2,a₂₁ a11 0

2 3 2 1

0 2 1 2

2 1 1 1

j 1, i 3,a31

a11

1

2 3 2 1 0 2 1 2 0 4 1 2

j 2:

2 3 2 1 0 2 1 2 0 4 1 2

j 2, i 3,a₃₂ a22

2

2 3 2 1

0 2 1 2

0 0 1 2

j 3:

2 3 2 1

0 2 1 2

0 0 1 2

Bakåtsubstitution x3 2

x₂ 0

x₁ 3 2

En liten ängslig koll Lösningstiden är proportionellt mot kuben på antal obekanta, T kn³, där k beror på datorns prestanda.

(6)

Solve

2 3 2

0 2 1

2 1 1 .

x1

x2

x₃

1 2 1



x1 3

2, x2 0, x3 2

15. Kan man dra nytta av Gauss eliminationsmetod när det gäller att bestämma determinanter? Om så är fallet ange i föregående uppgift.

Lösningsförslag: Visst, efter elimination fås determinanten som produkten av talen i huvuddiagonalen, 2 2 1 4. Det är väsentli- gen såhär effektiva determinantberäkningsalgoritmer fungerar.

Tr

2 3 2 0 2 1 0 0 1

, Times

4

Direkt i Mathematica.

Det

2 3 2

0 2 1

2 1 1



4

16. Vilka tre fall kan man få då man löser ett ekvationssystem? Utred dem geometriskt och förklara med begrepp som determinant, koefficientmatris, högerled och parallellitet.

Lösningsförslag: Se "Något om Matriser och Mathematica"!

17. Vad menas med att ett ekvationssystem är illa konditionerat?

18. Bestäm med hjälp av ett ekvationssystem den räta linje y k x m som går genom punkterna 1, 2 och 3, 4 . Lösningsförslag: Vi får direkt ekvationssystemet och dess lösning

Solve 2 k 1 m, 4 3 k m, y k x m , y, k, m

y 5 x 2 , k 1

2, m 5 2^

19. En fondplacerare delar upp 25000 kr i tre poster varav de två första tillsammans är tre gånger så stor som den tredje. Dessa poster placeras sedan i olika värdepapper där den årliga avkastningen är 5%, 4% respektive 10%. Bestäm nu posternas storlek om den totala avkastningen vid årets slut är 1400 kr.

Lösningsförslag: Antag att posternas storlekar är x, y respektive z. Informationen räcker för att möblera ett ekvationssystem som sedan kan lösas med exempelvis Gauss eliminationsmetod eller något ännu enklare

Solvex y z 25 000, x y 3 z,

5 100

x 4

100 y 10

100

z 1400

x 2500, y 16 250, z 6250

20. AB Len&Fin tillverkar en kräm som enligt reklamen sägs motverka rynkor. Denna kräver tre olika råvaror. Inköpspriset per gram råvara är 1 kr, 1.50 kr respektive 2 kr. Fraktkostnaderna per gram råvara är 2 kr, 1 kr respektive 1.50 kr. Till kund levereras burkar med kräm som väger 50 gram och betingar 80 kr i råvarukostnad och 70 kr i fraktkostnad. Hur många gram av de olika råvarorna går det åt för att tillverka en burk?

Lösningsförslag: Antag att råvarornas storlekar är x, y respektive z gram. Informationen räcker för att möblera ett ekvationssystem som sedan kan lösas med exempelvis Gauss eliminationsmetod eller något ännu enklare

Solve x y z 50,

(7)

1 x 1.5 y 2 z 80, 2 x 1 y 1.5 z 70 x 10., y 20., z 20.

21. Beskriv arbetsgången att bestämma egenvärden och egenvektorer. Vad menas med sekularekvationen? Kan den alltid lösas exakt? Blir egenvärden och egenvektorer unikt bestämda? Hur många får man? Vad kan man säga om egenvärdena till en reell symmetrisk matris?

22. Bestäm egenvärden och normerade egenvektorer till 3 4 4 9 .

Lösningsförslag: Vi får direkt i Mathematica. Kontrollräkna för hand enligt kompendiet. Kom ihåg att egenvektorerna är inte entydigt bestämda, utan pekar bara ut syftlinjer.

Λ, v Eigensystem 3 4 4 9 

11 1

1, 2 2, 1

Återstår bara att normera egenvektorerna. Serveras radvis i samma ordning som ovan.

Normalize v

1 5

2 5 2

5 1

5

23. Matrisen

6 2 3

2 3 6

3 6 2

har en egenvektor 1

2 3

. Bestäm motsvarande egenvärde.

Lösningsförslag: Vi har egenvärdesproblemet Λ . Eftersom nu är given räcker det att kontrollera likhet för exempelvis första raden 6 1 2 2 3 3 Λ 1 Λ 7. Kontroll visar att det stämmer för alla rader

6 2 3

2 3 6 3 6 2

. 1

2 3

7 1

2 3 True

Utom tävlan låter vi Mathematica stilla vår nyfikenhet.

Eigensystem

6 2 3

2 3 6 3 6 2



7 7 7

1, 2, 3 3, 0, 1 2, 1, 0

24. Matrisen a 2

3 4 har ett egenvärde Λ₁ 2. Bestäm a och Λ₂.

Lösningsförslag: Först bestämmer vi a med hjälp av Λ1 och sekularekvationen Λ 0.

ekv Det a 2

3 4 2 1 0

0 1  0 2 a 10 0

aVärde Solve ekv First a 5

Sedan Λ2 med sekularekvationen i repris

(8)

ekv Det a 2

3 4 Λ 1 0

0 1  0 . aVärde Λ² 9Λ 14 0

Solve ekv Λ 2 , Λ 7

Alltså Λ₂ 7 eftersom Λ₁ 2 var givet.

Eller direkt med Eigensystem som dessutom levererar egenvektorerna som bonus.

Eigensystem a 2

3 4 . aVärde

7 2

1, 1 2, 3

25. Ange de olika stegen i minsta kvadratmetoden (MKM). Vad menas med funktionsval och modellparametrar? Skillnad på linjär och olinjär MKM. Diskret jämfört med kontinuerlig.

Lösningsförslag: Se "Något om Minsta kvadratmetoden och Mathematica"!

26. Vad menas med normalekvationerna? Några speciella egenskaper?

27. Använd MKM för att anpassa en rät linje y k x m till mätpunkterna x 1 2 3

y 1 2.5 2.6 . Rita mätpunkter och den anpassade funktionen i samma figur.

Lösningsförslag: Bestäm nu k och m enligt MKM receptet och normalekvationerna k

m . Vi tar lite matrisgodis på vägen

1 1 2 1 3 1

;

1 2.5 2.6

;

. .

14 6 6 3

13.8 6.1

Slutligen det efterlängtade.

kÅm Solve . .k

m . 

k 0.8, m 0.433333

En bild piggar alltid upp

Plotk x m . kÅm, x, 0, 4 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y" ,

Epilog Orange, PointSize 0.03 , Point

1 1 2 2.5 3 2.6



1 2 3 4 x

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 y

(9)

28. Vad menas med interpolation och extrapolation? Diskutera med hjälp av figuren i föregående uppgift.

29. Man vill approximera y x² med en rät linje y k x i intervallet x 0, 1 . Ta hjälp av kontinuerlig MKM för att bestämma k.

Lösningsförslag: Kvadratsumman

S 

0 1

x² k x² x k²

3 k 2

1 5

och slutligen minimum genom att lösa normalekvationen ^S_k 0.

kå Solve D S, k 0

k 3 4^

En bild piggar alltid upp

Plotx², k x . kå, x, 0, 1 , PlotStyle Brown, Orange , AxesLabel x, "x²,3x 4"

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 x²,3x4

30. Anpassa med MKM y ax bx² till mätvärdena x 2 3 5 8 y 1.9 0.1 11 39 .

Lösningsförslag: Vi har det överbestämda ekvationssystemet x1 x₁² x2 x₂² a

b y1

y2 a

b .

2, 3, 5, 8 ;

1.9, 0.1, 11, 39 ;

 , ² 2 4 3 9 5 25 8 64

Bestäm nu a och b enligt MKM receptet och normalekvationerna a

b . Vi tar lite matrisgodis på vägen

. .

102 672

672 4818 362.9, 2762.5

aÅb Solve . . a, b . a 2.70872, b 0.951174

Varför inte rita en liten bild

Plota x b x² . aÅb, x, 2, 8 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y" , Epilog Orange, PointSize 0.03 , Point , 

(10)

3 4 5 6 7 8 x

40 30 20 10 y

31.Sambandet mellan strömmen i och spänningen u i en olinjär elektrisk krets antas följa lagen i auⁿ, där a och n är konstanter. Bestäm dessa med MKM och mätserien. Rita mätpunkter och den anpassade funktionen i samma figur.

u 8 12 15 20 28 36

i 41.1 55.6 65.8 81.6 105 127

Lösningsförslag: Modellen är olinjär, men blir linjär efter logaritmering, ln i ln a nln u . Nu är det bara att möblera det överbestämda ekvationssystemet

1 ln u₁ 1 ln u2 ln a

n

ln i₁

ln i2 ln a

n för de sökta konstanterna ln a och n, där

8, 12, 15, 20, 28, 36 N;

41.1, 55.6, 65.8, 81.6, 105, 127 ; 1, Log &

1 2.07944 1 2.48491 1 2.70805 1 2.99573 1 3.3322 1 3.58352

Bestäm nu ln a och n enligt MKM receptet och normalekvationerna ln a

n .

. .Log

1 1 1 1 1 1

2.07944 2.48491 2.70805 2.99573 3.3322 3.58352

6. 17.1839

17.1839 50.752 25.8208, 75.1035

lnaÅn Solve . . lna, n .Log lna 2.15547, n 0.750003

Speciellt har vi

a ^lna . lnaÅn a 8.63197

Detta eviga ritande

Plot ^lnauⁿ . lnaÅn, u, 0, 40 , PlotStyle Brown, AxesLabel u, i , Epilog Orange, PointSize 0.03 , Point , 

10 20 30 40 u

20 40 60 80 100 120 140 i

32. Vad karakteriserar ett LP-problem? Ta hjälp av problemet nedan och dess grafiska lösning när du nu diskuterar vad som menas med min/max, objektfunktion, olika typer av bivillkor och synen på dem, positivitetskrav, nivåkurva, objektfunktionens gradient, tillåtet konvext område (simplex), hörnpunkter, redundanta bivillkor, aktiva bivillkor, optimal punkt, optimalt värde. Var kan man hitta den optimala punkten? Är den alltid unik? Finns det alltid en lösning till ett LP-problem? Om inte, vad kan det bero på?

(11)

Lösningsförslag: Se "Något om Linjärprogrammering och Mathematica"!

33. En bonde håller kor och får. En ko behöver 1 LE (ladugårdsenheter) och ett får 2 LE på grund av frigång inomhus. Totalt förfogar bonden över 20 LE. En ko äter och dricker 3 ME (matenheter) medan ett får nöjer sig med 1 ME. Totalt finns 30 ME tillgängliga. Hur ska han hålla djur om han vill maximera sin vinst då försäljningspriset på en ko är dubbelt så högt som på ett får?

Om försäljningspriset skulle bli fyra gånger så högt? Eller om det blir endast en tredjedel? Rita figur och markera det godkända konvexa området (simplex) samt ange samtliga hörnpunkter och den optimala punkten. Rita en uppsättning nivåkurvor för var och ett av de tre optimeringsfallen du ska ta hänsyn till enligt ovan.

Lösningsförslag: Om bonden håller xk kor och xf får har vi efter dechiffrering av problemtexten att betrakta LP-problemet med de olika prisvarianterna

max pkxk pfxf

då

xk 2xf 20 3xk xf 30 xk 0 xf 0

För den goda sakens skull så använder vi både Maximixe och vår egen lilla LPSolve. Första prisvarianten med maximal vinst om försäljningspriset på ett får är 1 kr, samt tillhörande optimala djurhållning.

Maximize 2 xk xf, xk 2 xf 20, 3 xk xf 30, xk 0, xf 0 , xk, xf

22,x_k 8, x_f 6

LPSolve 2 xk xf, xk 2 xf 20, 3 xk xf 30, xk 0, xf 0 , 5 Range 10 , xk, 0.1, 10 , xf, 0.1, 10

2 4 6 8 10 xk

2 4 6 8 10 xf

1

1 2

2 3

34 4

5 10

15 20

25

1

2 3

4

nr biv punkt objfkn 1 1, 2 8, 6 22 2 2, 4 10, 0 20 3 1, 3 0, 10 10 4 3, 4 0, 0 0

Andra prisvarianten

Maximize 4 xk xf, xk 2 xf 20, 3 xk xf 30, xk 0, xf 0 , xk, xf

40,x_k 10, x_f 0

LPSolve 4 x_k x_f, x_k 2 x_f 20, 3 x_k x_f 30, x_k 0, x_f 0 , 5 Range 10 , x_k, 0.1, 10 , x_f, 0.1, 10

2 4 6 8 10 xk

2 4 6 8 10 xf

1

1 2

2 3

34 4

5 10

15 20

25 30

35 40

45

1 2 3

4

och slutligen tredje prisvarianten. Vinst om försäljningspriset på en ko är 1 kr.

(12)

Maximize x_k 3 x_f, x_k 2 x_f 20, 3 x_k x_f 30, x_k 0, x_f 0 , x_k, x_f

30,x_k 0, x_f 10

LPSolve xk 3 xf, xk 2 xf 20, 3 xk xf 30, xk 0, xf 0 , 5 Range 10 , xk, 0.1, 10 , xf, 0.1, 10

2 4 6 8 10 xk

2 4 6 8 10 xf

1

1 2

2 3

34 4

5

10 15

20 25

30 1 35

2

3 4

Svaret på frågan varför optimala punkten flyttar sig beror på objektfunktionens gradient och kan tydligt ses i figurerna ovan. Rita gärna in den optimala punkten!

Extrauppgifter i andra hand i mån av tid

34. Låt 2 1

3 5 , 7 1

2 3 och 1 1 3

a b c ² d e f

g h i 2 j k l ²

Lösningsförslag: Standard matrisalgebra.

2 1

3 5 ; 7 1

2 3 ; 1 1 3

1 6 4 ;

. 12 5

11 18 . 8 11

3 16 2 . 19 28

5 19

. 49 11

17 12 .

9 2

5 19 13 15

. 6 16

19 23

. 25 0

15 4 . 9 5 13

2 19 15 . . 16 9 41

17 80 114

2 3

1 5 . Typfel . . Typfel

35. Låt 2 1

3 1 och 1 3

2 2 . Beräkna sedan . Lösningsförslag: Räkna på!

1 3 2 2 . 2

2 1 3 1

6 3

4 6

a11 a12

a21 3a11 a22 3a12 .

Lösningsförslag: Vi ser att också är kvadratisk, så förtrogenhet med matrismultiplikation tillsammans med lite provande ger 1 0

3 1 .a11 a12

a21 a22



(13)

a11 a12

a₂₁ 3 a₁₁ a₂₂ 3 a₁₂

37. Lös matrisekvationen  ¹  ¹ då 1 2

2 3 och 2 3

1 1 .

Lösningsförslag: Det gäller som vanligt att göra omstuvning samt för- och eftermultiplikation ¹ ¹

1 1 1 .

Nu är det "bara" att räkna på.

1 2

2 3 ; 2 3

1 1 ; . Inverse ₂ 2 9

3 3

För att bli riktigt trygga testar vi om verkligen satisifierar den ursprunliga ekvationen.

Inverse Inverse . 2

True

38. Låt

2 2 1

1 0 1

2 1 1

,

1 1 2

1 0 1

1 2 2

och visa att de är varandras inverser. Bestäm sedan en matris sådan att .

Lösningsförslag: Först ¹ ¹ ¹ ¹ , där sista ledet konfirmeras efter kontroll av inversa släktskapet som visar sig

2 2 1

1 0 1

2 1 1

.

1 1 2

1 0 1

1 2 2 1 0 0

0 1 0 0 0 1 vara ok!

39. Låt ¹₂ 1 Ξ 1 Ξ . Beräkna ¹₁

Ξ

k1

k2 ^Ξ Ξ med hänsyn till att en 1 1-matris kan tolkas som en skalär.

Lösningsförslag: Derivering och integretion av matriser och vektorer. Vi låter vara en radvektor i Mathematica så får vi en utmärkt träning på hur man gör matriser av vektorer i Mathematica. Dessutom fungerar 1 1-matrisen i mitten som en skalärprodukt, vilket är önskvärt.

1 2

1 Ξ, 1 Ξ ;



1 1

D , Ξ . k1, k2 .D , Ξ Ξ

k1

4 k2

4 k1

4 k2

4 k1

4 k2

4 k1

4 k2

4

40. Studera ekvationssystemet

2 4 1

4 6 5 6 8 4

x y z

2 3 6

och fullborda sedan Gauss eliminationssteg genom att fylla i den saknade

koefficienten i det utökade systemet

2 4 1 2

0 2 7

0 0 7 2

.

(14)

Lösningsförslag:

2 4 1 2

4 6 5 3

6 8 4 6

2 4 1 2

0 2 7 1

6 8 4 6

Hit räcker

2 4 1 2

0 2 7 1

0 4 7 0

2 4 1 2

0 2 7 1

0 0 7 2

41. Anpassa med MKM y ax b x till mätvärdena x 2.0 3.0 5.0 8.0 y 0.5 2.1 5.9 11.8 .

Lösningsförslag: Mätvärdena möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet

x1 x1

x2 x2

a b

y1

y2 a

b för de sökta konstanterna a och b, där

2.0, 3.0, 5.0, 8.0 ; 0.5, 2.1, 5.9, 11.8 ;

 , 

2. 1.41421 3. 1.73205 5. 2.23607 8. 2.82843

Bestäm nu a och b enligt MKM receptet och normalekvationerna a

b . Vi tar lite matrisgodis på vägen

. .

102. 41.8323

41.8323 18. 131.2, 50.9127

aÅb Solve . . a, b . a 2.69366, b 3.43164

Javisst

Plota x b x . aÅb, x, 2, 8 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y" , Epilog Orange, PointSize 0.03 , Point , 

3 4 5 6 7 8 x

2 4 6 8 10 12 y

42. Man vill approximera y x med en rät linje y k x m i intervallet x 0, 1 . Ta hjälp av kontinuerlig MKM för att bestämma k och m. Jämför med diskret MKM och x 0, ¹₂, 1.

Lösningsförslag: Räkna på enligt MKM-receptet. Först den kontinuerliga. Felet

S 

0 1

k x m x ² x k²

3 k m 4

5 m² 4 m 3

1 2

Minimum genom att söka nollställe till normalekvationerna

S

k 0

S

m 0

(15)

kMKM Solve D S, 0 & k, m

k 4 5, m 4

15^

Sedan diskret MKM, där k och m ges av normalekvationerna 0 1

1 2 1 1 1

;

0

1 2

1

;

dMKM Solve . .k

m . 

k 1, m 1

6^ 2 1

Nu é dé mycké å rita . Vi ser att resultatet av metoderna varierar kraftigt. Varför det?

PlotEvaluateFlatten x , k x m . kMKM, dMKM , x, 0, 1 ,

PlotStyle Brown, Orange, Green , AxesLabel "x", " x, kMKM, dMKM"

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

x,kMKM,dMKM

43. Gör om föregående uppgift men använd modellen y c2x² c1x c0. Lösningsförslag: Räkna på enligt MKM-receptet. Först den kontinuerliga. Felet

S 

0 1

c2x² c1x c0 x 

2

x

c₀² c1

2

3 c2 2 c0

c₁² 3

c₂² 5

4 c₂ 7

1

10c1 5 c2 8 1 2

Minimum genom att söka nollställe till normalekvationerna _c^S

i 0.

kMKM Solve D S, 0 & c2, c1, c0

c₀ 6

35, c₁ 48

35, c₂ 4 7^

Sedan diskret MKM, där ci ges av normalekvationerna 0² 0 1

¹

2² ¹

2 1

1² 1 1

;

0

1 2

1

;

dMKM Solve . . c2

c1

c₀

. 

c0 0, c1 2 2 1, c2 2 2 1

Nu é dé mycké å rita . Vi ser att resultatet av metoderna varierar kraftigt. Varför det?

PlotEvaluateFlatten x , c2x² c1x c0 . kMKM, dMKM , x, 0, 1 , PlotStyle Brown, Orange, Green , AxesLabel "x", " x, kMKM, dMKM"

(16)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

x,kMKM,dMKM

Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls

44. Låt 2, 3 med avseende på en godtycklig bas 1, 2. Som nya basvektorer införes ₁ 1 4 2 och ₂ 1. Skriv i komponentform med avseende på den nya basen ₁, ₂.

Lösningsförslag: Oberoende vilket koordinatsystem vi använder ligger den fixerade platsen kvar, det vill säga 2 1 3 2 v1 1 4 2 v2 1.

ekv Coefficient 2 1 3 2 v1 1 4 2 v2 1 , 1, 2

v1 v2 2, 4 v1 3

Solve ekv 0

v₁ 3 4, v₂ 11

4 ^

45. Låt vara en kvadratisk matris. Man kan då skapa två matriser, modalmatrisen vars kolonner är egenvektorerna till och spektralmatrisen som är en diagonalmatris med egenvärdena till på huvuddiagonalen, motsvarande ordningen i . Man kan då visa att släktskapet mellan dessa tre matriser är . Låt 2 1

1 2 och beräkna sedan ¹⁰⁰⁰ med hjälp av informationen ovan och att Sⁿ ^Λ¹ 0

0 Λ2

n Λ₁ⁿ 0

0 Λ₂ⁿ . Du behöver inte räkna ut Λ₁ⁿ och Λ₂ⁿ. Dessa får ingå i den sökta resultatmatrisen.

Lösningsförslag: Vi har enligt uppgift att ¹ så

2 1 1 1 1 2 1

3 2 2 1 1 2 1 2 1 3 1

n n 1

Nu är det bara att bestämma egenvärden och egenvektorer

Λ, e Eigensystem 2 1 1 2 

3 1

1, 1 1, 1

varav M e

1 1

Inverse M

1 2

1 2 1 2

1 2

Så med hjälp av den avslutande informationen i problemtexten har vi till slut svaret på den brännande frågan.

1000 1000 1 1

2

1 1

3¹⁰⁰⁰ 0 0 1¹⁰⁰⁰

1 1 1 1

1 2

3¹⁰⁰⁰ 1 3¹⁰⁰⁰ 1 3¹⁰⁰⁰ 1 3¹⁰⁰⁰ 1

Avslutningsvis försöker vi övertyga oss ytterligare genom att jämföra med den inbyggda funktionen i Mathematica