Kortfattade svar till tidigare prov i Matematik A. Exempel 1. 1. a) b)

(1)

Kortfattade svar till tidigare prov i Matematik A.

Exempel 1.

1. a) x1 x1 b) x0

c) x 3 lok.max. x0 terrasspkt. x 3 lok.min.

) (x

f är väx. för x 3 x 3 )

(x

f är avt. för  3x1 1x1 1x 3

d) x0 inflex.pkt. f(x)är konkav då x1 0 x1 f(x) konvex då 1 x0 x1 2. a) x60 y 45 b) 48,356 c) 0,201

3. a) x² y² 1 b) f(0,0)0 c) (0,0) lok.max.pkt 4. a) (0,0) lok.min.pkt

b)



⁽²^⁴^x²⁾⁽²^⁴^y²⁾^⁽⁴^xy⁾²



^e²⁽^x²^^y²⁾ ^⁴⁽¹^²^x²^²^y²⁾^e²⁽^x²^^y²⁾ ^⁰^{för alla}⁽^x^,^y⁾

2(1 2 ²) ²⁽ ⁾ 0

2

2 

 x e ^x ^^y för alla (x,y)

Alltså ger (0,0) funktionens minsta värde: f(0,0)1 c) Värdemängd: f(x, y)1 Exempel 2.

1. f(x) avt. x0 f(x) väx. x0 x0 (lok.) min.pkt.

) (x

f konvex i hela def.mängden. Värdemängd: y1

2. 



 5 16 y

x

Ungefär 126,79 nyttopoäng i maximum.

Ungefär 1,27 nyttopoäng ytterligare för ytterligare 1 krona att handla för.

3. (0,0) sadelpkt.

4. 1x0 )

(x

f väx. 1 x0,5 f(x) avt. 0,5x0 x0,5 (lok.) max.pkt.

Värdemängd: y-ln4

5. Största värde: f(0,0)1 Minsta värde: f(a,b)e^²⁵ som antas då a² b² 25 Exempel 3.

1. a) Nollställe: x0

b) x1 lok.min.pkt. x1 lok.max.pkt.

(2)

f(x) är väx. för 1x1

f(x) är avt. för x1 x1

c) f(x)är konkav då x 3 0x 3 f(x) konvex då  3 x0 x 3 Inflexionspunkter: x 3 x0 x 3

d) Värdemängd:

2 1 2

1  

 y

2. a) x25 y 20 b) 21,544 c) 0,072

3. a) (0,25;0) lok.min.pkt. (0;0,5) sadelpkt. (0;0,5) sadelpkt.

Minsta värde: f(0,25;0)0,125 Största värde:

2 1 1 ) 0

; 2

( 1   f

Värdemängd:

2 1 1 125

,

0   

 z

4. a) Definitionsmängd: x1 b) Nollställen: x 0 x2 c) Stationär punkt saknas.

f(x) är väx. för x1 f(x) är avt. för x1 d) f(x)är konkav då x1 x1 Inflexionspunkt saknas.

Eaxempel 4.

1. a) x1

b) x1 lok. max.p. x1 lok. min.p )

(x

f väx.x1 x1 f(x) avt. 1x1 )

(x

f konkav  3 x0 x 3 f(x) konvex x 3 0x 3 Inflexionspunkter: x 3 x0 x 3

2. 



 14

9 y

x b) Ungefär 2,5065 nyttopoäng i maximum.

c) Minskning ung. 00830, nyttopoäng.

3. a) (0,0) lok. max.pkt. (1,2)sadelpkt. (1,2)sadelpkt.

b) Minsta värde: f(2,2) f(2,2)20 Största värde: f(0,0)0

Värdemängd: 20 f(x,y)0 4. a) xln2

b) x0 (lok.) max.pkt. f(x) väx.x0 f(x) avt. x0

(3)

c) f(x) konkav xln2 f(x) konvex xln2 Inflexionspunkt:xln2

Exempel 5.

1. a) x₁0 x₂ 1 b) Minsta värde: f(0) f(1)0 Största värde: f(2)2 c) Värdemängd 0 f(x)2 d) x0,2 lok. max.p x1 lok. min.p

d) f(x) väx. 0x0,2 1 x2 f(x) avt. 0,2 x1

e) f(x) konkav 0x0,4 f(x) konvex. 0,4x2 Inflexionspunkt: x0,4

2. a)







 48 30 y

x b) Ungefär 46,694 nyttopoäng i maximum. c) Minskning ung. 0730, nyttopoäng.

3. (0;1) sadelpunkt (0;1) lok. min. punkt

4. Minsta värde: 4,30

3 5 3 10 3

; 7 3 5 3

; 7 3

5  





 









 f

f

Största värde: 4,30

3 5 3 10 3

; 7 3 5 3

; 7 3

5  







 









 f

f

Värdemängd:

3 5 3 ) 10 , 3 (

5 3

10  

 f x y

Exempel 6.

1. Definitionsmängd: x1 Nollställen saknas.

) (x

f väx. x0 x2 f(x) avt. 0 x1 1 x2 x0 lok. maxpkt x2 lok. minpkt )

(x

f konkav x1 f(x) konvex x1 Inflexionspunkt saknas.

Värdemängd: y-1 y3

2. 



 51 51 y

x U(51;51)51⁰^,⁷51⁰^.³ 51 nyttopoäng uppnås i maximum.

Om konsumenten får ytterligare 1:50 kr att handla för så ökar antalet nyttopoäng med ungefär 0.15. 3. (0; 0,5) sadelpunkt. (0; 0,5) sadelpunkt

) 1

; 1

(  lok. min.pkt. (1;1) lok. max.pkt.

4. Minsta värde: f(0,5; 3.75) f(0,5; 3.75)e^⁴^,²⁵ Största värde: f(2;0)e²

Värdemängd: e^⁴^,²⁵  f(x,y)e²

(4)

5. Definitionsmängd: x 2  2 x1 1 x 2 x 2 Exempel 7.

1. Nollställen: x₁2 3 x₂ 2 3 )

(x

f avt. 0 x1 5x7 f(x) väx. 1x5 x1 lok. min.pkt. x5 lok. max.pkt.

) (x

f konvex 0x4 5 4 5x7 f(x) konkav 4 5x4 5 Inflexionspunkter: x4 5 x4 5

Värdemängd: ( ) 1

e

2  

 f x

2. 



 10 20 y

x U(20;10)15,157 nyttopoäng uppnås i maximum.

75 öre mindre att handla för minskar den totala nyttopoängen med ungefär 1140, nyttopoäng.

3. (0;2) lok. min.pkt. (0;2) lok. max.pkt. ) 3

; 2 3

(4  sadelpkt. ) 3

; 2 3

(4 sadelpkt.

4. 0

2 2 2

2 







y f x

f

2 2 2 2

) (

2 y x

xy y

x f

 

 



5. x² y² 1 och (x; y)(0;0) (Minst en av x och yskild från noll.)