& B. K
DISSERTATIO PHYSiCO-MF.CHANrCA DE
FRICTIONE CORPORUM
SUPER
AiNU lrNV^LU
MOίΌRUM,
Cujus
Partem Priorem,
Confent. Amplijjl Ord. Ihihjoph.
Ad Regiavi Acad. UpJaL
Sub Prsefidio
Vivi Ampliffimi atque Celebevrimi
MAG. S A Μ U Ε LIS DUR/E1,
PhyC PROFESS. Reg. & Ord.
Reg. Acad. Scient. Äockh. Membi
Publica Cenfura Offert
PRO HONORIBUS PHILOSOPHICIS Supendiarius Regius
Sven o Gabriel
Hedin,
Nericius.
In Audit. CaroJ. Min. D. II. Junii
Anni MDCCLXA,
H. A. M. S.
UPS A LIJE,
Apud Job. Edman, Reg, Acad. Typogr,
t*.·■■.γ:·,·
D. D.
Orum, qui motus naturam proponere, ve- ramque ejus menfuram , in machinarurti
conftruclionem vel emendationem, vel in quemeunque aüum Philoiophiee Naturalis uiumj exhibere ituduerynt, fere omnes rpotum corporum ilipra Planum Incrmatumutut in
vita eommunt quoque peiTäspe" obvi'um,attention! fuce fubjecerunt; nempe paotum illum conliderando, iive
relatione obfervata, ^da^necelTario aderit inter poten- tiam , & pondus, quod in ipio movetur elevandum ; five etiam dt peradfcum in quacunque fupeeficie incli-
mtet, cujus ideo afFeifliones ex legibus itabilitis princi- piisque mechaiiicis, Variis modis, dedux'erunt. Verum
licet omni opera, praedpiie in recentiori hoc ipvo, fit
deiudatum in e)§colepJa Motus ^cjenlia, eaque, ad u- fus huraanos applicandatarnen non eil dimtendum, plurima adhuc, vel ia h'ae parte de fiderari, co inpri-
mis refpedto, qu«od omnis Mechanica Practica hueus-
que conftiterit fere i<i ftatica folum machinarum conii-
deratione, abilrahendo dimul a materia; pondere, flexi«
bifitate omnia5
<06? J 3 \ ^s3
influere, theoria ha?cce, Γι exipeitatkmå fati siaciet, feie
certe extendet; unde nova omnino exiii'gu Medhanicä?
Practica? pars, qua? MUSCHPNBROEKib appellatur,
nefcio quo jure, Merh.mica Motus, IfU roecum>repn-
tanterrt cupido invafit , meam qualemcunque felcea®
huic immittere meifi; alt operis magnitudihe, viriurtv
que tenuitate perterritus, iententiam cito mutavi, &
particulam quandam ipfius nunc percenfere conilitui ,
eam nimirqra, qua? concernit Fiictionem, & quidem
iliorum corporum tantura, quorum fuperficies funt
plante, & moventur fupec Plana Inclinata, non ablo-
lute polita, confiderationem corporum fph3?ricorum,a-
lii occafioni V. D. refervaturus. Me interea exiguam-
que hane opeliam H. L. humanitati, ea qua par eil
obfervantia, perotricioie commendo.
§. ir.
Omnia corpora ad tellurem fpedlantia vi quadam
moveri, qua? gravitatis venit nomine, nefcio, an quis Philoiophorum nunc temporis in dubium traxerit. Vis
ha?c ita eil comparata, ut centrum, uti vocatur, gravi¬
tatis cujuscunque corporis femper defcendere nitatur in
directione ad horizontem perpendicuhri, & reapfe de-
fcendat, ηiΓι quid motui ipfius reiiflat. Pra?terea,quum gravids corpora quovis momento temporis, & inquo-
cunque flatu, deorfum urgeat, vis illa premens dicitur,
&quum tempuicuiis aeqaalibus a?qualia riant incremen-
fa velocitatum, reite quoque acceleratvix nominatur.
Non eil, quod multi iimus in iis proferendi, qux ut principia theoria Pia ni Inclinati a doitrina de lapfu ii-
bero feu perpendiculari corporum pra?cipue intelligun-
tur. Scfli tat tantummodo in memoriarn revocafle,
qua? viafn ad alia nobis pandunt, & iimul obfervaile,
omnia, qua? de corpore fibere cadente demonflrantur,
A 2 etiam
I ; ♦ 1 I
etiaro, fepofita omni alia vi, valcre* cum moventur fn
Piano Inclinaro, cum hac folum differentia, quod licet gravitas tora fua vi corpus follicitet, quoad motum ta¬
rnen quadam fui parte tantum hic agere deprehenda-
tur, altera parte a piano iubjacente excepta, & quafi
dedru&a. Etenim quemadmodum vis ilia gravitatis conftanter,atque sequaiiter agens, motum producit u-
niformiter acceleratum, ita ut corpus, omni refiftentia fublata, verticaliter defcendat, & iingulis temporum in-
tervailis iequalibus,fpatia defcribat fuccefliva, qua? funt
ut numeri impares i, 3, 5,7, &c. fic quoque, quando
corpus deorfum fertur fupra Planum inclinatum abio-
lute politum,ob vim illam refiduam nihilo minuscon-
tinuo agentem, idem obtinere deprehendimus. Reli-
quce motus uniformiter accelerati proprietates, tam in
defceniu perpendiculari,quam fupra planum inclinatum,
varie enunciantur, quarum palmarise fcquentibus con-
tinentur propofitionibus:
1:0 Spathim, ab initio lapfusy percurfum efl in dire&a
ratione duplicata velocitatis, dato tempore acquifitce, &
vis geueraiitis inverfa.
Et quia corporis , quod iingulis momentis novo qnafi urgetur impulfu, celeiitas novis femper incremen-
tis quoque adaugeatur, quae quidem iequabbus tempo- ribus fiunt tequalia, hoc eft, motus uniformitet', ut lo-
quuntur, acceleratur; erit
2:0 Tempus, quod corpus certo fpatio emetiendo im·
pendit, ut velocitas in fine ipfius acquifita dirette, & vis
generans inverfe\ ideoque
30 Spatium cadendopercurfum erit etiam, ut quadra·
tum temporis, &T3 vis conjunttim.
4:0 Spatium, motu uniformiter accelerato confettum, eß ctimidium ejus, quod eodem tempore , c leritate <2,fuali Uli, quam in fine temporisacquijivit corpusydejcriherct mo¬
tu uniform, §. III.
9 )ϊ
C ·
§. ΙΙΓ.
Ut ulferius conftet, quod vis, quae corpus Piano
Inclinato incumbens deorfum urger, fit uniformiter
acceleratrix , & quarnam fit ejus meniura, reprxfentet
( Fig ί. ι reda AD planum cum horizontali DB angu-
lum faciens redo minorem, quem angulum inc inatio-
nis, ex ufu recei to, vocabimus. .Vit quoque corpus gra-
ve huic piano impofitum,ex cujus centro gravitatis C
demttatur in horizontalem BD reda perpendicularis
CF arbitrarire longitudinis. Ha;c exponat ipium pon¬
dus corporis ablolutum, vel totum nifum, quo vi gravitatis, libere & ideo perpendiculariter, ablente pia¬
no, ad horizontem deilenderet. Tunc, per celeba-
tum illud prineipium compofitionis & refolutionis vi-
rium , nobis hanc refiolvere vim permittitur in duas
alias laterales FE & CE, quarum una eil piano incli-
nato parallele, altera vero eidem perpendicularis,Cum itaque hxc nullum in corpore motum excitare valeat,
quippe quae tota a readione plani deilruitur, per fe pa-
tetjiilara folara vim refiduam proportionalem redχEF
corpus in motum redigere. Quum triangula ABD,CEF
funt fimilia, erunt latera circa a;quales angulos propor¬
tionale, & homologa funt,qua; requalibus angulis (üb-
tenduntur ( El. Evcl. Vi. 4. ) itaque erit CF ad EFut
AD ad AB, hoc eil pondus, feu vis, qua corous ver- ticabter gravitate impellitur, eil ad vim, qua fuper pia¬
no inclinato defeendere conatur, ut longitudo planiAD
ad ejus altitudinem AB, leu nifus defeendendi fuper
AB Ρ
piano inclinato eil =a-^, Ρ defignante pondus cor¬
poris abfolutum. Si itaque AD fumatur pro finu toto, vis, qua dacum corpus luper piano inclinato defeen¬
dere nititur, ed ut finus redus auguli ADB, leu an- guli eievationis plani, Qpum aucem, ubieunque in
A 3 dato
« ) 6 ( »
dato piano fuerit corpus, triangulum CEF fibi fit firm¬
le, cujus önuro latus CF exponit vim gravitatis, qua;
conftansefl, facile intelligitur, vim EF eodem modo iemper in corpus agere, atque vis CF ageret in cor¬
pus perpendiculariter cadens, piano fublato ; atqui, pia¬
no iubiato, effeftus vis CF eil motus uniformiter ac-
celeratus, ergo eciatn vis EF motum per planum in-
clinatum uniformiter accelerabitj eil adeöque hxc uni¬
formiter acceleratrix.
§. IV.
Priusquam elementaria ha?c linquamus , nnicam
addere liceat Propoficionem, in fe non foium pulcher-
rimam, fed & in fequentibus apprime utilrm.
Si a punSlo B ( Fig. I. ) ducatur reEla BK ipfi AD perpendicnlaris, corpus a quiete in A dejeendet eodem tem¬
poreinpiano inclinatoperfpatium AK, atque a quiete in
Aper verticalem AB liiere defcendere potejl.
Dem. Nam exfimilirudine trianguiorumABD,ABK,
erit AD ad AB, ut AB ad AK$ ied erat AD ad AB,
ut pondus corporis, ieu vis acceleratrix, qua liberede- feendit, ad vim acceleratricem, qua movetur in piano
inclinato, adeoque erit AB ad AK, in eadem ratione
virium acceleratricium. Sed ipatia, qua; funt ut vires
uniformiter acctleratrices, a corporibus iisdem peragran-
tur eodem tempore; ergo corpus eodem tempore per fpatium AK in piano inclinato,ä>qukte in Ay defeen- det, atque per verdcalem AB defeenderet lsbere.
CorolL i. Hinc, fi ruerint plura. pl;na inclinata AD, AG, ejusdem altitudinis ABEL ducatur ipfi AG normalis, corpus a quiete in A cadet in piano AG per
AL, eodem tempore, ac in piano AD cadit per AK,
Coroll 2.Itaque ficirca reåamvertikalem AB.(F;g.2.)
ut diametium defcribatur circulus ACEΚ, erit tempus de-
i ) 7 C
cfefcenfus per quamlibet chordam AKy ALy KBy LBy tequale tempon, quo corpus iibere cadendo conficeret
diametrum AB, quoniam omnes anguli in femicircu-
lo funt re£li (EL EvcL III. 31. )\ & vieiflim, q-uod fa-
cile demonilratur, locus angulorumreåorum fuper ea-
dem reåa conflitutorum eil peripheria circuli, cujus
idem eil diameter.
§. V.
4
Ef Πc bre viter prsemiflis legibus rrotus gravi um fuper plana inclinata abilrahendo ab omni rebllentra ,
quam praeeipue exercet frivilio^ quarque id éfficit, ut le¬
ge« commemorata*, in cafibus obvns, multifarias iub-
eant determinationes, ad propöfitum accedamus, con- ilderando corpora ,qualia natura nobis offert, nirnirum
non abfoInte polita, fed ubique aiperitafibus &c emi- nentiis obfita, quibus motus ipfortim iupra fe invicem
retardatur, & refiilentia ieiltitur,. qii'öe fviSiio dici folet.
Ha^cce itaque cum omni hujusrnodi motui feie immi- feeat, &, licet minui, tarnen omnino tolü vix poilit,
maximi cene, praicipue in meehanicis, eil momenti, &
fumma attentione digna; eam itaque, a ieroporibus A-
MOHTONI ad praéfentia; multifariis non folum ex- perimentis rimari iluduerunt Mechanici fcllertiflimi, jed &: regidiori e^amini fubjecerunt Mathematici no- ilri cEvi prarflantiffimi KRAFTIlfS, DAN.BFRNOUL-
LIUS &,,'EULERU5> in Aflis Petropoütanis, & alibi;, quofum öfnnium opera licet plura (int Hac in re de- teåa, pl'urima tarnen adhue reilant, & fqrfan iemper
reilabunt incerca. Verum ifhi , cum pluribus bre-
vi · dlicutientnr in Diilertatione fpecifi de Fridtio-
ne fuper Piano Horizontali , nunc miila facio, δέ id reni roeam roe confero, nimirum inquifkionerri Fri- ftionis in Planis Irielinatis. Quocirca etiam aifumo, in
qua
Φ ) 8 ( #
quo omnes conveniunt, quod refiilentia ex Friktion®
iemper fit, faltem quam proxime, proporcionaiis pres-
iioni»
j. VI.
Inter methodos, quibus ufi funt Mechanici, pro exploranda quantitate fridionis, in piano tam horizon-
rali, quam inclinato, eminet certe BULFINGERi, na¬
turaplani inciinati iuperilruda $ eam itaque imprimis
exponere juvat:
Corpus C (Fig. 3. ) cujus fridio eil indaganda, pia¬
no imponatur horizontali, quod ipium ienum eleve-
tur circa axem fixum D, donec in eum redigatur Γι-
tum , ubi corpus C perfpicitur nifu fuo defcendendi
motum incipere , adhuc tarnen hsrere, reapfe defcen-
furum, Γι vel minimum inclinatio plani augeretur. «Sit
AD ultimus ille iltus plani, in quo vis fridionis cor¬
poris defcenfum impecbre valet, notetur ope initrumen-
ti goniometrici angulus ille inclinationis plani ADU,
qui itaque merito vocatur angulus quietis. Invento an- gulo quietis,habebitur fridio horizontalis, Γι folum at-
tendamus, quod (imis totus, fit ad finum anguli quietis^ut pondus abfolutum corporis ad fri&ionem ejus fuper piano ad
eundem unguium inclinato. Nim per ea, quae de piano
inclinato perfede poiito dudum demonilrata iunt, erit
AB Ρ
AD:AB :Ρ: —AL)j- = vi corporis, cujus pondus abfo-
lutum effc Ρ, nitentis defcendere in deredione piano paraliela. Sed fridio eil potentia refiftens, quar corpu»
in ^quüibrio tenere ponitur, adeoque erit priori secjua-
lis. Hinc Γι fridio in piano inclinato dicaturF, ent F
AB Ρ
, undeefl AD ad AB, prouti Ρ adF, Sumto ita¬
que AD pro finu toto, erit AB fmus anguli quietis,
atque habebitur finus totus ad iinum anguli quietis, uti
eil
Λ e\ ί
%å ) 9 v w
efl pottdus corporis abfolutum, ad friélioftem ejüsfu-
per piano ad dictum angulum inclinato. Hisce pra:-
milTis facilior eil refolutio problematis:
Dato ongnlo quietis, determinare friSlionem in pia¬
no horizontali.
Refol. Quum prefTio corporis in planum incli-
natum AD fit ut CE ducta a centro gravitatis C ad planum AD normalis, & pondus ejus ablolutum (eu presfio in planum horizontale fit ut CG horizonti perpendicularis, atque frictiones fmt ut preffiones, e-
rit frictio in piano horizontal! (/) ad frictionem
AB Ρ
in piano inclinato (Fz=z) ——ut CG ad CE, feu ut
AB Ρ AB
AD ad BD, unde erit/= -L^p,fed — eil tångens anguli quietis ADB, cum ?AD eft radius feu unitas, adeoque erit /= Ρ.tang.ADB^ feu finus totus ad tan- gentem anguli quietis , ut pondus corporis ad frictio-
nem ipfius in piano horizontali.
Öbjerv. Methodum hanc frictionis quantitatem de«
terminandi, qux motum tantummodo radentem reipi-
cere videtur ad motum volventem etiam adplicuit
BULFINGF.RUS. Verum licet lubentcs largiamur, frictio¬
nem id efficere,ut corpus fphatricum vel cylindricurn piano inclinato impofitum volvendo defcenaat, immo
in cauifa eile, cur corpus non prius deicendat, quam in certa plani inclinatione, tarnen difficulter inde pro- bari poteil, ipfum attritum horizontalem hujus corpo¬
ris, in pun£lo, quo planum attingit, non efTe majorem,
uam quantus per angulum quietis, modo fupra allato,
eterminatur. Etenim, quamvis, piano paullulum lupra angulum quietis elevato, corpus rotando defeendere in- eipiat, frictio tarnen adhuc tanta efTe poteft, ut mura¬
ta corporis ejusdem figura in eam, qu« rotationem im-
B oe-
HP ) 10 (
pediretjiieque tam rependo deiccndere poilet, nifi po¬
tentia externa in dire&ione piano parallela applicata.
Prasterea cognitio anguli quietis corporis volvendo de-
icendentis exarnini friftionis horizontalis parum inier- vit,nifi quatenus hac ratione inveiligare pofiiimus vim,
quas ad corpus ifliusmodi iupra planum horizontale
promovendüm requiritur,
§. VII.
Non alienum fortaiTe videbitur, motnm aliquem imaginari, qui eflPeitum edit, refiilentias a frictione cor¬
poris in piano inclinato mod valde analogem. Talis
vero methodus ideam Folum talionis efficiendiclaram,
cum grano falls accipienda eil, ne quis putet, veram friilionis caufiam hac ipfa indigitari. Repradentetur Fu- perficies quasdam, ad angulum ADB (Fig. 4. ) inclinata
per figuram illam ferratam AGHKLMNOD, compofi-
tam ex planis valde parvis AG^ GH, HK &c. abioiu-
te poiitis, aequalibus, contiguis & fimilibus. Ponatur corporis C, quod fuperficiei huic impofitum provol-
vi nequit, bafis ejus figurs, ut apices feu acumi-
na bafeos in angulos omnes GHK Fuperficiei fefe in- iinr.ent. Tunc manifeflum eil, fi angulus GAH major fit angulo inclinationis ADB, corpus Fola gravitatis a-
£ione movcri non polle; namque five FurFum iive
dcorfum moveatur, necefle eil ut fiipra e-minendas AGH, HKL &c. corporis anguii GHK eievcntur, qua-
re ad raotum producendum requiritur potentia extrin-
iecus applicata. Ponamus vero Superficies AD ulrerius e'evarijdonec angulus elevationis evadit iequaiis angulo GAH^ in quo fitu planaC7J, KH, ML &c. Fünf horizon-
talia ; Fatis tum confiat, copus C vel minima applica¬
ta potentia deorFum moveri pofie, quod iöFum quo-
que evenit, fi minimus fiac exceilus anguli ADB Fu-
pra
^ ιτ /* cSiSs cgjlP ) Λ■*· ( cg)S>
pra ang. GAH. Fiat tandem iuperficies AD ita incli-
nata, ut angulus ADB data quantitate excedat angu-
lum GAH, tunc corpus d'jorfum feretur quidem, mo¬
tu tarnen non adeo veloci , atque fuiflet, fuperficie
AD abiolute plana. Valde quidem eft incertum , u-
trum hujusmodi fuperficierum conilitutio fit caufta fri-
ftionis nec ne, cum hifce tantummodo eonvenientiam
effedtuum oftendere placuit. Hisce enim collatis cum
$:pho VI. apparebit, angulum illum quietis, qui rae-
thodo ibidem tradita inventus fuit, eile eundem ac an¬
gulus ADB, eo fcilicet caiu, quo plana illa parva GÅ,
KH &c. funt horizontalia, quia corpus C defcenderet,
ut pnimum angulus ADB vel minimum augeretur.
£. VIII.
Expofita iic methodo a natura planiinclinati dedu-
<fta, quantitatem friclionis fupra planum tam horizon¬
tale, quam inclinatum inveftigandi, fupereft, ut pauca iubjungantur problemata, qua? pra?cipua continent mo-
menta, quorum infignis in praxi eile poterit uius, mo¬
do artifices ea, qua par eft, follicitudine circumfpici-
ant, quomodo theoria a nobis exhibita in ijfum com- modiilime verti polfit.
5. ix.
Quoniam, ut fupra jam annotatum eft, corpus piano vel inclinato vel horizontali infiftens aut non
movetur, aut ffttem in motu refiftentiam patitur pro ratione preftionis in planum, oritur quaeftio:
Sub quibus conditionibns corpus grave piano inclinato
ajpero incumbens in qniete erit permanfarum, quando ni-
mirum nulla provolutio eft metuenda.
CorpusFMNf, cujus centrum gravitatis eft C(Fig. 3·)
fit fupra planum inclmatum siD conftitutum, at-
β ζ que
& ) 12 ( H
ue ita comparatum, ut non roeando, ied tantummo·
0 rependo deor<um moveri poffit. Sit angulus incli·
nationis plani ADR~z. Malla corporis, qua? propor¬
tionale eil ponderi aoibluto, per Ρ indicetur. Ponatur
ratio preflionis ad fridionem iuper piano AD, eife ut
•ϊ ad f,Ducator re&a CG perpendicularis horszonti, qua corpus ex gravitate iollicitatur viz=zP, qua? refolvatur
in duas laterales,fecundum diredionem CEad planum
AD normalem, & CK piano parallelam. Cum igitur angulus ECGz=. ADB =a, erit vis ur C/T, qua piano apprimitur corpus, ( per princioia Mechan.) P.coJz>
vis Ut CK vel EG\ qua corpus iliper piano defcen-
derenititu! =3P.finz. Itaque dumpreilio eilm-An/s,erit friv5ti< f P.cofz.Y ή<Χιο autem aliquiddeilruir visdeicen-
dendi iécundum plani diredionem,feu vis= P.finζ\er¬
go nifi ha?c vis P.fiinz. illa/./3 cofi.z major fuerir, cor¬
pus nullum motum progreftlvum adipifcitur; quare ii
corpus quielcet, erit P.fin.ζ minor quam/. P. cof. s,feu
P. fin.ζ .
-—τ- minor /, hoc eil tan?, ζ minor /, ialtem non
Γ CO/, ζ J '
major Quamobrem in conditione illa, qua corpus in quiete manebif, dum neque provoivi potefl , neceile eil, ut fit tångens anguli elevationis plani non major quam fra£ho ilia /, qua f'idio deferminatur.
Scbol. Hinc itaque patet, ii tang. zzrzfi caium tunc occurrere, quo angulus quietis,quem a vocabimu*, in-
venitur Ea, qua? de hoc angulo in §:. ho VI. dida funr, etiam ha?c propofitio confirmat, & iacilem ίιιρ- peditat applicationem methodi iupra tradita? angulum Ufetis, id eil, lpfum valorem fradionis / determinan-
1 Si ex. gr. experientia prodat angulum quietis =3 18° 26,,ent ejus tångens33 333^020, t»n !e evadit/=f
quam proxime, ut quoque invenir AMONTOM'S.
Sivero, piano ad angulum 1402' elevato, corpus mo- veri
«ίΙ» 5 * 3 ( ii»
rerl incipiat, habemus tang.a^2499460, unde eruitur
valor ipiius/==3, quanram fcre tri&ioneni BULFIN-
GERUS experimentis ie adinveniile affirmat.
St elevatio plani majorJ X·fnerit angulo qnietis dato, &
corpus fit liberum a jrovolutione, definire vim acceleratru
cem corporis fuper piano inchnato.
Sit plani AD ( Fig c. > angulus elevationis ADB
=:s, angulus quietis EDEtzzay pondus abiolutum cor¬
poris CzrzP. Itaque fumto radio =1, erit preiTio in planum EDznP. cof a> & fri&io iuper eodemzr-A/fo.dr, quia ha*c iequatur nifui corporis delcendendi iuper plann ED. Simiiiter preilio in planum AD crit =3 P. cof. z, adeoque,ob fridFiones proportionales preffio-
., c · · a ' \ i F* ^®/· χΡ.(ut, Λ nibusj rnaio iupra hoc planum eritrzs :—·
P.cof. π
= P.cof.zy, tang,a, Jatn vero vis, qua corpus iupra planum AD deicendere conatur εί\ζ=ζΡ.βη,Ζ) qua; fo¬
ta corpus acceleraret, nifi fricdio obltaret, qua; confide-
rari potefl ut vis qutcdam in contrariam direSionem
agens. Ergo neceifum eil, ut corpus deicendat vi barum
differentia; ^quali, hoc eft vis illa deicendendi & ac- cejeratnx erit3= P, fin ζ—Ρ. cofζ χ tang. a.
Scholion. Quurn P. cof ζ fit preffio corporis in pla¬
num AD* Π ratio prefFhnis ad fri5lionem experimcn-
to quodam nota fit = 1: f, erit fri&io fuper piano ADtzzfP cofz, & vis acce^eratriχ ρ z=zΡfinζ—4P,cof% qua ipiius expreilione in fequentibus utemur.
CoroUarium 1, Si corpus a provolutione erit libe¬
rum, debet rangens anguli ECF (Fig. 3. ) eile major frictio^e/ Mnm viscorpus ad rotationen! tollicitans efta;- qualis exceilui, quo vis in centrum gravitatis C agens iupcråt vim ageotem in punctum baieos quodcunque.F
ad deicenfum iupra planum AD excitandum 5 ieu a>
B 3 qua-
# ) 14 C II
qualis huic expreflioni Ρ. fin ζ — Ρ.fin. z—fPccof.ζ
=/". P.cofz, cujus momentum,pofito, uti fas ed, hmc
vira in centrum gravitacis agere, & punclnm F, rcfne-
<ftu motus hujus centri,quielcere, erit =/. P.cofz. FH zzzf P. cofζ CE\ Sed vis, qua corpus piano adprimi-
tur, cujus momentum ef szzP.cof zEF, rotatiöni ob- ft.it,ergo erit. tnomentumgyrationem generans-=zf.P.cofz
CE—P. cofζ EF-, quod li provoiutio impediatur, erit
fcasc quantitas negativa , feu EF major }. CE, feu EFEL·
major/. 5fed, fumto CFpro radio, erit EFC—Ε=rtang.ECF.\
adeoque tang, ECF. major /.
CoYoll. 2. Quura conditionem inventam, tang-ECF major/, non ingrediatur angulus ADB feu elevatio pla- ni, Γι corpus in minori inclinatione a provolutione
fuerit liberum, neque volvetur in majori; quod quo- que confonum experimentis deprehenditur. (Comment.
Petrop. Tom. XII.).
Coroli. 3. Si angulus elevationis plani ADB fit ma¬
jorangulo ECF, cadet linea CG, quam vocant lineam dire&ionis, extra bafin corporis &, tarnen corpus non
provolvetur, contra ea, qu« Au&ores fere omnes Me-
chanici antea ftatuere Talent.
§. XI.
Si corpusrotationis expevs moveatnrfupra datum pld·
mim inclinutum afperum; determinarefputium, quod illud
datotempore, data jviclione confictat.
Re/οι Sit, ut prius, Ρ pondus corporis, angulus
elevationis plani & /. fridio horizontalis, dura prefTio eil=51. Quare habemus vim aecelerat i:em frictione imminutam iupra planum propoficum ρ = Ρ
fl ) ι* H
Ρ fin %—f. Ρ- cofζ (§. X.), qui valör ipfius ρ pofiti-
vus eft, cum ex hypothefi tang.a eft major quam/
{$. IX,). Sit fpatium =zs, tempiis=i, quod corpus
fpatio illo percurrendc impendit, motu nimirum a quie-
te inchoato, Si in formularn Mechanicis familiärem
—' =
2^j
in qua 2 g = 32 ped. Suec. fpatio, quod cor¬pus uniformiter percurrere poteft, velocitate acquifita
cadendo tempore unius minuti iecundi,ρ vi datar,
atque A— ma(Tai corporis} pro ρ inbftituatur vis in-
venta P.finz—/. Ρ. cofz, & fiat Ay nam malla corporis eft pondet i ipfius proportionalis * habebitur
dds 1 e. P. /?'« 2 — f. P. cofζ . . . 7
—- = ί —» vel dds = 2gdi*.
dt2 " 0
H11. &—f. coj s, cujus arouationis integratione invenitur
ds-=.2gtdtfin. »—j. cojz, fumto dt conftante, & ite-
rum integrando erit sz=:gt2 βη. ζ—f. cofz, unde fpa¬
tium qua?fitum determinari poteft.
Conßvnftio. Sit .di? (Fig. 6.) fpatium tempore t a gravi 1 ibtre cadendo confefium, & angulus ί?^/Γ ae-
qualis complemento anguli quietis. Super AB defcri«
batur arcus circuli ADB capiens angulos äquales com¬
plemento anguli BAK ad duos reaos (El. Euclid. III.
33 ), qui fecet datum planum inclinatum AM in Dy
dicOj quod erit ADz=z rtt ßnz—jcofz.
Dem Nam fit ACz=z rad.z=. ι , & a C ducanfurre«
CL, CG, normales ipiis AKy AM, atque reftaCiT paralleta reilae jungenti pun^a B & D. Ob angulum
ACG a-quaiem angulo elevationis plani AM,erit^AG^
fin a; & ob i ad/ ut CL ad LA, fi fiat CL ad LA ut CG ad GE, erit 1 ad F ut CG ad GE, & GEz=zf CG;
led CG z=cc( ζ, adeoque GEzzifconf. z> & AG-—GE zzAEzz/m. z—fcofi z. Cuum fit£ = fpatio tempo¬
re
fl ) I« (,. 9
fe iinius minuti fecundi a gravi confe^ö erit i adi*
ut g ad gt4 ieu fpatium a gravi confeTum tempore?1;
fed hoc ipfum fupra aiTumtum efl=:yii?, etgo gt~z=:
AB. Verum AC eil ad AE ut AB ad AD (El. Eoel.
VL2.} adeoque erit i ad fin ζ —/cof ζ ut gt2ad AD,
& ADz=zgtz.fin. ζ—f cofi z.
CoroU. Spatium, quod tempore t conficeretur fuper piano inclinato absque fri&ione eil ad fpatium fupereo-
dem piano cum friclione eodem tempore confeftum,
Ut fin ζ ad fin ζ—f. cofζ ieu ut tang ζ ad tang. ζ—/;
quia abfente friclione föret s=gt2.finz.
Schol. i. Ex formula illa inventa crui potefl non
folum valör fmclionis f, obfervato tempore, quo da¬
tum fpatium abfolvitur, fed etiam tempus invenitur dato fpatio s & friclione /, qua? omnia exemplis, cui-
cunque lubet, in propatulo eile poterunt. Tum ex-
plorari iimul poteil , num f eundem habest valotem
pro motu ac pro quiete,quod certe experimentis dcte- gi mererctur. Velocitas v=z —* exproblematehocceet¬
iam innotefcit, quac ^tz=z2gt.finz—fcojz;Sc tandem,data friclione, feu dato fpatio, dato tempore percurfo, inve-
fiitur angulus quietis, nam /= tang. ζώ — — &
gt* cofiz tang. iooooooo.
Schol 2. Hinc alius nobis occurrit modus, iisdero datis, iine pravio calculo, determinandi fpatium qua?- fitum: Nimirum ab inferiori termino B ipatii AB da¬
to tempon t refpondentis, ducatur refla cum AB fa¬
ckens angulum ABD äqualem angulo KAM, qui ert:
exceflus , quo complementum anguli quietis KAB fu- perat complementum anguli elevationis plani BAMj
