Tentamen 2 i Matematik 1, HF1903, 4 februari 2012, kl 13.15 – 17.15

1

4 februari 2012, kl 13.15 – 17.15

Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs 10 poäng av 24 möjliga poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Den som uppnått 9 poäng får betyget Fx och har rätt att komplettera.

Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.

Examinator: Armin Halilovic Ansvarig lärare: Elias Said

Uppgift 1:

a. Låt

1 2 ) 3

( −

= + x x x f

Beräkna f(f(x)) Samt ange dess definitionsmängd. (2p)  b. Beräkna gränsvärdet till

x x

x sin7

lim

→0 (1p) 

c. Beräkna gränsvärdet till

x x

x

5 lim 20

2

0

−

−

→ (1p) 

Uppgift 2:

a. Bestäm konstanten k så att kurvan y=lnx−2ln(x+k) och linjen tangerar varandra i en punkt som uppfyller

=1 y 0

) ( =

′ x

y och y(x)=1. (2p) b. Kurvan har en tangent som går genom punkten (1, 0). Bestäm

denna tangents ekvation. (2p)

sin 2

2+xy+e ^y = x

Uppgift 3:

Betrakta funktionen

2 9

2

= − x y x

Bestäm funktionens eventuella asymptoter, samtliga extrempunkter (min och max) och

rita grafen till funktionen. (4p)

2 Uppgift 4:

a. Bestäm en primitiv funktion till

x x x

f sin )

( = (1p)

b. Beräkna följande integral

∫

¹ _{+ −}

0

2 2

3

4 dx

x

x (1p)

c. Beräkna arean som begränsas av kurvorna till funktionerna x

x

f( )= 3− och x x

g 2

)

( = (2p)

Uppgift 5:

a. Bestäm koordinaterna (x, y, z) till alla stationära punkter samt avgör deras karaktär (max-, min- eller sadelpunkt) för följande flervariabla funktion

(2p)

5

2 2

2+ + +

= e

^{x y y}

z

b. Bestäm värdet av följande dubbelintegral

(2p)

där området T i xy-planet är en triangel med hörn i punkterna: (0,0), (1,0) och (0,1).

∫∫

^{− − ⋅}

T

dxdy y x ) 1

(

Uppgift 6:

Volymen av ett föremål samt tyngdpunktskoordinater för ett plant område kan bestämmas genom att använda dubbelintegraler (se formlerna på formelbladet).

a. Bestäm volymen av ett föremål som definieras av:

(2p)

2 2 2 2

2 9, 0, 0, 0 ( )

: ) , ,

(x y z x +y ≤ x≥ y≥ ≤z≤ x +y b. Bestäm tyngdpunktskoordinater (x,y) av följande område D:

(2p)

1 0

,

0≤ y≤e^x ≤x≤

3 Uppgift 1:

a. 2

, 1 1 2 ) 3

( ≠

−

= + x

x x x f

x x x

x x

x x x

x x x x x

f

f = =

− +

− + −

− + +

=

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

− + +

= 7

7

1 2

1 2 6 2

1 2

3 6 3

1 1 2 2 3

1 3 2

3 ))

( (

Inre funktionen f(x) är ej definierad för 2

= 1

x , detta ger att även ej definierad för

)) ( (f x f

2

=1

x . Alltså:

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ≠

2 , 1

)):

(

( x x

D_{f f x} .

b.

{ }

7 1 7 cos 7 lim 1 7

limsin

0

0 = = =

→

→ LeHospital x

x x

x

x .

c. Division med 0 ger att gränsvärdet ej existeras.

Uppgift 2:

a. y=lnx−2ln(x+k), y′(x)=0, y(x)=1 k k x

x x

x k k

x

y x = ⇒ =

+

⇒ − + =

−

′= 0

) 0 (

2 1

k e k e

k k

k

k k

k k k

k y x y

4 1 4

1 1 4 ln 1 ) 1

2 ln(

1 ) 2 ln(

ln ) ln(

2 ln ) ( ) (

2

2

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

=

−

= +

−

=

=

b. Lutningen av tangents ekvation erhålls via implicit derivering av i punkten (1, 0).

sin 2

2+xy+e ^y = x

0 )= cos

( 2

0 cos

2 + + + ^siny = ⇒ + + x+ ye^siny

dx y dy x e

dx y dy dx xdy y x

−1 1 1

2 cos

) 2 2 ( ) cos

( ^sin _sin =

+

= − +

− −

=

⇒ +

−

=

+ ^y _y

e y x

y x dx

y dy x e

y dx x

dy

1 1

0=− + ⇒ =

⇒ +

−

= x m m m

y

1 Tangents ekvation är: y= x− + .

4 Uppgift 3:

2 9

2

= − x y x

Funktionen har följande asymptoter:

=1 9 ) 1 ( lim 1 9 )

1 ( 9 lim

lim

2 2

2 2

2 2

−

=

−

− = ^{→∞ →∞}

→∞

x x x

x x

x

x x

x , vågrät asymptot vid y = 1.

Den vågräta asymptoten gäller även för x→−∞.

∞

→

⇒

±

= y

x 3

±3

= x

, två lodräta asymptoter. Vidare ger undersökningen av funktionen runt följande resultat:

−∞

− →

∞

− → ⁺

− →−

−

→ , lim 9

lim 9 ₂

2

2 3 2

3

∞

− →

−∞

− → ⁺

− →

→ , lim 9

lim 9 ₂

2

2 3 2

3

x

x x

x

x x

x x x

x

x x

Inga sneda asymptoter.

Vi har att 0 0, (0) 0

) 9 (

18

2

2 = ⇒ = =

− − x och y

x ) x ( =

′ x

y . Teckentabell

x -3 0 3

y′ −18x + ej + 0 - ej - + ej + + ej +

2 2 9) (x −

y ej 0 ej

visar att x = 0 är en max punkt.

5 Uppgift 4:

a. dx

x dx x

x

∫

f^{( ) =}

∫

^sin

Integralen löses via variabelsubstitution genom att sätta t.ex. t= x dt

t x dx

dx x dt

t 1 2

2

1⋅ ⇒ =

=

⇒

=

C x C

t dt

t dt

t t dx t x

x =

∫

=

∫

=− + =− +

∫

^{sin sin 2 2sin 2cos 2cos}

En primitiv funktion till f(x) är −2cos x .

b.

{ }

^dx

x dx x

x dx x

x

x

∫ ∫

∫

_{+ −} ⁼ _{− +} ^{= =1⎛}_⎝^⎜ ₋ ⁺ ₊ ^⎟⎞_⎠

0 1

0 1

0

2 1

1 3

lning 1 bråksuppde Partiell

) 1 )(

3 (

4 2

3

4

[ ]

^ln3

3 ln 1 1

ln 3

1 ln 1 3

1 ¹

0 1

0 1

0

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= + + +

−

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

∫

−_{x x} ^{dx x x x} _x ^.

c. Områdets skärningspunkter som begränsas av funktionskurvor erhålls via:

2 och 2 1

3 )

( )

( = ⇒ − = ⇒ x₁= x₂ =

x x x

g x f

Figuren ger att f(x) är den övre funktionen. Områdets area A blir:

( )

. . 2 ln 2 2 ln 3

2 2 3

3 2 )

( ) (

2

1 2

2

1 2

1

e a x x

x A

x dx x dx

x g x f A

−

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − −

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

=

−

=

∫ ∫

6 Uppgift 5:

a. z= f(x,y)=e^x2+y2+2y+5 2 ^{2 2 2 5} ⇒

′= + + +

e x

f_x ^{x y y} ) 2 2

( ^{2 2 2 5}

0

0 ⇒ =

′ =

x f_x

0 ⇒

= =−1

⇒ f_y′ e4

=

5 2

4x2e^{x2+y2+ y+} ⇒ , 0

5 (

2 2

2^{+y+ y+} ⇒ B −

x

5 2

)2

2 2

( y+ e^{x2+y2+ y+} A samt e⁸ > ,0 >

+

′ = + + +

e y

f_y ^{x y y}

5 2

) 1

1 , 0

( e

f

z= − =

⇒ ^{− +}

5

2e ^{2 2} 2

f

A= _xx″ = ^{x+y + y+} + ) 2 2 (

2 +

″=

= f x y e

B _xy

5

2 e ^{2 2} 2

f

C= _yy″= ^{x+y+ y+} + e e B

AC− ² =2 ⁴⋅2 ⁴ =4

y

1 , 0 ( A −

0 ) 1 =

⇒

⇒ 0

Stationära punkten har koordinater (x, y, z) = (0, -1, e⁴). Dess karaktär bestäms via de samband som hittas i formelbladet.

Alltså: Funktionen har en minimum punkt vid (x, y, z) = (0, -1, e⁴).

2 4

)= e

) 1 , 0 ( C −

Minimum 2 e4

=

punkt

b. där området T är en triangel i xy-planet i punkterna (0,0), (1,0) och (0,1). Detta ger:

∫∫

^{− − ⋅}

T

dxdy y x ) 1

(

∫

∫

∫

∫

∫∫

^{(1−x−y)⋅dxdy}

T

+

−

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − −

=

−

−

=

+ + −

− 1

0

2 1

0 1 2

0 1

0 1

0

) 2 1 2 ( 1 ) 2

1

( y x x dx

xy y dx dy y x dx

x x

6 1 3 2

) 1 2

1 2 (

1 ¹

0 3 2 1

0

2 ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

= +

∫

− ^{x x dx x x x}

7 a. Volymen av ett föremål som definieras av följande område D:

ges via dubbelintegralen:

.

Omvandling till polära koordinater:

2 2 2 2

2 9, 0, 0, 0 ( )

: ) , ,

(x y z x +y ≤ x≥ y≥ ≤z≤ x +y

∫∫

⁺

D

dxdy y

x^{2 2})² (

α α

α y r dxdy=rdrd r

x= cos , = sin , ger

π α

α α

π π

4 243 6

2

0

3

0 2 6

0 3

0 5

4 ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

=

=

∫∫

^{r rdrd}

∫ ∫

^{d r dr}

∫

^{d r}

D

) ( ²+ ^{2 2}

∫∫

^{x y dxdy}

D

.

b. För beräkning av tyngdpunkten används formlerna:

∫∫

∫∫

=

=

D c

D c

dxdy D y

Arean y

dxdy D x

Arean x

) ( 1

) ( 1

[ ]

¹ )

( ¹₀

1

0

−

=

=

=

∫

^{e dx e e}

D

Arean ^{x x}

[ ]

0 1

0 0

1

0

=

=

=

∫ ∫ ∫

∫∫

^{xdxdy dxe xdy dx xye}

D

x x

{

^{Partiellintegration}

} [ ]

^{1 1}

0 1 0 1

0

=

−

=

=

∫

∫

^{xexdx xex exdx}

) 1 4( 1 2

1 2 1 2

2 ) ( 2

2 1

0 2 1

0 1 2

0 2

0 1 2

0 0

1

0

−

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫∫

^{ydxdy dx ydy dx y ex dx e xdx e x e}

e e

D

x x

Tyngdpunkter blir:

1 1 )

( 1

= −

= _{Arean D}

∫∫

^xdxdy _e

x

D c

) 1 4( 1 1

) 1 )(

1 4( 1

1 ) 1 4( 1

) ( 1

2

+

− = +

= −

−

= −

= _{Arean D}

∫∫

^ydxdy _e^{e e} _e ^{e e}

y

D c