isk analy

Tenta

Datum:

Skrivtid Lärare:

Examin Jourha För god Betygsg Komple Vem so Komple Hjälpm

• Till sa ger 0 po

• Skriv e

• Skriv T omslage finns på

• Inlämn

• Ange o

• Det hä Uppgift En kurv Bestäm Uppgift Vi betra Bestäm

Uppgift Beräkna då D de --- Var god

amen i M

: 11 feb 201 d: 8:00-12:0

Marina Ara nator: Armi

vande lära dkänt betyg gränser: För ettering: 9 p m har rätt ti ettering sker medel: Enda

amtliga uppg oäng.)

endast på en TYDLIGT et, eftersom å omslaget)

nade uppgif omslagsbla är bladet läm

t 1. (2p) (S va beskrivs a

kurvans tan t 2. (2p) (S aktar funktio funktionen

t 3. (3p) (S a dubbelinte efinieras gen --- d vänd.

Matemat

19 00

akelyan, Jon n Halilovic are: Armin H

krävs 10 av r betyg A, B poäng på ten ill komplett r inom sex v ast bifogat fo gifter krävs n sida av pa

NAMN oc m tentorma s

)

fter skall ma det klasstill mnar du in Student som av följande ngent i punk Student som onen f( yx, ns stationära

Student som egral x

D

2



( nom 0 ---

S

isk analy

nas Stenholm Halilovic te v max 24 po B, C, D, E kr

ntamen ger r tering framg veckor efter formelblad

fullständig apperet.

ch PERSON skannas oc arkeras med lhörighet : K

tillsamman m är godkän ekvation:

kten (1,2).

m är godkän 6 )x² x y

a punkter oc

m är godkän dxdy y x3 )

1

 x , 0 ---

Sida 1 av 10

ys, HF1

m, Armin H el 08 790 48 oäng.

krävs 22, 19 rätt till kom går av betyg r att resultat

(miniräknar ga lösningar

NNUMMER ch automatis d kryss på o Klass A, K ns med lösni nd på KS1 h

2 2

x  x y

nd på KS2 h

22 

y y

x

ch deras typ

nd på inläm ,

2 0 y x ---

0

1905

Halilovic 810

, 16, 13 resp mplettering (

get Fx på M t meddelats re är inte ti . ( Endast s

R på varje b skt kopplas omslaget.

Klass B, Kla ingar hoppar över

2 3

y  .

hoppar öve

 . 1

p (min/max/

mningsuppgi

 . 1

---

pektive 10 p (betyg Fx) . MINA SIDO

. llåten).

svar utan til

blad, (spec till namn/pe

ass C eller O

r uppgift 1.)

er uppgift 2 /sadelpunkt

ften hoppa

---

poäng.

OR.

llhörande lö

ciellt tydligt ersonnumm

Omregistre

)

.) t).

ar över upp ösning

på mer som

erad.

pgift 3.)

Sida 2 av 10 Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden

a) ₂

1 5( 1)

) 1 cos(

2 lim2







 x

x

x

b) 5 3

) 3 2 limln(







 x

x

x

Uppgift 5.(4p) Vi betraktar funktionen

x x x

f 3 3

) (

2 

 .

a) Bestäm eventuella asymptoter (lodräta/vågräta/sneda).

b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass).

c) Rita grafen.

Uppgift 6. (4p)

Ett område Ω definieras av 1x² y² 9 och 0 yx (se figuren).

a) Beräkna arean av Ω.

b) Låt T (xc,yc) vara områdets tyngdpunkt. Bestäm tyngdpunktens koordinater.

c ) Beräkna områdets yttröghetsmoment kring x-axeln.

y=x

Uppgift 7. (2p)

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y(y² 4)cosx3e^x(y²4). b) Ange lösningen på explicit form (dvs på formen y f(x)).

Uppgift 8. (3p)

Bestäm den lösning till differentialekvationen 3

2 6

5   

 y y x

y

som uppfyller y(0)1 och y(0)0. Uppgift 9. (2p)

Låt ^I(n)



^sinn(x)dx.

Bevisa att sin ( )cos( ) 1 ( 2) )

(  ^1   I n

n n n

x n x

I

n

.

Tips: Skriv



^sinn(x)dx



^{sinn1(x)sin(x)dx} och använd partiell integration på integralen i högerledet.

Lycka till.

FACIT Uppgift En kurv Bestäm Lösning

2 2x 

y 1 y Vi subst

2 1

 y Tangen Svar: y Rättning

Uppgift Vi betra Bestäm Lösning

2

 x

f_x

0

x f







 2 2

6 2

y x

En stati

 f_xx A AC B Eftersom Grafen t

Svar: F Rättning

t 1. (2p) (S va beskrivs a

kurvans tan g: Vi implic

0 2 

 yy . y

x .

tituerar ( . 21 0

 Al

ekvatio ntens

2 y

gsmall: Kor

t 2. (2p) (S aktar funktio funktionen g:

6

x f_y 

  fy



 0 2

0 6







 y x

onär punkt

2

  fB 0 2

2 2  B

m AC B² till funktion

Funktionen h gsmall: Kor

Student som av följande ngent i punk citderiverar

Härav

) 2 , 1

( i y o lltså y0. 2 : y  on

rrekt deriver

Student som onen f( yx, ns stationära

2 2y 0 1 3 P(3,1)

0



fxy C  0 4



0och A nen:

har en statio rrekt bestäm

S m är godkän

ekvation:

kten (1,2).

ekvationen

och får .

) 1 (

0 

 x d

ring dvs kor

m är godkän 6 )x² x y

a punkter oc

2

 f_yy



 0 (3,1)

onär punkt ( mnings av pu

Sida 3 av 10 nd på KS1 h

2 2

x  x y

n x² 2x y

dvs. y2. rrekt till 2x

nd på KS2 h

22 

y y

x

ch deras typ

är en minp

(3,1) som är unkten (3,1

0

hoppar över

2 3

y  .

2 3

y  och

2

2 

 yy

x

hoppar öve

 . 1

p (min/max/

punkt.

r en minpun ) ger 1p. Al

r uppgift 1.)

får

0 ger 1p.

er uppgift 2 /sadelpunkt

nkt.

llt korrekt=2 )

. Allt korre

.) t).

2p.

ekt=2p.

Sida 4 av 10

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna dubbelintegral x y dxdy

D

) 3 2



( ^{ ,}

då D definieras genom 0 x1, 0 y2x1. Lösning:

y dx xy dy

y x dx dxdy y x

x x

D

1 2

0 1

0 1 2

2

0 1

0 (2 3 ) 2 3 2

) 3 2 (

 









^{    }_^{  }_^

6 25 2

2 3 2 3 2)

4 3 2 (

1

0 3 2

1 0

2  



 



  













^{x x dx x x x}

Svar:

6

25.

Rättningsmall: Korrekt till y dx xy

2x 1

0 1

0

2

3 2 2





^_^{  }_^{ ger 1p.}

Korrekt till x x )dx 2 4 3 2 (

1 0



^ 2^{  ger 2p.}

Allt korrekt=3p.

Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden

a) ₂

1 5( 1)

) 1 cos(

2 lim2







 x

x

x

b) 5 3

) 3 2 limln(







 x

x

x

Lösning:

a) ₂

1

2 2cos( 1) lim^x 5 ( 1)

x

 x

 

 

Insättning visar att gränsvärdet är av typ 0 0 .

Man kan då använda L’Hospitals regel: ( ) ( )

lim lim

( ) ( )

x a x a

f x f x

g x g x

 

 

 , Alltså:

1 2 1 1

2 2cos( 1) 2 sin( 1) 0 2 cos( 1) 2 1

lim lim [typ ] lim

5 ( 1) 10 ( 1) 0 10 10 5

x x x

x x x

x x

  

          

   

(där L’Hospitals regel har använts 2 ggr eftersom den första gången gav ett nytt gränsvärde av typ 0

0.) b)

3 5

) 3 2 limln(







 x

x

x

Täljare och nämnare går båda mot  då x  . Även här kan man använda L’Hospitals regel:

2

ln(2 3) (2 3) 2

lim [typ ] lim lim 0

5 3 5 5 (2 3)

x x x

x x

x x

  

      

    .

Sida 5 av 10 Svar: a) 1

5 b) 0

Rättningsmall: a) och b) vardera 1 poäng. Rätt eller fel.

Uppgift 5.(4p) Vi betraktar funktionen

x x x

f 3 3

)

(  ²  . a) Bestäm eventuella asymptoter (lodräta/vågräta/sneda).

b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass).

c) Rita grafen.

Lösning: a) Lodräta (vertikala) asymptoter fås då nämnaren = 0 och täljaren  . 0 Alltså är x = 0 (y-axeln) en lodrät asymptot.

Vågräta/sneda asymptoter fås med polynomdivision, vilken blir mycket enkel i detta fall.

3 2 3 3

x 3

x x x

   Alltså finns en sned asymptot y3x, åt höger och åt vänster, men ingen vågrät (horisontell) asymptot.

b) Stationära punkter är lösningar till ekvationen f x( ) 0 :

2 2

( ) 3 3 0 1 1

f x x x

   x       (två stationära punkter).

Funktionens värden i punkterna (som vi använder i grafen nedan):

(1) 3 1 3 6

f     och 1 3

( 1) 3 ( 1) 6

f      1 



Punkternas karaktär kan bestämmas med andraderivatan: 6₃ ( ) f x

  x

3

(1) 6 0

f  1  alltså är x = 1 en minpunkt.

6 ₃

( 1) 0

f    ( 1) 

 alltså är x = –1 en maxpunkt.

c) Grafen:

Svar:

vänster.

b) Två

Rättning b) max och pun c) 1 p fö

Uppgift Ett omr a) Beräk b) Låt T c ) Berä

Lösning a) Metod

Metod 2

a) x = 0 (y . Vågrät asy stationära p

gsmall: a) 2p. En po nktens typ ä

ör korrekt g

t 6. (4p) råde Ω defi kna arean av T (xc,yc) vara äkna område

0 0 y

g:

1: Arean:

2: ^A



^d

D

y-axeln) är e ymptot sakn punkter x =

1p för alla k oäng för båd

r korrekta. 2 graf.

finieras av 1 v Ω.

a områdets ets yttröghe

1

y=x

 (3 8 1 2

A







 

³

1 4 0

d dxdy

S en lodrät asy nas.

= 1 (en minp

korrekta asy da stationär 2p om allt ä

1x² y²  tyngdpunkt etsmoment k

3



 1² )

2











⁴

0 3

1

d dr r

Sida 6 av 10 ymptot. y punkt) och x

ymptoter.

ra punkter x är korrekt

 och 9 0 t. Bestäm ty kring x-axel

 



  )1 9

8( 1





 



 



₂



⁴⁴

0 3

1

r2

0

3x är en x = –1 ( en m

x = 1 och x

x y

 (se f yngdpunkte ln.

 



 8

) 8 .

    44 4d

sned asymp maxpunkt) .

= –1. En p

figuren).

ens koordin

.



ptot åt höger . c) Se gra

poäng om en

nater.

r och åt af ovan.

n punkt

Sida 7 av 10 b)













^{    }_^{ }_^

 ⁴

0

3

1 3 3

1 4 2 0 3

1 4

0 1 cos 3

1 cos 1 cos

) ( 1









 



 



  ^d

dr r r

d dr

r r

d dxdy

D x Arean x

D c



^



_{ }

 

 





3 2 13 2

2 3 sin 26

3 cos 26

3 26

1 ₄

0 4

0











^{d .} 













^{    }_^{ }_^

 ⁴

0

3

1 3 3

1 4 2 0 3

1 4

0 1 (sin 3

1 sin 1 sin

) ( 1









 



 



  ^d

dr r r

d dr

r r

d dxdy

D y Arean y

D c

 

_



 



 







 ¹



⁴²⁶₃ ^sin ₃^{26 cos 04} ₃^{26 1} ₂²

0  

 

 





d . 

Alltså  

















 

 2

1 2 3 , 26 3

2 13



T   . 

c)

Yttröghetsmoment med avseende på x-axeln











    

³

1 4 3

0 2 3

1 4 2 0

2dxdy d (rsin ) rd sin d r dr

y I

D x













 (Vi använder formeln

2 ) 2 cos(

sin² 1^  .)

2 5 ) 5 2 1 (4 10 20 ) 0 0 ( 2 )

4) 2 sin(

(4 2 1

4 2

) 2 sin(

2 1 2

) 2 cos(

1 ³

1 4 4

0 4

0

3 1

3





























 







 







 



 



 

 

 

 



 



 

  ^



dr r r d

Yttröghetsmoment med avseende på x-axeln är 5 5 2

.

Svar: a) Arean 

b) Tyngpunkten: 

















 

 2

1 2 3 , 26 3

2 13

 T 

c) Yttröghetsmoment med avseende på x-axeln är 5 5 2

. Rättningsmall: a) Rätt arean ger 1p.

b) (max två p) 1poäng för varje korrekt koordinat.

Anmärkning: Inget avdrag i b-delen för felaktig area från a-delen. Med andra ord +1p om integralen

3 2



^13

D

dxdy

x är korrekt.

Sida 8 av 10

+1p om integralen 



 



 



²⁶₃ ¹ ₂²

D

dxdy

y är korrekt.

c) Korrekt yttröghetsmoment ger 1p.

Uppgift 7. (2p)

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y(y² 4)cosx3e^x(y²4). b) Ange lösningen på explicit form (dvs på formen y f(x)).

Lösning: a) y(y²4)cosx3e^x(y²4) (faktorisera)



^{x ex}



y

y( ²4)cos 3

eller ^y



^{x ex}



dx

dy( ² 4)cos 3 Separera variabler:



^{x e}



^dx

y

dy x

3 4 cos

2  



Integrera:

₂1

(cos 3 ) 4

dy x e dxx

y  







Integralen i vänster led löses med formel 51 i formelbladet, där a . 2 1

arctan( ) sin 3

2 2

y x

x e C

   

b) Lös ut funktionen y: arctan( ) 2sin 6 2 2

y x

x e C

  

tan(2sin 6 2 ) 2

y x

x e C

  

( ) 2 tan(2siny x  x6e^xD)

Svar: a) 1

arctan( ) sin 3

2 2

y x

x e C

    b) ( ) 2 tan(2siny x  x6e^xD)

Rättningsmall: a) och b) vardera 1 poäng. Rätt eller fel.

Uppgift 8. (3p)

Bestäm den lösning till differentialekvationen 3

2 6

5   



 y y x

y

som uppfyller y(0)1 och y(0)0.  Lösning:

Först löser vi homogena delen y5y6y=0.

Sida 9 av 10 Från den karakteristiska ekvationen r²  r5 60, får vi

1 2

r och r₂ 3.

Lösning till den homogena ekvationen blir då y_H c₁e^2xc₂e^3x Ansatsen för en partikulär lösning y_p  AxB ger y_p A och y_p 0. Vi substituerar detta i ekvationen y5y6y2x3 och får

3 2 ) (

6 5

0 A AxB  x eller 3

2 5 6

6Ax B A x

Härav har vi två ekvationer : ekv1:

3 2 1

6A  A och ekv2:

9 7 3

6 14 3 3 5 6 3 3

6 5 3 5

6B A  B   B   B  B 

Vi har fått en partikulär lösning:

9 7 1 3

 x y_p Den allmänna lösningen är

9 7 3

3 1

2 2

1   

ce c e x

y ^{x x} .

Med hjälp av begynnelsevillkoren bestämmer vi c₁ och c₂. Från y(0)1 har vi 1

9 7

2

1 c  

c dvs

9 2

2 1 c 

c ekv (*)

För att använda andra villkoret måste vi derivera lösningen

9 7 3

3 1

2 2

1   

ce c e x

y ^{x x} .

Vi har

3 3 1

2 ₁ ²  ₂ ³ 

 ce ^x c e ^x

y .

Från y(0)0 har vi 0 3 3 1

2c₁ c₂  eller

3 3 1

2c₁ c₂  ekv (**) Systemet



















3 3 1

2

9 2

2 1

2 1

c c

c c

kan vi lösa på många sätt, exempelvis med Gaussmetoden:









































9 7 9 2

] ekv(**)ger 2ekv(*)

[ 3 3 1

2

9 2

2 2 1

2 1

2 1

c c c

c c

c c

Från

9 2

2 1 c 

c har vi

9 2 9 7

1 

c och därmed c₁ 1. Den lösning som satisfierar givna begynnelsevillkor är

9 7 3 1 9

7 ₃

2   

e e x

y ^{x x} .

Svar:

9 7 3 1 9

7 3

2   

e e x

y ^{x x}

Rättningsmall: 1 poäng för homogena delen . 1 poäng för en partikulär lösning. Allt korrekt=3p.

Sida 10 av 10 Uppgift 9. (2p)

Låt ^I(n)



^sinn(x)dx.

Bevisa att sin ( )cos( ) 1 ( 2) )

(

1

 





 ^ I n

n n n

x n x

I

n

.

Tips: Skriv



^sinn(x)dx



^{sinn1(x)sin(x)dx} och använd partiell integration på integralen i högerledet.

Lösning:

Vi har





^{ }

 x dx x x dx

I_(n) sinⁿ( ) sin^{n 1}( )sin( )

Vi använder partiell integration på integralen i högerledet )

( sin ¹ x

u ^n vsin(x) )

cos(

) ( sin ) 1

(n ² x x

u  ^n vcos(x) och får



^

  



 x x n x x dx

I_(n) ´ sin^{n 1}( )cos( ) ( 1)sin^{n 2}( )cos²( )



^{ }





 sin^n1(x)cos(x) (n 1)sin^n2(x)(1 sin²(x))dx



^







 sin^n1(x)cos(x) (n 1) (sin^n2(x) sinⁿ(x))dx



^{ }









 sin^n1(x)cos(x) (n 1) sin^n2(x)dx (n 1) sinⁿ(x)dx Alltså

) ( )

2 ( 1

)

(_n sinⁿ (x)cos(x) (n 1)I _n (n 1)I_n

I  ^   _  

Härav

) 2 ( 1

)

(_n sin^n (x)cos(x)(n1)I_n nI

och slutligen

) 2 ( 1

) (

) 1 cos(

) ( 1sin



  



 ⁿ _n

n I

n x n n x

I

vilket skulle bevisas.

Rättningsmall:

Korrekt till ^{I(n) sinn1(x)cos(x)(n1)}



^{(sinn2(x)sinn(x))dx} ger 1 poäng.

Allt korrekt =2p.