CHRISTIANUS GRAVALLIUS

r

de

RATIONUM COMPOSITIONE,

AD PLANAS SOLIDASQUE F1GURAS ^, Vi def. 5 lib. VI. eucl. elem.,

applicanda.

DISSERTATIO,

quam

VENIA AMPL. FACULT. PHIL. UPSAL.

publico examini offerunt

CHRISTIANUS GRAVALLIUS

phil. mag.

et

NIC. THEOD. CASSTR0M

sud. nertcii.

IN AUD. GUSTAV. D. ^II MAJ. MDCCCXVIIi.

η. a. m. s.

upsalij:

Excudebant Zeipei ät Palmblad.

de

RATIONUM COiVI POSITION E>

AD PLANAS SOLIDASQUE FIGURAS,

vi def. 5 llb. VI. eucl. el.,

applicanda.

„Pulchra,

ve! primis labiis Mathefin

«uftannum, ore jam verfatur, Theoria de Ratione ^com·

pöfua, per fe facilis quidem ac

evidens, viriatis

univerfalis

quibusüam Geome¬

tris Hut enuntiata. Horum vero, quocquot fere fint, vi-

tiorum fontem dcfinitione Euclidis 5 Lib. VI natum haud

immeriro pures. Ducentes igitur, mevos antea

esfe di-

luendos, quam genuina fua luce do&rina htec

clamerit,

in expüeanda definitione allata, quoad

fe extendere liceat,

via, qua posfuinus

facillima, tironi.bus confulturi»

bimur. Quod qualecunque

fuccesferit,

eft

deftia , tuo, B. L I fubjieiamus judicio.

Ante vero quam hujus rei

periculum faciamus, viam,

quam fequi ftacuirnus,

Cr.uti tradamus. Ne igitut* demon-

ltrationibus, falfis intcrdum, iemper imperfe£lis operam ludamus, definitionem exponemus, qua; genuina

eft, 3c

demonttrationes, ex hac dedueendas, adfcremus, ut in aprico fir, quam inepia

expofita fit illa. In primis autem

A mo·

) 2 (

moniium velimus, esfe quantitatem five exponenrem ra-

tionis numevum qui nniltiphcanr confequmtem prodncit antec

eden-

tem, ut au£tor eil Eutocms in Comment. in Pröp.4 Lib. ii.

Archimedis de Sphaera & Cylindro.

Notio cujnscunque res compofitae,

notionem

eil refolubilis, omnino canti.net.

Si effedtam quendam- produci video, anismim

ad vires,

quas effeifcus Tunt

causfae,

ornisiis quidem im-

pedimentis, qme viribus

obilenr. A vi igiiur gradatim

ad effectum osnnes causfas penii^to, facta inter 11^as

rela-

iione, h. ^e. compono causfas medias, qiife

effeftum vel

augeant vel minuant. Sic

etiam ratio compoiita iimplices

comple&irur rationes,

terminis illius inrerjeclas,

hr,

ut _, quum datam rationem

compolitam exafte derermina-

bimus, attendamus ad componences ejus rationes ^, qute quidem tum refpe£tu terminoium ^, tum rationum >

diver-

ioe, in hoc tarnen cogruunt, quod terminos

habeant ho-

rnogeneos. Sequitur igitur, ut mutua i

ii

ha,bitudo rnagni-

ttidinum , quae compoiitam faciunt rationem ^, a

refpedliva

habitudine , quse fingulis interje£lis terminis competit,

quota fitj deprendear.

Si jam fuerint rationes quotcumque A: B, B: C,

C:D &c. iimplices; ut ^vero A: B (it M:X, ut B: C

fit O: P, ut C:D fit V: X. Ratio A:D dicirur compo¬

iita ex rationibus A : B, B : C, C: D; at quum hae ipfte

ecrdem funt ac Μ: X, O ^: Ρ, V: X ex aequo dici licear,

esfe A:D compoiitam rationem ex M:N% O : Ρ, V: X.

Quantitas, ipfi A in refpe£tu ad D tribuenda', innoteicit inquirendo primo quantitatem , quae ipfi Μ comperir in

relations ad X, deinde _quaenam lic habirudo ipfi O in

relatione ad Px ac taadcm, quam /^habeat rationem ad-X, Hsec

) 3 C

Hase igitur genetica

ed: & legitima ratlonis

iUcE notio a), qu<c nihil habet

obfeuritatis, & forma

univerfalitatis; haec coinple&itur etiam rationes

duplicatas ^, triplicatas

&c. (quae verbo multiplicara? dicun-

ttfrj uc noi ηiΠ ipecies fui ipfius in genere.

Si enim

tiones dentur A: ß =5 Μ: ΛΓ, Β ^: C ~ Μ: Ν, dicitur Α

habere ad C duplicararn rationein

ejus,

A habet ad

B, ideo quod ex duabns

aequalibus rationibus fit compofira.

Si tres finr componentes äquales

rationes Α: Β

Μ: IV,

Β: C = Μ : ΛΓ, C: D = Μ: Ν dicitur Α habere ad D tnplicacam rationem

ejus,

habet ad B;

f. d. Con-

ilat igitur, inrer

rationem compofitam & multiplicatam

nihil interesfie, nifi quod in illa rationes componentes

eaedem non finr, quum ex hac

rnagnitudines

jjortionales gigmintur.

[Nota:

Habere Α ad D compofitam rationem ex Α

ad Β, Β ad C & C ed D iic indicatur:

Α: Ό = (Α : Β)^. (Β : C) .(C: D)*

Si ratio eil duplicata

iignatur: A:

C

(A: B)*

triplicata A: D = {A: i?)3]

Theon vero loco hujus, quam fine

dubio Euclides

dederat, aliam minus univerfalem

fubftiruit rationis

notionem. I

i

i

Lib. VI Euclidis Elem. 'inferra

eil definirto, qu«ae htec

ed: ratio

rationibus componi

dicitur , όταν at των

λόγων πηλαιότητεσ εφ" εαυτοί? πολλα-

πλούσια?ΟίεΊσαιποιωσιτίνα quam

Comraandinus it

vertit:

do rationum quantitates9 inter

fe multiplicatce, aliquam efficiunt

fl) Hane enim explicationern non

nifi rnodum esfe loquendi, patefc

tam ex definitione rotion?s duppiicatbe, in qua Euclides

ufus eft

verbis ('χ,αν ΧΙγιτχι, quam ex propos. 23 Lib.

VI ubi legitur

y.ttrai h, e. cvyy.HiSxi \iysrott', componi dieitUf.

) 4 C

rationm; & Gregorius poftrem» defininonis verba red.

du: illnif fticiunt qnantiiatem; ab hac vero, ut definifione,

omuis »b dt notio completa, ur propniltione in M.uheii

pura, omnis rigor; ied q.uuni <5c in noflra edirione Lud.,

quam tinqua marerr.a decht Prof. St»6mer ^, & ab alns piurimis ron mono rerenra iir, fed prolixis etiam Com·

»neπtariis i!'uitrara, quo cafu pröpoiinanis nomen ι treatur, oltendere _pm juvabir. Antea vero·,. qu-bus nobis opus dt, praeiriirfiiuus lemmara :

Lemma I.

A vi

Sit — =: ~ dico A: B ^{z=z m} \ny (quantitates inrer

B η

ie ilη r coromenfurabiies & mrn, /7, χ η um. int.)

Dem. Ter hypoth. eft A =ρ . — y m ρ.— ergo

χ χ

.Β η Β η Β η

Α:ρ ^{.— ss} m ιρ .—; led ρ.— : ρ .— ss= —~· — =

χ Χ Χ Χ X X

Βιη(Ε. V: ι$.) ergo Α: Β ^{= m:n.} Ε. D.

Lemma IL Sit ηΑ=rmΒ dico Α: Β ζζ mm.

π

Oetn» ηΑιη = mΒ^{ι η}(Ε. Vι 7) Αι^{ι ζζ.} 1ι(Ε. JA;ijj

η

_ Α ι m ι Α νι

tandem ^— :— — 1— (Ibm) quare — = ^—(Ε. V: η) &

Β Β n Β Β n

Αι Β == mm (Lem. I.) Q. Ε. D.

Jam ad

Pro.

) s C Propof. oc.

; Qiiai-tilas rafkwis·, β/«/ raiionibus compoßtce, cequalis eß producta ^{cm η}inⁿⁱ ßnpiichnn rathnnm qnnntitotum.

Sinr A: B, H:C rariönes fin plices; exponens ratio-

ms A : B ht _μ, rationis B: C, v, c&n pofittr rationis A:

C,i

&, _{y ~ μ . v} d.!co esie y zzz §.

Dem. Qiurm fiir μB zz $C' &rit B: Csz ί^{: μ} (Lem. II.)

fedexpon. rat. B:Ce(i vergo etiam μ^. v =

J&

ciQ^E.D.

■Goroll.. Dat-is A: B. B:C C: D raiionibus, (Si infuper

y rit. C:D iitexponens) exponensrationis Α:Ώ erit γ.μ.ν.

hit eniiu rattanis A: C expon. =£ μ .v fed A:D =s.

(A: CJ . (C:Dj _ergo A = y .μ. v. D.

Ex hac fequentia den.ojaflrant.fr Theorematai

Ρrop. β.

Sit A: B C : D

Erit A C: B. D = (A: B) ^. (C: D).

Dem. Ut A : B fit K: L

C : D = L:M expon. rat. A: B notetur μ

C: D v

eft, (vi prop. oc,) μ.v. Μ =s K

fed A"zz.μB C=vD

A, C_=μ.B,vD zzz μ

,ν.Β ,D

dum

Ι) δ

(

dusrl K = μ. v.Μ quace

A.C.B.D = K:M-= (A^: B) ^. (C: D) Corel], Sic A: BA: C=2=B :A*Cerit : B> .

Propof.

y.

A:B=m:n Dsm.Dsnot. « exp.rar. A: B

S,t B-.C-n:p ^v

B:C

Er,_per comp.

A: C

Erit A

C

μ.v. ρ(Prop.ec) ergo

A: C = m :ρ.

Coroll. i. Sit A: B = η \p B ^:C = m : η

Erit A: C == m :p.

Coroll s. Sit A: B = (m:w).(p : υ) erit A: B = (m: v) . (p:

.fVo/7.

λ

Datis quotcumque A, B,

C,

E, F ejusd.

quantitatibus, aliisque ^a, b, ^c,

d,

Sit A : F = a : e A : D sas ß : c

Erit D : F ⁼ f:

Dem.

Eil .D :A = r: a (Ε. F: Coroll ad ^{4^}

€t A: F ~ a : e

ergo D : F z=z c ; c

(Prop. yj

Attu-

) ⁷ C

Attuümns propofiriones has, ut viam, quam

ingresfi

funt commenratores definitionis, fiepius diétae, indicare-

fT:ii5j an vero folido^eometrse

fatisfaciant, infra dicerur-

Ad plana

progrediamur.

Conftat jam ex iis, qui rcgulas

Algebrae tradiderunt,

rationem, cujus quantitaribus unum

interponitur medium

in conrinua prcportionaiitare, fapere naiuram

quadrati.

Quia autem quadratum unitans

menfura, fl

fuerir,

duamm eit planarum figurarum,

fequitur,

rationi pla¬

norum, quae fub lineis continemur,

duse

tiones interjiciantur. Cum vero

refpechi laterum

tio figuraFum obtinebirur, patet,

figuras

magnitudi-

ne tum inclinatione ad fe invicem laterum deterroinsri.

Praemisiis his, acquiangula duo parfilelogramma

confcren-

da fiftamus. Demonitrat Euclides (VI: 23), illa inter fe

rationem habere ex laterum retionibus compoiitam b), ^ut

Icilicet inter rationem ilJam, quae exprimit rationem pa- rallelogrammorum, duae

interfint

rationes,

q.u$ eafdem omnino

funt,

rationes larerum. Si igituu

in tribus magnitudinibus continuetur

proportio larerum

prgm. efl: ad prgm. ut

prima ad tertiam.

Dixlmus, rationem duplicatam fpeciem tantum

esfe

rationis compofitae, & quum

parallelogramma inter di-

verfa innumerae dari posfint rationes,

fequitur, inveniri

randem parallelogramma, quae

inter fe duplicatam habent

rationem ejus, quam

latus unius habet ad latus homolo-

gum alterius

prgmi. Contingit etiam, quum parallelo¬

gramma

funt fimilia, unde rationes illae intermediae, ex

quibus b) Vulgaris leetio "ex lateribus

cotnpoiitaiii" abfurda eil.

) 8 C

quibus proportio parallelogrammorum compofira eft, ^ana¬

logiam gigmnr. Hoc enim cafu, rres illae quanrirares,

que ration;s iue>;um ficmot, funt continuo proportionales, proindeque primi hibet ad tertiam duplicatarn ranonem

ejus, quam habet ^a i fecimdam; fed ut pritna ad tertiam

ira prgm ad pr gm, ergo prgm ad pr gm duphcatam

habet rationern laterum homologorum.

Luce clarlora funt corollaria illa multa, _quie ab hoc

univerfaii Theorernate ^, ad rationem inrer planas figuras indagandatn, elici posfunt. Hoc unum, in pianimetria palmare, fubjungere pir eft: habere ρ arallelogeamma inier fe rationem compoßtam ex baßam et altitudiuum raiionibus Nu·

ftrum vero jam elt, oftendere, quoruodo, vi det. 5: VI

Euch, ratio compofua ad planas applicetur figuras. Juxta

hane propoiitio allata lic esfet:

Ρrop. s.

Sit A prgm (Fig. 1.) cujus latera funt a, 6, ceqniungu¬

ium cum prgm A' cujus latera a', b'. Sit rationis expon,

a: b' _ζζζμ et rat. b : a' v, dico rat. exp. A : Ä esfe μ . v

Applicentur parailelogramma ut in directum iiηt

la-

tera a, b'; a', b, & compleatur prgm. M.

Dem., Eft igitur A: A' = (Λ:Μ) ^. (Μ:

A')

Ä. (Prbp. ß.J

Q. E. D.

Coroll. i. Vi coroll. 2. prop. & eft etia-m A: A' = (a :a) ^. (b :b'). Qiiodli expon. rar. a :a' fit λ & rat. b:b'

fit φ erit λ zzz φ dum α :a' = b:b' h. e. A: A' =(a :aj2 quod etiani paralleliogrammis limilibus eld proprium.

Co-

) 9 (

Cotoll, 2. Sit λ: a :: b ^:b' erit A:A' (a:a')* (Prop.ß.)

Plures ex hac propoficiones, quos ad plana pertinenr,

eodem modo demonftrari posfent, ratio vero opellae illas

adferre vetat. Reliquum eft. ut applicatio rationis ccmpo- iltae ad figuras folidas breviter tradlerur.

Sicut rationi, ut antea monuimus, inter duo plana ^„

duas mediae funt interje&as, fic rationi inter foiida, qui-

bus tres funt dimenfiones, ^{tres etiam} interponuntur com- ponentes rariones. Ad parallelipipeda, quae foiida inter

maxime univerfalia funt, sequiangula deteiminanda, fup-

petunt tres illas rationes lateium, quas ad aequ&les ar.gu-

los funt conftituta,

Prop.

JEquiangula Parallelipipeda A, Ä (Fig. z) inter fe funt

m rationey compoßta ex laterum rciionibus.

Applicetur A fic ad Ä ut in dire£tum fint latera, &

compleatur parallelipipedum M, Exponatur linea u, fit-

que a : a = v: χ, b :b' = x: y, c: c = y ; %

Dem. Eft igitur A: A'= (A :MJ^. (M:Ä)r=.[(prgm.

ex a, b: _{prgm. ex}a\ b' inclin. eadem) (Ε. XI:jz) =(«; a).

{b:b') (Ε. VI: 2jJz= (v:x) .(x:y)⁼

(v:yj]

(c:

Coroll. Qiiod fi esfet a:a^zb:b' pr gm. ex a, b fi¬

mile eft _prgm. ex a ^, b'; deinceps fit b:b' zzz c: c erit

prgm. ex b, t finrtileprgm. exb\c', ex asquo erit a: a— c: c ergo pr gm. ex a, c fimile eft prgm. ex a\ c ^, quo fequitur

esfe folidum A fimile fol. Ä(E. XL34Pr. & 9 Def.) c). Eft

B ve-

e) Hoc vero in illa foiida tantum quadrat, quoruro nuilus argulus

folidas pluribus quam tribus angulis planis continetur.

) I» C

vero fol. A: fol. Ä υ:s ==(a:a ), (b b') .(c:cr)[a:λ').

"(α : «').(α :α)=(α: α')1 h. e. parailelipipeda

fimilia

catam habent rauonem ejus, quam habent latera homologe.

Si ratio dimenfionum invenienda esfer, fequensTheo-

rema, quod non eft nifi Eucl. 35; XI, adferre

juvabit;

Ρrop. 23.

Daiis duobus parallelipipedis cequiangulis, FG,fg (Fig.j.)

ducantur ex cequalibus ang. A, a ad plana ccqnianguta EG, eg ρ erρendiciliares AC, ac; dico esfe AB: ab zz. AC:ac.

Ex C, c ducantur CD, cd ad BE. be perpendicula-

res, & connectantur C, B, _c, b, A, D, ^a, d re£tis CBS

cb, ADj ad.

Dem. Quum AC fit perpendicularis ad planum EG

eft plan, ACD ad plan. EG rectum (Ε XlcigJ; eandem

ob causfam acd rectum ad eg\ quum etiam CD, cd fint

ad rectos angulos lineis Ε B, eb funt Ε B, eb ad ^rectos

ang. planis A DC, ade, ergo AD perpendicularis ad BE

& ad ad be (II. XI; gDef.J Rurfus eft ang. ADBzzadb

öl AB D r= abd ergo Ab :ab rr AD^: ad (Ε. VI: 4); de- nique qura ACDzz acd & ADC= adc indin, plan.) eft AC\ac = AD:ad zz AB:ab.

Ρrop. (£.

Com (A, A') qwerum axes (b, b') ad diametros bafiim (a, a) cequaliter inclincmi, fmit ⁱⁿ rationey compoßta ex baßum

diametrorum duplicata et axium ratiom.

Fiat Μ Conus, data eadem inclinarione axis (=b'J

ad diärnetrum (= a),

Dem»

) Il (

Dem. itaque Α:Α' = (Α: Μ). (Μ: Ä) ~ (δj &',).

f«:<02 (Ε. XII: 2 & nJ. Q, Ε. D.

Coroll. 1. Sir a:a zst bib' erit A: Ä zr: (a:aj3 b. e.

Coni iimiles triplicatam h.sbent rationem baiium dieme-

trorum.

Coroll. II. Coni funt in ratione compofita ex dia¬

metrorum bafium duplicara & altitudinum ratione, vcl ex bafium & altitudinum rationibus.

In Spbsera omnes diametri funt aequales, proindeque proportionalesj ergo fphceré funt in trrplicata ratione dianie-

trorum.

Definidoni f L. VI Eucl. convenienter propofitiones

allatae, _quae ad folida, iic esfent;

Prop. ξ,

Ρarallelipipeda ceqmangula habent intei' fe rationem ^, cujus

exponens productim eft exponentium hierum proport

lonum^

Prop. γ[.

Coni ccquianguii ratimmt habent, cujus· exponens- productim tft exponentis ratwnis iwter bafium

diametros, in fe ducti3

axium ratiouis.

Prop. Θ.

Sphcerce rationem habent, cujus exponensproductum

eft

nentis rationis inter diametros bis in fe multipliceiti.

Hae propoiitiones eodem modo ac prop. ε3 vi

corol-

larii ad prop. cc, denionftrari

posfent,

Jam

) " c

jam vero reftat, ur, quae ex allatis fiat, conciunu-

nem paucis indicemus. Cardo igitur rei in eo vertirur,

ut quaeitio iblvaiur, an adhibira illa quastitas ^, quae expo-

nens rarionis audit, inveniri fempei posür, Sc ii illa ^in- veniretur, an adsequata iir definitio, quam adferr Eu-

clides in L. Vi. def. _y. In libro X Euclides demon- ilratum ivit, multas dari lineas, incommenfurabiles di¬

etas , quarum nulla vel minima _pars unius in altera ^con-

tinetur, ut vel hinc conftare posfit, rationern inter lineas ejusmodi, η ili abfiracta quadam magnitudine, exacre deno-

»finan non posfe. Univerfalitatis igitur formam defide-

ranc propoiitiones, auas, litteris graecis infignites, tradi- dimus, nec iis fattsfaciunt, qui acctiratis demonftrationi-

bus in Geomerria delectanrur. Quod reliquum eil, nemi¬

nem iugere videatur ^, ab hac definitions ^omnem abesfe ngorem logicum, ^{quum in} propofitione oc iit demoniira-

ta; definitio vero demonftratiouem firicte non admitrit.

Uc definitio igitur pura^exfulet Geometria; ne vero ut

propontio elementis Arithmeticae, monet perfpicuitas,

qua präéftat, in cafu commenfurabilitatis rationern com·

pofiram dererminandi, monetque opera Iaudäbilis, quam recentiores Geometrae _navarunt, rationern incommenfu- rabiliurn etiam quantitatum inträ adeo anguftos limires ^re- ftringendi, ut a vera five excesfu five deieäu _{minus qua-} cumque data exigua magnitudine difcrepet, qua doctrina proportionum pulcherrime eft elabo.ata, et ab omni, qute ei lnerac, obfeuritate vindicata.