UVODNI STRANA.... i

(1)

UVODNI STRANA....

i

(2)

ii

(3)

Prohl´ aˇ sen´ı

Byl jsem seznámen s t´ım, ˇze na mou bakaláˇrskou práci se plnˇe vztahuje zákon ˇc. 121/2000 o právu autorském, zejména § 60 (ˇskoln´ı d´ılo).

Beru na vˇedom´ı, ˇze TUL má právo na uzavˇren´ı licenˇcn´ı smlouvy o uˇzit´ı mé bakaláˇrské práce a prohlaˇsuji, ˇze s o u h l a s ´ı m s pˇr´ıpadným uˇzit´ım mé bakaláˇrské práce (prodej, zap˚ujˇcen´ı apod.).

Jsem si vˇedom toho, ˇze uˇz´ıt své bakaláˇrské práce ˇci poskytnout licenci k jej´ımu vyuˇzit´ı mohu jen se souhlasem TUL, která má právo ode mne poˇzadovat pˇrimˇeˇrený pˇr´ıspˇevek na

´

uhradu náklad˚u, vynaloˇzených univerzitou na vytvoˇren´ı d´ıla (aˇz do jejich skuteˇcné výˇse).

Bakaláˇrskou práci jsem vypracoval samostatnˇe s pouˇzit´ım uvedené literatury a na základˇe konzultac´ı s vedouc´ım bakaláˇrské práce a konzultantem.

V Liberci dne 20.5.2011

Podpis:

iii

(4)

Na tomto m´ıstˇe bych rád podˇekoval vedouc´ımu práce doc. Ing. Daliboru Frydrychovi, Ph.D. za cenné rady a mnˇe vˇenovaný ˇcas. A dále své rodinˇe za podporu pˇri celém studiu.

iv

(5)

Abstrakt

Tato práce se zabývá objektovˇe orientovanou analýzou vybraných numerických metod pro potˇreby frameworku DF²EM . Jedná se o metody numerického integrovan´ı a ˇreˇsen´ı obyˇcejných diferenciáln´ıch rovnic. Jednotlivé metody jsou analyzovány z pohledu objek- tovˇe orientovaného pˇr´ıstupu pˇri vývoji softwaru. Teoretická ˇcást práce se skládá z popisu princip˚u dané numerické matematiky pro které byly vytvoˇreny analytické modely. Ana- lytické modely jsou zapsany v UML. V praktické ˇcásti práce je dle tˇechto analytických model˚u implementována matematická knihovna v programovac´ım jazyce Java.

Kl´ıˇ cov´ a slova

numerické metody, objektovˇe orientovaný pˇr´ıstup, analytické modely, numerická integrace, ODR

Abstract

This work deals with object-oriented analysis of selected numerical methods, which are used in the framework DF²EM . There are numerical integration methods and methods of solving ordinary differential equations. These methods are analyzed from the per- spective of the object-oriented approach to programming. The theoretical part of this work consists of a description of the methods of numerical mathematics and for these methods were built the analytical models. The analytical models were written in UML.

In the practical part of this work, in accordance with these analytical models, is the mathe- matical library implemented in programming language Java.

Key words

numerical methods, object-oriented approach, analytical models, numerical integration, ODE

v

(6)

Seznam obr´azk˚u vii

Seznam tabulek viii

Seznam pouˇzit´ych zkratek a pojm˚u x

1 Uvod´ 1

2 Teorie 3

2.1 Numerick´a integrace . . . 3

2.1.1 Kvadratura . . . 3

2.1.2 Kubatura . . . 5

2.1.3 Integraˇcn´ı body - kartézský souˇradný systém . . . 7

2.1.4 Integraˇcn´ı body - barycentrický souˇradný systém . . . 8

2.2 Obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice . . . 8

2.2.1 Ulohy s poˇ´ c´ateˇcn´ımi podm´ınkami . . . 9

2.2.2 Tuh´e (stiff) rovnice . . . 9

2.2.3 Jednokrokov´e metody . . . 10

2.2.4 Metody explicitn´ı vs. implicitn´ı . . . 11

2.2.5 Metody Runge-Kutta . . . 12

2.2.6 V´ıcekrokov´e metody . . . 14

2.2.7 Algoritmus prediktor-korektor . . . 16

3 Objektovˇe orientovan´y pˇr´ıstup 17 3.1 Anonymita klienta . . . 17

3.1.1 Programov´an´ı proti rozhran´ı . . . 18

3.2 Urovnˇ´ e abstrakce . . . 18

3.3 UML . . . 18

3.4 N´avrhov´e vzory . . . 19

3.4.1 N´avrhov´y vzor Factory Method . . . 19

3.4.2 N´avrhov´y vzor Strategy . . . 20

3.5 Testov´an´ı . . . 21

4 Realizace 23 4.1 Implementace integraˇcn´ı knihovny . . . 23

4.1.1 Rozbor struktury . . . 24 vi

(7)

4.1.2 Struktura inicializaˇcn´ıho XML souboru . . . 27

4.1.3 Doporuˇcen´y postup pˇri programovan´ı . . . 29

4.1.4 Testov´an´ı . . . 29

4.2 Implementace ODE ˇreˇsiˇce . . . 30

4.2.1 Rozbor struktury . . . 33

4.2.2 Regulace kroku u adaptivn´ıch metod . . . 34

4.2.3 Inicializaˇcn´ı XML soubor . . . 36

4.2.4 Manipulace s inicializaˇcn´ımi daty . . . 36

4.2.5 Doporuˇcen´y postup pˇri programovan´ı . . . 38

4.2.6 Testov´an´ı . . . 39

5 Z´avˇer 40

Literatura 42

A Obsah pˇriloˇzen´eho CD I

vii

(8)

2.1 Diskretizovan´a oblast ve dvou-dimenzion´aln´ım prostoru . . . 5

2.2 Sedm nejvýznamnˇejˇs´ıch geometrických element˚u pro numerické integrován´ı 6 2.3 Mapován´ı bodu z referenˇcn´ıho trojúheln´ıku na trojúheln´ık obecný . . . . 8

2.4 Reˇsen´ı Eulerovou metodou s pˇr´ıliˇs velk´ˇ ym krokem . . . 10

2.5 Princip Eulerovy metody . . . 11

2.6 Princip Adams-Bashforthovy metody . . . 14

3.1 Diagram n´avrhov´eho vzoru Factory Method . . . 19

3.2 Diagram n´avrhov´eho vzoru Strategy . . . 20

4.1 Struktura integraˇcn´ı knihovny . . . 23

4.2 Diagram tˇr´ıd bal´ıˇcku integral . . . 24

4.3 Diagram tˇr´ıd pro integral factory . . . 26

4.4 Diagram tˇr´ıd bal´ıˇcku integPoints . . . 26

4.5 Rozhran´ı IDataIntegral . . . 27

4.6 Rozhran´ı IOdeFunction . . . 30

4.7 Rozhran´ı IOde . . . 31

4.8 Rozhran´ı IOdeSolver . . . 32

4.9 Rozhran´ı IOdeImplicit . . . 32

4.10 Tˇr´ıda OdeFactory . . . 33

4.11 Struktura knihovny pro ˇreˇsen´ı ODR . . . 33

4.12 Rozhran´ı IComparator . . . 35

4.13 Rozhran´ı IRegulator . . . 35

4.14 Tˇr´ıda DataManager . . . 36

4.15 Struktura bal´ıˇcku data . . . 37

viii

(9)

Seznam tabulek

2.1 Butcher tableau pro klasickou Runge-Kuttovu metodu . . . 13 2.2 Butcher tableau pro obecnou explicitn´ı Runge-Kuttovu metodu . . . 13 2.3 Butcher tableau obecnˇe pro vnoˇrené Runge-Kuttovy metody . . . 14 2.4 Koeficienty pro Adams-Bashforthovy metody od prvn´ıho do ˇsestého ˇrádu 15 2.5 Koeficienty pro Adams-Moultonovy metody od prvn´ıho do ˇsestého ˇrádu . 15 2.6 Koeficienty pro BFD metody od prvn´ıho do ˇsestého ˇrádu . . . 16 A.1 Obsah pˇriloˇzeného CD . . . I

ix

(10)

SW - programov´e vybaven´ı (Software)

IDE - v´yvojov´e prostˇred´ı (Integrated Development Environment)

OOP - Objektovˇe orientovan´e programov´an´ı (Object-Oriented Programming)

UML - grafický jazyk vyuˇz´ıvaný v softwarovém inˇzenýrstv´ı (Unified Modeling Language) XML - rozˇsiˇritelný znaˇckovac´ı jazyk (eXtensible Markup Language)

ODE - obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice (Ordinary Differential Equations) IVP - Úlohy s poˇcáteˇcn´ımi podm´ınkami (Initial Value Problem)

Metodika DF²EM - metodika implementace metody koneˇcných prvk˚u unit testing - testován´ı aplikaˇcn´ıch jednotek kódu

framework - softwarová struktura, která slouˇz´ı jako podpora pˇri programován´ı

diagram - je strukturované grafické znázornˇen´ı pojm˚u, myˇslenek a vztah˚u v jazyce UML solver - objekt na úrovni zdrojového kódu, který um´ı ˇreˇsit daný problém numerické matematiky

x

(11)

Kapitola 1 Uvod ´

Aˇckoliv numerická matematika je známá po stalet´ı, vyuˇz´ıvala se minimálnˇe pro jej´ı znaˇcnou výpoˇcetn´ı nároˇcnost a pracnost. Pouze zˇr´ıdka se vyuˇz´ıvala v nˇekterých oblas- tech vˇedy a pr˚umyslu. S nástupem elektronické výpoˇcetn´ı techniky umoˇzˇnuj´ıc´ı miliony aritmetických operac´ı za zlomek ˇcasu, se dostalo numerické matematice velkého rozkvˇetu a tak zaˇcala nová éra vˇedecko-technických výpoˇct˚u. Komplexn´ı úlohy, které se nedaly bez zjednoduˇsen´ı analyticky vyˇreˇsit, se stávaly ˇreˇsitelnými. Numeriˇct´ı analytikové museli (a stále musej´ı) objevovat nové algoritmy, které dostateˇcnˇe vyhovuj´ı z hlediska efektivity a pˇresnosti výpoˇctu. Do pracovn´ıch tým˚u skládaj´ıc´ıch se doposud z matematik˚u a fyzik˚u, zaˇcali pˇribývat odborn´ıci s rozsáhlými znalostmi programován´ı, datového modelován´ı, s´ıt’ové komunikace, atd.

Tato práce je zamˇeˇrena na vyuˇzit´ı modern´ıch programovac´ıch technik pˇri budován´ı knihovny numerické matematiky. Jako kaˇzdý obor, tak i programován´ı se postupnˇe vyv´ıjelo. Od nejjednoduˇsˇs´ıho pˇr´ıstupu sekvenˇcn´ıho programován´ı, kde jednotlivé pˇr´ıkazy programu se vykonávaj´ı tak, jak po sobˇe následuj´ı ve zdrojovém kódu. Aˇz po souˇcasnost, kdy je za velice efektivn´ı styl programován´ı povaˇzován objektový pˇr´ıstup. Objektový pˇr´ıstup je bliˇzˇs´ı lidskému chápáni reálného svˇeta. S postupným pˇr´ıchodem nových programovac´ıch jazyk˚u bývaly tyto knihovny pouze pˇrepsány tak, aby splˇnovaly syntaxi nového jazyka. Nové jazyky ale nevznikaly bezd˚uvodnˇe. Vˇetˇsinou byl nový jazyk vy- tvoˇren jako nástroj umoˇzˇnuj´ıc´ı nový styl programován´ı, který by zvyˇsoval produktivitu práce programátor˚u.

Mnoho matematických knihoven bylo vytvoˇreno pˇred 30 a v´ıce lety ve strukturovaných programovac´ıch jazyc´ıch (nejˇcastˇeji Fortran). Tyto knihovny jsou pouze úloˇziˇstˇem jed- notlivých metod. Ovˇsem v kódech jednotlivých numerických metod stejného zamˇeˇren´ı se daj´ı nalézt urˇcité sekvence zdrojového kódu, které maj´ı spoleˇcné principy. Aplikován´ım objektovˇe orientovaného pˇr´ıstupu je moˇzné tyto sekvence vytˇesnit do abstraktn´ıch úrovn´ı.

Stejné ˇcásti zdrojového kódu budou v knihovnˇe sd´ıleny a nebudou se jiˇz opakovat. Pozi- tivn´ım d˚usledkem bude menˇs´ı mnoˇzstv´ı kód˚u a d˚ukladnˇejˇs´ı testován´ı.

Cast´ˇ ym argumentem proti tomuto pˇr´ıstupu bývá otázka niˇzˇs´ıho výpoˇcetn´ıho výkonu objektovˇe orientovaných jazyk˚u. Avˇsak stále mnoho lid´ı se domn´ıvá, ˇze vyˇsˇs´ıho výkonu dosáhnou prostou volbou jazyka niˇzˇs´ı úrovnˇe a jiˇz se nemus´ı zaob´ırat peˇclivou analýzou problému a kvalitn´ı algoritmizac´ı.

Praktickým výsledkem této práce bude knihovna numerické matematiky zamˇeˇruj´ıc´ı

1

(12)

se na pokryt´ı dvou oblast´ı numerické matematiky. Prvn´ı oblast´ı jsou metody pro ˇreˇsen´ı obyˇcejných diferenciáln´ıch rovnic a druhou oblast´ı jsou metody numerické integrace. Im- plementaˇcn´ım jazykem této knihovny je objektovˇe orientovaný jazyk Java. Volba tohoto programovac´ıho jazyka vycház´ı z budouc´ıho vyuˇzit´ı knihovny. Knihovna je zaˇclenˇena do frameworku DF²EM a je jednou z mnoha jeho ˇcást´ı.

Z práce v kontextu rozsáhlejˇs´ıho projektu vyplývaj´ı jisté výhody a omezen´ı. Napˇr´ıklad bude nutné se podˇr´ıdit vnitˇrn´ım princip˚um frameworku DF²EM . Strávený ˇcas pocho- pen´ım struktur frameworku DF²EM se ale vrát´ı v podobˇe budouc´ı uˇsetˇrené práce. Nebot’

se vyuˇzij´ı jiˇz naprogramovan´e funkcionality frameworku.

(13)

Kapitola 2 Teorie

2.1 Numerick´ a integrace

Velké mnoˇzstv´ı urˇcitých integrál˚u nelze vyjádˇrit prostˇrednictv´ım elementárn´ıch funkc´ı, nebo je jejich výpoˇcet pˇr´ıliˇs nároˇcný. V tomto pˇr´ıpadˇe je výhodné vyuˇz´ıt nˇekteré z nume- rických metod pro pˇribliˇzný výpoˇcet integrálu. Danou metodu je vhodné zvolit tak, aby se vypoˇctená hodnota od skuteˇcné liˇsila co nejménˇe. Jindy je neznámý spojitý pr˚ubˇeh integrandu f (x) a jeho funkˇcn´ı hodnoty jsou známé pouze v urˇcitých bodech z´ıskaných napˇr´ıklad po vzorkován´ı. Numerický výpoˇcet integrálu je nˇekdy nazýván kvadratura. Toto oznaˇcen´ı se povˇetˇsinou váˇze k jednorozmˇerným integrál˚um. Pro dvou a v´ıce rozmˇerné in- tegrály je vhodnˇejˇs´ı uˇz´ıt název kubatura, aˇckoliv pˇredchoz´ı název bývá pouˇz´ıván i pro v´ıcerozmˇernou integraci.

2.1.1 Kvadratura

Kvadratura je souhrnný název pro metody, které si kladou za c´ıl nalézt pˇribliˇznou plochu pod grafem funkce f (x) mezi hodnotami a a b. Pˇredpokládejme, ˇze chceme spoˇc´ıtat následuj´ıc´ı rovnici:

I = Z b

a

f (x)dx (2.1)

Kvadratura je jednou z technik numerické matematiky, pro kterou m˚uˇze být vzorec pˇrepsán jako:

I = Z b

a

f (x)dx ≈

n

X

i=1

wifi (2.2)

Kde f_i je funkˇcn´ı hodnota funkce f (x) v bodˇe x_i a w_i je váha pro daný uzel, která závis´ı na konkrétn´ım kvadraturn´ım pravidlu pouˇzitém pro výpoˇcet. Metod numerické integrace existuje velké mnoˇzstv´ı. Výbˇer správné metody závis´ı pˇredevˇs´ım na poˇzadované pˇresnosti ˇreˇsen´ı a ˇcasové nároˇcnosti výpoˇctu. Vˇsechny kvadraturn´ı pravidla jsou odvo- zené z interpolace daného integrandu polynomem. Z tohoto d˚uvodu dané metody pracuj´ı nejlépe, pokud daná funkce f_i m˚uˇze být aproximována polynomem. Ukáˇzeme si dva typy kvadraturn´ıch vzorc˚u.

3

(14)

Prvn´ı jsou Newton-Cotesovy vzorce s ekvidistantn´ım dˇelen´ım - vˇsechny integraˇcn´ı body jsou od sebe stejnˇe vzdáleny s krokem h. Hlavn´ı výhoda tˇechto metod se ukazuje aˇz pˇri implementaci na výpoˇcetn´ı technice. Pˇredpokládejme, ˇze chceme spoˇc´ıtat integrál z polynomu druhého stupnˇe P2(x).

Z b a

f (x)dx ≈ Z b

a

P₂(x)dx (2.3)

Mus´ıme pouˇz´ıt takový integraˇcn´ı vzorec, který je nejménˇe druhého ˇrádu. Pro Newton- Cotesovu kvadraturu zjist´ıme poˇcet integraˇcn´ıch bod˚u (= 3) a váhové koeficienty v tˇechto bodech. Rozm´ıstˇen´ı bod˚u bude x₀ = a, x₁ = â+b₂ , x₂ = b. Prvn´ı a posledn´ı body jsou vˇzdy zároveˇn hranicemi intervalu. Body x₀, x₁, x₂ rozdˇeluj´ı doménu na dvˇe ˇcásti o délce kroku h. Uˇzit´ım Lagrangeova interpolaˇcn´ıho polynomu z´ıskáme polynom procházej´ıc´ım vˇsemi body na intervalu ha, b i. A polynom P₂(x) m˚uˇzeme zapsat jako:

P₂(x) = f₀L₀(x) + f₁L₁(x) + f₂L₂(x) (2.4) Poté aproximaˇcn´ı integrál lze následovnˇe pˇrepsat:

Z b a

P₂(x)dx = Z b

a

(f₀L₀(x) + f₁L₁(x) + f₂L₂(x))dx =

= f₀ Z b

a

L₀(x)dx + f₁ Z b

a

L₁(x)dx + f₂ Z b

a

L₂(x)dx

Nyn´ı jiˇz má pravá strana kvadraturn´ı formu jako rovnice 2.2. Váhové koeficienty nezávis´ı na funkˇcn´ıch hodnotách. Takovéto tˇr´ıbodové integraˇcn´ı pravidlo je známé jako Simpso- nova metoda:

Z b a

f (x)dx ≈ h

6(f₀+ 4f₁+ f₂) (2.5)

Druhým integraˇcn´ım pravidlem jsou Gaussovy kvadraturn´ı vzorce. Pˇri konstrukci Simpsonovy metody nen´ı brán ohled na vhodné rozm´ıstˇen´ı integraˇcn´ıch bod˚u. Jed- noduˇse se zaˇcalo s ekvidistantn´ım dˇelen´ım, které pˇrináˇs´ı velké výhody pˇri výpoˇctech na poˇc´ıtaˇc´ıch. Urˇcit pˇresnou polohu nového integraˇcn´ıho bodu je snadné a pˇresné. Ovˇsem také velmi rychle roste ˇrád metody a s n´ım poˇcet integraˇcn´ıch bod˚u. Z pohledu poˇctu integraˇcn´ıch bod˚u tedy urˇcitˇe dobré nejsou. Chceme-li spoˇc´ıtat integrál s co nejmenˇs´ım poˇctem vyˇc´ıslen´ı funkce f (x). Snaˇz´ıme se volit optimáln´ı polohu bod˚u xi s váhovými koeficienty w_i. S Newton-Cotesovými kvadraturn´ı vzorci dostaneme pˇresný výsledek, pokud je polynom jenˇz integrujeme ˇrádu n, zat´ımco s Gaussovými obdrˇz´ıme pˇresnou hodnotu pro polynom ˇrádu 2n − 1. Pˇredpis Gaussovy kvadratury pro referenˇcn´ı interval h−1, 1 i:

I = Z 1

−1

f (x)dx ≈

n

X

i=1

w_if (x_i) (2.6)

Pˇri uˇzit´ı této integrace napˇr´ıklad na poˇc´ıtaˇci se rozm´ıstˇen´ı bod˚u ani váhy jiˇz neodvozuj´ı, ale vyuˇz´ıvá se tabulkových hodnot pro referenˇcn´ı domény.

(15)

KAPITOLA 2. TEORIE 5

Je nutné se jeˇstˇe zm´ınit o chybˇe pˇresnoti numerických kvadraturn´ıch metod. Oznaˇcme numerickou kvadraturu integrálu jako N a chybu integrace jako E. Pˇresná hodnota in- tegrálu I je:

I = N + E (2.7)

Napˇr´ıklad pro lichobˇeˇzn´ıkovou metodu lze chybu E vyj´adˇrit jako:

E = −b − a

12 f⁰⁰(η)h² (2.8)

Kde f⁰⁰(η) znaˇc´ı druhou derivaci integrovan´e funkce f v bl´ıˇze nespecifikovan´em bodˇe η intervalu

h a, b i

. Lichobˇeˇzn´ıková metoda poskytuje pˇresný výsledek pro lineárn´ı funkce, které maj´ı druhou derivaci nulovou.

2.1.2 Kubatura

Naproti tomu kubatura se zaob´ırá numerickou aproximac´ı integrál˚u, kde vystupuj´ı mi- nimálnˇe dvˇe promˇenné x, y. Pˇrej´ıt z jednoho rozmˇeru do v´ıcerozmˇerného prostˇred´ı nen´ı v˚ubec jednoduché. Zat´ımco v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadu byla integraˇcn´ı oblast vytyˇcená pouze dvˇema hodnotami, které vymezovaly oblast výpoˇctu na pouhou úseˇcku, naproti tomu rozmanitost moˇzných integraˇcn´ıch oblast´ı pro d-dimenzionáln´ı funkce m˚uˇze být pˇr´ımo skliˇcuj´ıc´ı. Aby bylo v˚ubec moˇzné ˇreˇsit takto rozsáhlé problémy, je nutné tuto rozmanitost integraˇcn´ıch oblast´ı sn´ıˇzit. Pro tento úˇcel se vyuˇz´ıvá pˇr´ıstup, nazývaný diskretizace modelu. Coˇz je v podstatˇe aproximace modelu koneˇcným poˇctem jednoduˇsˇs´ıch prvku, respektive uzlových bod˚u. A na takto diskretizované oblasti provádˇet výpoˇcty pro kaˇzdý element (povrchu, objemu) samostatnˇe.

Obrázek 2.1: Diskretizovaná oblast ve dvou-dimenzionáln´ım prostoru

(16)

Napˇr´ıklad integrál pˇres oblast Ω na obrázku 2.1 m˚uˇze být relativnˇe lehko vypoˇcten jako souˇcet hodnot vˇsech integrál˚u pˇres jednotlivé diskretizované oblasti Ω_e.

I = Z Z

Ω

f (x, y)dxdy ≈ X

i

Z Z

Ωe

f (x, y)dxdy (2.9)

Ovˇsem takovýto pˇr´ıstup zanáˇs´ı do výpoˇctu dalˇs´ı moˇzné odchylky od správného výsledku. Kromˇe chyby dané integraˇcn´ı metodou a chyby vzniklé zaokrouhlován´ım tu vzniká nová chyba, která uˇz m˚uˇze být patrná z obrázku 2.1. Rozdˇelen´ım dané kompliko- vané oblasti na samostatné a jednoduˇsˇs´ı celky se dopouˇst´ıme dalˇs´ıho zaokrouhlován´ı. Je patrné, ˇze s t´ımto pˇr´ıstupem neobsáhneme úplnˇe pˇresnˇe hranice p˚uvodn´ı oblasti. Naˇstˇest´ı v dneˇsn´ı dobˇe nám výkon výpoˇcetn´ı techniky umoˇzˇnuje provést diskretizaci tak jemnou, abychom se drˇzeli ve velmi sluˇsných mez´ıch pˇresnosti.

Nyn´ı si pˇredstav´ıme trochu bl´ıˇze ony jednotlivé (geometrické) elementy, ze kterých dokáˇzeme sloˇzit, ˇci alespoˇn se velmi pˇribl´ıˇzit k libovolným tvar˚um v praxi. Následuj´ıc´ı pˇrehled na obrázku 2.2 zobrazuje sedm nejˇcastˇeji pouˇz´ıvaných element˚u v praxi. Pˇriˇcemˇz tato práce se zamˇeˇruje pouze na útvary oznaˇcované jako n-simplex ¹ (jmenovitˇe úseˇcka, trojúheln´ık a ˇctyˇrstˇen). Úvaha je následuj´ıc´ı - libovolný geometrický objekt je moˇzné sloˇzit právˇe ze simplex˚u.

Obrázek 2.2: Sedm nejvýznamnˇejˇs´ıch geometrických element˚u pro nume- rické integrován´ı

Pro efektivn´ı práci s jednoduchými geometrickými objektym jako jsou trojúheln´ık a tetraedr je výhodnˇejˇs´ı pracovat v jiném souˇradnicovém systému nˇeˇz v kartézském. Oba tyto objekty bývaj´ı obecnˇe popisovány pomoc´ı vrchol˚u. Coˇz vede k myˇslence jednotlivé

1Pojmenov´an´ı simplex je odvozeno z anglick´eho

”the simplest“, pˇreloˇzeno do ˇceˇstiny - nejjednoduˇsˇs´ı.

Jako nejjednoduˇsˇs´ı geometrický útvar v dané dimenzi prostoru. Napˇr´ıklad 0-simplex tvoˇr´ı bod, 1-simplex pˇredstavuje úseˇcku, 2-simplex trojúheln´ık a 3-simplex ˇctyˇrstˇen.

(17)

integraˇcn´ı body popisovat evaluaˇcn´ımi hodnotami (ζ1, ζ2, ... ζn). Poté se kvadraturn´ı forma rovnice 2.2 pro integrován´ı pˇres oblast trojúheln´ıku dá pˇrepsat:

I = Z Z

Ωe

f (x, y)dxdy ≈ A

n

X

i=1

W_if (ζ₁ⁱ, ζ₂ⁱ, ζ₃ⁱ) (2.10)

Kde (ζ₁ⁱ, ζ₂ⁱ, ζ₃ⁱ) jsou souˇradnice evaluaˇcn´ıho bodu i a A je obsah trojúheln´ıku. Obdobnˇe je pˇrepsána téˇz kvadraturn´ı forma pro tetraedr:

I = Z Z Z

Ωe

f (x, y, z)dxdydz ≈ V

n

X

i=1

W_if (ζ₁ⁱ, ζ₂ⁱ, ζ₃ⁱ, ζ₄ⁱ) (2.11)

Kde V je objem elementu a (ζ₁ⁱ, ζ₂ⁱ, ζ₃ⁱ, ζ₄ⁱ) jsou barycentrick´e souˇradnice evaluaˇcn´ıho bodu i.

2.1.3 Integraˇ cn´ı body - kart´ ezsk´ y souˇ radn´ y syst´ em

V kartézském souˇradném systému jsou integraˇcn´ı body zadány na referenˇcn´ı oblasti (intervalu, doménˇe). Abychom mohli integrovat funkci zadanou na libovolném intervalu mus´ıme si body z referenˇcn´ı oblasti transformovat na poˇzadovanou obecnou oblast.

Pro tuto techniku se vˇzil term´ın pˇrejatý z angliˇctiny - mapováni (mapping). Pro vˇetˇs´ı názornost opust´ıme teoretický n-rozmˇerný prostor a techniky mapováni budou demon- strovány jen na simplexu ve dvou-dimenzionáln´ım prostoru, ˇcili na trojúheln´ıku. Poté by nikomu nemˇelo dˇelat pot´ıˇze si pˇredstavit, jak by transformace vypadala napˇr´ıklad pro ˇ

ctverec, nebo tetraedr. Pouˇzité vztahy jsou poˇrád tytéˇz, jen se mˇen´ı rozmˇery vektor˚u a matic.

Referenˇcn´ı troj´uheln´ık T_ref se nejˇcastˇeji definuje v mez´ıch {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}.

Pˇridáme jeˇstˇe jedno zjednoduˇsen´ı úlohy. Omez´ıme poˇcet integraˇcn´ıch bod˚u v refe- renˇcn´ı oblasti pouze na jeden bod ~r se sloˇzkami (r, s). Dále zavedeme symboly pro obecný trojúheln´ık T a pro obraz bodu ~r. Tento obraz bude znaˇcen jako vektor ~x se sloˇzkami (x, y). Vztahy transformace tohoto bodu z T_ref na T jsou popsaný n´ıˇze, viz rovnice 2.12. Inverzn´ı transformace z trojúheln´ıka obecného na trojúheln´ık referenˇcn´ı jiˇz nen´ı v této práci upotˇrebena, proto zde nebude ani rozepsána.

(18)

Obrázek 2.3: Mapován´ı bodu z referenˇcn´ıho trojúheln´ıku na trojúheln´ık obecný

Transformaˇcn´ı funkce bodu z referenˇcn´ıho trojúheln´ıku na trojúheln´ık obecný:

A · ~r + ~c = ~x (2.12)

a_x− c_x b_x− c_x a_y− c_y b_y− c_x

·

r s

+

c_x c_y

= ~x (2.13)

2.1.4 Integraˇ cn´ı body - barycentrick´ y souˇ radn´ y syst´ em

V této soustavˇe integraˇcn´ı body nejsou zadány na ˇzádném referenˇcn´ım útvaru, ale jako tzv. barycentery (stˇredy veˇskeré

”masy“, která tvoˇr´ı pˇredmˇet). Hledaný integraˇcn´ı bod ~x je specifikován vektorem evaluaˇcn´ıch hodnot (ζ₁, ζ₂, ... ζ_n) a souˇradnicemi vrchol˚u geometrického útvaru. Rovnice pro výpoˇcet nového integraˇcn´ıho bodu:

a_x b_x c_x a_y b_y c_y

·



 ζ₁ ζ₂ ζ₃



= ~x (2.14)

2.2 Obyˇ cejn´ e diferenci´ aln´ı rovnice

Pomoc´ı diferenciáln´ıch rovnic je moˇzné popsat velké mnoˇzstv´ı dˇej˚u, na které ve svˇetˇe naráˇz´ıme. Pravdˇepodobnˇe diferenciáln´ı rovnice pˇredstavuj´ı jeden z nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıch mate- matických nástroj˚u pouˇz´ıvaných pˇri modelován´ı fyzikáln´ıch a biologických proces˚u. Po- zornosti se tˇeˇs´ı i mimo okruh výzkumu, ˇci ˇcistˇe technických obor˚u. Velkému uplatnˇen´ı se jim dostává i ve zcela odliˇsných odvˇetv´ıch jako jsou ekonomika, psychologie, ˇci lékaˇrstv´ı a mnoha dalˇs´ıch.

Obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice (ODR, anglicky ODE z Ordinary Differential Equati- ons) jsou rovnice s jednou nezávislou promˇennou t, ve kterých se jako neznámá vyskytuje

(19)

funkce y a libovolný poˇcet jejich derivac´ı (y⁰, y⁰⁰, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾, yⁿ). Podle výˇse ˇc´ısla n poté hovoˇr´ıme o tvz ˇrádu diferenciáln´ı rovnice.

Diferenciáln´ı rovnice prvn´ıho ˇrádu s neznámou funkc´ı y = y(t) m˚uˇze být zapsána a ˇreˇsena jak v implicitn´ım tvaru F (t, y, y⁰) = 0. Tak také v explicitn´ım tvaru ve vztahu k derivované funkci, který je pro technické obory v´ıce vyuˇz´ıvaný. Proto nadále budeme uvaˇzovat pouze tento tvar diferenciáln´ı rovnice v jej´ım explicitn´ım vyjádˇren´ı:

y⁰ = f (t, y(t)) (2.15)

Daleko frekventovanˇejˇs´ım pˇr´ıpadem neˇz rovnice prvn´ıho ˇrádu, bývaj´ı rovnice ˇrádu druhého (a vyˇsˇs´ıch). Takové pˇr´ıpady ˇreˇs´ıme pˇreveden´ım dané rovnice o ˇrádu n na n di- ferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu:

y₁⁰ = f₁(t, y₁(t))

y₂⁰ = f₂(t, y₂(t)) (2.16)

...

y_n⁰ = f_n(t, y_n(t))

Od tohoto okamˇziku budeme implicitnˇe uvaˇzovat pod zápisem y(t) nikoliv jednu neznámou funkci, ale vektor neznámých funkc´ı.

2.2.1 Ulohy s poˇ ´ c´ ateˇ cn´ımi podm´ınkami

V literatuˇre také m˚uˇzeme setkávat s oznaˇcen´ım tˇechto úloh jako IVP. Jedná se o zkratku z anglického názvu Initial Value Problem. Pˇri numerickém ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice prvn´ıho ˇrádu, hledáme funkci, která splˇnuje rovnici 2.15. Funkce, která vyhovuje této rovnici, je dána smˇerovým polem².

Aby se mnoˇzstv´ı moˇzných ˇreˇsen´ı omezilo, mus´ı se stanovit poˇcáteˇcn´ı podm´ınky ˇreˇsené úlohy. To znamená pˇriˇradit kaˇzdé rovnici vektoru y hodnotu v jednom bodu t₀. Vyˇreˇsen´ım úlohy budeme rozumˇet naj´ıt takové ˇreˇsen´ı, které vyhovuje daným poˇcáteˇcn´ım podm´ınkám. Úloha s poˇcáteˇcn´ı podm´ınkou y₀ má následuj´ıc´ı tvar:

y_t⁰ = f (t, y(t)), t ∈ [a, b], y₀ = y(t₀) (2.17)

2.2.2 Tuh´ e (stiff ) rovnice

Obyˇcejnou diferenciáln´ı rovnici prohlás´ıme jako stiff, pokud v celkovém pohledu je ply- nule se mˇen´ıc´ı, ale obˇcas se vyskytnou velké a rychlé zmˇeny. Takˇze numerická metoda mus´ı m´ıt malou velikost kroku, aby tyto obˇcasné zmˇeny pokryla a dodala uspokojivých výsledk˚u. Jedná se o záleˇzitost efektivnosti. Pokud by nás nezaj´ımalo, jak dlouho bude

2Reˇˇ sen´ı diferenciáln´ı rovnice prvn´ıho ˇrádu má geometrický význam. Uvedenou rovnic´ı je dáno smˇerové pole, které kaˇzdému bodu pˇriˇrazuje

”smˇer“ (krátkou úseˇcku - smˇernici). Vyˇreˇsit diferenciáln´ı rovnici s poˇcáteˇcn´ımi podm´ınkami tedy znamená naj´ıt takovou kˇrivku, která bude v kaˇzdém svém bodˇe shodná se svoj´ı smˇernic´ı.

(20)

výpoˇcet prob´ıhat, nebylo by zapotˇreb´ı se t´ımto v˚ubec zabývat a rovnice by se mohly ˇreˇsit libovolnou metodou. To vˇsak v praxi nejde a mus´ıme poˇc´ıtat s krokem rozumné velikosti.

Je tedy nutné se zaob´ırat stabilitou metody. Dokonce i kdyˇz ODR je stabiln´ı, jej´ı nu- merické ˇreˇsen´ı m˚uˇze být nestabiln´ı. Jednoduchý pˇr´ıklad tohoto jevu je následuj´ıc´ı IVP :

y_t⁰ = −20y_t, y₀ = 1

y_t = e^−20t

Obr´azek 2.4: ˇReˇsen´ı Eulerovou metodou s pˇr´ıliˇs velk´ym krokem

Pˇresnost numerick´eho ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice se odv´ıj´ı hlavnˇe od velikosti kroku h.

Aby nalezené pˇribliˇzné (odhadované) ˇreˇsen´ı odpov´ıdalo analytickému (pˇresnému) ˇreˇsen´ı, mus´ı daná metoda splˇnovat podm´ınku konvergence. Pˇresnost numerického ˇreˇsen´ı roste nepˇr´ımo úmˇernˇe s velikost´ı kroku h.

2.2.3 Jednokrokov´ e metody

Základn´ım principem numerického ˇreˇsen´ı ODR je diskretizace podle nezávislé promˇenné t, ˇ

c´ımˇz si stanov´ıme tzv. uzly s´ıtˇe a pomoc´ı hodnot y₀(t₀), y₁(t₁), y₂(t₂), ...y_n(t_n) a v tˇechto uzlech se snaˇz´ıme aproximovat pˇresné ˇreˇsen´ı úlohy. Vzdálenost mezi jednotlivými uzly se nazývá krok metody a je vyjádˇrena následuj´ıc´ı rovnic´ı:

h_i = t_i+1− t_i (2.20)

Základn´ı jednokrokové metody jako je metoda Eulerova, nebo klasická Runge-Kuttova metoda maj´ı rozloˇzen´ı s´ıtˇe ekvidistantn´ı (krok h je konstantn´ı). Ovˇsem neplat´ı to obecnˇe pro jednokrokové metody. Komplikovanˇejˇs´ı metody si velikost kroku koriguj´ı podle odchylky od poˇzadované pˇresnosti. Pod pojmem obecná jednokroková metoda se skrývá takový algoritmus pro ˇreˇseni ODR s poˇcáteˇcn´ımi podm´ınkami 2.17, který najde

(21)

ˇreˇsen´ı yn+1 v bodˇe tn+1 na z´akladˇe znalosti pouze pˇredchoz´ıch stav˚u yn,tn a velikosti kroku h_n. Nejjednoduˇsˇs´ım pˇredstavitelem jednokrokov´ych metod je Eulerova metoda.

Pˇredpis pro Eulerovu metodu je:

y_n+1= y_n+ hf (t_n, y_n) (2.21) Geometrický princip Eulerovy metody je následuj´ıc´ı. Nejdˇr´ıve dosad´ıme hodnoty t0(x) a y₀(y) do pravé strany rovnice y⁰₀ = f (t₀, y₀) a vypoˇcteme prvn´ı derivaci, nebo-li smˇernici teˇcny. Po této teˇcnˇe se pohybujeme, dokud nenajdeme pr˚useˇc´ık dané teˇcny s kolmic´ı v bodˇe t1(x + h). T´ımto je dokonˇcen prvn´ı krok metody a m˚uˇze zaˇc´ıt druhý. Pokud by odchylka od analytického ˇreˇsen´ı byla pˇr´ıliˇs velká, mus´ıme zjemnit s´ıt’, to jest zkrátit trván´ı kroku h (ˇcasto bývá oznaˇcována velikost kroku ∆t). Tento princip je také znázornˇen graficky na obrázku 2.5.

Obr´azek 2.5: Princip Eulerovy metody

Pro praktické uˇzit´ı Eulerovu metodu neni vhodné pouˇz´ıvat, protoˇze jej´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnost (z hlediska ˇcasu) pro dosaˇzen´ı srovnatelné pˇresnosti s ostatn´ımi metodami je pˇr´ıliˇs velká.

2.2.4 Metody explicitn´ı vs. implicitn´ı

Pokud m´a ˇreˇsen´a rovnice tvar:

y^k = f (t, y, y⁰, y⁰⁰, · · · , y^k−1) (2.22) jedná se o jej´ı explicitn´ı vyjádˇren´ı. Implicitn´ı forma tytéˇz rovnice:

f (t, y, y⁰, y⁰⁰, · · · , y^k−1, y^k) = 0 (2.23) Explicitn´ı metody vypoˇc´ıtávaj´ı nový stav systému pouze z hodnot souˇcasných. Naproti tomu implicitn´ı metody k nalezen´ı nového ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıvaj´ı jak souˇcasných tak i jednoho

(22)

stavu budouc´ıho, který se právˇe pokouˇsej´ı stanovit. Vyplývá to z následuj´ıc´ıho, zat´ımco explicitn´ı metody mus´ı ˇreˇsit rovnici:

y_n+1= F (y_n) (2.24)

tak pˇredpis pro implicitn´ı metody je:

G(y_n+1, F (y_n)) = 0 (2.25)

Implicitn´ı metody k z´ıskán´ı yn+1 vyˇzaduj´ı zvláˇstn´ı výpoˇcet (ˇreˇsen´ı výˇse uvedené rovnice) a m˚uˇze být obt´ıˇznˇejˇs´ı je naimplementovat. Implicitn´ı metody jsou pouˇz´ıvány, protoˇze mnoho ˇreˇsených problém˚u je stiff, pro které pouˇzit´ı explicitn´ı metody vyˇzaduje velmi krátký krok h, aby chyba výpoˇctu z˚ustala v pˇrijatelných mez´ıch (viz kapitola 2.2.2).

V pˇredeˇslé sekci byla popsána Eulerova metoda v jej´ım explicitn´ım vyjádˇren´ı. A jako vˇetˇsina metod, má Eulerova metoda také implicitn´ı vyjádˇren´ı, tvz. zpˇetná (backward) Eulerova metoda.

y_n+1 = y_n+ hf (t_n+1, y_n+1) (2.26) Zde, pˇri pohledu na závorku funkce f , je vidˇet rozd´ıl mezi implicitn´ımi a explicitn´ımi metodami nejzˇretelnˇeji. Implicitn´ı metody do svého výpoˇctu zahrnuj´ı i znalost výsledného ˇreˇsen´ı, jenˇz se sami snaˇz´ı vypoˇc´ıtat. Z toho vyplývá jejich úloha pˇri výpoˇctech. Zpˇresˇnuj´ı nalezené ˇreˇsen´ı.

2.2.5 Metody Runge-Kutta

Patˇr´ı do rodiny jednokrokových metod. Hlavn´ı rozd´ıl mezi Runge-Kuttovými metodami vyˇsˇs´ıch ˇrád˚u a metodou Eulerovou je v mnoˇzstv´ı mezivýpoˇct˚u neˇz se pˇrejde z uzlu t0do t1. Eulerova metoda se ˇrad´ı do rodiny Runge-Kuttových metod o prvn´ım ˇrádu. Zat´ımco Eulerovˇe metodˇe staˇc´ı vyˇc´ıslit funkci jednou, Runge-Kuttovy metody mus´ı funkci vyˇc´ıslit v´ıcekrát v dalˇs´ıch pomocných bodech mezi sousedn´ımi uzly (t0 a t1) v s´ıti. A poté kaˇzdou vypoˇctenou hodnotu vynásobit váhovými koeficienty.

Následuje ukázka nejpopulárnˇejˇs´ı Runge-Kuttovy metody vyˇsˇs´ıho ˇrádu tzv.

”stan- dardn´ı“ Runge-Kuttovy metody ˇctvrtého ˇrádu (RK4). Je dána poˇcáteˇcn´ı úloha v bodˇe t_n s výchoz´ı hodnotou y_n a pomoc´ı ˇctyˇr mezikrok˚u dostaneme hodnoty koeficient˚u k_1..4. Následnˇe koeficienty k_1..4vynásob´ıme pˇr´ısluˇsnými vahami a dostaneme pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı yn+1 v tn+1.

k₁ = f (t_n, y_n), k₂ = f (t_n+ h₂

2, y_n+ k₁

2 ), (2.27)

k₃ = f (t_n+ h₂

2, y_n+ k₂ 2 ), k₄ = f (t_n+ h_n, y_n+ k₃).

y_n+1 = y_n+ h_n· (k₁ 6 + k₂

3 + k₃ 3 + k₄

6) (2.28)

(23)

Metody vyˇsˇs´ıch ˇrád˚u neˇz ˇctvrtého nejsou tak ˇcasto uˇz´ıvány pro jejich potˇrebu v´ıce výpoˇcetn´ıch operac´ı mezi dvˇema uzly. Naproti tomu jsou vˇsak pˇresnˇejˇs´ı a je moˇzné zvolit delˇs´ı krok neˇz pˇri uˇzit´ı metod niˇzˇs´ıch ˇrád˚u, coˇz m˚uˇze jejich nevýhody kompenzovat i pˇreváˇzit. Obecnˇe se data potˇrebná pro R-K metody uvádˇej´ı ve strukturované tabulce, známé jako Butcher tableau (pojmenované po matematikovi - John C. Butcher).

Tabulka 2.1: Butcher tableau pro klasickou Runge-Kuttovu metodu 0

1/2 1/2

1/2 0 1/2

1 0 0 1

1/6 1/3 1/3 1/6

Tabulka 2.2: Butcher tableau pro obecnou explicitn´ı Runge-Kuttovu metodu

0 c₂ a₂₁ c₃ a₃₁ a₃₂

... ... . ..

c_s a_s1 a_s2 · · · a_s,s−1 b₁ b₂ · · · b_s−1 b_s

Výpoˇcet hodnoty y_n+1uˇzit´ım Butcher tableau vypadá následovnˇe. Prvnˇe se vypoˇc´ıtaj´ı koeficienty k_i a ty se následnˇe vynásob´ı pˇr´ısluˇsnými váhami, zadanými jako vektor b.

k_i = f · (t_n+ h_nc_n, y_n+ h_n

i−1

X

j=1

a_ijk_j) (2.29)

yn+1 = yn+ hn s

X

i=1

biki (2.30)

Doposud byla ˇreˇc jen o metodách s pevným integraˇcn´ım krokem. Pˇri zmˇenˇe velikosti kroku se mus´ı pouˇz´ıt dvˇe R-K metody r˚uzného ˇrádu. ˇC´ımˇz z´ıskáme jakýsi odhad chyby a dle nˇeho m˚uˇzeme korigovat následuj´ıc´ı pr˚ubˇeh výpoˇctu.

Vnoˇren´e (embedded) Runge-Kutta metody pˇredstavuj´ı efektivnˇejˇs´ı pˇr´ıstup.

Efektivnˇejˇs´ı v tom smyslu, ˇze nejsou potˇreba dvˇe samostatné metody. Napˇr´ıklad nen´ı nutné koeficienty k_i poˇc´ıtat dvakrát. Z´ıskán´ı dvou nových ˇreˇsen´ı stoj´ı ménˇe výpoˇcetn´ıch sil.

(24)

Tabulka 2.3: Butcher tableau obecnˇe pro vnoˇren´e Runge-Kuttovy metody 0

c₂ a₂₁ c₃ a₃₁ a₃₂

... ... . ..

c_s a_s1 a_s2 · · · a_s,s−1 b₁ b₂ · · · b_s−1 b_s ˆb₁ ˆb₂ · · · ˆb_s−1 ˆb_s

Takˇze na m´ısto dvou tabulek konstant postaˇc´ı jedna tabulka s pˇridaným vektorem koeficient˚u ˆb, jak je moˇzné vidˇet v tabulce 2.3. Zpravidla se jedná kombinaci dvou metod, které se liˇs´ı ˇrádem o jeden stupeˇn. Druhý odhad ˇreˇsen´ı ˆy_n+1 se z´ıská z následuj´ıc´ı rovnice 2.31, kde pouˇzité koeficienty k_i jsou ty samé jako v rovnici 2.30.

ˆ

yn+1 = yn+ hn s

X

i=1

ˆbiki (2.31)

2.2.6 V´ıcekrokov´ e metody

V´ıcekrokové metody pˇri stanoven´ı nové hodnoty y_n+1 vycház´ı ze znalosti v´ıce pˇredchoz´ıch stav˚u y_n, y_n−1, y_n−2, . . . y_n−k. Pro z´ıskáni tˇechto hodnot je moˇzné bud’to vyuˇz´ıt nˇejaké jednokrokové metody, nebo dodat exaktn´ı hodnoty pˇr´ımo (napˇr. z´ıskané mˇeˇren´ım). Tato fáze pˇred vlastn´ım uˇzit´ım v´ıcekrokové metody se oznaˇcuje jako nastartován´ı. A od tohoto vzeˇsla tendence nazývat jednokrokové metody jako metody startovac´ı (samostartovac´ı).

Nejˇcastˇeji se vyuˇz´ıvaj´ı metody Runge-Kutta. Typickým pˇredstavitelem v´ıcekrokových metod jsou metody Adamsovy, viz obrázek 2.6

Obr´azek 2.6: Princip Adams-Bashforthovy metody

(25)

Adamsovy metody m˚uˇzeme rozdˇelit do dvou skupin, na:

• Explicitn´ı metody, které jsou nazývány Adams-Bashforthovy AB).

• Implicitn´ı metody, jenˇz nesou pojmenov´an´ı Adams-Moultonovy (AM).

Prvn´ı ˇrád Adams-Bashforthových a Adams-Moultonových metod jsou obdobné s explicitn´ı a implicitn´ı formou Eulerovy metody. Adams-Bashforthovu metodu z´ıskáme in- terpolac´ı funkce f skrz pˇredchoz´ıch k bod˚u, jmenovitˇe t_n, t_n−1, ..t_n−k. Pˇr´ıklad Adams- Bashforthovy metody ˇctvrtého ˇrádu:

y_n+1 = y_n+ h

24(55f (y_n, t_n) − 59f (y_n−1, t_n−1) + 37f (y_n−2, t_n−2) − 9f (y_n−3, t_n−3) (2.32)

Tabulka 2.4: Koeficienty pro Adams-Bashforthovy metody od prvn´ıho do ˇsest´eho ˇr´adu

p k j → 1 2 3 4 5 6 C_p+1

1 1 β_j 1 ¹₂

2 2 2β_j 3 −1 ₁₂⁵

3 3 12β_j 23 −16 5 ³₈

4 4 24β_j 55 −59 37 −9 ²⁵¹₇₂₀

5 5 720β_j 1901 −2774 2616 −1274 251 ₂₈₈⁹⁵

6 6 1440β_j 4277 −7923 9982 −7298 2877 −475 ¹⁹⁰⁸⁷₆₀₄₈₀

Postup vedouc´ı ke k-krokové Adams-Moultonovˇe metodˇe je odvozen podobnˇe jako u explicitn´ıch metod. Rozd´ıl tu je ten, ˇze interpolaˇcn´ı polynom je stupnˇe ≤ k a interpoluje funkci f v uzlu t_n+1. Ukázka Adams-Moultonovy metody ˇctvrtého ˇrádu:

yn+1= yn+ h

24(9f (yn+1, tn+1) + 19f (yn, tn) − 5f (yn−1, tn−1) + f (yn−2, tn−2) (2.33)

Tabulka 2.5: Koeficienty pro Adams-Moultonovy metody od prvn´ıho do ˇsest´eho ˇr´adu

p k j → 1 2 3 4 5 6 Cp+1

1 1 β_j 1 −¹₂

2 1 2βj 1 1 −₁₂¹

3 2 12β_j 5 8 −1 −₂₄¹

4 3 24β_j 9 19 −5 1 −₇₂₀¹⁹

5 4 720βj 251 646 −264 106 −19 −₁₆₀³

6 5 1440β_j 475 1427 −798 482 −173 27 −₆₀₄₈₀⁸⁶³

(26)

BDF (backward difference formula) metody jsou velmi populárn´ı pro tuhé systémy (stiff). Charakteristickým rysem tˇechto metod je, ˇze vyhodnocen´ı funkce probˇehne pouze jednou na pravém konci aktuáln´ıho kroku, f (t_n+1, y_n+1). BDF metody jsou pouze implicitn´ıho tvaru. Mohou být zapsány ve formˇe, kde a0 = 1:

k

X

i=1

a_iy_n−i= h β₀f (t_n+1, y_n+1) (2.34)

Tabulka 2.6: Koeficienty pro BFD metody od prvn´ıho do ˇsest´eho ˇr´adu

p k β₀ α₀ α₁ α₂ α₃ α₄ α₅ α₆

1 1 1 1 −1

2 2 ²₃ 1 −³₄ ¹₃

3 3 ₁₁⁶ 1 −¹⁸₁₁ ₁₁⁹ −₁₁² 4 4 ¹²₂₅ 1 −⁴⁸₂₅ ³⁶₂₅ −¹⁶₂₅ ₂₅³

5 5 ₁₃₇⁶⁰ 1 −³⁰⁰₁₃₇ ³⁰⁰₁₃₇ −²⁰⁰₁₃₇ ₁₃₇⁷⁵ −₁₃₇¹² 6 6 ₁₄₇⁶⁰ 1 −³⁶⁰₁₄₇ ⁴⁵⁰₁₄₇ −⁴⁰⁰₁₄₇ ²²⁵₁₄₇ −₁₄₇⁷² ₁₄₇¹⁰

2.2.7 Algoritmus prediktor-korektor

Algoritmus je tvoˇren dvojic´ı metod, kde prvn´ı metoda je explicitn´ı (prediktor) a druhá metoda implicitn´ı (korektor). Velmi ˇcasto je tento pˇr´ıstup aplikován na Adamsovy metody. Nebot’ tento typ metod, jak ve své implicitn´ı tak v explicitn´ı formˇe, má vˇzdy shodný poˇcet krok˚u pˇri stejné úrovni ˇrádu metody.

Prediktor jak uˇz název napov´ıdá, predikuje novou hodnotu v ˇcase t_n+1. Následnˇe korektor tuto hodnotu pˇreb´ırá a provede zpˇresnˇen´ı predikované hodnoty. Samozˇrejmˇe je zde nutné nejprve prediktor, jako v pˇredeˇslých pˇr´ıpadech v´ıcekrokových metod, vhodnˇe

”na- startovat“. Pro zachován´ı pˇresnosti je vhodné volit stejný ˇrád metody jak pro prediktor, korektor, tak i startovac´ı metodu.

Algoritmus výpoˇctu jednoho kroku má následný pr˚ubˇeh. Na poˇcátku výpoˇctu jsou známé hodnoty y_n, y_n−1, ..., y_n−k a f_n, f_n−1, ..., f_n−k, které vstupuj´ı do iterace ˇcitáj´ıc´ı tyto ˇ

ctyˇri kroky:

• Prediktorem odhadneme y_n+1⁰ .

• Vypoˇcteme f_n+1⁰ = f (x_n+1, y⁰_n+1).

• Korektor pomoc´ı f_n+1⁰ vypoˇcte y_n+1.

• Nakonec se z´ıská zpˇresnˇený odhad nového stavu f_n+1= f (x_n+1, y_n+1).

(27)

Kapitola 3

Objektovˇ e orientovan´ y pˇ r´ıstup

Jedná se o co nejobecnˇejˇs´ı pˇr´ıstup k vývoji aplikac´ı, který zahrnuje

”best practices“

témˇeˇr pro kaˇzdou ˇcinnost pˇri tvorbˇe SW, bez ohledu na to, jestli je ˇreˇc o analýze zadán´ı, vlastn´ım programován´ı, nebo testován´ı. Pˇristoupit k objektovˇe orientovanému vývoji SW je vhodné zvláˇstˇe pokud se daj´ı pˇredpokládát budouc´ı zmˇeny v systému. Softwarový systém by tedy mˇel být snadno rozˇsiˇritelný a udrˇzovatelný. Význam analýzy projektu se dostává do popˇred´ı pˇred samotnou implementaci.

Základn´ı myˇslenkou objektovˇe orientovaného pˇr´ıstupu v programován´ı je, ˇze funkce a údaje koluj´ıc´ı v systému se staly metodami a vlastnostmi (atributy) jednotlivých objekt˚u. Tedy funkce i data se jiˇz nenacházej´ı

”volnˇe“ v programu jako v pˇr´ıpadˇe struk- turáln´ıho programován´ı, ale jsou vázány na objekty. Objektový pˇr´ıstup si klade za c´ıl simulovat chován´ı reálného svˇeta, v´ıce se pˇrizp˚usobit myˇslen´ı ˇclovˇeka. V reálném svˇetˇe docház´ı neustále k interakc´ım mezi objekty. Tyto interakce mezi objekty z pohledu OOP chápeme jako komunikaci pˇres protokoly zpráv.

Je d˚uleˇzité si uvˇedomit, ˇze pokud je pro tvorbu SW pouˇzit objektový programovac´ı jazyk, nemus´ı být objektový i návrh aplikace. V tomto tzv. objektovˇe strukturáln´ım pˇr´ıstupu k programován´ı aplikac´ı nejsou výˇse zm´ınˇené pˇredpoklady splnˇeny a z pohledu designu se jedná stále o strukturáln´ı pˇr´ıstup. Je velmi d˚uleˇzité se nauˇcit pˇri programován´ı i objektovˇe myslet. Ovˇsem o ˇzádném z pˇr´ıstup˚u k programován´ı nelze jasnˇe ˇr´ıci, zda je horˇs´ı nebo lepˇs´ı. Opravdu vˇzdy záleˇz´ı na konkrétn´ım projektu.

Objektovˇe orientovaný pˇr´ıstup k vývoji softwaru je v dneˇsn´ı dobˇe postaven na ˇctyˇrech základn´ıch pil´ıˇr´ıch, které budou v dalˇs´ıch podkapitolách v´ıce pˇribl´ıˇzeny. Techniky zahr- nuté v objektovˇe orientovaném pˇr´ıstupu jsou: anonymita klienta, úrovnˇe abstrakce, UML a návrhové vzory.

3.1 Anonymita klienta

Klient vid´ı nab´ızené sluˇzby, ale nikdy nevid´ı vlastn´ı implementaci. Jinak ˇreˇceno, objekty navenek zpˇr´ıstupˇnuj´ı pouze své rozhran´ı, pomoc´ı kterého se s objektem pracuje.

Programátor si pˇri práci mus´ı být vˇedom, ˇze pˇristupuj´ıc´ım klientem k jeho d´ılu m˚uˇze být opravdu kdokoliv (= anonymn´ı klient). Z tohoto d˚uvodu je kladen velký d˚uraz na uzavˇrenou a konzistentn´ı implementaci. Zaj´ımavé informace ohlednˇe tohoto tématu je moˇzné nalézt v ˇclánku Je tˇreba dbát na anonymitu klienta nebo ne? [8].

17

(28)

3.1.1 Programov´ an´ı proti rozhran´ı

Urˇcitˇe se nejedná o ˇzádnou horkou novinku. Opravdu zkuˇsen´ı programátoˇri toto vyuˇz´ıvali dávno v dobách, kdy ani Java neexistovala. Rozletu se této technice dostalo aˇz s jazyky vyˇsˇs´ı úrovnˇe jako jsou napˇr´ıklad Java nebo C#.

uk´azka r o z d´ıl u p r o g r a m o v ´a n´ı p r o t i r o z h r a n´ı : I n t e r f a c e F u n c t i o n f c e = new F u n c t i o n ( ) ; a p r o t i i m p l e m e n t a c i :

F u n c t i o n f c e = new F u n c t i o n ( ) ;

Pokud v budoucnu bude potˇreba zmˇenit implementaˇcn´ı tˇr´ıdu, tak nová tˇr´ıda bude muset umˇet minimálnˇe obslouˇzit stejné metody jako stará. Zbytek programu (okol´ı tˇr´ıdy) bude moci z˚ustat nezmˇenˇen. Kdybychom programovali proti implementaci, tato tˇr´ıda by se objevovala i na levé stranˇe pˇriˇrazen´ı. Pˇri takovéto zmˇenˇe by nemusela být zaruˇcena soudruˇznost programu a t´ım celý projekt ohroˇzen.

Doporuˇcen´ı pro zvýˇsen´ı pˇrehlednosti a to uvádˇet názvy rozhran´ı p´ısmenem I (jako Interface) a názvy pro abstraktn´ı tˇr´ıdy slovem AbstractClass.

3.2 Urovnˇ ´ e abstrakce

Urovnˇ´ e abstrakce jednoduˇse znamená, ˇze na vyvýjený software se m˚uˇzeme d´ıvat z r˚uzných

´

urovn´ı nadhledu, kde kaˇzdá taková úroveˇn zviditelˇnuje rozd´ılné mnoˇzstv´ı detail˚u, které mus´ı výsledný SW obsahovat. Rozeznávaj´ı se (minimálnˇe) tˇri úrovnˇe abstrakce:

• Nejvyˇsˇs´ı úroveˇn - analytické modelován´ı (nebo ve zkratce analýza).

• Design (neboli n´avrh).

• Nejniˇzˇs´ı úroveˇn - kódován´ı, implementace a nasazen´ı.

Pˇri tvorbˇe aplikac´ı je vhodné zaˇc´ınat od úrovnˇe nejvyˇsˇs´ı (t.j. analytického modelován´ı) a postupnˇe, jak z´ıskáváme pˇredstavu o implementaci, sestupovat aˇz k vlastn´ı tvorbˇe SW (t.j. úrovni nejniˇzˇs´ı). Peˇclivé rozvrˇzen´ı projektu m˚uˇze úˇsetˇrit spoustu úsil´ı. Na kaˇzdé ta- kovéto úrovni abstrakce se pohybuj´ı lidé s rozd´ılnými úkoly. Aby komunikace mezi tˇemito lidmi byla maximálnˇe efektivn´ı, byl vytvoˇren nový jazyk prostupuj´ıc´ı vˇsemi úrovnˇemi.

Jedn´a se o jazyk UML.

3.3 UML

UML (Unified Modeling Language) je unifikovaný modelovac´ı jazyk pro analýzu, specifi- kaci, vizualizaci a dokumentaci softwarových projekt˚u. V souˇcasnosti se jedná o nezbytnou souˇcást pˇri objektovˇe orientovaném vývoji. Pˇresto neobsahuje zp˚usob, jak se má pouˇz´ıvat. Ani neobsahuje ˇzádnou metodiku správného návrhu softwarových systémy.

Práce s UML pomáhá zainteresovaným tým˚um hledat ˇreˇsen´ı úkolu, komunikovat o nˇem a hledat nové, sch˚udnˇejˇs´ı cesty dalˇs´ıho vývoje. K tomu se vyuˇz´ıvá hlavnˇe grafického vyjádˇren´ı myˇslenek pro jejich názornost. Výsledkem práce v jazyce UML jsou modely

(29)

KAPITOLA 3. OBJEKTOV ˇE ORIENTOVAN ´Y P ˇR´ISTUP 19

aplikace s odliˇsnými úrovnˇemi detail˚u. Takový model se skládá z r˚uzných diagram˚u, které pˇredstavuj´ı konkrétn´ı pohledy na navrhovanou aplikaci. Diagramy se ˇclen´ı do dvou skupin a to na diagramy struktury a diagramy chován´ı. V této práci jsou obˇe knihovny popisovány výhradnˇe diagramy tˇr´ıd, které spadaj´ı do prvn´ı skupiny diagram˚u struktury.

Diagramy tˇr´ıd zobrazuj´ı statick´e struktury syst´emu prostˇrednictv´ım tˇr´ıd a vztah˚u mezi nimi.

3.4 N´ avrhov´ e vzory

Návrhové vzory (ang. Design Patterns) pˇredstavuj´ı obecné ˇreˇsen´ı problém˚u, s kterými se opakovanˇe potýkaj´ı vývojáˇri pˇri návrhu softwaru. Jedná o kombinaci slovn´ıho popisu a diagram˚u, jak vyˇreˇsit konkrétn´ı problém, který lze pouˇz´ıt v mnoha r˚uzných situac´ıch.

Pouˇzit´ı tˇechto vzor˚u také zlepˇsuje zpˇetnou ˇcitelnost kódu pro programátory a designéry, kteˇr´ı jsou s daným vzorem obeznámeni. Pevné základy návrhových vzor˚u byly poloˇzeny na zaˇcátku devadesátých let publikován´ım knihy: Design Patterns: Elements of Reusable Object-Oriented Software [2] skupinou, která je známá jako Gang of Four (GoF).

3.4.1 N´ avrhov´ y vzor Factory Method

Vytváˇret nové instance tˇr´ıd lze obecnˇe statickým zp˚usobem pomoc´ı kl´ıˇcových slov (v jazyce Java takové slovo je new). Tuto statiˇcnost se snaˇz´ı odstranit návrhový vzor Fac- tory Method [2]. Úˇcelem je vytvoˇrit

”továrnu“ na generován´ı instanc´ı tˇr´ıd, které maj´ı spoleˇcného pˇredka. Poté v pr˚ubˇehu programu bude tato továrn´ı tˇr´ıda vytváˇret instance nˇekteré z tˇechto tˇr´ıd. ˇCastým jevem je kombinováni vzoru Factory a Singleton.

Obrázek 3.1: Diagram návrhového vzoru Factory Method

(30)

Kde v metodˇe factoryMethod() je nutné rozhodnout o principu výbˇeru a vytvoˇren´ı instance konkrétn´ı tˇr´ıdy. Principem výbˇeru je myˇslen algoritmus, podle kterého se urˇc´ı, z jaké tˇr´ıdy bude vytváˇrena instance. Vlastn´ı vytvoˇren´ı se poté provede pomoc´ı kl´ıˇcového slova new. A zde m˚uˇze programátor vyuˇz´ıvaj´ıc´ı programovac´ı jazyk Java j´ıt dále, vzhle- dem k javovské architektuˇre. Pouˇzit´ım metody Class.forName() (java.lang.Class [6]) jdou vytváˇret instance pˇr´ımo ze souboru tˇr´ıdy uloˇzené na disku. A dokud se k dané tˇr´ıdˇe nepˇristoup´ı, nemus´ı tento soubor ani existovat.

try {

C l a s s c l a z z = C l a s s . forName ( c l a s s P a t h ) ;

C o n s t r u c t o r c o n s = c l a z z . g e t C o n s t r u c t o r ( double . c l a s s ) ; I I n t e g r a l i n t e g r a l = ( I I n t e g r a l ) c o n s . n e w I n s t a n c e ( d a t a ) ; return i n t e g r a l ;

} catch . . .

Kde promˇenn´a classPath obsahuje absolutn´ı adresu souboru tˇr´ıdy uloˇzen´eho na disku.

3.4.2 N´ avrhov´ y vzor Strategy

Návrhový vzor Strategy oddˇeluje algoritmus od klienta, zapouzdˇren´ım do samostatné tˇr´ıdy. Jednoduˇse ˇreˇceno, objekt a jeho chován´ı jsou odtrˇzeny. Pokud existuje v´ıce r˚uzných algoritm˚u, které má objekt vykonávat, je

”ˇcistˇejˇs´ı“ kaˇzdý algoritmus implementovat do zvláˇstn´ı tˇr´ıdy a nikoliv do tˇela metody tohoto objektu. Odpadne potˇreba mnoha (sta- tických) podm´ınˇených pˇr´ıkaz˚u, zvýˇs´ı se moˇznost jejich opˇetovného vyuˇzit´ı a tedy i celková dynamiˇcnost systému.

Obrázek 3.2: Diagram návrhového vzoru Strategy

(31)

KAPITOLA 3. OBJEKTOV ˇE ORIENTOVAN ´Y P ˇR´ISTUP 21

ConcreteStrategy v této práci nejˇcastˇeji pˇredstavuje instanci tˇr´ıdy uchovávaj´ıc´ı naˇctená data z inicializaˇcn´ıho xml souboru. Pro kaˇzdou jednotlivou numerickou metodu se vytváˇr´ı nová instance obaluj´ıc´ı tyto data. A zde je vyuˇzita tˇr´ıda Manager, implemen- tována jako Singleton¹. Úˇcelem této tˇr´ıdy je jednak samozˇrejmˇe vybrat vhodnou strategii dle pˇr´ıchoz´ıch parametr˚u od klienta. Druhým d˚uvodem, d˚uleˇzitˇejˇs´ım, je uchovávat si ve vnitˇrn´ı pamˇeti reference na jiˇz pouˇzité strategie (instance

”datových tˇr´ıd“), u kterých se dá pˇredpokládat, ˇze budou opˇet potˇreba. Vnitˇrn´ı logika vyhodnocováni, která reference se uchová, a která nechá zaniknout, je závislá od konkrétn´ıho Managera.

Pˇr´ınos tˇr´ıdy Manager nad vzorem Strategy spoˇc´ıvá hlavnˇe v odlehˇcen´ı systému od naˇc´ıtán´ı stále stejných zdroj˚u z disku. Sice v zápˇet´ı tato výhoda z ˇcásti vykoupena vyˇsˇs´ımi nároky na operaˇcn´ı pamˇet’. Pˇresto vˇsak klady pˇrevaˇzuj´ı zápory a tento pˇr´ıstup se zdá být rozumný.

3.5 Testov´ an´ı

C´ılem kaˇzdého programátora je vytvoˇrit korektnˇe funguj´ıc´ı software. Ovˇsem s rostouc´ı sloˇzitost´ı aplikac´ı roste téˇz nároˇcnost na ovˇeˇrován´ı funkˇcnosti programu. Proto zhruba od konce devadesátých let se zaˇcaly formulovat nové metodiky vývoje softwaru a d˚ukladné testován´ı se stávalo nezbytnou souˇcást´ı vývoje.

Do popˇred´ı pozornosti se zejména dostala technika zvaná unit testing (testován´ı jednotek programu). Princip této metody je vz´ıt ˇcást testovaného softwaru - jednotku, co nejlépe jej izolovat od zbytku kódu a urˇcit, zda se chová pˇresnˇe tak, jak oˇcekáváme. Jed- notku obvikle tvoˇr´ı samostatné tˇr´ıdy, nebo skupina tˇr´ıd. D˚uleˇzité je, ˇze taková jednotka poskytuje jako celek omezenou funkcionalitu. Dle princip˚u OOP se snaˇz´ıme

”rozb´ıt“ jed- notlivé tˇr´ıdy na co nej co nejmenˇs´ı ˇcásti. ˇC´ım je tˇr´ıda menˇs´ı, t´ım lepe se nechá testovat.

Testován´ı je pak snadné. Spust´ı se vytvoˇrená sada test˚u a pokud vˇsechny testy dopad- nou dobˇre, je tˇr´ıda v poˇrádku (pokud jsou testy správnˇe napsané). V tomto duchu se také hovoˇr´ı o automatickém testován´ı. Tento pˇr´ıstup k testován´ı softwaru se zaˇcal prosazo- vat jako souˇcást metodiky vývoje softwaru, která se nazývá extrémn´ı programován´ı [9].

Také je moˇzné testy vytvoˇrit jeˇstˇe dˇr´ıve, neˇz samotnou testovanou tˇr´ıdu - test-driven programming (programován´ı ˇr´ızené testy).

Mezi uˇzivateli jazyka Java se obzvl´aˇst’ velk´e oblibˇe tˇeˇs´ı testovac´ı framework JUnit [10]

s pˇr´ımou podporou r˚uzných IDE vˇcetnˇe Netbeans. Jde o open source projekt vydaný pod Common Public Licence. Testován´ı pomoc´ı JUnit je zaloˇzeno na jednoduchém principu.

Urˇc´ı se testovac´ı tˇr´ıda a otestuj´ı se vˇsechny jej´ı metody. Testov´an´ı

”tˇela“ testované metody se provád´ı na základˇe porovnáván´ı z´ıskaných hodnot s hodnotami oˇcekávanými. Efektivn´ı porovnán´ı umoˇznuj´ı metody frameworku z bal´ıˇcku org.junit.Assert. Ukázka vybraných metod:

• assertEquals() - metoda slouˇz´ı k porovn´an´ı dvou hodnot a testuje, zda jsou stejn´e.

Mohou se porovnávat ˇretˇezce a ˇc´ıselné hodnoty vˇsech typ˚u. Test skonˇc´ı úspˇeˇsnˇe, pokud jsou hodnoty stejné. JUnit od ˇctvrté verze umoˇzˇnuje zadávat tˇret´ı parametr - toleranci pro testován´ı hodnot v plovouc´ı desetiné ˇcárce (double).

1Návrhový vzor publikovaný v knize od GoF [2]. C´ılem vzoru je zajistit existenci pouze jedné instance dané tˇr´ıdy a poskytnout k n´ı globáln´ı pˇr´ıstupový bod.

(32)

• fail() - vyvolav´a selh´an´ı testu.

JUnit verze 4 jiˇz podporuje anotace ², které se urˇcitˇe vyplat´ı pouˇz´ıvat. Framework JUnit disponuje nˇekolika jiˇz nadefinovanými anotacemi. Napˇr´ıklad pro pˇr´ıpravu testované tˇr´ıdy - @BeforeClass, nebo úklid po otestován´ı dané metody - @AfterClass. Ukázka JUnit testovac´ı tˇr´ıdy k provˇeˇren´ı tˇr´ıdy AbstractIntegral:

public c l a s s A b s t r a c t I n t e g r a l T e s t { /∗ ∗

∗ T e s t o f g e t S i z e method , o f c l a s s A b s t r a c t I n t e g r a l .

∗/

@Test

public void t e s t G e t S i z e ( ) { . . .

} /∗ ∗

∗ T e s t o f v a l u e method , o f c l a s s A b s t r a c t I n t e g r a l .

∗/

@Test

public void t e s t V a l u e ( ) { . . .

} }

Pˇri d˚ukladném testován´ı je tendence otestovat nejen samostatnou funkˇcnost programu, ale i naj´ıt takové pˇr´ıpady, kdy program mus´ı prokazatelnˇe vykázat chybu. Je d˚uleˇzité takové pˇr´ıpady i vyhledávat. Ukázka takového pˇr´ıstupu:

/∗ ∗

∗ T e s t o f g e t S i z e method , o f c l a s s A b s t r a c t I n t e g r a l .

∗/

@Test

public void t e s t G e t S i z e ( ) { try {

i n s t a n c e . g e t S i z e ( param ) ; f a i l ( ) ;

} catch ( E x c e p t i o n e ) { . . .

} }

V ukázce se testuje, zda metoda getSize() na pˇr´ıchoz´ı parametr param vyhod´ı výjimku Exception. Pokud výjimka nastane, je test v poˇrádku. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe bude volána metoda fail() indikuj´ıc´ı selhán´ı testu.

2Anotace je zvláˇstn´ı druh modifikátoru. Anotace implementuj´ı rozhran´ı java.lang.annotation.Annotation. Anotace sestávaj´ı ze zavináˇce ( @ ) následovaného typem anotace a seznamem prvk˚u-hodnot v závorce.

(33)

Kapitola 4 Realizace

4.1 Implementace integraˇ cn´ı knihovny

Tato knihovna disponuje metodami numerického integrován´ı pˇres domény - úseˇcka, trojúheln´ık a ˇctyˇrstˇen. A to jak v kartézských souˇradnic´ıch tak i v souˇradnic´ıch ba- rycentrických. Na obrázku 4.1 m˚uˇzete vidˇet zevrubnou strukturu integraˇcn´ı knihovny.

Rozbor struktury knihovny je proveden od nejvyˇsˇs´ıho patra hierarchie bal´ıˇcku integral, kterému je vˇenován ponˇekud detailnˇejˇs´ı pohled. Aˇz po tˇr´ıdy nejniˇzˇs´ı úrovnˇe, které ob- starávaj´ı naˇc´ıtán´ı inicializaˇcn´ıch dat ze XML souboru. Pokud v této kapitole bude pouˇzit pojem data, výhradnˇe bude chápán ve smyslu inicializaˇcn´ıch údaj˚u, jako jsou napˇr´ıklad koeficienty dané numerické metody.

Obr´azek 4.1: Struktura integraˇcn´ı knihovny

23

(34)

4.1.1 Rozbor struktury

Jádro knihovny je zobrazeno na obrázku 4.2. Kaˇzdý vytvoˇrený integrál mus´ı implementovat rozhran´ı IIntegral. Prvn´ı metoda tohoto rozhran´ı getSize() vrac´ı odpovˇed’ na rozmˇer své domény, at’ jiˇz to je délka nebo objem. Druhou metodou rozhran´ı je value() vracej´ıc´ı hodnotu integrálu pod grafem funkce. Jak je vidˇet z pˇredpisu této metody, dokud nen´ı zavolána, tˇr´ıda o ˇzádné funkci nem˚uˇze nic vˇedˇet. Z toho je patrné, ˇze jeden vytvoˇrený integrál m˚uˇzeme pouˇz´ıt pro vyˇc´ıslen´ı libovolného mnoˇzstv´ı funkc´ı. Samozˇrejmˇe ale stále na stejné doménˇe.

Obr´azek 4.2: Diagram tˇr´ıd bal´ıˇcku integral

Centráln´ı tˇr´ıdou pro integrály je AbstractIntegral. Obsahuje univerzáln´ı algoritmus pro obslouˇzen´ı metody value( IFunction fce ). Univerzálnosti je dosaˇzeno pomoc´ı mapovac´ıch funkc´ı z bal´ıˇcku integPoints, podrobnˇeji viz diagram tˇr´ıd na obrázku 4.4.

Dalˇs´ı funkcionalitu, kterou mus´ı tato tˇr´ıda obsáhnout, je vypoˇcten´ı velikosti domény. Zde se nepovedlo naj´ıt ˇzádné sjednocuj´ıc´ı pravidlo. Takˇze jediným ˇreˇsen´ım je rozˇs´ıˇren´ı tˇr´ıdy AbstractIntegral o nové a to dle tvar˚u jednotlivých domén. Jmenovitˇe se jedná o Line, Triangle a Tetrahedron. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v teoretické ˇcásti, omezujeme se jen na

´

utvary zvan´e n-simplex.

U tˇechto rozˇsiˇruj´ıc´ıch tˇr´ıd je jen poˇzadavek na implementaci vlastn´ıho algoritmu pro