Övningar i Automationsteknik FK

(1)

Ovningar i Automationsteknik FK ¨

Tidsdiskret reglering: Diskretisering av analoga regula- torer

Det mest grundläggande när det gäller tidsdiskret reglering är att p˚a ett enkelt och rättframt sätt översätta en analog regulator till en digital (tidsdiskret) regulator. Den vanligast förekommande approximationsmetoden är Euler-bak˚at-approximationensom approximerar derivering med denna differ- enskvot:

df

dt(t0) ≈ f (t₀) − f (t₀− h) h

där h förusätts vara “litet”. En annan möjlighet är Euler-fram˚at-approximationen (eller bara Euler-approximationen):

df

dt(t0) ≈ f (t0+ h) − f (t0) h

vilken dock inte är realistisk vid ren derivering eftersom man m˚aste “titta fram˚at” i tiden för att kunna räkna ut den. Det finns andra varianter ocks˚a som berörs senare i kursen. För att approximera integration med en summa kan man utg˚a fr˚an det deriverade sambandet:

i(t0) = Z t0

0

e(t)dt skrivs f¨orst om som

di

dt(t0) = e(t0) vilket efter anv¨andning av Euler-bak˚at blir

i(t0) − i(t0 − h)

h = e(t0) vilket blir rekursionen

i(t0) = i(t0− h) + he(t0) eller ekvivalent uttryckt som summa

i(t0) = i(0) + h

n

X

k=1

e(kh)

d¨ar t0 = nh f¨or enkelhets skull satts till en heltalsmultipel av samplingsintervallet h.

(2)

3.1. Skriv om en PI-regulator u(t) = K

e(t) + 1 Ti

Z t 0

e(τ )dτ

till tidsdiskret form med Euler-bak˚at d˚a samplingsperioden ¨ar h.

3.2. Följande tidsdiskreta regulator är en PI-regulator. Bestäm K och Ti i denna. Samplingsperioden är 0.2 s.

i(k) = i(k − 1) + 0.2e(k) u(k) = 3e(k) + 6i(k)

3.3. Best¨am en tidsdiskret PID-regulator med K = 2, Ti = 200 ms och Td= 50 ms om samplingsperioden ¨ar 20 ms.

Z-transformen och tidsdiskreta ¨ overf¨ oringsfunktioner

F¨or en tidsdiskret signal f (k), k = 0, 1, 2, ... definieras Z-transformen enligt Z[f (k)] =

∞

X

k=0

f (k)z⁻^k Exempelvis har ett enhetssteg

se(k) =

(1, k ≥ 0 0, k < 0 Z-transformen

Se(z) = Z[se(k)] =

∞

X

k=0

1 · z⁻^k = 1 + z⁻¹ + z⁻²+ · · · = 1 1 − z⁻¹ Enhetspulsen pe(k) definieras av att pe(k) = 1 för k = 0 men 0 för k 6= 0 De tv˚a viktigaste räknereglerna är linjäriteten (superposition)

Z[af₁(k) + bf₂(k)] = aZ[f₁(k)] + bZ[f₂(k)]

och f¨orskjutningssatsen (i diskret tid):

Z[f (k − d)] = z⁻^dZ[f (k)]

(3)

3.4. Ber¨akna Z-transformen f¨or enhetspulsen pe(k).

3.5. Beräkna Z-transformen av ett fördröjt enhetssteg se(k − d) (dvs som är 1 för k ≥ d men 0 annars).

3.6. Ber¨akna Z-transformen f¨or sekvensen f (k) = (−1)^k d˚a k ≥ 0 men 0 d˚a k < 0.

3.7. Beräkna Z-transformen för f (k) = 5 för 3 ≤ k ≤ 7 men 0 för alla andra k-värden.

3.8. Beräkna Z-transformen för f (k) = 1 för jämna k ≥ 0 men 0 för alla andra värden p˚a k.

3.9. Ber¨akna Z-transformerna av

a. f (k) = 2^k− 1, k ≥ 0 b. f (k) = 0.5^k− 0.2^k−4, k ≥ 0 c. f (k) = 5pe(k − 2) + 3se(k − 4), k ≥ 0

3.10. Ber¨akna Z-transformen f¨or Euler-bak˚atapproximationen f (k) − f (k − 1)

h uttryckt med hj¨alp av Z[f (k)] = F (z).

3.11. Ber¨akna Z-transformen av y(k) om y(k)−3y(k −1)+2y(k −2) = pe(k).

3.12. Beräkna den tidsdiskreta överföringsfunktionen H(z) = Z[y(k)]/Z[u(k)] = Y (z)/U(z) d˚a

y(k) − 1.2y(k − 1) + 0.35y(k − 2) = 2u(k − 1) Best¨am polerna till H(z).

3.13. Skriv upp en differensekvation f¨or y(k) och u(k) om Y (z) = z⁻¹− z⁻²

1 − 1.4z⁻¹+ 0.45z⁻² U(z)

(4)

Diskretisering av tidskontinuerliga system

I detta avsnitt behandlas en form av diskretisering som, till skillnad fr˚an Euler-metoderna, är exakt i en viss mening, nämligen att det tidsdiskreta systemets utsignal vid samplingsögonblicket exakt stämmer överens med det tidskontinuerliga systemets vid samma tidpunkt. Istället för att ta en analog regulator och byta ut s i dess överföringsfunktion mot ^1−z_h⁻¹ (Euler- bak˚at) och sen använda den resulterande tidsdiskreta överföringsfunktionen till en tidsdiskret regulator s˚a försöker man istället översätta processmod- ellen till ett tidsdiskret system med överföringsfunktion H(z). D˚a m˚aste man bestämma vilken typ av insignal som processen ska matas med. Den vanli- gaste typen av insignal som används är en styckvis konstant funktion (“trappfunktion”) där insignalen är konstant mellan samplingsögonblicken (Zero Or- der Hold (ZOH) = nollte ordningens h˚allkrets). För att t.ex. översätta ett tidskontinuerligt system med överföringsfunktionen

G(s) = b s + a

till ett tidsdiskret system översätts överföringsfunktionen till en differentialekvation:

Y (s) = G(s)U(s) = b

s + aU(s) ⇔ dy

dt(t) + ay(t) = bu(t)

Denna differentialekvation kan integreras efter multiplikation med den inte- grerande faktorn i b˚ada leden med d¨arp˚a f¨oljande integration fr˚an t0 till t1

av de b˚ada leden:

e^at dy

dt(t) + ay(t)

= e^atbu(t) ⇔ d

dt(e^aty(t)) = e^atbu(t)

⇔ e^aty(t)t1

t0 = Z t1

t0

e^atbu(t)dt

Välj nu t0 = kh och t1 = kh + h och utnyttja att u(t) är konstant = u(kh) för kh ≤ t < kh + h. D˚a kan följande förenkling göras:

e^a(kh+h)y(kh+h)−e^akhy(kh) = u(kh)b

Z kh+h kh

e^atdt = u(kh) b a

(e^a(kh+h)−e^akh)

multiplikation med e⁻^a(kh+h) i b˚ada leden ger:

y(kh + h) − e⁻^ahy(kh) = b

a(1 − e⁻^ah)u(kh)

(5)

motsvarande tidsdiskreta system blir (som om h = 1!):

y(k + 1) − e⁻^ahy(k) = b

a(1 − e⁻^ah)u(k) En Z-transformation p˚a detta ger att

Y (z) = b a

1 − e⁻^ah

z − e⁻^ahU(z) = H(z)U(z) Allts˚a har f¨oljande visats:

G(s) = b

s + a ⇔ H(z) = b a

1 − e⁻^ah z − e⁻^ah

vilket är en användbar formel. P˚a liknande sätt kan visas att G(s) = 1/s ger H(z) = _z−1^h och att G(s) = G0(s)e⁻^Ls svarar mot H(z) = z⁻^dH0(z) om G0(s) svarar mot H0(z) och om tidsfördröjningen är en heltalsmultipel av samplingsintervallet L = d · h

Ett fiffigare och mer generellt sätt att ta fram en formel för diskretisering av system med ZOH-insignaler är att utg˚a fr˚an följande observation: En styckvis konstant insignal (”trappfunktion”) kan betraktas som en summa (överlagring) av m˚anga ”sm˚a steg”. Linjäriteten gör d˚a att denna typ av diskretisering är stegsvarsinvariant dvs stegsvaret för det tidskontinuerliga system som har överföringsfunktionen G(s) har ett stegsvar som vid sam- plingstidpunkterna exakt stämmer överens med stegsvaret för det tidsdiskreta system som har överföringsfunktionen H(z). Detta kan skrivas s˚a här:

L⁻¹

G(s) · 1 s

t=kh

= Z⁻¹

H(z) · 1 1 − z⁻¹

Sen ¨ar det “bara” att l¨osa ut H(z) ur detta samband:

H(z) = (1 − z⁻¹)Z

L⁻¹ G(s) s

t=kh

3.14. Bestäm de tidsdiskreta överföringsfunktionerna för de system som har följande tidskontinuerliga överföringsfunktioner:

a. G(s) = 3+2

s b. G(s) = 3

s + 2 c. G(s) = 4

s(s + 2) d. G(s) = 1 − s s²+ 4s + 3

3.15. Beräkna H(z) för det system som har den tidskontinuerliga överföringsfunktionen G(s) = 8

s²+ 4

(6)

givet att samplingsintervallet ¨ar h.

3.16. Beräkna H(z) för det system som har den tidskontinuerliga överföringsfunktionen G(s) = 8

s + 2e⁻^4s d˚a samplingsintervallet ¨ar h = 2 s.

3.17. Best¨am H(z) d˚a

G(s) = 3 1 + 5s

d˚a a. h = 1 s, b. h = 10 s, c. h → 0, d. h → ∞

3.18. Bestäm det G(s) för det system som samplat med h = 1 s f˚ar den tidsdiskreta överföringsfunktionen

H(z) = 1.264 z − 0.368

3.19. Best¨am f¨or vilket samplingsintervall h som systemet G(s) = 3

1 + 0.5s f˚ar den tidsdiskreta ¨overf¨oringsfunktionen

H(z) = 0.544 z − 0.819 3.20. Visa att

G(s) = a² s²+ a² f˚ar den tidsdiskreta ¨overf¨oringsfunktionen

H(z) = (1 − cos ah)(z + 1) z² − (2 cos ah)z + 1 Ledning: Anv¨and formeln

G(s) = c

s + c → H(z) = 1 − e⁻^ch z − e⁻^ch med komplext c.

(7)

Egenskaper hos tidsdiskreta system

Frekvensfunktionen för ett tidsdiskret system med öff H(z) definieras som H(eîωh)

Amplitudfunktionen är A(ω) = |H(eîωh)| och fasfunktionen ges av φ(ω) = arg H(eîωh). Statiska förstärkningen ges av H(eî·0·h) = H(1) (dvs frekvensfunktionen d˚a ω = 0).

3.21. Ber¨akna amplitud- och fasfunktionerna f¨or systemet y(k) = 0.5y(k − 1) + 2u(k − 1)

3.22. Ber¨akna amplitud- och fasfunktionerna f¨or systemet

H(z) = 1

z²− z + 0.25 3.23. Bestäm statiska förstärkningen för systemet

y(k) = 1.2y(k − 1) − 0.4y(k − 2) + 0.6u(k − 1)

3.24. Bestäm statiska förstärkningen för systemen a.

H(z) = 0.7

z²+ 0.6z − 0.2 b.

H(z) = 0.8z + 0.4 z³− z²+ 0.8z − 0.2 3.25. Avgör vilka av följande system som är stabila

a. H(z) = 1.2

z + 0.3 b. H(z) = 0.4z z²− 1.5z + 0.6 c. H(z) = 1

z²− 2z + 2 d. H(z) = z² + z + 2 z³+ z²+ z + 2 3.26. Bestäm för vilka värden p˚a K som systemet

y(k) = 0.8y(k − 1) + 0.3u(k − 1)

(8)

¨ar stabilt d˚a det ˚aterkopplas med u(k) = K(r(k) − y(k)).

3.27. Bestäm för vilka värden p˚a K som systemet dy

dt = −y + 2u(t)

¨ar stabilt d˚a det samplas med h = 0.2 s och ˚aterkopplas med u(k) = K(r(k)−

y(k)).

3.28. Bestäm för vilka värden p˚a h som systemet dy

dt = −y + 2u(t)

¨ar stabilt d˚a det samplas med h och ˚aterkopplas enligt u(k) = 2(r(k) − y(k)).

3.29. Bestäm för vilka värden p˚a K som systemet y(k) = 0.3y(k − 1) + 0.6u(k − 1)

¨ar stabilt d˚a det ˚aterkopplas med en PI-regulator enligt:

U(z) = K0.4z + 0.2

z − 1 (R(z) − Y (z))

3.30. Det tidskontinuerliga system som har ¨overf¨oringsfunktionen G(s) = 3

s + 2 regleras med en tidsdiskret P-regulator.

a. Hur snabbt m˚aste man minst sampla för att systemet ska vara stabilt om förstärkningen är K = 2?

b. Hur hög förstärkning K kan man högst ha om systemet ska vara stabilt för samplingsintervallet h = 0.693 s?

c. Hur hög kan förstärkningen K maximalt vara om systemet ska vara stabilt för vilket samplingsintervall h som helst?

(9)

Vikningseffekten (aliaseffekten)

En signal som samplas kan inneh˚alla s˚a höga frekvenser att dessa efter sampling kan uppfattas som signaler av betydligt lägre frekvens. Detta beror p˚a vikningseffekten. Om t.ex. en sinussignal samplas med en samplingsfrekvens som exakt sammanfaller med sinussignalens frekvens blir det samma värde i varje sampel s˚a att den tidsdiskreta signalen blir punkter p˚a en v˚agrät linje. Detta uppfattas naturligtvis som en konstant signal dvs en signal med frekvensen 0. Lite mer generellt kan detta fenomen ˚ask˚adliggöras genom att se hur tillräckligt högfrekventa sinussignaler kan ”missuppfattas” som sinussignaler med lägre frekvens.

L˚at um(t) = sin(ω0+ mωs)t där m är ett heltal som även kan vara negativt och där ωs = 2πfs = ^2π_h är samplingsvinkelfrekvensen. Om en s˚adan signal samplas med samplingsperioden h erh˚alles en samplad signal

usamp(k) = um(kh) = sin(ω0 + mωs)kh = sin(ω0kh + 2mkπ) = sin(ω0kh) vilket visar varf¨or det kallas ”vikningseffekten” eftersom alla signalerna um(t)

”viks ner” till u0(t) för alla heltal m = ±1, ±2, ±3, . . .. Frekvensmässigt innebär detta att alla vinkelfrekvenser ωm = ω0 + mωs vid sampling med samplingvinkelfrekvensen ωs = 2π/h är omöjliga att kunna skilja ˚at. Detta medför i sin tur att för att ingen frekvens f ska vikas ner s˚a m˚aste den högsta frekvensen i en signal som samplas vara under fs/2 eftersom d˚a blir fs− f > fs/2 > f vilket gör att f garanterat inte kan vikas ner till n˚agon frekvens mindre än f . Genom att filtrera bort frekvenser ovanför fs/2 (vilken kallas Nyquistfrekvensen) kan man allts˚a undvika dessa ”spökfrekvenser”.

3.31. Vid en ljudinspelning av f˚agelläten ute i naturen användes en samplingsfrekvens p˚a 48 kHz. Konstiga ljud visade sig ha kommit med p˚a inspelningen när man efter˚at lyssnade igenom den. Det visade sig kunna förklaras med att en fladdermus r˚akat flyga förbi. Typiskt är att fladdermöss med olika pulsfrekvens avger ljudpulser av en längd p˚a ca 50 ms vilka i sig best˚ar av ett svep fr˚an ca 70 kHz ner till ca 30 kHz. Vilken frekvens uppfattades p˚a inspelningen dels i början av ljudpulsen och dels i slutet?

3.32. Vid sampling av en elektrisk signal med h = 0.025 s upptäcks störningar pga nervikt nätbrum. Vilka frekvenser har detta nervikta brum i den sam- plade signalen?

(10)

Diskretiseringsmetoder

F¨orutom Euler-metoderna och Tustin-metoden har vi hittills anv¨ant stegsvarsinvariant diskretisering (ZOH) enligt

H(z) = z − 1

z Z[ L⁻¹(G(s)/s) t=kh] Det finns ¨aven impulssvarsinvariant diskretisering

H(z) = Z[ L⁻¹(G(s)) t=kh] och rampsvarsinvariant diskretisering

H(z) = (z − 1)²

hz Z[ L⁻¹(G(s)/s²) t=kh]

3.33. Diskretisera den tidskontinuerliga modell som har ¨overf¨oringsfunktionen G(s) = 1

s + 1 med var och en av dessa 6 metoder.

3.34. För diskretiseringen med Euler-fram˚at-approximation kan den tidsdiskreta överföringsfunktionen bli instabil för tillräckligt l˚angsam sampling.

F¨or vilket samplingsintervall h intr¨affar detta?

Polplacering

Ett tidsdiskret system

Y (z) = B(z) A(z)U(z)

kan regleras av en tidsdiskret regulator av f¨oljande struktur U(z) = F (z)

C(z)R(z) − D(z) C(z)Y (z)

där A(z), B(z), C(z), D(z) och F (z) är polynom i z⁻¹. Vad som menas med detta är att

A(z) = 1 + a₁z⁻¹ + · · · + anAz⁻ⁿ^A B(z) = b₁z⁻¹+ · · · + bnBz⁻ⁿ^B C(z) = 1 + c1z⁻¹+ · · · + cnCz⁻ⁿ^C D(z) = d0+ d1z⁻¹+ · · · + dnDz⁻ⁿ^D F (z) = f0+ f1z⁻¹+ · · · + fnFz⁻ⁿ^F

(11)

Slutna systemet (r → y) kan d˚a skrivas som Y (z) = B(z)F (z)

A(z)C(z) + B(z)D(z)R(z)

3.35. Visa detta (utan att anv¨anda polynomen utskrivna med sina koeffi- cienter).

3.36. Ofta väljs F (z) = Kr (konstant) för att förenkla n˚agot. Denna förstärkning väljs d˚a s˚a att slutna systemet f˚ar statisk förstärkning 1. Vad blir formeln för Kr pga detta krav?

Genom att v¨alja ett karakteristiskt polynom P (z) baserat p˚a vilka poler som det slutna systemet ska ha s˚a kan C(z) och D(z) best¨ammas ur polynomek- vationen

A(z)C(z) + B(z)D(z) = P (z)

där P (z) = 1 + p1z⁻¹+ · · · + pnPz⁻ⁿ^P. Regeln för val av nC och nD (d˚a ingen integration används i regulatorn) är

nC = nB− 1 nD = nA− 1

D¨armed blir nP = nA+ nB− 1. Om integration ¨onskas i regulatorn (som i PI och PID) m˚aste C(z) = C1(z)(1 − z⁻¹) dvs en faktor 1 − z⁻¹ m˚aste

”tvingas in” i regulatorn. D˚a blir villkoren ist¨allet nC = nB, nD = nA och nP = nA+ nB.

3.37. Ber¨akna en regulator utan integration f¨or systemet y(k) = 0.7y(k − 1) + 0.6u(k − 1)

som g¨or att det slutna (˚aterkopplade) systemets pol blir z = 0.5.

3.38. Ber¨akna en regulator utan integration f¨or systemet y(k) = 0.7y(k − 1) + 0.65u(k − 1) + 0.35u(k − 2)

som g¨or att det slutna (˚aterkopplade) systemets poler hamnar i z = 0.5 (dubbelpol).

3.39. Ber¨akna en regulator med integration f¨or systemet y(k) = 0.7y(k − 1) + 0.6u(k − 1)

(12)

d¨ar samtliga poler placeras i z = 0.5. Vilken typ av regulator blir detta?

3.40. Ber¨akna en regulator utan integration f¨or systemet

y(k) = 1.3y(k − 1) − 0.4y(k − 2) + 0.4u(k − 1) + 0.4u(k − 2) d¨ar alla slutna systemets poler skall vara z = 0.2

3.41. Ber¨akna en regulator med integration f¨or systemet

y(k) = 1.3y(k − 1) − 0.4y(k − 2) + 0.4u(k − 1) + 0.4u(k − 2) d¨ar alla slutna systemets poler skall vara z = 0.2

3.42. För en koncentrationsregleringsprocess p˚a ett kemitekniskt företag skattades överföringsfunktionen (genom enkla stegsvarstester) till

G(s) = 3e⁻^2s 1 + 5s

Ber¨akna en tidsdiskret regulator utan integration som placerar slutna systemets alla poler i z = 0 (dead-beat) d˚a

a. h = 2 s.

b. h = 1 s.

3.43. En enkel modell av en liten likströmsmotor finns i form av överföringsfunktionen G(s) = 20

s(s + 4)

Motorn skall regleras med en tidsdiskret regulator utan integralverkan med en samplingsfrekvens p˚a 20 Hz. Ber¨akna regulatorn p˚a formen

u(k) = −c1u(k − 1) + Krr(k) + d0y(k) + d1y(k − 1)

dels d˚a a. alla poler placeras i z = 0 och dels d˚a b. alla poler placeras i z = 0.5. Vilken av polplaceringarna verkar ge störst förstärkningar i ˚aterkopplingen?

(13)

Minsta-kvadrat-metoden

F¨or ett tidsdiskret system p˚a formen

y(k) + a1y(k − 1) + a2y(k − 2) + · · · + an−1y(k − n + 1) + any(k − n)

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · · + bn−1u(k − n + 1) + bnu(k − n) där parametrarna (koefficienterna) inte är kända kan dessa skattas genom att göra ett tillräckligt antal mätningar (för k = 0, 1, 2 . . . , N med N −n+1 ≥ 2n) för att sen utifr˚an dessa ställa upp ett linjärt ekvationssystem där koefficienterna är de obekanta. Om N − n + 1 > 2n blir detta ekvationssystem överbestämt dvs antalet ekvationer är fler än antalet obekanta. Om mätningarna är störda av brus kommer ekvationerna inte att kunna lösas exakt (inte ens d˚a N − n + 1 = 2n). En kompromiss är d˚a att hitta en ”bästa”

lösning. En variant är att minimera följande funktion:

V (θ) =

N

X

k=n

(y(k) − ϕ^T(k)θ)² d¨ar

θ =





 a1

...

an

b1

...

bn







=





 θ1

...

θn

θn+1

...

θ2n







och ϕ(k) =







−y(k − 1) ...

−y(k − n) u(k − 1)

...

u(k − n)







=





 ϕ1(k)

...

ϕn(k) ϕn+1(k)

...

ϕ2n(k)





 Funktionen V är kvadratisk i parametrarna. För att söka minimum hos V sätts de partiella derivatorna med avseende p˚a θj, j = 1, 2, . . . , 2n till 0 vilket ger

0 = ∂V

∂θj

=

N

X

k=n

2(y(k) − ϕ^T(k)θ)(−ϕj(k)) =

= −2 ϕj(n) ϕj(n + 1) · · · ϕj(N)







y(n) − ϕ^T(n)θ y(n) − ϕ^T(n)θ

...

y(N) − ϕ^T(N)θ







, j = 1, 2, . . . , 2n

Med beteckningarna

Φ =







ϕ^T(n) ϕ^T(n + 1)

...

ϕ^T(N)







och Y =





 y(n) y(n + 1)

...

y(N)







(14)

kan detta uttryckas som

−2Φ^T(Y − Φθ) = 0 ⇐⇒ Φ^TΦθ = Φ^TY

Om Φ^TΦ r˚akar vara inverterbar s˚a kan θ l¨osas ut ur denna ekvation som θ = (Φ^TΦ)⁻¹Φ^TY

vilket utgör den parametervektor ˆθ som är lösningen till MK-problemet.

3.44. Följande tabell visar en mätserie med in- och utsignaler för ett visst system:

k u(k) y(k)

0 1.00 0.00

1 0.00 0.50

2 2.00 0.20

3 0.00 1.10

4 0.00 0.42

5 0.00 0.16

a. Best¨am minstakvadratskattningen av parametrarna a och b i modellen y(k) = ay(k − 1) + bu(k − 1)

d˚a ovanst˚aende tabells m¨atdata utnyttjas. Tips: Anv¨and ϕ(k) = (y(k − 1) u(k − 1))^T.

b. Best¨am minstakvadratskattningen av parametern b i modellen y(k) = a0y(k − 1) + bu(k − 1)

med a0 = 0.4 känd d˚a samma mätdata utnyttjas som i (a). Tips: Använd ϕ(k) = u(k − 1).

c. Best¨am v¨ardet p˚a den kvadratiska felfunktionen

V (ˆa, ˆb) =

5

X

k=1

(y(k) − ˆay(k − 1) − ˆbu(k − 1))²

där â och ˆb är de skattade värdena som erhölls i (a).

(15)

Ofta kan det vara intressant att fortl¨opande skatta parametrar efter hand som data erh˚alles. Minstakvadratmetoden kan omformuleras till f¨oljande rekursiva ekvationer:











P (k) = P (k − 1) − P (k − 1)ϕ(k)ϕ^T(k)P (k − 1) 1 + ϕ^T(k)P (k − 1)ϕ(k) ε(k) = y(k) − ϕ^T(k)ˆθ(k − 1)

θ(k) = ˆˆ θ(k − 1) + P (k)ϕ(k)ε(k)

(1)

Här är ˆθ(k) parameterskattningen vid tiden k, där k = n, n + 1, . . . , N.

3.45. Använd rekursionen (1) för att beräkna parameterskattningen ˆθ(k) för k = 1 och k = 2 med data fr˚an föreg˚aende uppgift för följande fall:

a.

θ(0) =ˆ 0 0

och P (0) =1 0 0 1

b.

θ(0) =ˆ 0 0

och P (0) =10 0 0 10