UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
EN UPPGIFT.
En n¨odvattencistern i Sahara rymmer 300 000 liter. Varje dygn f¨orsvinner 300 liter av vattnet genom l¨ackage. Med hj¨alp av tankbilar fr˚an kusten h˚alls cisternen hela tiden fylld med rent vatten. En dag h¨aller en tj¨ansteman fr˚an SIDA 1 liter klor i cisternen f¨or att h˚alla bakteriehalten nere p˚a en godtagbar niv˚a. Efter hur l˚ang tid har vattnets klorhalt sjunkit till 1 ppm (10−4%), som i detta fall anses vara det hygieniska gr¨ansv¨ardet ?
L¨osning: L˚at V0= 3 · 105l, varje dag f¨orsvinner 3 · 102l. L˚at h(t) vara klorhalten vid tiden t och C(t) vara klorm¨angden vid samma tid. D˚a g¨aller:
h(t) = M¨angden av klor
M¨angden av vatten=C(t) V0 med begynnelsevillkor h(0) = 1
3 · 105.
Varje dag rinner ut 300 · h(t) liter klor, dvs. dC(t)
dt = −300h(t) . Hastigheten med vilken klorhalten ¨andras ¨ar
dh(t)
dt = dC(t) dt · 1
V0 = −1
V0· 300h(t) = − 1
3 · 105· 300h(t) = − 1 103h(t) . Ekvationen dh(t)
dt = − 1
103h(t) ¨ar separabel och har den allm¨anna l¨osningen h(t) = C · e−10−3t. Begynnelsevillkoret ger h(0) = 1
3 · 105 = C , allts˚a h(t) = 1
3 · 105e−10−3t. Nu vill vi best¨amma t s˚a att h(t) = 10−6. Allts˚a t = −103ln 3 · 10−1≈ 1204 . Svar: Det tar omkring 1204 dagar eller 39 m˚anader innan klorhalten bli f¨or l˚ag.
