OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ ALLER STUDENTER P˚ A H ¨ OGSKOLEINGENJ ¨ ORSPROGRAM

(1)

OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ ALLER STUDENTER P˚ A H ¨ OGSKOLEINGENJ ¨ ORSPROGRAM

Tentamen i Matematik III Differentialekva- tioner, komplexa tal och transformteori

Kurskod M0039M

Tentamensdatum 2012-05-18 Totala antalet uppgifter: 6, max 30 p Skrivtid 09.00-14.00

Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30.

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen . Tentamensresultatet meddelas tidi- gast 15 arbetsdagar efter tentamensdatum.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare. Bifogad tabell.

Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨or teknikvetenskap och matematik

1 (3)

(2)

Uppgift 1

(a) Antag att z

1

2 5i, z

2

3 i.

Skriv p˚ a formen a bi , a, b

^P

R

p

z

1

z

2^q

.

Anm: w

w

konjugat. (2 p)

(b) (I) L¨os ekvationen

z

³

1 i.

Svara p˚ a formen a bi. Avrunda a och b till 2 decimaler. (2 p) (II) Markera r¨otternas l¨age i det komplexa talplanet. (1 p)

Uppgift 2

(a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen d

²

y

dx

²

3 dy

dx 2y

4x

Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. (3 p)

(b) L¨os begynnelsev¨ardeproblemet dy

dx

^p

x 1

^q

e

^x

y

²

, y

^p

0

^q

1. Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. (3 p)

Uppgift 3

(a) Avg¨or om serien

8

¸

k1

k

²

k! ¨ar konvergent eller divergent. Motivera tydligt. (2 p) (b) Best¨am

x

lim

Ñ0

arctan x

x ln

^p

1 x

³^q

L’Hospitals regel f˚ ar inte anv¨andas. (2 p)

Uppgift 4

(a) Best¨am en funktion f

^p

t

^q

, t

^¥

0, med Laplacetransformen 2s 3

s

²

4s 13

(3 p) (b) Ber¨akna

e

^t

e

^t

. (

¨ar faltningsoperatorn)

(2 p)

2 (3)

(3)

Uppgift 5

L¨os med Laplacetransformation begynnelsev¨ardesproblemet y

²

y

t, y

^p

0

^q

1, y

¹^p

0

^q

1. (5 p)

Uppgift 6

Betrakta nedanst˚ aende RL-krets.

48V

11Ω

0.1H

Kretsen best˚ ar av en resistor med resistansen R

11 Ω, seriekoppplad med en spole med induktansen L

0.1 Henry.

Antag att kretsen drivs av ett batteri med konstant sp¨anning E

^p

t

^q

48 Volt.

D˚ a kretsen kopplas till den konstanta sp¨anningen uppkommer en varie- rande str¨om I

^p

t

^q

(d¨ar tiden t m¨ats i sekunder).

Enligt Kirchhoffs andra lag uppfyller str¨ommen I

^p

t

^q

begynnelsev¨ardesproblemet L dI

dt RI

E

^p

t

^q

, med begynnelsevillkoret I

^p

0

^q

0. Ber¨akna I

^p

0.02

^q

. Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. Avrunda svaret till 1

decimal. (5 p)

3 (3)

(4)

Svar, M0039M, 120518

Förbehåll för ev. fel.

Uppgift 1

(a) −17 i − 1

(b) (I) z

¹

≈ 1.08 + 0.29i, z

²

≈ −0.29 − 1.08i, z

³

≈ −0.79 + 0.79i.

(II)

Uppgift 2

(a) y = C

¹

e

^{2 x}

+ C

²

e

^x

+ 2 x + 3 (b) 1

y = (x + 2) e

⁻^x

− 3

Uppgift 3

(a) Konvergent (enl kvotkriteriet) (b) − 1

3 Uppgift 4

(a)

e

⁻^{2 t}

2 cos (3 t) − sin (3 t) 3

(b) 1

2 e

^t

− e

⁻^t

= sinh t

Uppgift 5

3 e

^t

2 − e

⁻^t

2 − t

Uppgift 6

I = e

⁻^{110 t}

48 e

^{110 t}