OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ ALLER STUDENTER P˚ A H ¨ OGSKOLEINGENJ ¨ ORSPROGRAM

OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ ALLER STUDENTER P˚ A H ¨ OGSKOLEINGENJ ¨ ORSPROGRAM

Tentamen i Matematik II–Integralkalkyl och linj¨ar algebra

Kurskod M0043M

Tentamensdatum 2012-06-02

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30.

Jourhavande: Staffan Lundberg

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen . Tentamensresultatet meddelas tidi- gast 15 arbetsdagar efter tentamensdatum.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare.

Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Institutionen f¨or teknikvetenskap och matematik

1 (3)

Uppgift 1

(a) Best¨am ekvationen f¨or det plan Π som inneh˚ aller punkterna P

: (1, 2, 3), P

: (3, 2, 1) och som ¨ar vinkelr¨att mot planet 4x − y + 2z = 7. (3p) (b) Best¨am avst˚ andet mellan punkten Q : (0, 1, 0) och planet Π som du

best¨amde i Uppgift 1(a).

Exakt svar, ej n¨armev¨arde. (2p)

Uppgift 2

(a) Partialbr˚ aksuppdela

x + 7 x

+ 2x − 3

(2 p) (b) Best¨am

Z x + 7 x

+ 2x − 3 dx

(1 p) (c) Best¨am

Z ln x

√ x dx

(3 p)

Uppgift 3

Betrakta ekvationssystemet

(1)







ax + y + 2z = 1 2x + y + az = −a

ax + z = 0

(a) Best¨am, med hj¨alp av determinantkalkyl, alla v¨arden p˚ a den reella pa-

rametern a som g¨or att systemet (1) f˚ ar o¨andligt m˚ anga l¨osningar. (2 p) (b) L¨os systemet (1) fullst¨andigt f¨or alla s˚ a erh˚ allna v¨arden p˚ a a. (3 p)

Uppgift 4

Betrakta kurvstycket

y = 1 − x

2 , 0 ≤ x ≤ √ 2.

L˚ at kurvstycket rotera kring y-axeln. D˚ a bildas en rotationskropp. Ber¨akna volymen av denna rotationskropp. Exakt svar, ej n¨armev¨arde. (4p)

2 (3)

Uppgift 5

Ber¨akna arean av det begr¨ansade omr˚ ade som ligger mellan x-axeln och

kurvan y = (x

− x)e

. Exakt svar, ej n¨armev¨arde. (5 p)

Uppgift 6

L¨ os en och endast en av f¨ oljande uppgifter.

Uppgift 6.1

F¨or en kontinuerlig funktion f (t) p˚ a intervallet a ≤ t ≤ b, definieras det kvadratiska medelv¨ ardet (eng. root mean square (RMS)), x

, som

x

= v u u u t

1 b − a

b

Z

a

[f (t)]

dt.

Ber¨akna det kvadratiska medelv¨ardet av

f (t) = A sin t, A ∈ R, p˚ a intervallet 0 ≤ t ≤ 2π.

Exakt svar, ej n¨armev¨arde. (5 p)

Uppgift 6.2

Best¨am matrisen X som ¨ar l¨osning till ekvationen A

+ AX = I d¨ar

A = 1 2 3 4



och I ¨ar enhetsmatrisen av typ 2 × 2. (5 p)

3 (3)

Uppgift 1

(a) x + 6y + z − 32 = 0 (b) 5 √

√ 2 19

Uppgift 2

(a) 2

x − 1 − 1 x + 3

(b) 2 ln (x − 1) − ln (x + 3) + C (c) √

x (2 ln (x) − 4) + C

Uppgift 3

(a) [a = 2, a = −1] ger antingen ol¨osligt system eller o¨andligt m˚ anga l¨osningar.

(b) Kontroll visar att a = −1 ger o¨andligt m˚ anga l¨osningar.

[x = t, y = 1 − t, z = t]

Uppgift 4

π volymsenheter.

Uppgift 5

3 − e areaenheter.

Uppgift 6

Uppgift 6.1

|A| √ 2

Uppgift 6.2 X = −3 −1

−

−



2 (2)