OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ ALLER STUDENTER P˚ A H ¨ OGSKOLEINGENJ ¨ ORSPROGRAM

OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ ALLER STUDENTER P˚ A H ¨ OGSKOLEINGENJ ¨ ORSPROGRAM

Tentamen i Matematik I–Differentialkalkyl Kurskod M0038M

Tentamensdatum 2012-05-16

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30 Jourhavande: Staffan Lundberg

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Tentamensresultatet meddelas tidi- gast 15 arbetsdagar efter tentamensdatum.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare.

Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Institutionen f¨or teknikvetenskap och matematik

(a) F¨or en vinkel θ i andra kvadranten (π/2 < θ < π) g¨aller sin θ = 12 13 . Best¨am tan θ. Svaret anges p˚ a br˚ akform. (2p) (b) Givet funktionen f (x) = 5x − 3x

. Best¨am

f (a + 1) − f(1).

F¨orenkla s˚ a l˚ angt som m¨ojligt. (2p)

Uppgift 2

(a) L¨os olikheten

x − 9 > − 30 x + 2

(3p)

(b) L¨os ekvationen √

x + 2 = x

(2p)

Uppgift 3

(a) Best¨am eventuella asymptoter och eventuella lokala extrempunkter till funktionen

f (x) = x

+ x + 3 x − 2

(4p)

(b) Skissa funktionens graf. (1p)

Uppgift 4

Best¨am den punkt p˚ a parabeln y

= 2x

som ligger n¨armast punkten (1, 4).

(5p)

2 (3)

Uppgift 5

(a) Best¨am ekvationen f¨or tangenten till kurvan sin 

x · π 2

 = e

− 1

i punkten (1, ln 2). (3p)

(b) Betrakta funktionen f , definierad genom f (x) = x

+ x

+ 3x.

Best¨am (f

)

(−5). (3p)

Uppgift 6

(a) Best¨am gr¨ansv¨ardet

lim

x→∞

 x − √

x

+ 10 x 

L’Hospitals regel f˚ ar inte anv¨andas. (2p)

(b) Best¨am konstanten b > 0 s˚ a att funktionen

f (x) =



 

 

sin(x

)

sin

(bx) , x 6= 0,

4, x = 0

blir kontinuerlig i x = 0.

L’Hospitals regel f˚ ar inte anv¨andas. (3p)

Förbehåll för ev. fel.

Uppgift 1

(a) − 5 12

(b) −a (3 a + 1)

Uppgift 2

(a) x > 4 eller −2 < x < 3 (b) x = 2

Uppgift 3

(a) Lok max för x = −1, lok min för x = 5. Asymptoter: sned y = x + 3, lodrät x = 2.

(b)

Uppgift 4

(2, 2)

1

Uppgift 5

(a) y = ln 2

Figur 1: Graf, sin(x · π/2) = e

− 1.

(b) − 1 11

Uppgift 6

(a) −5 (b) b = 1

2