OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ ALLER STUDENTER P˚ A H ¨ OGSKOLEINGENJ ¨ ORSPROGRAM
Tentamen i Matematik III Differentialekva- tioner, komplexa tal och transformteori
Kurskod M0039M
Tentamensdatum 2013-03-25 Totala antalet uppgifter: 6, max 30 p Skrivtid 09.00-14.00
Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30.
Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Tentamensresultatet meddelas tidi- gast 15 arbetsdagar efter tentamensdatum.
Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨ aknare. Bifogad tabell.
Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.
Enbart svar ger 0 po¨ ang.
Institutionen f¨ or teknikvetenskap och matematik
1 (3)
Uppgift 1
(a) Antag att z “ 2 ` 3i. Best¨ am
Im ˆ 1 z
2˙
(2 p) (b) L¨ os ekvationen
z
2´ 2iz ` 2 ´ 4i “ 0.
Svaret anges p˚ a rektangul¨ ar form a ` bi, d¨ ar a, b P R. (3 p)
Uppgift 2
(a) Best¨ am den allm¨ anna l¨ osningen till differentialekvationen d
2y
dx
2´ 2 dy
dx ` y “ 6 e
2xLaplacetransformer f˚ ar ej anv¨ andas. (3 p)
(b) L¨ os begynnelsev¨ ardeproblemet x
2¨ dy
dx ` 3xy “ 1
x , yp1q “ ´1.
Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨ andas. (3 p)
Uppgift 3
(a) Avg¨ or om serien
8
ÿ
n“1
2
n
2` 2n ¨ ar konvergent eller divergent. Ber¨ akna i
f¨ orekommande fall summan. (2 p)
(b) Best¨ am
xÑ0
lim
arctan x ´ x sin x ´ x
L’Hospitals regel f˚ ar inte anv¨ andas. (2 p)
Uppgift 4
(a) Best¨ am en funktion f ptq, t ě 0, med Laplacetransformen F psq “ 3s ´ 137
s
2` 2s ` 401
(4 p) (b) Best¨ am Laplacetransformen f¨ or
f ptq “ pt
2´ 3q
2(1 p)
2 (3)
Uppgift 5
L¨ os med Laplacetransformation begynnelsev¨ ardesproblemet y
2´ 2y
1` 2y “ e
´t, yp0q “ 1, y
1p0q “ 1.
(5 p)
Uppgift 6
L¨ os en och endast en av f¨ oljande uppgifter.
Uppgift 6.1
En nygr¨ addad kaka med temperaturen 200
˝har efter en minut i rumstempe- ratur (22
˝) svalnat till 140
˝. Hastigheten med vilken temperaturen sjunker
¨ ar proportionell mot skillnaden mellan kakans temperatur och rumstempe- raturen (Newtons avsvalningslag). Efter hur l˚ ang tid kan kakan ¨ atas?
L¨ amplig serveringstemperatur b¨ or vara 30
˝. Svaret anges i minuter och
avrundas till en decimal. (5 p)
Uppgift 6.2
L¨ os, f¨ or t ě 0, integralekvationen
2 cosp2tq “ 2yptq ` 5 ż
t0
