(1) (a) Definiera med hj¨ alp av en bild funktionen sin : R → R.

TATA79/TEN2 Inledande matematisk analys Dugga 2, 2016-12-12

Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns sju uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 9 po¨ ang. Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Lycka till!

(1) (a) Definiera med hj¨ alp av en bild funktionen sin : R → R.

(b) Bevisa att sin θ < θ f¨ or θ ∈ (0, π/2). Du f˚ ar anv¨ anda en bild som st¨ od f¨ or ditt bevis.

(2) Hitta alla x ∈ R som l¨ oser ekvationen 3 cos(x) + √

3 sin(x) = √ 3.

(3) (a) Kom ih˚ ag att exp(x) ≥ 1 + x f¨ or alla x ∈ R. Anv¨ and den tillsammans med andra r¨ aknareglar f¨ or att visa

exp(x) ≤ 1 1 − x f¨ or x < 1.

(b) Skissa grafen av exponentialfunktionen exp : R → (0, ∞).

(4) (a) L˚ at y vara en godtyckligt reellt tal. Visa att ekvationen y = e

− e

2

har en unik l¨ osning x ∈ R som ges av x = ln(y + py

+ 1).

(b) Skissa grafen av funktion sinh : R → R som definieras som

sinh(x) = e

− e

2 f¨ or alla x ∈ R.

(5) (a) Definiera a

f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) L˚ at b > 1. Visa att funktionen x 7→ b

¨ ar bijektiv och ge en formel f¨ or den inversa funktionen.

Sida 1 av 2 [V¨ and!]

TATA79/TEN2 Inledande matematisk analys Dugga 2, 2016-12-12

(6) (a) Hitta alla w ∈ C s˚ a att w

= 3 + 4i.

(b) Hitta alla z ∈ C s˚ a att z

+ (2 + 2i)z − 3 − 2i = 0.

(7) (a) Definiera e

f¨ or θ ∈ R.

(b) Bevisa Eulers identitet:

e

+ 1 = 0.

Sida 2 av 2