Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK.

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK.

matematik M0031M

18:e maj 2011.

Tid: 5 h

Hj¨alpmedel: Inga.

L¨ osningarna skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨ att att r¨ akningar och resonemang blir l¨ atta att f¨ olja. M¨ ark l¨ osningsbladen med namn och personnr.

1. a) Best¨am egenv¨arden och egenvektorer till matrisen A =

✓ 0 1 2 3

◆ .

(4p) b) Avg¨or om matrisen A’s egenvektorer ¨ar ortogonala. (1p) 2. a) L¨os ekvationen

( 1 + p

3i)z

= 4.

(3p) b) Best¨am beloppet av (1 2i)(1 i)

(3 + i)

. (2p)

3. a) Best¨am l¨osningen till begynnelsev¨ ardesproblemet y

+ xy = x, y(0) = 2.

(3p) b) Best¨am l¨osningen till y

+ 4y = cos(2x), y(0) = 0, y

(0) = 0. (3p)

4. a) Definiera begreppet bas i ett vektorrum. (1p)

b) L˚ at vektorrummet H i R

sp¨annas upp av f¨oljande tre vektorer i R

.

v

= 0 B B

@ 1 0 1 0

1 C C A , v

=

0 B B

@ 1 0 0 1

1 C C A , v

=

0 B B

@ 0 0 1 1

1 C C A

Best¨am en ON-bas ( ON=ortonormerad ) i vektorrummet H t.ex. med hj¨alp av Gram-

Schmidt. (4p)

5. a) L˚ at v

= 0

@ 1 3 0

1 A , v

=

0

@ 2 1 1

1

A visa att W = Span{v

, v

} ¨ar ett underrum till R

(2p)

b) Best¨am ortogonalkomplementet W

till W . (2p)

Var god v¨and!

1

6. L¨os endast en av f¨oljande tre uppgifter A,B eller C.

A. a) En avbildning T : P

! P

definieras genom T (p(t)) = tp(t), p 2 P

. Avg¨or om T

¨ar en linj¨ar avbildning. (2p)

b) Best¨am matrisrepresentationen av T relativt baserna B = {1, t, t

} f¨or P

och C =

{1, t, t

, t

} f¨or P

. (2p)

c) ¨ Ar f : R ! R definierad genom f(x) = p

x en linj¨ar avbildning? Motivera! (1p) B. L˚ at A vara en (9 ⇥ 10)-matris. Antag att alla l¨osningar till det homogena ekvations- systemet Ax = 0 kan skrivas som en linj¨arkombination av tv˚ a linj¨art oberoende vektorer i R

. Avg¨or med hj¨alp av l¨amplig sats om ekvationen Ax = b, b 2 R

alltid g˚ ar att l¨osa

med godtyckliga h¨ogerled b? (5p)

C. Best¨am den allm¨anna l¨osningen till Eulerekvationen x

y

xy

+ y = sin(ln(x)), x > 0

med hj¨alp av substitutionen x = e

. (5p)

2