D-KURS, MA 4000 BLÅ, UPPGIFT 3170
En konisk behållare har spetsen nedåt och lika stor höjd som radie. Behållaren läcker så att det rinner ut 360 cm³/minut. Hur förändras vätskenivån vid det läge då den (höjden = radien) är 18 cm?
Börjar med att skriva ett uttryck för voymen:
3
3
3
3 2
2
h r r r
V r
(Eftersom radie och höjd är de samma)Derivatan till volymen är:
2 2
3
' 3 r r
V
Hur förändras vätskenivån vid det läge då radien är 18 cm?
Vätskenivån är beroende av radien och radien är beroende av tiden (-360 cm³/min) i minuter.
' ' '
' 2
t r r t
V
(yttre × inre derivata)2
'
'
'
'
r
t
V
t
r
Vi har följande förutsättning:
18
r cm och 360
' ' t
V cm³/min
Vi vill veta hur vätskenivån (= radien, höjden) ändras när radien (och höjden) är 18 cm.
Vi får följande ekvation:
35
,
324 0
360
18
360
'
' '
'
'
'
2
2
t
r
r
t
V
t
r ( 0,35367765 1315...)
Svar: Vätskenivån sjunker med hastigheten 0,35 cm/minut då den (radien) är 18 cm.
2011-08-11 / Dennis Jonsson
