Geometriuppgifter
1. Anv¨and linjen (x, y, z) = (2, 1, −1) + t(0, 1, −2) och punkten (0, 1, 1) f¨or att visa hur man med hj¨alp av projektion finner den punkt p˚a en given linje som ligger n¨armast en given
punkt. (4 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:091023:3 2. F¨orklara hur man finner ekvationen f¨or det plan som inneh˚aller en given punkt och en given linje genom att utf¨ora detta i exemplet med punkten A = (2, −1, 4) och linjen (x, y, z) =
(−2, 4, 3) + t(2, 1, −3). (4 p)
K¨alla: SF1624:KS1:2009:3 3. Beskriv hur man kan best¨amma ekvationen f¨or det plan i rummet som inneh˚aller en given linje och en given punkt utanf¨or linjen. Ge ett belysande exempel genom att utf¨ora detta med punkten (1, 1, 0) och linjen (x, y, z) = (3, 0, −1) + t(0, 2, 1), d¨ar t ¨ar en reell parame-
ter. (4 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:091215:6 4. Visa med hj¨alp av vektorkalkyl att de tre linjerna mellan h¨ornen i en triangel ABC och
mittpunkterna p˚a motst˚aende sidor sk¨ar varandra i punkten med ortsvektor 1
3OA + 1
3OB +1 3OC,
d¨ar O ¨ar koordinatsystemets origo. Illustrera med belysande figurer. (4 p) K¨alla: SF1624:Tentamen:100111:8 5. En triangul¨ar sk¨arm ska s¨attas upp i ett h¨orn av ett rum d¨ar v¨aggar och tak ¨ar vinkelr¨ata mot varandra. Anv¨and vektorprodukten1f¨or att best¨amma ett uttryck f¨or sk¨armens area om sk¨armens tre h¨ornpunkter har avst˚and a cm, b cm, respektive c cm fr˚an h¨ornet. (4 p) K¨alla: SF1624:Tentamen:100315:5 6. En triangel i rummet har h¨orn i punkterna A = (−2, −2, −1), B = (2, 1, −1) och C = (−1, 1, 3). Anv¨and skal¨arprodukten f¨or att avg¨ora om vinkeln vid h¨ornet B ¨ar st¨orre ¨an
eller mindre ¨an 60◦. (4 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:100417:3 7. (a) H¨arled formeln f¨or projektion av en vektor v p˚a en nollskild vektor u genom att anv¨anda egenskapen att v − Projuv ¨ar vinkelr¨at mot u och att Projuv ¨ar parallell
med u. (1 p)
(b) Anv¨and formeln f¨or projektionen fr˚an del a) till att best¨amma den punkt p˚a linjen genom origo med riktningsvektor (1, 2, −1) som har kortast avst˚and till punkten P =
(2, 0, 1). (3 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:100417:5
1Vektorprodukten kallas ocks˚a f¨or kryssprodukt.
Figur 1: Sk¨armens placering vid taket i ett av rummets h¨orn.
8. L˚at A = (1, 3, 2), B = (4, 2, 1) och C = (5, 2, 3) vara de tre h¨ornen i en triangel i R3. Anv¨and vektorprodukten f¨or att best¨amma arean av triangeln ABC. (4 p) K¨alla: SF1624:1004112 9. Anv¨and vektoralgebra f¨or att best¨amma ekvationen f¨or det plan som best˚ar av punkter som har lika l˚angt avst˚and till punkten P = (1, 4, 2) som till punkten Q = (3, −2, 0). (4 p) K¨alla: SF1624:100604 10. (a) F¨orklara hur man kan anv¨anda projektion f¨or att best¨amma det kortaste avst˚andet fr˚an en punkt till ett plan och illustrera metoden genom att best¨amma avst˚andet fr˚an planet som inneh˚aller punkterna A = (1, 0, −1), B = (2, 3, 3) och C = (−1, 5, 2)
till punkten D = (3, 1, 0). (3 p)
(b) F¨orklara varf¨or svaret ocks˚a kan f˚as med hj¨alp av formeln
d = |(AB × AC) · AD|
|AB × AC|
genom att tolka t¨aljare och n¨amnare geometriskt. (1 p) K¨alla: SF1624:Tentamen:100605:5 11. Uttrycket
(x, y, z) = (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet d¨ar s och t ¨ar reella parametrar.
(a) Best¨am en normalvektor till planet med hj¨alp av kryssprodukten av de b¨agge rikt-
ningsvektorerna (1, 3, 0) och (0, 5, 1). (1 p)
(b) Best¨am en ekvation f¨or planet W p˚a formen ax + by + cz + d = 0. (2 p)
(c) Best¨am det kortaste avst˚andet fr˚an planet W till origo, exempelvis genom att proji- cera vektorn fr˚an origo till punkten (1, 1, 1) p˚a normalvektorn till planet. (1 p) K¨alla: SF1624:Tentamen:101022:1 12. Vektorerna v = (1, 1, 0) och w = (0, −1, 1) sp¨anner upp ett plan W i R3.
(a) Best¨am en vektor u1 som ¨ar parallell med v, och som har l¨angd 1. (1 p) (b) Best¨am en vektor u2s˚a att {u1, u2} utg¨or en ortonormal bas f¨or planet W . (2 p) (c) N¨ar vi ber¨aknar kryssprodukten u1 × u2 f˚ar vi en normalvektor till W som redan ¨ar
normerad, dvs som har l¨angd 1. Varf¨or? (1 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:110110:3 13. Best¨am kortaste avst˚andet mellan punkten (7, 6, 5) och sk¨arningslinjen mellan planen 2x−
z = −1 och y = 2 i R3. (4 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:110110:7 14. (a) Redog¨or f¨or hur vi kan best¨amma den punkt Q i ett givet plan med ekvation p˚a formen
ax + by + cz = d som ligger n¨armast en given punkt P i rummet.
Illustrera metoden genom att f¨or var och en av de tre punkterna P1 = (1, 1, 0), P2 = (1, 1, 1) och P3 = (2, −1, −1) best¨amma motsvarande n¨armsta punkt i planet med
ekvationen x − 2y + 2z = 1. (3 p)
(b) Anv¨and r¨akningarna ovan f¨or att avg¨ora vilka (om n˚agon) av punkterna P1, P2 och P3som ligger p˚a samma sida av planet som origo. (1 p) K¨alla: SF1624:Tentamen:110316:6 15. F¨or alla vektorer u, v och w i R3 g¨aller att
u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0.
Bevisa detta genom att
(a) Visa att v¨ansterledet, T (u, v, w), ¨ar linj¨art i u n¨ar v och w fixerade. (1 p) (b) Visa att v¨ansterledet ¨ar noll om u ¨ar en linj¨arkombination av v och w. (1 p) (c) Visa att v¨ansterledet ¨ar noll om u ¨ar ortogonal mot b˚ade v och w. (1 p) (d) F¨orklara varf¨or man fr˚an (a)-(c) kan dra slutsatsen att p˚ast˚aendet g¨aller f¨or alla vek-
torer u, v och w i R3. (1 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:110316:9 16. F¨or tv˚a linjer i rummet som inte sk¨ar varandra och inte ¨ar parallella kan man alltid hitta tv˚a parallella plan d¨ar det ena planet inneh˚aller den ena linjen och det andra planet inneh˚aller den andra.
(a) F¨orklara varf¨or det f¨orh˚aller sig p˚a det viset och visa hur man best¨ammer dessa plan i ett exempel med de tv˚a linjerna som p˚a parameterform ges av (x, y, z) = (1, 2, −1) + s · (1, 0, 1) och (x, y, z) = (3, 1, 2) + t · (1, 4, 3). (3 p) (b) Anv¨and ber¨akningen fr˚an del (a) f¨or att ocks˚a ber¨akna avst˚andet mellan de b˚ada lin-
jerna i exemplet. (1 p)
K¨alla: SF1624:110411:2 17. Tv˚a plan i rummet s¨ags sk¨ara varandra under r¨at vinkel om deras normalvektorer ¨ar orto- gonala mot varandra. Best¨am en ekvation f¨or det plan i R3som inneh˚aller linjen (x, y, z) = (2, 1, 0) + t · (1, 3, 1) och som sk¨ar planet med ekvation 2x + z − 3 = 0 under r¨at vinkel.
(4 p) K¨alla: SF1624:Tentamen:110609:4 18. Givet ¨ar tv˚a plan vars ekvationer ges av x + y + 2z = 0 respektive 2x + y + z = 0. Som synes ¨ar planen inte parallella och b¨agge g˚ar genom origo, s˚a sk¨arningen mellan dem blir en linje L som ocks˚a g˚ar genom origo.
(a) Uttryck denna linje L p˚a parameterform. (3 p)
(b) Best¨am projektionen av vektorn u = (1, 2, 1) p˚a linjen L. (1 p) K¨alla: SF1624:110620:1 19. Anv¨and vektorprodukten f¨or att best¨amma ekvationerna f¨or tv˚a parallella plan, ett som inneh˚aller linjen (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(1, 2, −1) och ett som inneh˚aller linjen (x, y, z) =
(5, 1, 2) + t(2, 2, 1). (4 p)
K¨alla: SF1624:KS1:modell:2010 20. Best¨am en ekvation f¨or det plan som inneh˚aller punkterna (0, 1, −2), (3, 0, −1) och (2, 1, 0),
och avg¨or om linjen (x, y, z) = (1, 1, −1) + t · (3, 1, 5) ligger i detta plan. (4 p) K¨alla: SF1624:KS1:100913:2 21. Betrakta triangeln ABC med h¨orn i punkterna A = (1, 0, 1), B = (2, −3, 2) och C =
(4, 1, 0) i R3.
(a) Ber¨akna koordinaterna f¨or vektorerna u = AB och v = AC. (1 p) (b) Anv¨and kryssprodukten f¨or att ber¨akna arean av triangeln ABC. (2 p) (c) Anv¨and skal¨arprodukten f¨or att ber¨akna cosinus f¨or vinkeln vid h¨ornet A. (1 p) K¨alla: SF1624:KS1:101129:2 22. Best¨am alla tal t s˚a att punkterna (1, 2, 3), (2, 3, 2), (t + 1, 3, t + 2) och (t, 2t, 2t + 5) ligger
i samma plan i R3 och ange en ekvation f¨or detta plan f¨or n˚agot av dessa v¨arden f¨or t.
(4 p) K¨alla: SF1624:KS1:101129:3
23. Betrakta de tv˚a linjerna i rummet, R3, som p˚a parameterform beskrivs av
(x, y, z) = (1, 1, 0) + t · (1, −1, 1) och (x, y, z) = (1, 0, 1) + t · (1, 0, −1).
(a) Best¨am med hj¨alp av kryssprodukten en vektor som ¨ar ortogonal mot b¨agge dessa
linjer. (1 p)
(b) Kontrollera med hj¨alp av skal¨arprodukten att denna vektor verkligen ¨ar ortogonal mot
b¨agge linjerna. (1 p)
(c) Best¨am en ekvation f¨or ett plan som ligger mellan dessa linjer, dvs ett plan som ¨ar parallellt med b¨agge linjerna och s˚adant att de tv˚a linjerna ligger p˚a olika sidor om
planet. (2 p)
K¨alla: SF1624:KS1:101208:3 24. L˚at W vara planet i R3 som ges av ekvationen 3x + 2y + z = −6 och l˚at P vara punkten
med koordinater (1, 2, 1).
(a) Best¨am en ekvation f¨or ett plan U som ¨ar parallellt med W och som g˚ar genom
punkten P . (2 p)
(b) Best¨am avst˚andet mellan planet W och punkten P . (2 p) K¨alla: SF1624:KS1:110131:3 25. L˚at de tre vektorerna ~u, ~v och ~w ges av
~ u =
1 1 2
, ~v =
−1 2 0
och w =~
−2 1 3
.
(a) Ber¨akna vektorprodukten, ~u × ~v. (2 p)
(b) Best¨am den ortogonala projektionen av ~w p˚a ~u. (2 p) K¨alla: SF1624:KS1:110912:2 26. Best¨am en ekvation f¨or det plan som best˚ar av punkter med lika l˚angt avst˚and till punkten A = (−1, 1, 2) som till punkten B = (1, 5, −4). (Ledning: Mittpunkten p˚a str¨ackan mellan
A och B ligger i planet.) (4 p)
K¨alla: SF1624:KS1:110912:3 27. De tre punkterna A = (2, 4, −3), B = (1, 0, 1) och C = (3, −2, 3) bildar en triangel i
rummet.
(a) Ber¨akna vektorprodukten av vektorerna ~u =−→
AB och ~v =−→
AC (2 p)
(b) Anv¨and resultatet i (a) f¨or att ber¨akna arean av triangeln. (2 p) K¨alla: SF1624:KS1:110923:2
28. Best¨am sk¨arningspunkten mellan planet med ekvation x + 2y + 4z − 5 = 0 och den linje som passerar genom punkterna (1, 1, 1) och (4, 0, 1). (4 p) K¨alla: SF1624:KS1:110923:3 29. Skriv om m¨ojligt vektorerna
~ u =
1 1 2
och w =~
2 2 1
som linj¨arkombinationer av vektorerna
f =~
0 1 3
och ~g =
2 0
−5
.
(4 p) K¨alla: SF1624:KS1:111014:2 30. Best¨am en ekvation f¨or det plan som g˚ar genom punkten P = (2, 3, 0) och som inneh˚aller
linjen (x, y, z) = (1 − t, 2 − t, 3 + t). (4 p)
K¨alla: SF1624:KS1:111014:3 31. Tv˚a plan i rummet ges av ekvationerna 2x − 4y + 5z = 2 och 2x − y + 2z = 5.
(a) Sk¨arningen mellan de b˚ada planen ¨ar en linje. Best¨am en parameterframst¨allning av
denna linje. (3 p)
(b) F¨orklara varf¨or riktningsvektorn till sk¨arningslinjen kan ges som vektorprodukten av
normalvektorerna till planen. (1 p)
K¨alla: SF1624:KS1:111208:2 32. Best¨am en ekvation f¨or det plan som inneh˚aller linjen (x, y, z) = (t, 2t, 3t) och som ¨ar parallellt med linjen (x, y, z) = (1 + t, 1 − t, 3 − t). (4 p) K¨alla: SF1624:KS1:111208:3 33. En tetraeder ¨ar en tredimensionell kropp med fyra h¨orn och d¨ar sidorna ¨ar trianglar. De fyra punkterna O = (0, 0, 0), A = (1, 2, −3), B = (3, 1, 0) och C = (0, 2, 1) utg¨or h¨ornen i en tetraeder. Volymen av tetraedern kan ber¨aknas som en sj¨attedel av absolutbeloppet av trippelprodukten, (~u × ~v) · ~w, av de tre vektorer som g˚ar fr˚an ett av h¨ornen till de tre andra.
(a) Ber¨akna vektorprodukten av de tv˚a vektorerna ~u =−→
OA och ~v =−−→
OB (2 p)
(b) Ber¨akna volymen av den tetraeder som har h¨orn i punkterna O, A, B och C.
(2 p) K¨alla: SF1624:KS1:120130:2
34. L˚at H vara det plan som ges av ekvationen 3x + 4y + 5z = 0 och l˚at ~u =2
13
.
(a) Best¨am den ortogonala projektionen av ~u p˚a en normalvektor till planet H. (2 p) (b) Skriv vektorn ~u som en summa ~uH+~uN, d¨ar ~uH ligger i planet H och ~uN ¨ar vinkelr¨at
mot planet H. (2 p)
K¨alla: SF1624:KS1:120130:3 35. Best¨am en ekvation f¨or det plan som inneh˚aller punkterna (3, 5, 5) och (4, 5, 7) och som ¨ar vinkelr¨att mot planet med ekvation x + y + z − 7 = 0. (4 p) K¨alla: SF1624:Tentamen:111017:1 36. L˚at ~u vara en vektor i R3 med ett r¨atvinkligt koordinatsystem. Vinkeln mellan ~u och x- axeln ¨ar 60◦ och vinkeln mellan ~u och y-axeln ¨ar 45◦. Best¨am vinkeln mellen ~u och z-
axeln. (4 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:111017:8 37. Best¨am ett tredje h¨orn, C, i en triangel ABC i planet s˚a att arean av triangeln blir 10
areaenheter om A = (−1, 1) och B = (2, −3). (4 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:120109:1 38. N¨ar vi har en triangel i rummet kan vi med hj¨alp av ortogonal projektion p˚a de tre koordi-
natplanen xy-planet, xz-planet och yz-planet f˚a tre olika trianglar.
(a) Beskriv hur vi kan best¨amma arean av triangeln om vi k¨anner till areorna av de tre
projektionerna. (2 p)
(b) Illustrera metoden genom att ber¨akna arean av triangeln med h¨orn i punktern A = (1, 2, 3), B = (2, 2, 2) och C = (3, 1, 6) b˚ade direkt och genom areorna av de tre
projektionerna. (2 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:120109:7 39. L˚at H vara planet som ges av ekvationen 3x + 4y + 5z = 0, och l˚at L vara linjen som ges
av (3t, 4t, t) d¨ar t ¨ar en reell parameter.
(a) Den ortogonala projektionen av linjen L p˚a planet H ¨ar en linje L1 i planet. Best¨am
denna linje. (2 p)
(b) Det finns plan H1 s˚adana att sk¨arningen av H1 och planet H ¨ar linjen L1. Best¨am ett
s˚adant plan H1. (2 p)
K¨alla: SF1624:FX:120123:3 40. En linje (x, y, z) = (4 + 3t, 5t, t − 2) och ett plan med ekvation 2x + y − 2z − 3 = 0
¨ar givna. N¨ar linjen projiceras p˚a planet f˚as en ny linje som ligger i planet. Best¨am denna
linje. (4 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:120312:5
41. Inom datorgrafiken ¨ar ett av de grundl¨aggande problemen att projicera punkter i en tre- dimensionell scen p˚a en tv˚a-dimensionell datorsk¨arm. En vanlig projektionsmetod ¨ar att fr˚an den punkt Q i scenen som ska projiceras bilda en r¨at linje till en t¨ankt betraktare E.
Den punkt Q0 d¨ar linjen sk¨ar sk¨armens plan ¨ar projektionspunkten av Q. I sk¨armens plan inf¨ors ett koordinatsystem genom att v¨alja ett origo i punkten P och tv˚a basvektorer ~u1och
~ u2.
u1 u2
P Q0
Q E
(a) Ange med hj¨alp av vektorerna−→
OP , ~u1 och ~u2 ett uttryck f¨or vektorn fr˚an origo O (i rummet) till en punkt Q0 som har koordinater (s1, s2) i sk¨armens koordinatsystem.
(1 p) (b) Anv¨and (a)-delen och linjen genom E och Q f¨or att skriva upp en vektorekvation f¨or punkten Q0. De tre obekanta i ekvationen kommer att vara s1, s2 och linjens
parameter. (1 p)
(c) Visa att punkten Q0 har koordinaterna
−→P E · (−−→ EQ × ~u2)
~u1· (−−→ EQ × ~u2)
,
−→P E · (−−→ EQ × ~u1)
~u2· (−−→ EQ × ~u1)
!
i sk¨armens koordinatsystem genom att ta skal¨arprodukten av ekvationen med−−→ EQ×~u1 respektive−−→
EQ × ~u2. (2 p)
K¨alla: SF1624:Tentamen:120312:8
