Möbiusavbildningar
Lars-Åke Lindahl
1 Inledning
Definition 1.1 Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad − bc 6 = 0. Då kallas avbildningen
Tz = az + b cz + d en Möbiusavbildning.
(Om ad − bc = 0 är täljaren en multipel av nämnaren, dvs Tz är konstant, och det fallet vill vi inte ha med i definitionen.)
Om c = 0 är Möbiusavbildningen T definierad för alla komplexa tal z, och om c 6 = 0 är den definierad för alla komplexa tal utom z = − d / c. Det är emellertid naturligt att utvidga definitionen av T så att Möbiusavbildningen blir definierad och kontinuerlig i hela det utvidgade komplexa talplanet b C = C ∪ { ∞ } . För c = 0 är lim
z→∞Tz = lim
z→∞(az + b) / d = ∞, så vi sätter T(∞) = ∞ i det fallet. För c 6 = 0 är däremot
z→∞
lim Tz = lim
z→∞az + b cz + d = a
c och lim
z→−d/c
Tz = lim
z→−d/c
az + b cz + d = ∞, så vi utvidgar T genom att sätta T(∞) = a / c och T( − d / c) = ∞.
På så sätt är Möbiusavbildningen T definierad i det utvidgade komplexa talplanet i samtliga fall. Avbildningen T : bC → C är bijektiv; inversen fås genom att lösa ekvationen b
w = Tz, vilket ger
z = T
−1w =
− dw + b
cw − a , om w 6 = a / c, w 6 = ∞
∞ , om w = a / c
− d / c, om w = ∞
(vilket även stämmer i fallet c = 0 förutsatt att a / 0 och − d / 0 tolkas som ∞.). Inversen T
−1är således också en Möbiusavbildning.
Om S och T är två Möbiusavbildningar, säg Tz = az + b
cz + d och Sz = kz + l
mz + n ,
så är sammansättningen
S(Tz) = kTz + l
mTz + n = k
az+bcz+d+ l m
az+bcz+d+ n förstås också en Möbiusavbildning.
En Möbiusavbildning är entydigt bestämd så snart man känner dess värden i tre punkter. För att visa detta betraktar vi först följande specialfall:
Lemma 1.2 Antag att Möbiusavbildningen T har mer än två fixpunkter i bC. (z
0kallas en fixpunkt om Tz
0= z
0.) Då är T lika med den identiska avbildningen I ( Iz = z för alla z.) Bevis. z
0∈ C är en fixpunkt till Tz = az + b
cz + d om och endast om cz
20+ (d − a)z
0− b = 0.
Detta är en andragradsekvation i z
0med högst två lösningar i C såvida inte alla koeffici- enterna i ekvationen är noll, dvs. såvida inte c = b = 0 och a = d, vilket betyder att Tz = z för alla z.
Återstår att betrakta möjligheten att ∞ är en fixpunkt. I så fall måste c = 0, och vi har att göra med en avbildning på formen Tz = az + b. (Vi kan naturligtvis utan inskränkning anta att d = 1.) z
0∈ C är fixpunkt till denna avbildning om och endast om (a − 1)z
0+ b = 0. Om det förutom ∞ finns mer än en fixpunkt, så är därför a = 1 och
b = 0, dvs. T = I . t u
Sats 1.3 Antag att Möbiusavbildningarna S och T är lika i tre punkter i det utvidgade komplexa talplanet. Då är S = T .
Bevis. Om Sz
i= Tz
i, i = 1, 2, 3, så är T
−1Sz
i= z
i, dvs. den sammansatta Möbiusav- bildningen T
−1S har (minst) tre fixpunkter och måste därför vara lika med den identiska
avbildningen, vilket medför att T = S. t u
Övningar
1. Bestäm samtliga fixpunkter till Möbiusavbildningarna a) w = z − 1
z + 1 b) w = iz + 2 c) w = z + 2
2. Bestäm inversen till avbildningarna a) w = z − 1
z + 1 b) w = 2z − i
iz + 2
2 Bilden av cirklar och linjer under Möbiusavbildningar
Vi skall studera Möbiusavbildningarnas avbildningsegenskaper. Det är då ofta praktiskt att uppfatta w = Tz som en avbildning från ett komplext z-plan till ett w-plan.
Låt oss först notera några viktiga specialfall.
För a = d = 1, c = 0 fås Möbiusavbildningen w = z + b, som kallas en translation.
Bilden av en figur i z-planet fås genom att translatera den med vektorn b. Uppenbarligen
avbildar translationer räta linjer på räta linjer och cirklar på cirklar.
2 Bilden av cirklar och linjer under Möbiusavbildningar 3 För b = c = 0, d = 1, a 6 = 0 får vi Möbiusavbildningen w = az. Om | a | = 1, dvs.
a = e
iθ, är avbildningen en rotation vinkeln θ kring origo. Om istället a är ett reellt positivt tal, så är w = az en likställighetsavbildning med 0 som centrum − en linjär förstoring om a > 1 och en linjär förminskning om a < 1. Ett godtyckligt komplext nollskilt tal a kan skrivas på formen a = | a | e
iθ, varför avbildningen w = az = | a | e
iθz allmänt är en rotation kring origo följd av en likställighetsavbildning.
Det är uppenbart att avbildningen Tz = az avbildar varje cirkel med origo som centrum på en cirkel med origo som centrum och varje rät linje genom origo på en rät linje genom origo. Låt Γ vara en godtycklig cirkel med centrum i punkten z
0. Eftersom az = a(z − z
0) + az
0kan T uppfattas som sammansatt av först translationen Sz = z − z
0, sedan T själv och slutligen translation Uz = z + az
0. Translationen S flyttar cirkeln Γ till en cirkel med origo som medelpunkt, och denna avbildas av T på en ny cirkel kring origo, vilken slutligen av U translateras till en cirkel med az
0som medelpunkt. Det följer att avbildningen Tz = az avbildar godtyckliga cirklar på cirklar, och på motsvarande sätt inses att godtyckliga räta linjer avbildas på räta linjer.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
b
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
θ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
... ...
z
kz
Figur 1
I figuren illustreras hur en cirkel avbildas på en cirkel av respektive en translation Tz = z + b, en rotation Tz = e
iθz och en likställighetsavbildning Tz = kz.
Det sista specialfall som vi skall betrakta är Möbiusavbildningen Tz = 1 / z som kallas en inversion. Allteftersom | z | är < 1, = 1 och > 1 är | Tz | > 1, = 1 och < 1, så det är uppenbart att inversionen avbildar enhetscirkeln på sig själv, området innanför enhetscirkeln på området utanför och vice versa.
Vi skall nu se hur inversionen avbildar en godtycklig cirkel resp. rät linje. Vi börjar då med att skriva cirkelns respektive linjens ekvation på "komplex" form. Cirkeln med centrum i z
0och radie r har ekvationen
| z − z
0| = r, vilket ekvivalent kan skrivas
r
2= (z − z
0)(z − z
0) = | z |
2− z
0z − z
0z + | z
0|
2, dvs.
(1) | z |
2− z
0z − z
0z + k = 0,
där det reella talet k (= | z
0|
2− r
2) skall vara < | z
0|
2. Om vi nu multiplicerar ekvationen med en nollskild reell konstant a kan vi ekvivalent skriva (1) på formen
a | z |
2− az
0z − az
0z + ak = 0.
Sätt slutligen b = − az
0och c = ak. Om vi noterar att villkoret k < | z
0|
2är ekvivalent
med att ac = a
2k < | b |
2, så har vi visat cirkeldelen av följande sats.
Sats 2.1 Ekvationen
(2) a | z |
2+ bz + bz + c = 0,
där a och c är reella tal, b är ett komplext tal och ac < | b |
2, betyder (i) en cirkel om a 6 = 0;
(ii) en rät linje om a = 0.
Omvänt har varje cirkel och varje rät linje en ekvation av ovanstående typ.
Det återstår att betrakta den räta linjens ekvation, som ju allmänt kan skrivas på formen
2Ax + 2By + C = 0,
där koefficienterna är reella och minst en av A och B är skild från noll. Med z = x + iy, dvs. x = (z + z) / 2, y = (z − z) / 2i insatt i linjens ekvation får vi
(A − iB)z + (A + iB)z + C = 0.
Om vi nu sätter a = 0, b = (A − iB) och c = C, så får vi den sökta ekvationen. Villkoret ac < | b |
2blir i det här fallet ekvivalent med att b 6 = 0. t u Betrakta nu bilden av cirkeln resp. den räta linjen (2) under inversionen w = 1 / z.
Insättning av z = 1 / w i ekvationen ger
a /| w |
2+ b / w + b / w + c = 0, eller efter multiplikation med | w |
2= ww,
(3) c | w |
2+ bw + bw + a = 0.
Om (2) är en cirkel som inte går genom origo, så är c 6 = 0, och då är också (3) ekvationen för en cirkel, dvs. bilden under inversionen av cirkeln (2) är i detta fall också en cirkel.
Om (2) är en cirkel genom origo, så är c = 0 och (3) är i detta fall ekvationen för en rät linje.
Om (2) är ekvationen för en rät linje genom origo, dvs. a = c = 0, b 6 = 0, så är (3) också ekvationen för en rät linje genom origo.
Om slutligen (2) är ekvationen för en rät linje, som inte går genom origo, dvs. a = 0, b 6 = 0, c 6 = 0, så är (3) ekvationen för en cirkel, som går genom origo.
Vi har därmed visat följande lemma.
Lemma 2.2 Under inversionen w = 1 / z avbildas cirklar på cirklar eller räta linjer, och räta linjer på räta linjer eller cirklar.
Exempel 2.3. Inversionen w = 1 / z avbildar uppenbarligen reella axeln i z-planet på reella axeln i w-planet. Vi skall undersöka vad bilden av cirkeln Γ: | z − i | = 1 blir. För den skull räcker det att bestämma bilden av tre punkter på cirkeln, t.ex. punkterna 0, 1 + i och 2i. Dessa avbildas i tur och ordning på punkterna ∞,
12−
2ioch −
2i. Det följer att bilden av cirkeln Γ är lika med den räta linjen genom dessa tre punkter, dvs. linjen
Im w = −
12. t u
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
... ...
i 1 z
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
.
w
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
i 1
...
... ...
...
... ...
Figur 2
Bilder av cirklar under inversionen w = 1 / z.
3 Dubbelförhållande 5 Låt oss använda "cirkel" inom citationstecken som samlingsnamn för cirkel eller rät linje. Satsen ovan kan då formuleras som att inversionen avbildar varje "cirkel" på en "cir- kel". Samma sak gäller som vi tidigare sett för translationer, rotationer och likställighets- avbildningar. Vi skall strax visa att motsvarigheten gäller för alla Möbiusavbildningar.
Först noterar vi följande hjälpsats.
Lemma 2.4 Varje Möbiusavbildning kan skrivas som en sammansättning av translationer, rotationer, likställighetsavbildningar och inversioner.
Bevis.
Tz = az + b cz + d = a
c + bc − ad c
21 z + d / c .
Detta visar att Möbiusavbildningen Tz i tur och ordning är sammansatt av translationen u = z + d / c, inversionen v = 1 / u, rotations- och likställighetsavbildningen w =
bc−adc2v
samt translationen w + a / c. t u
Nu kommer det här avsnittets huvudresultat.
Sats 2.5 Varje Möbiusavbildning avbildar "cirklar" på "cirklar".
Bevis. Följer omedelbart av lemmat plus vad vi visat om de speciella avbildningarna translation, rotation, likställighetsavbildning och inversion. t u Varje "cirkel" är rand till två öppna sammanhängande områden − en rät linje till två halvplan och en "riktig" cirkel till en cirkelskiva och området utanför cirkeln. Eftersom Möbiusavbildningar är kontinuerliga och bijektiva, och kontinuerliga avbildningar av- bildar sammanhängande områden på sammanhängande områden, följer det lätt att en Möbiusavbildning T avbildar ett område Ω som har en "cirkel" Γ som rand på ett av de två områden som har bild"cirkeln" T(Γ) som rand.
Exempelvis avbildar inversionen w = 1 / z den öppna enhetsskivan | z | < 1 på det yttre av enhetscirkeln, dvs. | w | > 1, och i exempel 2.3 fann vi att cirkeln | z − i | = 1 avbildas på den räta linjen Im w = −
12. För att bestämma bilden av cirkelskivan | z − i | < 1 räcker det därför att undersöka bilden av en enda punkt i cirkelskivan, t.ex. bilden av medelpunkten i. Eftersom i avbildas på − i, som ligger under linjen Im w = −
12, avbildas cirkelskivan | z − i | < 1 på halvplanet Im w < −
21. Naturligtvis avbildas området utanför cirkeln på det andra halvplanet.
Övningar
3. Bestäm medelpunkt och radie för cirkeln | z |
2− (1 − i)z − (1 + i)z − 2 = 0.
4. Bestäm bilden under Möbiusavbildningen w = z − i z + i av
a) imaginära axeln Re z = 0 b) halvplanet Re z > 0 c) reella axeln Im z = 0 d) halvplanet Im z > 0 e) enhetscirkeln | z | = 1.
3 Dubbelförhållande
Givet två "cirklar", Γ
1och Γ
2, så finns det Möbiusavbildningar som avbildar Γ
1på Γ
2.
Vi skall visa detta samt hur man enkelt konstruerar sådana avbildningar. Ett mycket
användbart hjälpmedel definieras först.
Definition 3.1 Om z
1, z
2, z
3är tre skilda punkter i b C, och z är en godtycklig punkt så sätter vi
(z, z
1, z
2, z
3) = z − z
1z − z
3· z
2− z
3z
2− z
1.
Här skall högerledet tolkas på naturligt sätt om någon av punkterna är oändlighetspunk- ten, nämligen
(z, z
1, z
2, z
3) =
z
2− z
3z − z
3, om z
1= ∞ z − z
1z − z
3, om z
2= ∞ z − z
1z
2− z
1, om z
3= ∞.
(z, z
1, z
2, z
3) kallas dubbelförhållandet eller krysskvoten av de fyra punkterna.
Som funktion av z är förstås Sz = (z, z
1, z
2, z
3) en Möbiusavbildning. Det följer omedelbart ur definitionen att
Sz
1= 0, Sz
2= 1, Sz
3= ∞.
Vidare är krysskvoten S enligt sats 1.3 den unika Möbiusavbildning som avbildar de tre givna punkterna z
1, z
2, z
3på punkterna 0, 1 resp. ∞. Vi använder detta för att visa följande sats.
Sats 3.2 Givet en trippel z
1, z
2, z
3av skilda punkter i bC och en annan trippel w
1, w
2, w
3av skilda punkter i bC, så finns det en unik Möbiusavbildning T som uppfyller Tz
i= w
i, i = 1, 2, 3. Avbildningen w = Tz fås genom att lösa ekvationen
(w, w
1, w
2, w
3) = (z, z
1, z
2, z
3).
Bevis. Enligt sats 1.3 finns det högst en sådan avbildning. Vi skall visa att det finns exakt en avbildning genom att konstruera den. Sätt
Sz = (z, z
1, z
2, z
3), Uw = (w, w
1, w
2, w
3) och Uw = Sz.
Då vi löser den sista ekvationen får vi
w = U
−1Sz.
Den sammansatta avbildningen T = U
−1S är en Möbiusavbildning och har de sökta egenskaperna, ty
U
−1Sz
1= U
−10 = w
1, U
−1Sz
2= U
−11 = w
2, U
−1Sz
3= U
−1∞ = w
3.
t u Exempel 3.3. Bestäm den Möbiusavbildning som avbildar 1, − 1 och i på i tur och ordning ∞, 0 och 1.
Lösning: Vi skall lösa ekvationen
(w, ∞, 0, 1) = (z, 1, − 1, i),
4 Konjugerade punkter 7 dvs.
w − ∞
w − 1 · 0 − 1 0 − ∞ =
z − 1
z − i · − 1 − i
− 1 − 1
− w 1
− 1 = 1 + i
2 · z − 1 z − i w = i z + 1
z − 1 t u
Tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet bestämmer en unik "cirkel".
(Om punkterna inte ligger i rät linje är det en riktig cirkel, om punkterna ligger i rät linje eller om den ena punkten är oändlighetspunkten är "cirkeln" en rät linje.) Av satsen ovan samt resultatet att "cirklar" avbildas på "cirklar" följer därför att det givet två "cirklar"
finns Möbiusavbildningar som avbildar den ena på den andra.
Exempel 3.4. Bestäm en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på enhetscirkeln
| w | = 1.
Lösning: Reella axeln är bestämd av t. ex. punkterna 0, 1 och ∞, och enhetscirkeln av t.
ex. punkterna 1, i och − 1. Vi får därför en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på enhetscirkeln genom att bestämma den (unika) Möbiusavbildning som avbildar de tre givna punkterna på reella axeln på de tre punkterna på enhetscirkeln:
(w, 1, i, − 1) = (z, 0, 1, ∞) w − 1
w + 1 · i i + 1
− 1 = z.
Efter förenkling fås
w = i − z i + z .
t u Dubbelförhållandet har många trevliga egenskaper − en är att det är invariant under Möbiusavbildningar:
Sats 3.5 Låt z
1, z
2, z
3vara tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet och låt T vara en godtycklig Möbiusavbildning. Då är
(Tz, Tz
1, Tz
2, Tz
3) = (z, z
1, z
2, z
3) för alla z.
Bevis. Satsen kan naturligtvis verifieras genom att ansätta en godtycklig Möbiusavbild- ning T och sedan göra en rättfram uträkning. Enklare och elegantare är det emellertid att resonera på följande vis. Sätt
Uz = (Tz, Tz
1, Tz
2, Tz
3) och Vz = (z, z
1, z
2, z
3).
Både U och V är Möbiusavbildningar, och per definition är Uz
1= Vz
1= 0, Uz
2= Vz
2= 1 och Uz
3= Vz
3= ∞, dvs. U och V är lika för tre skilda punkter, och därför är
avbildningarna identiska. t u
Övningar
5. Bestäm den Möbiusavbildning som avbildar 1 på 1, i på − i och 0 på ∞.
6. Visa att z ligger på "cirkeln" genom de tre skilda punkterna z
1, z
2, z
3om och endast
om dubbelförhållandet (z, z
1, z
2, z
3) är reellt.
4 Konjugerade punkter
Vi vet alla vad som menas med spegling i en rät linje. Eftersom räta linjer är specialfall av det allmännare begreppet "cirklar", bör det finnas en utvidgning av speglingsbegreppet till spegling i en cirkel. Den närmaste uppgiften är att göra denna utvidgning och på ett sådant sätt att begreppet blir invariant under Möbiusavbildningar. I så fall finns det bara en möjlighet: För att konstruera "spegelbilden" z
∗0av en punkt z
0med avseende på cirkeln Γ bestämmer vi först en Möbiusavbildning T som avbildar cirkeln på en rät linje L, betraktar sedan bilden w
0= Tz
0och konstruerar dess spegelbild w
00med avseende på linjen L, samt avbildar tillbaka med T
−1och definierar z
∗0som T
−1w
00. Vi har emellertid en del verifikationer att göra för att inse att definitionen är entydig och börjar med följande lemma.
Lemma 4.1 En Möbiusavbildning T avbildar reella axeln R på sig själv om och endast om
(*) Tz = Tz
gäller för alla z ∈ C b .
Bevis. Antag först att villkoret (*) är uppfyllt. Då är speciellt Tx = Tx för alla reella x, dvs. Tx är reellt för alla reella x, och detta visar att T avbildar reella axeln på sig själv.
Låt omvänt T vara en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på sig själv, och låt speciellt x
1, x
2, x
3vara de punkter på reella axeln (inklusive ∞) som avbildas på 0, 1 och ∞. Möbiusavbildningen är då
Tz = (z, x
1, x
2, x
3) = az + b cz + d
där koefficienterna a, b, c och d är rationella uttryck i x
1, x
2och x
3, och därför är reella tal. Det följer att
Tz = az + b
cz + d = az + b cz + d
= Tz.
t u Lemma 4.2 Låt Γ vara en godtycklig "cirkel", och låt S och T vara två Möbiusavbildningar som avbildar Γ på reella axeln. Då är
S
−1Sz = T
−1Tz för alla z ∈ C b .
Bevis. Den sammansatta Möbiusavbildningen ST
−1avbildar reella axeln på sig själv, varför
ST
−1w = ST
−1w
gäller för alla w enligt föregående lemma. Sätt in w = Tz; vi får då ST
−1Tz = ST
−1Tz = Sz
T
−1Tz = S
−1Sz
Därmed är beviset klart. t u
Vi kan nu ge vår definition. Istället för spegling kallar vi operationen konjugering.
4 Konjugerade punkter 9 Definition 4.3 Låt Γ vara en "cirkel" och låt z vara en godtycklig punkt. Punkten z
∗kallas konjugerad till z med avseende på Γ om
z
∗= T
−1Tz,
där T är en godtycklig Möbiusavbildning som avbildar Γ på reella axeln.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
.
•
•
•
•
•
z
z
∗Tz
...
Tz
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.... ...
...
...
...
T
T
−1Γ
T(Γ)
Figur 3
Illustration till Definition 4.3
Definitionen är på grund av lemma 4.2 entydig, dvs. z
∗beror inte på valet av Möbiusavbildning som avbildar Γ på reella axeln.
Observera att definitionen kan skrivas Tz
∗= Tz.
Om vi skall bestämma den konjugerade punkten z
∗∗till z
∗, så kan vi naturligtvis använda samma Möbiusavbildning T och vi får då
Tz
∗∗= Tz
∗= Tz = Tz.
Det följer att
z
∗∗= z,
dvs. konjugering är en symmetrisk egenskap − om punkten z
2är konjugerad till punkten z
1med avseende på en "cirkel", så är också z
1konjugerad till punkten z
2med avseende på samma "cirkel".
Om Γ är reella axeln, så kan vi som Möbiusavbildning T välja den identiska av- bildningen, varför definitionen ger z
∗= z. Konjugering med avseende på reella axeln överenstämmer således med vanlig komplex konjugering, dvs. med spegling.
Exempel 4.4 (Konjugering med avseende på en rät linje). En rät linje L är bestämd av två komplexa tal a och b samt oändlighetspunkten. Låt oss avbilda L på reella axeln med den avbildning T som sänder a till 0, b till 1 och ∞ till ∞. Motsvarande avbildning är
w = Tz = (z, a, b, ∞) = z − a b − a . Om z och z
∗är konjugerade, dvs. Tz
∗= Tz, så är därför
z
∗− a
b − a = z − a
b − a .
Genom att ta absolutbeloppet resp. argumentet av båda sidor ser vi att
| z
∗− a | = | z − a | och
arg (z
∗− a) − arg (b − a) = arg (z − a) − arg (b − a) = − (arg (z − a) − arg (b − a)).
Ovanstående gäller för alla punkter a på linjen L. Det följer därför av den första relationen att z och z
∗har samma avstånd till linjen och av den andra att de ligger på olika sidor om linjen. Punkterna z och z
∗är med andra ord varandras spegelpunkter i linjen L. t u
...
...
...
...
....
...
•
•
•
•
•
•
•
a
a b
z
z z
∗z
∗L Γ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
Figur 4
Konjugering med avseende på en linje resp. en cirkel.
Exempel 4.5 (Konjugering med avseende på en cirkel). Låt Γ vara cirkeln | z − a | = R, som vi avbildar på reella axeln genom att sända punkterna a + R, a + iR och a − R i tur och ordning på 0, 1 och ∞ med Möbiusavbildningen
w = Tz = (z, a + R, a + iR, a − R) = − i z − a − R z − a + R . Konjugeringsdefinitionen Tz
∗= Tz resulterar i ekvationen
(**) − i z
∗− a − R
z
∗− a + R = i z − a − R z − a + R , vilken efter förenkling blir
(z
∗− a)(z − a) = R
2för alla z utom a och oändlighetspunkten. Ytterligare omskrivning ger z
∗− a = R
2z − a = R
2| z − a |
2(z − a).
Härav kan vi utläsa att de konjugerade punkterna z och z
∗ligger på samma stråle (förlängda radie) från cirkelns medelpunkt samt att
| z
∗− a || z − a | = R
2.
Dessa båda villkor bestämmer naturligtvis den konjugerade punkten entydigt. Om spe- ciellt z ligger på cirkelns periferi så att | z − a | = R, så blir z
∗= z.
Om slutligen z = a, så är högerledet av (**) lika med − i, och det följer att z
∗= ∞. Vi har med andra ord a
∗= ∞ och ∞
∗= a, dvs. cirkelns medelpunkt och oändlighetspunkten
är ett par av konjugerade punkter. t u
Konjugering är invariant under Möbiusavbildningar. Vi har nämligen följande sats.
4 Konjugerade punkter 11 Sats 4.6 Antag att Möbiusavbildningen T avbildar "cirkeln" Γ på "cirkeln" Γ
0, och låt z och z
∗vara konjugerade med avseende på Γ . Då är bildpunkterna Tz och Tz
∗konjugerade med avseende på bild"cirkeln" Γ
0.
Bevis. Låt S avbilda Γ på reella axeln. Då avbildar ST
−1Γ
0på reella axeln. Per definition är Sz
∗= Sz, och härav följer (ST
−1)(Tz
∗) = (ST
−1)(Tz), vilket bevisar att Tz
∗och Tz är konjugerade. t u
Sats 4.7 Låt z
0, z
00och z
1vara tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet. Då finns det en unik "cirkel" Γ genom punkten z
1så att punkterna z
0och z
00är konjugerade med avseende på Γ.
Bevis. Betrakta först specialfallet z
0= 0, z
00= ∞ och z
1= 1. Punkterna 0 och ∞ är konjugerade med avseende på en "cirkel" om och endast om "cirkeln" är en riktig cirkel med 0 som medelpunkt, och det finns förstås en unik sådan som passerar genom punkten 1, nämligen enhetscirkeln C: | z | = 1.
Betrakta nu det allmänna fallet och låt T vara den unika Möbiusavbildning som avbildar z
0, z
00och z
1på 0, ∞ och 1. Punkterna z
0och z
00är enligt föregående sats konjugerade med avseende på "cirkeln" Γ genom z
1om och endast om bildpunkterna 0 och ∞ är konjugerade med avseende på bildcirkeln T(Γ) genom 1. Det följer av avsnittet ovan att T(Γ) = C, dvs. det finns en unik sådan "cirkel", nämligen Γ = T
−1(C). t u Det följer av föregående sats att bilden av en "cirkel" under en Möbiusavbildning T är entydigt bestämd av Tz
0, Tz
∗0och Tz
1, där z
0och z
∗0är ett par av konjugerade punkter och z
1är en punkt på cirkeln. Detta är en egenskap som är mycket användbar för att konstruera Möbiusavbildningar med önskvärda avbildningsegenskaper.
Exempel 4.8. Vi skall bestämma samtliga Möbiusavbildningar som avbildar enhets- skivan | z | < 1 på det övre halvplanet Im w > 0 så att z = 0 avbildas på w = i.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
• •
•
•
•
1 a
i
− i
∞
...
...
...
...
... ...
...
...
... ...
....
...
.... ...
.. .. .. .
.. .. .. ..
.. .. .. .. .
.. .. .. ..
.. .. .. .. .
.. .. .. ..
.. .. .. .. .
.. .. .. ..
.. .. .. .
. .. .
. ..
. . .. .. .. .
. .. .. .
. . ..
. .. .. . ...
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. .. ..
Figur 5
Lösning: Cirkeln | z | = 1 måste avbildas på reella axeln. Vi observerar vidare att den till cirkelns medelpunkt 0 konjugerade punkten ∞ måste avbildas på den till i konjugerade punkten med avseende på reella axeln, dvs. på spegelpunkten − i. Slutligen måste punk- ten 1 på cirkeln avbildas på en punkt a på reella axeln (inklusive oändlighetspunkten).
Detta ger oss alla möjliga avbildningar. Med hjälp av dubbelförhållanden får vi:
(z, 0, 1, ∞) = (w, i, a, − i) z = w − i
w + i · a + i a − i , vilket efter förenkling kan skrivas
w = i a + i + (a − i)z
a + i − (a − i)z .
(Speciellt fås avbildningen w = i 1 − z
1 + z för a = 0 och avbildningen w = i 1 + z
1 − z för a = ∞.) t u Exempel 4.9. Bestäm alla Möbiusavbildningar som avbildar enhetsskivan | z | < 1 på enhetsskivan | w | < 1.
Lösning: Avbildningen är entydigt bestämd om vi vet vilka punkter som avbildas på 0, 1 och ∞. Låt b vara den punkt som avbildas på 0. Eftersom ∞ är konjugerad till 0, måste b
∗avbildas på ∞, och enligt exempel 4.5 är b
∗= 1 / b . Låt slutligen c vara den punkt på cirkeln som avbildas på 1. Vi har då
w = (w, 0, 1, ∞) = (z, b, c, b
∗) = z − b
z − 1 / b · c − 1 / b
c − b = z − b
1 − bz · 1 − bc c − b . Låt oss studera den sistnämnda faktorn. Vi har, eftersom | c | = 1,
1 − bc c − b
=
c − b | c |
2c − b
=
c − b c − b = 1, varför
1 − bc c − b = e
iθ. Det följer att
w = e
iθz − b 1 − bz ,
där | b | < 1 och θ är reellt, är det allmänna utseendet på en Möbiusavbildning som avbildar enhetsskivan på sig själv. (Det stämmer även i fallet b = 0 då härledningen blir något annorlunda (enklare) på grund av att b
∗= ∞ i det fallet.) t u
Övningar
7. Bestäm den konjugerade punkten till i med avseende på
a) linjen Re z = Im z b) cirkeln | z | = 2 c) cirkeln | z | = 1 d) cirkeln | z − 1 | = 1
8. Bestäm en Möbiusavbildning som avbildar | z | < 2 på sig själv så att i avbildas på 0, och 2i avbildas på sig själv.
9. Möbiusavbildningen T avbildar cirkeln | z | = 2 på reella axeln och i på sig själv.
Vilken punkt avbildas på − i?
10. De två punkterna z
0och z
0∗är konjugerade med avseende på "cirkeln" Γ . "Cirkeln"
C går genom dessa punkter och skär Γ i punkten z
1(och ytterligare en punkt). En Möbiusavbildning T avbildar z
0på 0, z
∗0på ∞ och z
1på 1. Vad är bilderna av Γ och C under Möbiusavbildningen T ?
11. Möbiusavbildningen T avbildar − i på 0, 1 på 1 och i på ∞. Vad är bilden av
sträckan från − i till i på imaginära axeln?
5 Konformitet 13
5 Konformitet
Betrakta Möbiusavbildningen
Tz = az + b cz + d .
Eftersom T är analytisk och bijektiv i C \ {− d / c } följer det att T
0(z) 6 = 0. Genom direkt uträkning får vi också
T
0(z) = ad − bc (cz + d)
26 = 0.
En Möbiusavbildning är därför speciellt en konform avbildning, dvs. om γ
1och γ
2är två kurvor som skär varandra i en punkt z
0( 6 = − d / c) under vinkeln θ , så skär bildkurvorna T(γ
1) och T(γ
2) varandra under samma vinkel θ . Vidare behålls orienteringen.
Exempel 5.1. Betrakta avbildningen
w = Tz = 1 + z 1 − z ,
som avbildar − 1 på 0, 0 på 1 och 1 på ∞. Det följer att T avbildar reella axeln på reella axeln och sträckan [ − 1, 1] på positiva reella axeln. Enhetscirkeln måste avbildas på en
"cirkel" i w-planet. Eftersom enhetscirkeln skär reella axeln under rät vinkel i punkten
− 1 måste bild"cirkeln" skära bilden av reella axeln, dvs. reella axeln under rät vinkel i punkten T( − 1) = 0. Vidare måste bild"cirkeln" vara en rät linje, eftersom bildcirkeln innehåller punkten T(1) = ∞. Den enda räta linje, som skär reella axeln under rät vinkel i origo är den imaginära axeln, så slutsatsen är att enhetscirkeln avbildas på den imaginära axeln.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
• •
• • •
1
1
− 1 ∞
...
...
...
...
... ... ...
...
... ...
....
...
.. ...
....
Figur 6
Vi kan också direkt avläsa bilden av halvcirkeln { z : | z | = 1, Im z ≥ 0 } , dvs av den del av enhetscirkeln som ligger i det slutna övre halvplanet. Vinkeln mellan den reella axeln och denna halvcirkel vid skärningspunkten − 1 är +90
◦, så det följer att vinkeln mellan bildkurvorna också är +90
◦. Eftersom − 1 avbildas på 0 och 1 på ∞ blir slutsatsen att halvcirkeln avbildas på den del av den imaginära axeln som ligger i det
övre halvplanet. t u
Exempel 5.2. Betrakta de båda cirklarna | z | = 1 och | z −
12| =
12.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
•
•
• •
• •
1
•− 1 i
1 i
...
∞
...
...
...
...
... ...
... ..
...
.. ...
...
.. ...
.. .. .. .
.. .. .. ..
.. .. .. .. .
.. .. .. ..
.. .. .. .. . .. .. .. . .. .
.. ...
.. .. .. . .. .
.. ...
. . . . . . . .. . . .. . .. . .. .. .
. .. .
. . . . . . . . . .
. . . .. . . . ....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
