Linjär Algebra, inriktning Industriell ekonomi 180312

Linjär Algebra

7,5 högskolepoäng

Totalt antal poäng på tentamen: 50 poäng.

För att få respektive betyg krävs: För betyget 3 krävs minst 20 poäng. För betyget 4 krävs minst 30 poäng. För betyget 5 krävs minst 40 poäng.

Nästkommande tentamenstillfälle:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Lycka till!

Ansvarig lärare:

Uppgift 1. Låt 𝒂𝒂 = �−3 2 0� och 𝒃𝒃 = � 5 2 −1�. Beräkna ‖𝒂𝒂 − 2𝒃𝒃‖. (2p)

Uppgift 2. Låt 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 och 𝐶𝐶 vara matriserna

𝐴𝐴 = �1 1 −12 0 −2 4 −2 1�, 𝐵𝐵 = � 0 1 3 −1 0 2 1 3 4�, 𝐶𝐶 = �2 −41 3� a) Beräkna 𝐴𝐴𝐵𝐵 − 2𝐴𝐴𝑇𝑇 _(3p) b) Beräkna 𝐶𝐶3_𝐶𝐶−1 _(2p)

Uppgift 3. Antag att den utvidgande koefficientmatrisen [𝐴𝐴 | 𝒃𝒃] för ekvationssystemet 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝒃𝒃 har trappstegsformen: �∎ 0 ∗0 0 ∎ 0 0 0 ∗ ∗ ∎ ⋮ ⋮ ⋮ ∗ ∗ 0�

Är systemet konsistent? Om systemet är konsistent avgör isåfall om lösningen är entydig. Motivera! (2p) Uppgift 4. Lös ekvationssystemet � 𝐴𝐴𝐴𝐴11+ 2𝐴𝐴+ 𝐴𝐴22+ 𝐴𝐴 = 253 = 50 2𝐴𝐴1+ 2𝐴𝐴2+ 𝐴𝐴3 = 45 (4p)

Uppgift 6. Låt koefficientmatrisen 𝐴𝐴 och högerledet (kolumnvektorn) 𝒃𝒃 ges av A = � 10 21 45 −2 −4 −3�, 𝒃𝒃 = � −2 2 9�

a) Beräkna determinanten det (𝐴𝐴). (2p)

b) Bestäm inversen 𝐴𝐴−1_{. (4p)}

c) Använd inversen för att lösa ekvationssystemet 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝒃𝒃. (2p)

Uppgift 7. Betrakta en produktionsmodell (Leontiefs modell) 𝒙𝒙 = 𝐶𝐶𝒙𝒙 + 𝒅𝒅 där 𝐶𝐶 är en konsumtionsmatris och 𝒅𝒅 är en vektor som beskriver den slutgiltiga efterfrågan.

Bestäm produktionsvektorn 𝒙𝒙 så att produktionsmodellen ovan uppfylls.

(5p)

𝐶𝐶 = �3�5 1�5

0 1�₂�, = �1811�

Uppgift 8. Lös den binomiska ekvationen 𝑧𝑧3 = −1 + 𝑖𝑖 (5p)

Uppgift 9. Använd Gram-Schmidt processen för att producera en ortonormerad bas B. tillhörande 𝑹𝑹𝟑𝟑. 𝐵𝐵 = ��11 0� , � 1 2 0� , � 0 1 2� � (6p)

Tips: Gram Schmidts metod: � _𝒗𝒗 𝒗𝒗𝟏𝟏= 𝒙𝒙𝟏𝟏

𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟐𝟐−_𝒗𝒗𝒙𝒙𝟐𝟐_𝟏𝟏·𝒗𝒗_·𝒗𝒗𝟏𝟏_𝟏𝟏𝒗𝒗𝟏𝟏

Uppgift 10. Matrisen 𝐴𝐴 = �

1 −2 −2 4 −5 −2

8 −4 5� har ett egenvärde 𝜆𝜆1 = −3 och ett 𝜆𝜆2 = 3 samt en

egenvektor � −1 −1

1�. Bestäm övriga egenvärden och egenvektorer samt avgör om

matrisen är inverterbar. (5p)

Uppgift 11. Givet följande data: .

Bestäm en minsta kvadrat lösning genom att anpassa ett linjärt polynom 𝑝𝑝(𝐴𝐴) = 𝑐𝑐₀+ 𝑐𝑐₁𝐴𝐴 till data. Bestäm också det minsta kvadratfelet.

(5p)

x 0 3 6