Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK, M0030M Institutionen f¨ or matematik

(1)

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK, M0030M Institutionen f¨ or matematik

MS 31:a maj 2008.

Tid: 5 h

Hj¨ alpmedel: Inga

L¨ osningarna skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨ att att r¨ akningar och resonemang blir l¨ atta att f¨ olja. M¨ ark l¨ osningsbladen med namn och personnr.

1. a) Definiera vad som menas med att 3 st vektorer ¨ ar linj¨ art oberoende med hj¨ alp av

l¨ amplig vektorekvation. (1p)

b) Avg¨ or om f¨ oljande vektorer ¨ ar linj¨ art oberoende?



 2 3 5



 ,



 1

−2 3



 ,



 1 12

1 

 .

(2p) c) Antag att A och B ¨ ar matriser som har invers. L¨ os ut X i f¨ oljande matrisekvation med beaktande av r¨ akneregler f¨ or matriser. F¨ orenkla s˚ a l˚ angt m¨ ojligt.

AXB

^T

= B

^T

B

^T

st˚ ar f¨ or matrisen B transponerad. (2p)

2. a) Ber¨ akna arean av det begr¨ ansade omr˚ adet som begr¨ ansas av kurvorna y = x

²

− 1 och

y = 2(x − 1)

²

. (2p)

b) Ber¨ akna volymen av den kropp som uppst˚ ar n¨ ar omr˚ adet mellan kurvan y = 1 2x(x

²

+ 1)

och x-axeln, x ∈ [0, ∞) roteras runt y-axeln. (3p)

3. a) F¨ or vilka reella v¨ arden p˚ a talet a ¨ ar nedanst˚ aende ekvationssystem alltid l¨ osbart?

 



 

x

1

+ 3x

2

+ 4x

3

+ 2x

4

=0 2x

1

+ 5x

2

+ 10x

3

+ 5x

4

=0

3x

1

+ 9x

2

+ 12x

3

+ (a + 4)x

4

=b, b ∈ R.

(3p) b) Finns n˚ agot v¨ arde f¨ or b f¨ or att ekvationssystemet ovan alltid skall vara l¨ osbart oberoende av a? Om svaret p˚ a ovanst˚ aende fr˚ aga ¨ ar ja l¨ os ekvationssystemet i detta fall om a = 2.

(2p) 4. F¨ oljande tre punkter ligger i ett plan (1, 1, 1), (1, −1, 2), (−1, 1, 4).

a) Ber¨ akna planets ekvation. (3p)

b) Ber¨ akna planets avst˚ and till origo. (2p)

5. Ber¨ akna a)

Z x

²

+ 2

(x + 1)(x

²

+ 4x + 5) dx (4p)

b) Z

xe

^2x

dx (1p)

(2)

6. L¨ os en och endast en av f¨ oljande uppgifter A, B eller C.

A. a) Ange f¨ oruts¨ attningarna f¨ or att f¨ oljande p˚ ast˚ aende skall g¨ alla och bevisa resultatet.

F (x) = Z

x

a

f (t) dt = ⇒ F

⁰

(x) = f (x)

Ange dessutom i ditt bevis var f¨ oruts¨ attningarna anv¨ ands. (3p) b) Ber¨ akna d

dx Z

x

sin(x)

sin(t

²

)

t

²

dt, x > 0. (2p)

B. a) S¨ ok standardmatrisen f¨ or den linj¨ ara avbildning som projicerar godtyckliga vektorer i R

³

vinkelr¨ att ner i planet x + 2y + z = 0. Se fig nedan d¨ ar vektorn v projiceras p˚ a vektorn w. Tips: anv¨ and normalvektorn p˚ a ett kreativt s¨ att. (3p)

b) Bevisa att u × v = −v × u f¨or godtyckliga vektorer u, v ∈ R

³

. (2p) C. H¨ arled formeln f¨ or partiell integration samt h¨ arled formeln f¨ or substitution i en

best¨ amd integral. OBS. Exempel duger ej. (5p)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)