Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. (M0030M) Institutionen f¨ or matematik

(1)

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. (M0030M) Institutionen f¨ or matematik

MS 21:a december 2007.

Tid: 5 h

Hj¨ alpmedel: Inga

L¨ osningarna skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨ att att r¨ akningar och resonemang blir l¨ atta att f¨ olja. M¨ ark l¨ osningsbladen med namn och personnr.

1. a) Ange en parameterframst¨ allning av linjen

x + y + z = 2 3x − y = 1

(2p) b) Ovanst˚ aende linje sk¨ ar planet x − 2y + z = 0 i en punkt. Best¨am denna. (1p) c) Best¨ am avst˚ andet fr˚ an punkten P

1

= (1, 3, 2) till planet 2x − y + 3z = 3. (2p) 2. Ber¨ akna volymen av den kropp som uppst˚ ar d˚ a man roterar det begr¨ ansade omr˚ ade som

begr¨ ansas av x-axeln, och kurvan y = cos

²

(x

²

) samt 0 ≤ x ≤

(π/2) runt y-axeln. (5p) 3. a) Avg¨ or om vektorerna

v

1

=



 1 2 3



 , v

2

=



 3

−1 4



 , v

3

=



 −1 3/2

−1/2





¨

ar linj¨ art oberoende? (2p)

b) Best¨ am ett villkor p˚ a b

1

, b

2

, b

3

s˚ a att ekvationssystemet

x

1

v

1

+ x

2

v

2

= b, b =



 b

1

b

2

b

3



 ∈ R

³

, x

1

, x

2

∈ R

¨

ar l¨ osbart. (2p)

c) Kan en matris sp¨ anna upp R

⁴

eller kan inte en matris sp¨ anna upp R

⁴

? Motivera ditt

svar. (1p)

4. Ber¨ akna f¨ oljande.

a)

2 1

x

²

+ 4

(x + 1)(x

²

+ 1) dx. (4p)

b)

xe

^2x

dx. (1p)

5. a) L˚ at

A =



 1 2 a

0 a 2

1 −2 −a



 . F¨or vilka v¨arden p˚a a har ekvationen Ax = b, b ∈ R

³

,

en entydig l¨ osning? (2p)

b) Ber¨ akna A

⁻¹

f¨ or ovanst˚ aende matris d˚ a a = 1. (3p)

(2)

6. L¨ os en och endast en av f¨ oljande uppgifter A, B eller C.

A. Integralmedelv¨ ardet kan skrivas 1 b − a

b a

f (x) dx. Formulera och bevisa

integralkalkylens medelv¨ ardessats. Med formulera menas att f¨ oruts¨ attningarna f¨ or satsen

skall anges. (3p)

b) Visa genom exempel att matrismultiplikation inte ¨ ar kommutativ dvs att AB = BA

f¨ or matriser. (2p)

B. a) Formulera och bevisa formeln f¨ or partiell integration. (3p) b) Vilken deriveringsregel bygger substitutionsmetoden p˚ a? Motivera! (2p) C. a) S¨ att upp tv˚ a samband mellan pol¨ ara koordinater och rektangul¨ ara koordinater dvs.

x och y. (1p)

b) L˚ at T : R

²

→ R

²

vara en linj¨ ar avbildning som f¨ orst roterar en godtycklig vektor θ radi- aner moturs och sedan speglar vektorn i y-axeln. Best¨ am avbildningens standardmatris.

(4p)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. (M0030M) Institutionen f¨ or matematik