LULE˚ A TEKNISKA UNIVERSITET Institutionen f¨or matematik
Amneskod ¨ M0033M Tentamensdatum 2009–01–16 Skrivtid 9.00–14.00 Tentamen i M0033M Linj¨ ar algebra.
Antal uppgifter: 6 (5 po¨ang per uppgift).
Jourhavande l¨ arare: Staffan Lundberg. Telefon: 0920-49 18 69.
Resultat: Resultatet meddelas via studentportalen.
Betygsgr¨ anser: 14–23=G, 24–30=VG.
Till˚ atna hj¨alpmedel: Inga.
Till alla uppgifter skall fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, ekvationsl¨ osningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.
Enbart svar ger 0 po¨ ang.
1. Anv¨and Gausselimination f¨or att l¨osa systemet
2x + y + z = 5 4x − 6y = −2
−2x + 7y + 2z = 9 .
2. Ber¨akna det minsta avst˚ andet mellan linjerna
L
1:
x = 3 + t y = 1 − t z = 3 + 3t
och L
2:
x = 2 + t y = −1 + t z = −3 − 4t
.
3. F¨or vilket eller vilka v¨arden p˚ a konstanten a har systemet
ax − y = 1 2x + 2z = 1 x + ay + 2z = 0
.
o¨andligt m˚ anga l¨osningar? L¨os systemet f¨or detta eller dessa a-v¨arden.
4. Best¨am matrisen X s˚ a att
(AX + B)
−1= A , d¨ar
A =
1 1 1 1 0 1 0 1 1
och B =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
. 5. Betrakta matrisen
A =
1 2 1
−1 0 1 1 1 0
.
Unders¨ok om A ¨ar diagonaliserbar. Om s˚ a ¨ar fallet, best¨am en inverterbar matris P och en diagonalmatris D s˚ a att P
−1AP = D.
6. Antag att vektorerna w
1, w
2och w
3¨ar linj¨art oberoende. Bilda vektorerna v
1= w
2− w
3, v
2= w
1− w
3och v
3= w
1− w
2.
Unders¨ok om vektorerna v
1, v
2och v
3¨ar linj¨art oberoende.
>
restart;with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
Facit tentamen 090116, M0033M
Uppgift 1.
>
A:=matrix( [[2,1,1],
>
[4,-6,0],
>
[-2,7,2]]);
A :=
2 1 1
4 −6 0
−2 7 2
>
b:=matrix([ [5],
>
[-2],
>
[9] ]);
b :=
5
−2 9
>
A1:=concat(A,b);
A1 :=
2 1 1 5
4 −6 0 −2
−2 7 2 9
>
gaussjord(A1);
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2
SVAR: x = 1, y = 1, z = 2.
Uppgift 2
>
v1:=vector([1,-1,3]);
v1 := [1, −1, 3]
>
v2:=vector([1,1,-4]);
v2 := [1, 1, −4]
>
w:=crossprod(v1,v2);
w := [1, 7, 2]
>
len:=u->sqrt(dotprod(u,u)):
>
P1P2:=vector([-1,-2,-6]);
P1P2 := [−1, −2, −6]
>
we:=evalm(w/len(w));
we := 1 18
√ 6, 7 18
√ 6, 1 9
√ 6
>
dist:=abs(dotprod(P1P2,we));
dist := 3 2
√ 6
SVAR: Avst˚ andet 3 2
√ 6.
Uppgift 3.
>
A:=matrix( [[a,-1,0],
>
[2,0,2],
>
[1,a,2]]);
A :=
a −1 0
2 0 2
1 a 2
>
b:=matrix([ [1],
>
[1],
>
[0] ]);
b :=
1 1 0
>
factor(det(A));
−2 (a − 1) (a + 1)
>
T:=concat(A,b);
T :=
a −1 0 1
2 0 2 1
1 a 2 0
>
L:=solve(det(A)=0);
L := −1, 1
>
a:=L[1];
a := −1
>
evalm(T);
a −1 0 1
2 0 2 1
1 a 2 0
>
T1:=map(eval,T);
T1 :=
−1 −1 0 1
2 0 2 1
1 −1 2 0
>
R1:=gaussjord(T1);
R1 :=
1 0 1 0
0 1 −1 0
0 0 0 1
L¨osning saknas f¨or a = −1.
>
a:=L[2];
a := 1
>
T2:=map(eval,T);
T2 :=
1 −1 0 1
2 0 2 1
1 1 2 0
>
R2:=gaussjord(T2);
R2 :=
1 0 1 1 2 0 1 1 −1
2 0 0 0 0
O¨andligt m˚ anga l¨osningar f¨or a = 1.
x = 1/2 − t, y = −1/2 − t, z = t.
Uppgift 4.
>
A:=matrix( [[1,1,1],
>
[1,0,1],
>
[0,1,1]]);
A :=
1 1 1 1 0 1 0 1 1
>
B:=matrix( [[1,2,3],
>
[4,5,6],
>
[7,8,9]]);
B :=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
>
E3:=diag(1,1,1);
E3 :=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
>
X=evalm((inverse(A))&*(inverse(A)-B));
X =
8 5 4
3 4 2
−11 −11 −10
>
cond:=simplify(evalm(inverse(A&*X+B)&*(A&*X+B)-E3));
cond :=
0 0 0 0 0 0 0 0 0
SVAR: X se ovan.
Uppgift 5
>
A:=matrix( [[1,2,1],
>
[-1,0,1],
>
[1,1,0]]);
A :=
1 2 1
−1 0 1 1 1 0
Enhetsmatris-alias
>
alias(Id=&*()):
Karakteristiskt polynom.
>
charpoly(A,lambda);
λ
3− λ
2Egenv¨arden best¨ams.
>
solve(%);
1, 0, 0 Egenv¨arden: 0 (dubbelrot) samt 1.
>
rref(0*Id-A);
1 0 −1
0 1 1
0 0 0
Egenvektor f¨or λ = 0(dubbelrot): (1,-1,1).
>
