LULE˚ A TEKNISKA UNIVERSITET Institutionen f¨or matematik

LULE˚ A TEKNISKA UNIVERSITET Institutionen f¨or matematik

Amneskod ¨ M0030M

Tentamensdatum 2010–06–05 Skrivtid 09.00–14.00

Tentamen i M0030M Linj¨ ar algebra och integralkalkyl .

Antal uppgifter: 6 (5 po¨ang per uppgift).

Betygsgr¨ anser: 0–13=U, 14–19=3, 20–25=4, 26– =5.

Resultatet meddelas:

F¨or att se n¨ar den r¨attade skrivningen kan

h¨amtas ut, bes¨ok http://www.ltu.se/studentwebben/.

Till˚ atna hj¨alpmedel: Inga.

Anvisningar

Till alla uppgifter skall fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, ekvationsl¨ osningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

1. Ber¨akna (a)

2

Z

1

dx x

+ 9x (b)

∞

Z

0

x dx 1 + x

2. (a) Utred f¨or alla a ∈ R antalet l¨osningar till ekvationssystemet







ax + y + 2z = 1 2x + y + az = −a

ax + z = 0

(b) Best¨am l¨osningen i det eller de fall d˚ a l¨osningsm¨angden best˚ ar av mer ¨an en punkt.

3. Givet punkten P : (1, 0, 0) och planet x + y + 2z = 3. Best¨am (a) punktens ortogonala projektion i planet.

(b) punktens avst˚ and till planet.

4. (a) Best¨am arean av det plana omr˚ adet, begr¨ansat av x = y

− π

och x = sin y.

(b) Best¨am samtliga primitiva funktioner till f(x) = (x + 3) e

. 5. Best¨am l¨angden av en b˚ age av cykloiden

x = t − sin t, y = 1 − cos t, 0 ≤ t ≤ 2π.

Tips: cos t = cos

 2 · t

2



6. L¨ os en och endast en av de f¨ oljande uppgifterna.

6.1

Vektorn u ¨ar godtycklig. Linjen L har riktningsvektorn v. Kompo- santen u

¨ar u:s vinkelr¨ata pro- jektion p˚ a L.

u

v L uL

θ

H¨arled projektionsformeln

u

= u · v v · v v.

Skal¨arproduktens definition f˚ ar anv¨andas som del i h¨arledningen.

6.2

L˚ at {e

, e

, e

} vara en h¨ogerorienterad orto-normerad bas. Antag att a = a

e

+ a

e

+ a

e

och b = b

e

+ b

e

+ b

e

.

Anv¨and r¨akneregler f¨or vektorprodukt f¨or att h¨arleda vektorproduktens koor- dinatframst¨allning

a × b =





a

b

− a

b

a

b

− a

b

a

b

− a

b



 . Sarrus regel f˚ ar ej anv¨andas i h¨arledningen.

6.3

Antag att f (x) ¨ar kontinuerlig p˚ a ett intervall I som inneh˚ aller punkten x = b.

Antag vidare att funktionen F (x) ¨ar definierad p˚ a I genom

F (x) =

x

Z

b

f(u) du.

Bevisa att

d dx

x

Z

b

f (u) du = f (x).

Integralkalkylens medelv¨ardessats f˚ ar, utan bevis, anv¨andas som del i be-

visf¨oringen.