Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. (M0030M) Institutionen f¨or matematik

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. (M0030M) Institutionen f¨or matematik

MS 18:e december 2009.

Tid: 5 h

Hj¨alpmedel: Inga

L¨ osningarna skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨ att att r¨ akningar och resonemang blir l¨ atta att f¨ olja. M¨ ark l¨ osningsbladen med namn och personnr.

1. F¨or vilka reella v¨arden p˚ a talet a har nedanst˚ aende ekvationssystem minst en l¨osning?

 



 

ax

+ x

=1

2x

+ 2ax

+ x

=1 x

+ ax

+ ax

=0.

(5p) 2. Ber¨akna f¨oljande.

a) Z

x arctan(x) dx. (2p)

b) Z

2

x

(x

− 2x + 1)(x + 1) dx. (3p)

3. Best¨am en ekvation f¨or det plan i rummet som ¨ar vinkelr¨at mot planet med ekvation 2x − 3y + z = 0, och som inneh˚ aller linjen som ges av

 



 

x = 2 + t y = 3 − t z = 2t

.

(5p) 4. Det begr¨ansade omr˚ adet i planet som definieras genom 0 ≤ y ≤ √

x

+ 1, 0 ≤ x ≤ 2 roteras runt x-axeln respektive y-axeln. Ber¨akna volymen av den rotationskropp som bildas vid rotation runt x-axeln respektive volymen av den rotationskropp som bildas vid

rotation runt y-axeln. (5p)

5. L˚ at T : R

→ R

vara en linj¨ar avbildning som inneb¨ar en spegling i linjen x

= −x

f¨oljt av en vridning vinkeln π/3 moturs.

a) Best¨am matrisen A f¨or T . (3p)

b) Best¨am T (x) d¨ar

x = µ −1

2

∂ .

(2p)

6. L¨os en och endast en av f¨oljande uppgifter A, B eller C.

A. F¨or reella tal x och y g¨aller ju att xy = 0 medf¨or att antingen x = 0 eller y = 0 eller b˚ ade x = 0 och y = 0. Visa att motsvarande regel inte g¨aller f¨or matrismultiplikation, genom att finna tv˚ a 2 × 2-matriser A och B s˚ adana att A 6= O och B 6= O, men AB = O, d¨ar O ¨ar nollmatrisen av typ 2 × 2, dvs.

O =

µ 0 0 0 0

∂ .

(5p) B. Formulera och bevisa integralkalkylens huvudsats (fundamental theorem of calculus), dvs. den sats som g¨or att vi kan integrera med hj¨alp av primitiva funktioner. (5p) C. H¨arled formeln f¨or partiell integration samt h¨arled formeln f¨or substitution i en

best¨amd integral. OBS. Exempel duger ej. (5p)