Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 17 augusti 2015 klockan 14.00-18.00 i M-huset.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathemat- ics Handbook, typgodk¨ and kalkylator, lexikon samt Olle Branders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261.

Jourhavande l¨ arare: Tobias Wenger (073–038 1453).

FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Lycka till!

1. V¨ armeledningsekvationen lyder cρ ∂T

∂t − λ∆T = s

Svara nu p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) F¨ orklara vad symbolerna c, ρ, T , λ och s st˚ ar f¨ or och ge deras SI-enheter.

(b) En platta av stor utstr¨ ackning begr¨ ansas av planen x = 0 och x = d (d¨ ar d ¨ ar plattans tjocklek). Motsvarande begr¨ ansningsytor h˚ alls vid konstanta temperaturer T

respektive T

och det finns inga k¨ allor inne i plattan. Best¨ am den station¨ ara temperaturf¨ ordelningen i plattans inre.

(c) L¨ osningen till v¨ armeledningsekvationen med en godtycklig k¨ allf¨ ordelning

kommer att vara en funktion av ~ r och t, dvs T (~ r, t). Ge ett uttryck

f¨ or denna allm¨ anna l¨ osning i termer av en s˚ a kallad Greensfunk-

tion. Teckna ocks˚ a den v¨ armeledningsekvation vars l¨ osning ¨ ar just

Greensfunktionen.

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2015-08-17

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) 2. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor:

(a) Vad ¨ ar v¨ ardet av integralen R

C

F · d~ ~ r, d¨ ar ~ F ¨ ar f¨ altet fr˚ an en virveltr˚ ad med styrkan j riktad i positiv ϕ-led p˚ a cirkeln ρ = b, z = 0 och C ¨ ar kurvan (x, y, z) = b(1 + cos α, 0, sin α), d¨ ar parametern α g˚ ar fr˚ an 0 till 2π? (ρϕz ¨ ar de vanliga, cylindriska koordinaterna.)

(b) F¨ or vilka v¨ arden p˚ a talen α, β och γ har det tv˚ adimensionella koordinatsystemet med koordinater ξ och η, givna av

ξ = x

− y

,

η = αx

+ βxy + γy

ortogonala basvektorer?

(c) Ber¨ akna R

−∞

δ

(x) tanh

xdx.

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) 3. Vektorf¨ altet ~ F ges av

F = ~  A|~r − aˆz|

(~ r − aˆ z) + B ˆ x, z > 0,

Czˆ z, z ≤ 0,

d¨ ar A, B, C och a ¨ ar konstanter. Ber¨ akna normalytintegralen av ~ F

¨

over en sf¨ ar med radien 2a och centrum i origo. (10 po¨ ang) 4. Betrakta vektorf¨ altet ~ v = x

x − y ˆ ˆ y i xy-planet.

(a) R¨ akna ut divergensen och rotationen av ~ v.

(b) Unders¨ ok om vektorf¨ altet ~ v har en potential. R¨ akna isf ut denna.

(c) R¨ akna ut fl¨ odet av ~ v genom den raka linjen λ mellan de tv˚ a punk- terna (x = 1, y = 0) och (x = 1, y = 1).

(10 po¨ ang)

5. P˚ a en sf¨ ar med radien a befinner sig en elektrisk ytladdning σ = σ

cos θ. Best¨ am den elektrostatiska potentialen och det elektriska f¨ altet f¨ or alla punkter p˚ a z-axeln. ˚ Ask˚ adligg¨ or f¨ altet i n˚ agon graf och kontrollera att eventuella diskontinuiteter st¨ ammer. (10 po¨ ang)

Fundamental fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2015-08-17

6. Ett elektriskt f¨ alt kan, i ett omr˚ ade utan laddningar och str¨ ommar, skrivas

E(~ ~ r, t) = E

x cos (k(z − ct)) , ˆ

d¨ ar E

och k ¨ ar konstanter och c ¨ ar ljushastigheten. Vad ¨ ar v˚ agl¨ angden och periodtiden f¨ or denna v˚ agr¨ orelse? Best¨ am det magnetiska f¨ altet (eventuella m¨ ojliga tidsoberoende delar kan s¨ attas till noll).

Maxwells ekvationer lyder:

∇ · ~ E = ρ ε

,

∇ × ~ E + ∂ ~ B

∂t = 0,

∇ · ~ B = 0,

∇ × ~ B − 1 c

∂ ~ E

∂t = µ

~j.

(10 po¨ ang)

Fundamental fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en