Hjälpmedel: Godkänd räknedosa, BETA samt Några tips om Fou- rierserier m.m. i BETA (två sidor).

MATEMATISKA VETENSKAPER Chalmers

Datum: 2012-08-20 Telefon: Richard Lärkäng 0703-088304

Skrivtid: 8.30  13.30

Tentamen i Fourieranalys MVE030 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 för TM2

Hjälpmedel: Godkänd räknedosa, BETA samt Några tips om Fou- rierserier m.m. i BETA (två sidor).

Maxpoäng står inom parentes efter varje uppgift, med summa 50.

Betygsgränser: Betyg 3: 25, betyg 4: 33, betyg 5: 42.

Svar i form av svårberäknade integraluttryck kan i vissa fall ac- cepteras eller åtminstone ge poäng.

1. Lös följande problem, där k > 0 är en konstant:







u

= ku

+ x, 0 < x < 1, t > 0, u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = sin 2πx, 0 < x < 1.

(8)

2. Beräkna

X

1

1

(n

− 0.7)

,

exempelvis med hjälp av en lämplig Fourierserie. (8) 3. Bestäm en lösning u = u(x, t) till den inhomogena vågekva- tionen u

= c

u

+ x

i halvplanet x ∈ R, t > 0, med de homogena initialvillkoren u(x, 0) = u

(x, 0) = 0 . Här är

c > 0 en konstant. (8)

4. Anta ˆ f (ξ) =

för ξ > 1 och ˆ f (ξ) = 0 för övriga ξ. Be-

räkna f

(0) samt integralerna R

|f (x)|

dx och R

f (x)

dx .

Ledning för den sistnämnda integralen: Den kan uttryckas i

termer av Fouriertransformen av f

, och denna Fouriertrans-

form kan skrivas som en faltning. (3+2+3)

5. Lös värmeledningsekvationen u

= k∆u i en skiva r < R

. Här är k > 0 och u = u(r, θ, t), där (r, θ) betecknar polära koordinater. Randvillkoret är u(R

, θ, t) = 0 och initialvill- koret u(r, θ, 0) = (R

− r) sin θ . (8) 6. Deniera ett lågpasslter, med konstant (kallad gränsvinkel- frekvens) α > 0, och ge en formulering av samplingssatsen i

termer av ett sådant lter. (3+2)

7. Låt L vara en linjär, andra ordningens ordinär dierential- operator i intervallet [a, b]. Vad innebär det att L är formellt självadjungerad? Vad medför detta för relation mellan skalär-

produkter av typ hLf, gi? (3+2)

2

MATEMATISKA VETENSKAPER

Chalmers Datum: 2012-08-20

L ¨ OSNINGAR TILL

tentamen i Fourieranalys MVE030 f¨ or F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 f¨ or TM2

Uppgift 1.

Differentialekvationen ¨ ar inhomogen pga. termen +x, som

¨ ar oberoende av t-variabeln. Randvillkoren ¨ ar homogena, speciellt d˚ a oberoende av t. D¨ arf¨ or ¨ ar detta ett typiskt fall f¨ or steady state-metoden.

Vi best¨ ammer allts˚ a f¨ orst en funktion u

(x) av bara x som uppfyller differentialekvationen och randvillkoren. Det betyder 0 = ku

(x) + x och u

(0) = u

(1) = 0. Detta ger enkelt u

(x) = −

+ ax + b, d¨ ar man f˚ ar b = 0 och a =

, s˚ a att u

(x) =

.

Nu s¨ oker vi en l¨ osning till problemet av formen u(x, t) = u

(x)+v(x, t). D˚ a skall v uppfylla den homogena v¨ armeled- ningsekvationen v

= kv

och de homogena randvillkoren v(0, t) = v(1, t) = 0. Initialvillkoret f¨ or v blir v(x, 0) = sin 2πx − u

(x) dvs.

v(x, 0) = sin 2πx + x

− x 6k .

F¨ or v har vi d¨ armed ett standardproblem f¨ or variabelsepa-

ration. De separabla l¨ osningarna blir (som vanligt) e

sin πnx f¨ or n = 1, 2, . . . . Med ansatsen

v(x, t) =

∞

X

n=1

b

e

sin πnx ger initialvillkoret att

∞

X

n=1

b

sin πnx = sin 2πx + x

− x 6k .

Termen sin 2πx finns med i summan i v¨ ansterledet, s˚ a vad

som beh¨ ovs ¨ ar att utveckla x

och x i sinusserie. BETA 13.1

2

(14) och (12) med L = 1 s¨ ager att x

= 2

π

∞

X

n=1

(−1)

1 n



1 − 6 π

n



sin πnx och

x = 2 π

∞

X

n=1

(−1)

1

n sin πnx.

Tillsammans ger detta att b

= 1

6k 2

π (−1)

6

π

n

= 2 π

k

(−1)

n

d˚ a n 6= 2, och

b

= 1 + 1 4π

k . Svaret p˚ a uppgiften blir d¨ armed

u(x, t) = x − x

6k +

∞

X

n=1

b

e

sin πnx med ovanst˚ aende v¨ arden p˚ a b

.

Anm. Att termerna av storleksordning 1/n tog ut varandra d˚ a vi h¨ ar ber¨ aknade b

¨ ar inte ¨ overraskande. Det h¨ anger ihop med att funktionen x

− x i [0, 1], fortsatt till en ud- da, 2-periodisk funktion, ¨ ar kontinuerlig med kontinuerlig derivata, i motsats till x

och x tagna var och en f¨ or sig.

Uppgift 2.

F¨ or att kunna anv¨ anda Parsevals formel beh¨ over vi v¨ asent- ligen en funktion med Fourierkoefficienter proportionella mot

. Med α = √

0.7 i BETA 13.1 (15) har vi att cos αt = sin απ

απ + 2α sin απ π

∞

X

n=1

(−1)

1

n

− 0.7 cos nt

f¨ or |t| < π. Parseval s¨ ager att summan vi vill ber¨ akna

h¨ anger ihop med L

-normen av f (t) = cos αt i interval-

let |t| < π. F¨ or att f˚ a r¨ att konstanter betraktar vi f som en

3

2π-periodisk funktion p˚ a linjen och anv¨ ander BETA, f¨ ors- ta formeln i den ¨ oversta rutan p˚ a sidan 312. D¨ ar ¨ ar f en reellv¨ ard funktion med utvecklingen

f (t) = a

2 +

∞

X

n=1

(a

cos nt + b

sin nt),

vilket framg˚ ar av f¨ orsta formeln i f¨ orsta rutan p˚ a sidan 310, d¨ ar Ω = 1 eftersom perioden ¨ ar T = 2π.

I v˚ art fall f˚ ar vi a

=

och a

=

(−1)

f¨ or n = 1, 2, . . . samt b

= 0 f¨ or alla n. D˚ a ger Parseval i BETA med T = 2π och a = −π

1 2π

Z

−π

cos

αt dt = sin

απ

α

π

+ 2α

sin

απ π

∞

X

n=1

1

(n

− 0.7)

. F¨ or att r¨ akna ut integralen i denna formel skriver man cos

αt = (1 + cos 2αt)/2 och f˚ ar

R

−π

cos

αt dt =

+

1

4πα

sin 2απ. Detta ger

∞

X

n=1

1

(n

− 0.7)

= π

4α

sin

απ + π cot απ

4α

− 1 2α

, som ¨ ar svaret, d¨ ar allts˚ a α = √

0.7.

Anm.1 Som synes kr¨ aver det viss m¨ oda att anv¨ anda Par- sevals formel i BETA. Ett alternativ ¨ ar att komma ih˚ ag att formeln f¨ oljer av att funktionerna 1 och cos nx, n = 1, 2, . . .

¨ ar ortogonala i intervallet [−π, π] (f¨ or ¨ ovrigt ocks˚ a i [0, π]).

Om man d¨ arf¨ or kvadrerar ovanst˚ aende serieutveckling av cos αx och integrerar ¨ over [−π, π], s˚ a ¨ overlever bara “dia- gonaltermerna”. Eftersom

R

−π

cos

nx dt =

(dvs. cos

t har medelv¨ arde 1/2) f˚ ar man samma Parsevalformel som ovan, p˚ a ett kanske enklare s¨ att.

Anm.2 En annan, elegant metod ¨ ar att s¨ atta t = π i Fouri- erserien ovan; i denna punkt har man konvergens, och man f˚ ar bort teckenoscillationen i koefficienterna. Resultatet kan skrivas

∞

X

n=1

1

n

− α

= − π cot απ

2α + 1

2α

.

4

Genom att derivera denna formel med avseende p˚ a α f˚ ar man direkt samma uttryck som ovan f¨ or den ¨ onskade serien.

Uppgift 3.

Vi Laplacetransformerar i t-variabeln och s¨ oker allts˚ a funk- tionen U (x, s) = Lu(x, s). De homogena initialvillkoren g¨ or att den transformerade differentialekvationen blir

s

U (x, s) = c

U

(x, s) + x

s .

Observera h¨ ar att termen x

¨ ar oberoende av t och allts˚ a Laplacetransformeras som en konstant. F¨ or fixt s ¨ ar det- ta en inhomogen ordin¨ ar differentialekvation i x-variabeln.

Motsvarande homogena ekvation s

U (x, s) = c

U

(x, s) har den allm¨ anna l¨ osningen

U (x, s) = Ae

+ Be

,

d¨ ar “konstanterna” A och B kan bero av s. F¨ or att hitta en partikul¨ arl¨ osning till den inhomogena differentialekvatio- nen ans¨ atter vi ett polynom av grad 2 och finner U (x, s) =

x²

s³

+

. Den inhomogena differentialekvationens allm¨ anna l¨ osning ¨ ar d¨ arf¨ or

U (x, s) = x

s

+ 2c

s

+ Ae

+ Be

,

med A = A(s) B = B(s). Eftersom vi bara ¨ ar ute efter en l¨ osning till problemet, kan vi v¨ alja A = B = 0.

Nu ˚ aterst˚ ar att finna inversa Laplacetransformen av den- na funktion U (x, s). Med hj¨ alp av tabellen, BETA 13.5 L20, f˚ ar man

u(x, t) = x

t

2 + c

t

12 , som ¨ ar svaret.

En annan m¨ ojlighet ¨ ar att anv¨ anda steady state-metoden.

En steady state-l¨ osning ¨ ar u

(x) = −

. F¨ or v(x, t) = u(x, t) − u

(x) f˚ ar man d˚ a den homogena v˚ agekvationen v

= c

v

med initialvillkor v(x, 0) =

och v

(x, 0) = 0.

Man kan best¨ amma v med Laplacetransformen som ovan,

5

men det enklaste ¨ ar att anv¨ anda d’Alemberts formel, som direkt ger v. Se BETA 10.9, ¨ oversta rutan p˚ a sidan 240.

Anm. Att f¨ ors¨ oka med Fouriertransformen i x-variabeln le- der till sv˚ arigheten att x

inte ¨ ar integrabel och inte kan Fouriertransformeras p˚ a vanligt s¨ att. Denna v¨ ag ¨ ar m¨ ojli- gen framkomlig, via en massa distributionsteori, men i varje fall mycket besv¨ arligare ¨ an ovanst˚ aende.

Uppgift 4.

Derivatan f

har Fouriertransformen iξ ˆ f (ξ). Fouriers inver- sionsformel ger d˚ a

f

(0) = i 2π

Z

−∞

ξ ˆ f (ξ) dξ = i 2π

Z

ξ

(1 + ξ

)

dξ.

F¨ or att ber¨ akna den sista integralen h¨ ar anv¨ ander vi BETA 7.4, 76 och 61, och f˚ ar

f

(0) = i 2π



− ξ

2(1 + ξ

) + 1

2 arctan ξ



= i  1

16 + 1 8π

 .

Det kan p˚ apekas att integralen ocks˚ a enkelt kan ber¨ aknas med partialintegration, om man skriver ξ

/(1 + ξ

)

som produkten av ξ/2 och 2ξ/(1 + ξ

)

.

Plancherels formel medf¨ or att Z

−∞

|f (x)|

dx = 1 2π

Z

−∞

| ˆ f (ξ)|

dξ = 1 2π

Z

ξ

(1 + ξ

)

dξ.

F¨ or denna integral anv¨ ander vi igen BETA 7.4, 76 samt

nu ocks˚ a rekursionsformeln 65 f¨ or A

och A

, och 63 f¨ or A

.

Man f˚ ar

6

Z

−∞

|f (x)|

dx = 1 2π



− ξ

6(1 + ξ

)

+ 1 6 A



= 1

96π + 1 2π

 ξ

24(1 + ξ

)

+ 1 16 A



= 1

96π − 1

192π + 1 2π

 ξ

16(1 + ξ

) + 1

16 arctan ξ



= 1

128 − 1 96π . F¨ or att ber¨ akna R

−∞

f (x)

dx observerar vi f¨ orst att den- na integral ¨ ar b f

(0), dvs. v¨ ardet i 0 av Fouriertransformen av f

. Men b f

=

f ∗ ˆ ˆ f , och enligt definitionen av faltning

¨ ar

f ∗ ˆ ˆ f (0) = Z

−∞

f (ξ) ˆ ˆ f (−ξ) dξ,

och denna integral ¨ ar 0 eftersom integranden ¨ ar 0 f¨ or alla ξ. Allts˚ a ¨ ar R

−∞

f (x)

dx = 0. Detta kan ocks˚ a visas med hj¨ alp av Fouriers cosinus- och sinustransformer och mot- svarande Plancherelformler.

Uppgift 5.

Vi separerar variabler och skriver u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T (t).

Via uttrycket f¨ or ∆ i pol¨ ara koordinater f˚ ar d˚ a v¨ armeled- ningsekvationen formen

R(r)Θ(θ)T

(t)

= k[R

(r)Θ(θ)T (t)+ 1

r R

(r)Θ(θ)T (t)+ 1

r

R(r)Θ

(θ)T (t)].

Detta skriver vi som 1

k T

(t)

T (t) = R

(r) R(r) + 1

r

R

(r) R(r) + 1

r

Θ

(θ)

Θ(θ)

7

och drar slutsatsen att de b˚ ada leden h¨ ar har ett konstant v¨ arde σ. Det ger de tv˚ a ekvationerna

T

(t) = kσT (t) och

r

R

(r)

R(r) + r R

(r)

R(r) − σr

= − Θ

(θ) Θ(θ) .

I den andra av dessa ekvationer m˚ aste ˚ aterigen b˚ ada le- den ha ett konstant v¨ arde τ . D˚ a f˚ ar vi Θ

(θ) = −τ Θ(θ).

Eftersom funktionen Θ ¨ ar 2π-periodisk, vet vi att detta medf¨ or att τ = n

f¨ or n˚ agot n ∈ {0, 1, 2, . . . } och att Θ ¨ ar av formen Θ(θ) = a cos nθ + b sin nθ.

F¨ or R f˚ ar vi d˚ a

r

R

(r) + rR

(r) − (σr

+ n

)R(r) = 0,

som vi k¨ anner igen som Bessels (modifierade) differentia- lekvation. F¨ or att best¨ ammma m¨ ojliga l¨ osningar R(r) ob- serverar vi att randvillkoret medf¨ or att R(R

) = 0, och dessutom m˚ aste funktionen R(r) vara kontinuerlig i punk- ten r = 0.

Om σ > 0, s¨ ag σ = ν

med ν > 0, har vi den modifiera- de Besselekvationen, med den allm¨ anna l¨ osningen R(r) = aI

(νr)+bK

(νr). Detta f¨ orkastas, eftersom K

¨ ar obegr¨ an- sad vid 0 och I

saknar positiva nollst¨ allen. Och om σ = 0 f˚ ar vi f¨ or R(r) en Eulerekvation med l¨ osningar R(r) = ar

+ br

(resp. a + b ln r f¨ or n = 0), som f¨ orkastas av liknande sk¨ al.

D˚ a ˚ aterst˚ ar fallet σ < 0. Vi s¨ atter σ = −µ

med µ > 0 och f˚ ar Bessels differentialekvation, med den allm¨ anna l¨ os- ningen R(r) = aJ

(µr) + bY

(µr). H¨ ar f¨ orkastar vi Y

som

¨ ar obegr¨ ansad vid 0, och f˚ ar sedan att J

(µR

) = 0. Allts˚ a

¨

ar µ av formen λ

/R

, d¨ ar λ

, j = 1, 2, . . . , betecknar de positiva nollst¨ allena till J

.

Detta betyder att σ = −λ

/R

och att R(r) = konst · J

(λ

r/R

). Ekvationen f¨ or T (t) f˚ ar d˚ a l¨ osningar propor- tionella mot

exp(−kλ

t/R

).

8

De separerade l¨ osningarna ¨ ar d¨ arf¨ or

J

(λ

r/R

)(a

cos nθ + b

sin nθ) exp(−kλ

t/R

), och vi ans¨ atter en dubbelsumma

u(r.θ, t) =

∞

X

n=0

∞

X

j=1

J

(λ

r/R

)(a

cos nθ+b

sin nθ) exp(−kλ

t/R

).

Nu kommer initialvillkoret in, som ger

∞

X

n=0

∞

X

j=1

J

(λ

r/R

)(a

cos nθ + b

sin nθ) = (R − r) sin θ.

Genom att i v¨ ansterledet t¨ anka oss att vi f¨ orst (innerst) summerar i k f˚ ar vi en Fourierserie i n. Eftersom h¨ ogerledet

¨

ar en term i en s˚ adan Fourierserie, den med n = 1, drar vi slutsatsen att alla a

och b

med n 6= 1 m˚ aste vara 0, och detsamma g¨ aller a

. D˚ a ˚ aterst˚ ar likheten

∞

X

j=1

J

(λ

r/R

)b

sin θ = (R − r) sin θ.

H¨ ar stryker vi f¨ orst˚ as faktorerna sin θ och ser att man m˚ aste utveckla R−r i Besselserie, i ortogonalsystemet J

(λ

r/R

) p˚ a intervallet [0, R

] med vikt r.

D˚ a ger k¨ anda formler, se BETA 12.4 sidan 275, att koef- ficienterna ¨ ar

b

= 2 R

J

(λ

)

Z

0

J

(λ

r/R

)(R − r)r dr.

Svaret p˚ a uppgiften blir d¨ arf¨ or u(r.θ, t) =

∞

X

j=1

b

J

(λ

r/R

) sin θ exp(−kλ

t/R

) med dessa b

.

Anm. Man kan spara en del arbete genom att gissa att l¨ os-

ningen ¨ ar av formen v(r, t) sin θ och ans¨ atta detta uttryck.