Övriga resultat

Flera internationella forskningsstudier har haft som syfte att analysera elevernas svårigheter i lärande av matematik i skolan. Några av dessa studier har sin grund i det Bachelard (1938/1980) benämnde som epistemologiska hinder (epistemological obstacles). Bachelard an- vände begreppet för att argumentera för att fel och misstag är känne-

tecken för det vetenskapliga tänkandet. Hela Bachelards La formation

de l’esprit scientifique är fylld med exempel på fel och epistemolo-

giska hinder inom sexton- och sjuttonhundratalens tänkande om natu- ren. Hans grundidé är att tänkandet är vetenskapligt först när det låter sig korrigeras i mötet med en yttre realitet. Detta kan enligt Bachelard ske genom erfarenheter som skapas när ett fenomen studeras i sin tillämpning.

Influerad av Bachelards arbete, benämner Brousseau (1983, 1997) följande som ”epistemologiska hinder”:

A piece of knowledge, like an obstacle, is always the fruit of an interaction between the student and her surroundings and more precisely between the student and a situation which makes this knowing ”of interest”. In particular, it stays ”optimal” in a cer- tain domain defined by the numerical ”informational” charac- teristics of the situation. (Brousseau, 1997, s. 85)

Brousseau påpekar att ett hinder inte är en avsaknad kunskap utan en kunskap i sig själv. Eleven använder sig av denna kunskap för att ge ett lämpligt svar som avser ett visst innehåll och i efterhand försöker eleven använda denna kunskap även i andra innehåll som har andra egenskaper än det första. Enligt Brousseau producerar hindret motsä- gelser men eleven motstår att se dem som sådana. Det återuppstår ofta, även efter att ha blivit övervunnet en gång.

Med utgångspunkt i Brousseaus arbete har forskare världen över28 börjat studera epistemologiska hinder i elevernas lärande av matema- tiken genom att i första hand ta ett kognitivt perspektiv som utgångs- punkt. Herscovics (1989) använder begreppet ”cognitive obstacle” med utgångspunkt i Piagets teori och förklarar att

this process of equilibration involves not only assimilation the integration of the things to be known into some existing cogni- tive structure but also accommodation changes in the learner’s cognitive structure necessitated by the acquisition of new knowledge. However, the learner’s existing cognitive structures are difficult to change significantly, their very existence be- coming cognitive obstacles in the construction of new structure. (s. 62)

Herscovics (1989) upptäcker tre kategorier av hinder, nämligen hinder

28 _{Se till exempel Herscovics (1989), Zaslavsky (1997), Sierpinska (1994),} Sfard (1991, 1992, 1994).

inducerade av undervisning, av epistemologisk karaktär och associe- rade med elevernas ackommodationsprocess. Studiens resultat visar bland annat att hinder inducerade av undervisningen har sin grund i den matematiska formalismen som används i framställningen av ett matematiskt innehåll, vilken leder till att eleverna inte kan knyta ihop den nyintroducerade kunskapen med de kunskaper de redan har.

Flera studier om elevers lärande av algebra visar ett antal generella och ofta återkommande hinder. Dessa hinder består bland annat av övergången från aritmetik till algebra och speciellt de kognitiva gap som existerar mellan de två (se t.ex. Bednarz, Radford, Janvier & Lepage, 1992; Herscovics & Linchevski, 1994). Herscovics och Linchevski (1994) introducerar begreppet ”cognitive gap” som ”stu- dents’ inability to spontaneously operate with or on the unknown” (s. 59). Andra kognitiva hinder som kunde identifieras och som avser algebraiska uttryck och ekvationer är följande: känna igen två ekvi- valenta uttryck (se t.ex. Sfard & Linchevski, 1994) eller att eleverna blandar ihop termer i ett algebraiskt uttryck, exempelvis förenklas 3x – 5x + 7x som 3x – 12x och 3x + 2 – 8x som 11x + 2 (Linchevski & Herscovics, 1996). Flera studier visar att lösningen av en ekvation av första graden misslyckas på grund av övergången från informell till formell (se t.ex. Herscovics & Linchevski, 1994). Dessutom har det hävdats att elevernas svårigheter i aritmetik är ett hinder för att göra generaliseringar i algebra (Orton, 1999).

I Sverige genomförde Ekenstam och Nilsson (1979) en undersök- ning om 16-åriga elevers svårigheter i algebra. I en senare undersök- ning redovisar Ekenstam och Greger (1987) att 49 % av eleverna i årskurs 9 ser att

2

a

; a

2 1

och 0,5a samtliga är detsamma som ”hälften av a”.

Persson och Wennström genomförde 1998–2001 en studie med syfte att få svar på frågor om bland annat ”vilka förkunskaper en elev som börjar på NV måste ha för att lyckas med sina matematikstudier i gymnasieskolan” (Persson & Wennström, 2003a, s. 7) och ”hur pass stabila elevernas algebrakunskaper är” (Persson & Wennström, 2000, s. 13). För att få svar på dessa frågor genomfördes en longitudinell studie där Persson och Wennström följde eleverna från deras första termin till deras sista på NV-programmet (Persson, 2005). I årskurs 1 läste eleverna matematikkurs A och B, i årskurs 2 matematikkurs C och D och i årskurs 3 matematikkurs E. Eleverna skrev under tiden olika prov och de elever som visade svaga resultat på proven fick stödundervisning redan i åk 1 (Persson, 2005). I början av årskurs 2

(efter matematikkurs B), slutet av årskurs 2 (efter matematikkurs D) och i slutet av åk 3 (efter matematikkurs E) skrev eleverna olika prov på vilka de bland annat skulle lösa följande andragradsekvationer:

x2 – 6x + 8 = 0 (79 %) (åk2, Persson & Wennström, 2003b, s. 6) x2 + 4x – 5 = 0 (60 %) (åk2, Persson & Wennström, 2000, s. 7) 2x2 + x – 3 = 0 (27 %) (åk3, Persson, 2005, s. 157)

Persson och Wennström kommenterar inte vad elevernas resultat beror på när det gäller den första andragradsekvationen. Angående den andra andragradsekvationen ges följande förklaring:

Troligtvis kan en hel del av eleverna som svarat x = 1 lösa en andragradsfunktion fullständigt, även om det var ett tag sedan de gjorde det. (Persson & Wennström, 2000, s. 8)

Elevernas resultat beträffande den tredje andragradsekvationen förkla- ras med att: ”de vill inte använda bråktal i lösningen” och att ”44 % producerar ett godtagbart rotuttryck” (Persson, 2005, s. 158). Trots alla de insatser som har gjorts, är det allvarligt att ungefär 44 % av eleverna inte kan lösa en andragradsekvation i slutet av matematikkurs E. Hur har eleverna löst sina trigonometriska ekvationer eller diffe- rentialekvationer som ofta reduceras till att man löser en andragrads- ekvation? Räcker det att skolan kan erbjuda eleverna stödlektioner eller behövs det ett annat förhållningssätt till innehållet som eleverna ska lära in?

Med utgångspunkt i Perssons och Wennströms studie är det resul- tat som presenteras från Chalmers och KTH inte förvånande (se av- snitt 1.3). Mer förvånande är kanske analysen av orsakerna som leder till svårigheterna med att lösa en andragradsekvation, eftersom just trigonometriska ekvationer, differentialkalkylens tolkningar och för- ståelsen av funktionernas egenskaper (till exempel extrempunkt) är sådant som betonas hårt i kurserna C, D och E på gymnasiet. I en av de senaste studierna som avser algebra i den svenska gymnasieskolan (Persson, 2005) var huvudsyftet att fastställa vilka faktorer som fram- för allt påverkar elevernas begreppsutveckling inom algebra, samt vilka kunskaper och färdigheter inom detta område som är stabila när eleverna lämnar gymnasiet. De viktigaste faktorerna som identifiera- des i Perssons studie är förkunskaper, begreppsutveckling, undervis- ning, tid för lärande, intresse, attityder och känslor.

I en studie (Attorps, 2006) med syfte att beskriva och förklara lä- rarstuderande, nyutexaminerade och erfarna lärares uppfattningar om ekvationer kunde det konstateras att uppfattningarna om ekvationer

grundar sig på lärarnas egna erfarenheter av aritmetik och de intryck som lärarna har fått i samband med den första ekvationsinlärningen. Dessutom kunde det konstateras att ekvationer inte uppfattas som fullständiga, statiska objekt och att de står i nära relation med symbo- lerna x och y och lösningsprocedurer. Resultatet visar också att 57 %, 56 % och 38 % av lärarstuderande på grundskole- högstadie- och gymnasienivå uppfattar f(x) = 2x + 1 som en ekvation. När det gäller x = 2 visar det sig att 25 %, 56 % respektive 54 % av lärarstuderande på grundskole- högstadie- och gymnasienivå uppfattar detta som en ekvation.

Forskare som har studerat funktionsbegreppet konstaterar att ele- verna har svårt att förstå detta begrepp (se t.ex. Carlson, 1998; Dubinsky & Harel, 1992; Kieran, 1992; Monk, 1992; NCTM, 2000; Sfard, 1992; Vinner & Dreyfus, 1989). En av de mest förekommande svårigheterna utgörs av sambandet mellan funktionens olika repre- sentationer (se t.ex. Leinhardt, Zaslavsky & Stein, 1990; Schwarz & Dreyfus, 1995). Bell, Brekke och Swan (1987) konstaterar i en studie att eleverna ser en graf som en bild som visar en situation istället för en relation mellan två variabler. Dessutom visar studien att eleverna finner det svårt att relatera en funktion till ett koordinatsystem. Thompson (1994) konstaterar att det är ännu mer problematiskt att eleverna ofta ser en funktion som två uttryck som skiljs åt av likhetstecknet.

Carlson (1998) studerar vad det är för skillnad mellan högskolestu- denternas förståelse av funktionsbegreppet och vilka faktorer som bidrar till dessa skillnader. Resultatet visar att studenterna har svårt att förstå funktionens beteckning, det vill säga f(x), och relationen mellan en beroende och oberoende variabel. Dessutom kommer Carlson (1998) fram till att eleverna har svårt att skilja den algebraiska repre- sentationen av en funktion från en ekvation: ”Students still had diffi- culty distinguishing between an equation and a function and someti- mes used the term ’zero’ synonymously with ’solution’.” (s. 138). Carlson, Oehrtman och Thompson (2007) förklarar detta fenomen genom likhetstecknets olika betydelser och det faktum att många lä- rare refererar till att en formel som används för att beskriva funktio- nens algebraiska representation, det vill säga funktionens tillordnings- regel, ses som en ekvation. För eleverna tycks denna tvivelaktiga an- vändning av termen ekvation orsaka svårigheter i att urskilja använd- ningen av likhetstecknet då det preciserar en relation mellan två vari- abler, det vill säga en funktion, kontra då det refererar till två identiska uttryck (en ekvation eller identitet). Carlson visar i sin studie att ele-

verna behöver mycket hjälp för att urskilja vad som kännetecknar funktioner och ekvationer. Studien visar också att undervisningen genom att fokusera på att få eleverna att tänka att funktionens tillord- ningsregel tillhör funktionens värdemängd (det som kommer ut) och att processen av att lösa en ekvation är att finna värdena i funktionens definitionsmängd (det som kommer in), har hjälpt eleverna att komma över denna svårighet.

I Sverige finns det få studier tillgängliga om elevers lärande av funktionsbegreppet på gymnasienivå. Det finns dock studier som fo- kuserar på högstadieelevers lärande av ekvationssystem eller första- gradsfunktioner (se t.ex. Häggström, 2004; Emanuelsson, Häggblom, Häggström, Liljestrand, Lindblad, Marton, Runesson & Sahlström, 2002) eller högskolestuderande (se t.ex. Grevholm, 2000, 2002; Hansson, 2004, 2006). Exempelvis visar Grevholm (2000, 2002) i en studie att hälften av studentkandidaterna tolkar y = x + 5 som ett sam- band mellan x och y och att de ser likheten som en regel som talar om hur y beräknas då man känner värdet på x. Hansson (2004, 2006) ut- går från Grevholms studie och undersöker lärarstudenters syn på funktionsbegreppet under de avslutande matematikkurserna på ett lärarprogram (matematik och naturvetenskap åk 4-9) genom att an- vända sig av begreppskartor. Några av funktionerna som användes för att studera lärarstudenternas uppfattningar av funktionsbegreppet och deras syn på funktionens olika egenskaper och deras relation till andra matematiska begrepp var följande:

y = x + 5 y = π x2 xy = 2

I de två första funktionerna är funktionens argument implicit och på ena sidan av likhetstecknet, medan i den tredje funktionen är detta argument implicit och dessutom är funktionen implicit definierad. Studiens resultat visar att lärarstudenterna utesluter väsentliga kompo- nenter när de beskriver funktionsbegreppet:

When the preservice students write down a concept or some characteristic of a concept on the map, they do not usually ob- serve relationships to the concept of function or make interpre- tations of how a concept is related to the concept of function. For instance, the preservice students do not notice a root of an equation being related to zero of a function in the current con- text, or the slope of a line is related to an increasing function, or

a parabola symmetrical about the x-axis is related to an even function, etc. (Hanson, 2006, s. 32)

Dessutom identifieras att 46 % av de lärarstuderande uppfattar y = x + 5 som en numerisk relation, och 27 % uppfattar att detta handlar om två variabler. Resultaten visar också att lärarstudenterna inte kan urskilja begreppet funktion från ekvation. Denna slutsats dras utifrån intervjuer och kommenteras av Hansson på följande sätt:

Another situation arises during the interview, when Emma spontaneously raises the relationship between equation and function in connection with xy=2 (“equation” is thought to be represented by xy=2 and “function” by y=2/x). Emma seems to find it difficult to distinguish between the two concepts and in- vents expressions, such as “the equation of the graph”. (Hanson, 2006, s. 179)

Av citaten kan det konstateras att grafens ekvation, det vill säga funk- tionens tillordningsregel, enligt Hansson inte utgör en distinktion mellan en funktion och en ekvation. Hansson (2006) påpekar att sam- manhangen i vilka lärarstudenter möter funktionsbegreppet är betydel- sefulla för deras möjligheter att konstruera begreppsbilder över de relationer som ingår i funktionsbegreppet.

De studier som redovisats i detta avsnitt visar att forskare med ut- gångspunkt i olika teoretiska traditioner dels lyfter fram olika hinder i elevernas lärande av algebra och funktioner, dels att de kunskaper som eleverna assimilerar före högskole- eller universitetsstudier består under en längre tidsperiod. Att ungefär 50 % av blivande lärare i ma- tematik (se Attorps, 2006; Hansson, 2006) uppfattar en funktion som en ekvation och ser en funktion som enbart en numerisk relation visar hur relevant det är att få reda på vad det är som framställs i klass- rumspraktiken kring ekvationer och funktioner.