Kvalitetsdiskussion

Denna studie syftar till att producera giltiga och hållbara resultat på ett etiskt godtagbart sätt. I min studie har framställningen av innehållet i två klassrum, det vill säga två fallstudier45, observerats genom att an- vända mig av olika insamlingsmetoder (se avsnitt 5.4). Enligt Merriam (1994) kan fallstudier ge viktiga och användbara insikter beträffande den pedagogiska praktiken. Fallstudiemetoden ger fors- kare möjlighet att skaffa sig djupgående insikter om en viss situation och hur de inblandade tolkar denna situation, i mitt fall vid arbetet med andragradsekvationer och andragradsfunktioner. I en fallstudie är forskaren det främsta instrumentet både för att samla in och analysera insamlad data. Analysen av det insamlade materialet i denna studie resulterar dels i fallbeskrivningar, dels i beskrivning av variation över fallen. Detta ställer stora krav på att säkerställa tolkningen av data, liksom på studiens validitet, reliabilitet och generaliserbarhet.

Förförståelse

Svensson och Starrin (1996) hävdar att vetenskapligt arbete förutsätter en förmåga att kunna balansera mellan närhet och distans till det som studeras och att det är viktigt att som forskare vara medveten om att förförståelsen kan påverka olika faser i forskningsarbetet. Hartman (2004) använder termen förförståelse för den befintliga kunskapen som redan finns hos en forskare och som används vid tolkandet av det studerade fenomenet. Han menar att det krävs en redan befintlig kun- skap om fenomenet för att kunna göra en tolkning av det eftersom det är förförståelsen som formar sättet på vilket vi uppfattar omvärlden och olika företeelser. Larsson (1986) hör till dem som kan se vissa fördelar med förförståelse då han anser att det snarare är bristen på utblickar än själva förtrogenheten som gör dem som befinner sig i verksamheten förblindade. Larsson (1994) betonar att redovisningen av forskarens förförståelse kan göras genom att redovisa forskningslä- get, öppet deklarera den valda teorin som ligger till grund för olika tolkningar eller redovisa personliga erfarenheter som är av betydelse och som har relevans i forskarens förförståelse av det som skall tolkas. I avsnitt 1.1 har läsaren haft möjlighet att få fram några av mina per- sonliga erfarenheter före huvudstudiens genomförande.

Som jag redogjorde för i avsnitt 5.1 har jag i min studie använt en

45 _{Man skulle även kunna betrakta analysen av läromedlets framställning som} ett fall, vilket skulle innebära att antalet fallstudier då blir tre.

abduktiv ansats. Denna ansats innebär ett mått av förförståelse som kan ha både fördelar och nackdelar för forskaren. Problemet ligger, som ovan nämnts, i att forskarens förkunskaper kan påverka resultatet. Jag ser inte detta som en nackdel i min studie eftersom förkunskaper inom ett område möjliggör tillförseln av en ny dimension till förståel- sen av det studerade fenomenet. Dessutom har också de förkunskaper jag har i form av egna yrkeserfarenheter varit till hjälp, exempelvis när jag formulerade mina frågeställningar och när jag försökte ringa in vad som redan var undersökt. För att hantera min egen förförståelse har jag försökt att ställa de egna erfarenheterna av att arbeta som ma- tematiklärare åt sidan, för att så långt som möjligt minska risken att dessa erfarenheter inverkar på studiens resultat. Dessutom har min förförståelse ständigt förändrats genom tolkningsprocessen och detta som en konsekvens av fördjupade teoretiska kunskaper genom till exempel deltagande i olika kurser. Trots detta var det praktiskt taget omöjligt att helt komma ifrån min egen förståelse vilket innebär att det jag slutligen når i denna studie kan vara en fusion av min förståelse och den förståelse personer jag tolkar har. Detta innebär att jag inte kan påstå att en fullständig förståelse för en annan människa nås i denna studie, eftersom jag aldrig kan lägga min egen förförståelse av världen helt åt sidan.

Reliabilitet och validitet

Begreppen validitet (om det är rätt företeelse eller objekt som mäts) och reliabilitet (noggrannheten med vilken mätningen genomförs) används på olika sätt i olika forskningstraditioner. Denna studie har utformats med inspiration från fenomenografin, vilket innebär att frå- gorna om validitet och reliabilitet får en något annorlunda innebörd.

Larsson (1986) hävdar att man, om man vill prova reliabiliteten i en fenomenografisk studie, kan ta hjälp av en oberoende bedömare med liknande bakgrund som man själv och med liknande kunskapsin- tresse för att se om denne kommer fram till samma slutsatser som man själv har gjort. Denna studie är av så stor omfattning att den skulle berättiga en oberoende bedömare. Men inte heller Runesson (1999) eller Emanuelsson (2001) väljer att använda detta angreppssätt i sina doktorsavhandlingar. Ett argument för det kan vara att detta sätt att pröva reliabiliteten inte stämmer överens med fenomenografins veten- skapssyn. Alexandersson (1994) betonar att en gemensam nämnare för den fenomenografiska forskningen är att den utgår från olikheter i uppfattningar av företeelser och objekt i världen. Tanken vilar på före- ställningen att uppfattningar åtskiljs genom att människor genom sina

olika relationer till världen får olika erfarenheter. Den interna relatio- nen mellan människan och världen har begreppet erfarande som grund i vilket det centrala är urskiljning av ett studerat fenomens delar, rela- tionen mellan dem och helheten. Larsson (1994) hävdar att förståelse alltid faller tillbaka på att delen måste relateras till en helhet för att ge någon innebörd till det studerade fenomenet. Det betyder att intresse riktas mot hur något framstår för människor, inte hur något objektivt kan beskrivas. Att beskriva lärarnas handlingar och elevernas lärande av objekten för lärande innebär inte i denna studie att jag söker efter en absolut sanning, utan att jag dels försöker underbygga studiens resultat, dels processen som lett fram till mina slutsatser utifrån den verklighet som observeras i de två fallstudierna. Inom ett fenomeno- grafiskt perspektiv är olika slutsatser som kan dras utifrån analysen av det empiriska materialet partiella och ”de är mer eller mindre fullstän- diga i förhållande till den helhet som de samlade resultaten utgör” (Emanuelsson, 2001, s. 48). Detta innebär att frågor om studiens reli- abilitet och validitet ur ett fenomenografiskt perspektiv sammanfaller och är oupplösligen förknippade med varandra under forskningens gång, vilket även andra forskare lyfter fram i sina studier (se t.ex. Emanuelsson, 2001). Validiteten i denna forskningsansats prövas ge- nom att resultatens trovärdighet granskas och deras överensstämmelse med tidigare liknande studier fastställs.

Larsson (1994) skriver om olika kvalitetskriterier som bör återfin- nas i kvalitativa studier. Han menar att vetenskapliga undersökningar skall ha en god förankring i tidigare teori och att det är en kvalitet när resultaten bidrar med något nytt. Han lyfter också fram vikten av att diskutera ”sina resultat i relation till andra relevanta studier eller teo- rier” (s. 177). I denna studie ger begrepp och tankemönster från varia- tionsteorin ett nytt sätt att analysera, tolka och förstå relationen mellan undervisning och elevens lärande. Forskning som behandlar elevens lärande är omfattande, till skillnad från forskning med fokus på inne- håll som en överbryggande länk mellan undervisning och elevens lärande, som är denna studiens forskningsfokus. På så sätt kan denna studie medverka till ökad kunskap om samverkan mellan undervisning och lärande med innehållet som mäklande länk dem emellan.

Inom fenomenografin har några olika tillvägagångssätt utvecklas för att kunna svara mot kraven på validitet och reliabilitet (se t.ex. Alexandersson, 1994; Booth, 1992; Emanuelsson, 2001). En studies validitet har diskuterats i olika studier (se t.ex. Booth, 1992; Emanuelsson, 2001) i termer av innehållsvaliditet, metodologisk vali- ditet och kommunikativ validitet.

Begreppet innehållsvaliditet har använts i sammanhang där en mätning ska indikera en individs prestationer och definieras av Carmines och Zeller (1991) som att

content validity is based on the extent to which a measurement reflects the specific intended domain of content (s. 20)

I fenomenografiska studier används detta begrepp med en annan inne- börd, nämligen att innehållsvaliditet beror på om jag som forskare kan betraktas som kunnig och öppen för andra tolkningar av det innehåll arbetet behandlar (se t.ex. Emanuelsson, 2001). Jag har fler akade- miska poäng inom matematik än någon av lärarna i studien och mer direkt undervisningserfarenhet i gymnasieskolan än båda. Detta inne- bär att jag beträffande det studerade innehållet i matematik och skolan som miljö rimligen kan betraktas som kunnig och bekant med det innehåll som studeras. Trots detta, med en bakgrund som lärare och matematiker, kan forskning på den egna praktiken ge upphov till att det uppstår en risk att övertolka elevernas möjlighet till lärande. Dess- utom kan normativa inslag påverka tolkningen av den matematiska riktningen, genom att föreställningar om den ”rätta matematiken” tränger in. Ett sätt att hantera denna problematik var att förmedla kun- skap om den studerade verksamheten genom att låta lärarna och ele- verna komma till tals genom frekventa citeringar och figurer för att därigenom göra empirins röst stark och levande. De valda citaten har strukturerats på ett sätt som speglar framställningen av lärandeobjek- ten som en meningsfull helhet. Förutom detta har jag använt mig av diskussioner med andra forskare och de deltagande lärarna för att stu- dera mina tolkningar och bedömningen av elevernas tillvägagångssätt på proven. Denna strategi blev även inflätad i undersökningens upp- lägg genom att lärarna rättade elevernas andra och tredje prov, genom lärarnas analys av de valda elevernas missuppfattningar på det sista provet och genom intervjuer med de valda eleverna som deltog i den individuella genomgången angående strategier de har använt för att lösa olika provuppgifter och deras tolkning av olika matematiska be- grepp. Förutom detta har lärarna sett och kommenterat vissa videoin- spelade sekvenser från den individuella genomgången. Jag hoppas att analyserna som redovisas i kapitel 6 gör det troligt att mitt innehålls- liga kunnande i relation till det område som studeras är tillräckligt kvalificerat för att studien skall vara rimligt övertygande.

Metodologisk validitet har att göra med om den använda fenome- nografiska ansatsen är använd på ett rimligt sätt. Inom denna forsk- ningsinriktning har en speciell metodisk arbetsgång vid datainsamling

och bearbetning av data utvecklats. Här är intervjun den vanligaste metoden att samla in data. Zeller (1997) hävdar att validitet är lika mycket en process som det är en produkt och kräver att flera metoder används tillsammans istället för en enda för att belysa eller undersöka ett fenomen. I min studie har även andra metoder använts, såsom pre- senterades i avsnitt 5.4. Enligt Zeller (1997) är det betydligt svårare att bli vilseledd av resultat som är producerade genom detta angreppssätt. Beskrivningen av hur jag gått tillväga för att samla in data visar att förutsättningar för att få en variation i det erfarna innehållet skapas på olika sätt. Genom att kombinera olika metoder kan valida resultat nås om det inte finns några motsättningar i de resultat och tolkningar som uppkommer. Detta ställer ett stort krav på kommunicerbarhet som enligt flera (t.ex. Uljens, 1992) bör betraktas som ett viktigt mått på validitet. Kvale (1995) benämner detta kommunikativ validitet.

Kommunikativ validitet har att göra med hur resultatet kommuni- ceras till andra lärare och forskare. Inom ramen för en fenomenogra- fisk ansats, har en studie om undervisning och lärande innehållet som erfars i undervisningen som central punkt. Detta innebär att frågorna kring studiens kommunikativa validitet i huvudsak handlar om den mån i vilken tolkning och analys av det erfarna innehållet represente- rar företeelser eller objekt så som dessa visar sig för någon och inte om att återge ”verkligheten”. Merriam (1994) påpekar att verkligheten inte är något absolut och objektivt utan att verkligheten, inom forsk- ning, upplevs och beskrivs genom forskarens tolkningar. Tolkningar och resultat är påverkade av de värderingar som forskaren har om det aktuella området och de värderingar som finns i forskarens omgiv- ning. Detta innebär att forskarens och hans eller hennes omgivnings värderingar till det som studeras är en av de aspekter som ingår i vali- ditetsbegreppet (se även Messick, 1989). Tolkningarna som jag har gjort förankras i ett empiriskt material. För att läsaren ska ha möjlighet att följa mina ställningstaganden och värdera rimligheten i dessa har jag valt att presentera olika utdrag ur observationerna som har gjorts i klassrummet i form av citat och ur elevernas prov i form av figurer. På så sätt kan det bli möjligt för dem som tar del av redovisningen att få en reell möjlighet att granska mitt resonemang om och tolkning av utsagorna i observationer och prov. De olika citaten och figurerna har även den funktionen att de berikar och konkretiserar innebörden i di- mensioner av variation som annars i övrigt beskrivs i mer abstrakta termer. Diskussioner med mina handledare angående de identifierade dimensionerna av variation och kritiska aspekter har kontinuerligt ägt rum. De identifierade mönstren av variation var inte givna på förhand

utan har vuxit fram utifrån flera analyser av det empiriska materialet. Preliminära resultat under analysprocessen har prövats genom att tolkningar har presenterats och diskuterats med kolleger och verk- samma lärare vid seminarier och konferenser (se t.ex. Olteanu, 2002, 2003d, 2004, 2006; Olteanu m.fl., 2003, 2004). På så sätt har jag re- dovisat forskningsprocessen i olika sammanhang. Dessutom har parti- ella resultat publicerats under denna process (Olteanu, 2003a, 2005, 2006).

Huruvida jag har lyckats angående tillförlitligheten i det kunnande som min studie kan tänkas bidra till lämnas i hög utsträckning åt läsa- ren samt dem som tillämpar mina resultat att bedöma.

Generaliserbarhet

Larsson (1994) poängterar att den tolkning som görs av insamlad data kan visa det allmängiltiga i den. Den typ av kvalitativa generalise- ringar som jag gör i mina tolkningar benämns av Kvale (1997) som analytisk generalisering. Detta innebär att påståenden och argument skall bygga på en öppenhet i frågan om tillvägagångssätt för att stärka undersökningens trovärdighet och att det ska framgå på vilken grund tolkningar görs. Som jag redovisade i kapitel 4 görs mina tolkningar genom att använda en variationsteoretisk begreppsapparat. De genera- liseringar som förekommer i denna undersökning görs därför i relation till ett innehåll och olika sätt att erbjuda och erfara detta innehåll. Det finns alltid en risk att göra för grova generaliseringar om de görs ut- ifrån ett fåtal intervjuer och observationer. Frågan är dock om jag hade kunnat göra mer trovärdiga generaliseringar utifrån ett större antal prov, intervjuer och observationer. Min uppfattning är att jag förmod- ligen inte hade haft samma möjligheter att göra mer djupgående ana- lyser av det erbjudna och det erfarna innehållet genom att utvidga antalet observationer.

Studiens syfte är att på systematisk grund skapa nya kunskaper om undervisning och elevers lärande av ett visst matematiskt objekt för lärande vilket innebär att intresset i studien helt fokuseras på vad som framställs och det som erfars i undervisningen. Utgångspunkten i un- dersökningen är att olika elever får olika erfarenheter utifrån vad de har möjlighet att erfara i relation till ett visst objekt för lärande. Min ambition är att beskriva dessa olikheter, det vill säga variationer i det som erfars och i erfarenheter, som resultat. Eftersom beskrivningarna är innehållsrelaterade bör de ha potential att kunna användas inom lärarutbildning och kompetensutveckling av lärare, det vill säga att ha en generaliserbar potential.