Mål och innehåll i matematikkurs B

Vi kan få en bild av vad det är i innehållet i matematikkurs B som eleverna förväntas kunna gällande andragradsfunktioner och andra-

gradsekvationslösningar genom att studera de uppgifter som före- kommit på olika nationella prov i matematikkurs B. Nyström (2004) anger att det övergripande syftet med kursproven, det vill säga det nationella provet, är att implementera måldokumenten och bidra till att öka likvärdigheten i betygsättningen över hela landet. En granskning av uppgifter på det nationella provet sedan 1994 indikerar att Skolver- ket förväntar sig att eleverna ska kunna lösa olika typer av andra- gradsekvationer och vissa uppgifter i vilka andragradsfunktioner före- kommer. Exempelvis fanns våren 2002 följande uppgift på det natio- nella provet i matematikkurs B:

Pelle står på en klippa invid en sjö, och kastar en sten ut över sjön. Efter t sekunder är stenens höjd över vattenytan h(t) meter där

h(t) = 8,5 + 9,8t – 4,9t2

a. När befinner sig stenen på höjden 10 meter över vattenytan? b. Bestäm stenens högsta höjd över vattenytan.

Samma uppgift valdes även på ett prov som konstruerades av lärarna som deltog i min studie. Detta innebär att både lärarna och provkon- struktörerna anser att denna kan vara en uppgift som enligt kurspla- nens mål visar hur eleverna löser en andragradsekvation och hur de tolkar, förklarar, hanterar och använder sig av en andragradsfunktion (som ett exempel på en icke-linjär funktion) för att besvara de ställda frågorna. De flesta av de nationella proven är sekretessbelagda vilket innebär att jag inte kan ge flera exempel på denna typ av uppgifter.

Funktionen som tas upp i den ovan nämnda uppgiften är en andra- gradsfunktion i vilken tiden är den oberoende variabeln som betecknas med t och höjden över vattenytan är den beroende variabeln och be- tecknas med h(t). En lösning av denna uppgift består i att hitta för vilka t-värden funktionens värde är lika med 10, med andra ord att hitta tidpunkterna då stenen passerar den höjden. Det efterfrågade t-värdet kan hittas genom att lösa andragradsekvationen:

10 = 8,5 + 9,8t – 4,9t2

Denna ekvation är av typ IV med det ena ledet skilt från noll. En lös- ning av den ovan nämnda andragradsekvationen kan exempelvis göras genom att använda kvadratkomplettering eller genom att använda formel (2) eller (4). För att använda en av dessa formler behöver and- ragradsekvationens delar (x2-koefficient, x-koefficient och konstant- term) urskiljas och relateras till varandra och till formelns (2) eller (4) struktur. Med andra ord syftar första frågan på en relation mellan en

funktion, en ekvation och en formel ((2) eller (4)) som kan göra det möjligt att ställa upp och lösa en andragradsekvation av typ IV. Denna relation har sin grund i dessa tre objekts struktur.

Fråga b innebär att man kan finna stenens högsta höjd om man får fram funktionens värde i maximipunktens t-koordinat. Med andra ord, för att ge svar på den ställda frågan ska funktionens argument be- stämmas och därefter ska funktionens värde i detta argument beräk- nas. Derivatan, som är ett annat sätt att behandla andragradsfunktio- nens extrempunkt, ingår inte i matematikkurs B (se avsnitt 2.1).

Ericsson och Sigurdsson (2002) bedömer den ovan presenterade uppgiften som en ”rakt på”-uppgift, det vill säga att eleverna har övat en del på liknande uppgifter. Trots detta kan inte mer än ungefär 32 % av eleverna som läser på det naturvetenskapliga programmet ge ett korrekt svar på den första frågan och ungefär 42 % på fråga b, både på det nationella provet26 och i min egen undersökning. Som vi kan kon- statera är andelen elever som löser en andragradsekvation mindre än vad tidigare undersökningar visat (se avsnitt 1.3). Eftersom uppgiften bedöms vara en ”rakt-på”-uppgift är det viktigt att förstå det innehåll som framställs i klassrummet och därigenom få en uppfattning om det är en kulturklyfta som Thunberg m.fl. (2006) kommer fram till eller om det kan vara andra faktorer som bidrar till elevernas bristande för- ståelse av dessa matematiska begrepp.

Innehållet som behandlas i klassrumspraktiken i relation till mål- formuleringarna kan vara mycket varierande och det kan analyseras utifrån tre dimensioner: vad-frågor, hur-frågor och varför-frågor. De tre dimensionerna lyfter fram tre centrala didaktiska problem, nämli- gen vad man behandlar i det valda innehållet (vad-frågan), med vilket syfte (varför-frågan) och med hjälp av vilka metoder (hur-frågan). Fokus i min avhandling ligger på vad-frågan, eftersom jag bättre kan förstå varför läraren föredrar ett sätt att lära eleverna framför ett annat om jag förstår vad läraren fokuserar på när han eller hon framställer ett innehåll, som exempelvis att kunna lösa en andragradsekvation eller att se strukturen i en andragradsfunktion. Med andra ord fokuse- rar jag istället för hur lärarna och eleverna löser en andragradsekvation i första hand på frågor av typen: Vad innebär det att behärska att lösa en andragradsekvation? Vad är det som är viktigast eller nödvändigt att fokusera på? Vad är det som inte får tas för givet? Varför-frågan kan enligt Lundgren (2003) förklaras som att det är skolans uppgift att

26 _{Resultaten är redovisade i rapporten Gymnasieskolans kursprov, läsåret} 2001/2002, en resultatredovisning (Skolverket, 2002).

både överföra ett kulturarv, värden, traditioner, språk och kunskaper från en generation till nästa och att förbereda eleverna för att leva och verka i det framtida samhället. Hur skolan uppfyller denna uppgift har avgörande betydelse för skolans arbete, men den kommer inte att be- handlas i min avhandling.

Sammanfattning

Andragradsekvationer och andragradsfunktioner utgör en del av det innehåll som studeras under matematikkurs B. Av praktiskt intresse har forskare inom matematik varit engagerade i att finna lösningar för en andragradsekvation i allmän form (typ IV) och att studera relatio- nerna mellan en andragradsfunktions egenskaper. Generaliseringen av att lösa en andragradsekvation har historiskt utvecklats från numeriska beräkningar, retoriskt förmedlade och starkt kopplade till geometrin. Med hjälp av geometrin är det möjligt att dels visualisera en andra- gradsekvations lösning, dels visualisera den algoritm som används för att komma fram till dessa lösningar. I och med införandet av matema- tisk symbolism kunde man finna en generell formel för att lösa en andragradsekvation och dessutom visualisera dessa lösningar med hjälp av den grafiska representationen av en andragradsfunktion. Infö- randet av begreppet funktion i matematiken hör till den symboliska fasen i utvecklingen av algebra. I och med införandet av funktionsbe- greppet kunde man skilja en funktion från en kurva och studera olika funktioners beteende i relation till deras definitionsmängd och värde- mängd. Den grafiska representationen av en funktion ger möjlighet att studera sambandet mellan en funktion och dess tillhörande ekvation. Enligt den aktuella kursplanen i kurs B, framgår det att målen med undervisningen av andragradsekvationer och andragradsfunktioner är att eleverna ska kunna använda dem för att lösa andragradsekvationer, känna till andragradsfunktioners egenskaper och hur dessa två begrepp används för att lösa olika uppgifter.