Att erfara ett innehåll

Jag har som forskningsansats valt ett teoretiskt perspektiv som ger mig möjlighet att analysera, förstå och beskriva såväl innehållet som pre- senteras i undervisningen som elevernas lärande med ett övergripande teoretiskt ramverk. Forskningsansatsen har beskrivits av Marton och Booth (1997), Bowden och Marton (1998), Marton och Tsui (2004) och betecknas av Runesson (1999) som ”variationsteori för lärande” eller kortare ”variationsteori”. Variationsteorin är en vidareutveckling av fenomenografin (Marton, 1981). Fenomenografin beskrivs av bland andra Kroksmark (1987) som en forskningsansats inom främst peda- gogisk och didaktisk forskning som är relaterad till människors upp- fattningar i en viss situation där det uppfattade innehållet är det cen- trala. Den fenomenografiska forskningsansatsen är starkt kopplad till forskning om lärande. Resultat från fenomenografisk forskning be- skriver olika sätt på vilka studenter och elever förstår och lär vissa centrala ämnesmässiga begrepp (t.ex. bråktal), samt att en viss typ av förståelse kan nås genom att medvetet variera (eller inte variera) aspekter som är relevanta för just denna förståelse. Pang (2003) har visat att undervisning som är baserad på fenomenografisk forskning av denna typ, det vill säga med en meningsfylld variation i olika di- mensioner, kan förbättra antalet studenter som förstår begrepp på det av läraren önskade sättet. Han argumenterar dessutom att det centrala i utvecklingen av variationsteorin från fenomenografin är att det är en teori om undervisning som gör det möjligt att dels analysera det be- handlade innehållet, dels indikera på vilket sätt undervisningen kan bidra till att förbättra lärandet av ett specifikt innehåll (se även Marton m.fl., 2004).

Variationsteorin intresserar sig för människors skilda sätt att erfara ett innehåll, en aktivitet eller ett fält i konkreta situationer. Erfarande-

begreppet är ett av variationsteorins mest centrala begrepp genom att det ger en speciell och komplex innebörd åt lärandebegreppet. Marton och Booth (1997) definierar begreppet erfarande som det sätt på vilket medvetandet är strukturerat och organiserat i ett specifikt ögonblick. I och med att några aspekter blir urskiljda och utgör fokus i en persons medvetande, medan andra blir tagna för givna eller inte blir urskiljda alls, är det möjligt att relatera erfarandet till medvetandet. En förut- sättning för att urskilja vissa aspekter är att skapa en potentiell varia- tion i erfarandet. Eftersom urskiljning förutsätter variation i olika aspekter kan erfarande beskrivas som mönster av dimensioner av vari- ation. Hittills kan vi konstatera att begreppet erfarande är starkt kopp- lat med begreppen aspekt, urskiljning och variation. Det är dessa be- grepp som kommer att förklaras nedan i relation till det innehåll som analyseras i min studie.

Med en aspekt menas här en föreliggande eller potentiell enskild- het (till exempel jag ser en x2-koefficient i en andragradsfunktion eller jag kontrollerar om det möjligen finns en x2-koefficient i en andra- gradsfunktion). Jag kan uppfatta aspekten x2-koefficient mot bakgrund av en dimension av variation (x2-koefficienten kan varieras genom att välja positiva och negativa tal). Om jag ser eller tänker på en viss and- ragradsfunktion är dess x2-koefficient en aspekt av funktionen i fråga. Aspekt har Marton m.fl. (2004) förklarat som ett värde i en dimension av variation, vilket i det ovan presenterade exemplet är andragrads- funktionens x2-koefficient.

Enligt Marton och Booth (1997) möjliggörs urskiljning genom att vissa aspekter varierar medan andra aspekter förblir invarianta. Runesson (1999), Emanuelsson (2001) och Marton, Runesson och Tsui (2004) använder sig av olika exempel för att beskriva olika sätt att skapa en potentiell variation i erfarandet (kontrast, generalisering, separation och fusion) och variationens betydelse för det vi erfar, de aspekter av ett innehåll som kan urskiljas och deras betydelse för det som är möjligt att lära sig. Urskiljning av en aspekt sker mot bakgrund av att denna utgör en variation i exempelvis lärarnas och/eller elever- nas sätt att erfara olika fenomen. Till exempel måste vissa aspekter urskiljas mot bakgrund av att de kan variera för att eleverna ska kunna uppfatta vad som menas med en andragradsfunktions egenskaper, det vill säga extrempunkt, symmetrilinje och nollställen. Frågan är vilka aspekter som ska variera och på vilket sätt för att dessa egenskaper ska bli urskiljda? För att läsaren ska förstå komplexiteten i svaret på denna fråga har jag valt att ta följande grafiska representationer som ut- gångspunkt i mitt resonemang:

10 5 0 -5 -10 15 10 5 0 -5 -10 -15 x y x y 10 5 0 -5 -10 20 10 0 -10 -20 x y x y 10 5 0 -5 -10 20 10 0 -10 -20 x y x y (A) (B ) (C)

Figur 4.1. Andragradsfunktioners egenskaper.

I Figur 4.1 (A) representeras två andragradsfunktioner som har en maximi- och en minimipunkt som extrempunkter men samma sym- metrilinje och nollställen. I (B) har andragradsfunktionerna en mini- mipunkt som extrempunkt, olika i de båda fallen, men samma sym- metrilinje och nollställen. I (C) har andragradsfunktionerna en mini- mipunkt som extrempunkt, men såväl extrempunkter som nollställen och symmetrilinjer är olika. Genom att bara studera funktionernas egenskaper grafiskt kan endast konstateras att det finns vissa skillna- der mellan hur dessa egenskaper framträder i olika situationer. För att analysera de aspekter som avgör dessa skillnader presenteras i Tabell 4.1 relationen mellan funktionens grafiska representationer och deras algebraiska representationer.

Tabell 4.1. Andragradsfunktioner grafiska och algebraiska

representationer.

N r. An d rag ra d sfu n ktio n e r – a lg e b ra is k rep re s en tatio n

An d ra g rad s fu n ktio n er – g rafis k rep re s e n tatio n

1. f(x) = x2 – 6x – 2 2. g (x) = – x2 + 6x + 2 I F igu r 4.1 (A ) 3. h(x) = x2 + 6x + 2 4. p(x) = 2x2 + 1 2x + 4 (B ) 3. h(x) = x2 + 6x + 2 5. s(x) = x2 – 6 x + 2 (C )

Dessa funktioner har samma definitionsmängd och värdemängd, näm- ligen alla reella tal. Skillnaden mellan funktionerna som presenteras i

Tabell 4.1 utgörs av parametrarna som bildar funktionens tillordnings- regel, nämligen x2-koefficienten, x-koefficienten och konstanttermen. Dessa parametrar varierar från att vara positiva tal till att vara negativa tal. Beroende på vilka parametrar man fokuserar på är det möjligt att urskilja olika egenskaper av en andragradsfunktion.

Parametrarna som bildar funktionerna 1 och 2 har samma värden men olika tecken. Trots detta är det bara en av funktionens egenskaper som varierar, nämligen extrempunkten. Variationen i extrempunktens karaktär, nämligen att vara en maximi- eller minimipunkt, beror en- bart på variationen av andragradsekvationens x2-koefficient. I funktio- nerna 1 och 2 framträder en variation i parametrarna som konstituerar dessa funktioner genom kontrast. Denna variation gör det möjligt att urskilja andragradsfunktionernas extrempunkter mot bakgrund av att nollställen och symmetrilinje är invarianta. I Figur 4.1 (B) represente- ras graferna för funktionerna 3 och 4. Dessa funktioner skiljer sig i och med att parametrarna i funktion 3 har multiplicerats med talet 2 men alla parametrar antar positiva värden. Trots dessa skillnader är det enbart funktionens minsta värde som varierar, det vill säga en aspekt i andragradsfunktionens extrempunkt, nämligen y-koordinaten. I Figur 4.1 (C) representeras graferna till funktionerna 3 och 5. Denna gång består skillnaden mellan dessa funktioner av andragradsfunktio- nens x-koefficient. Denna skillnad leder till att två av andragradsfunk- tionens egenskaper varierar samtidigt, nämligen symmetrilinjen och nollställena. Dessutom varierar extrempunktens x-koordinat. Den in- varianta aspekten är i detta fall extrempunktens y-koordinat. Genom att variera vissa parametrar i andragradsuttrycket som bildar funktio- nens tillordningsregel skapas möjligheter att urskilja andragradsfunk- tionens egenskaper.

Om eleverna i framställningen av innehållet i klassrummet i ex- emplet ovan har möjlighet att erfara sättet på vilket en variation i x2-koefficienten relateras till en variation i andragradsfunktionens ex- trempunkt, är denna variation explicit. Om eleverna däremot lägger märke till att en andragradsfunktions extrempunkt är en minimi- eller maximipunkt, är variationen implicit och har en tidigare upplevd vari- ation som grund. Oavsett om denna variation görs implicit eller expli- cit är det väsentliga att x2-koefficientens förhållande till noll, det vill säga att vara mindre eller större än noll, kan vara en kritisk aspekt för elevernas förståelse av begreppet extrempunkt. Med en kritisk aspekt menas här en aspekt som är nödvändig för att exempelvis förstå vad som menas med andragradsfunktionens extrempunkt. Dessutom an- vänds en kritisk aspekt för att markera de aspekter som urskiljs av

eleverna i erfarandet av exempelvis andragradsfunktioner och andra- gradsekvationer.

Erfarandebegreppet, såsom det används inom variationsteorin, in- kluderar en strukturell och en referentiell aspekt, det vill säga struktur och mening. De två aspekterna är dialektiskt sammanflätade vilket innebär att struktur förutsätter mening och tvärtom. Detta uttrycks av Marton och Booth (1997) på följande sätt:

Structure presupposes meaning, and at the same time meaning presupposes structure. The two aspects, meaning and structure, are dialectically intertwined and occur simultaneously when we experience something. (s. 87)

Enligt Bowden och Marton (1998) innebär att erfara något att urskilja detta något från det sammanhang som det ingår i och att urskilja delar av det vi erfar samt att relatera dessa delar till varandra och till helhe- ten, men att erfara något är också att erfara en innebörd eller mening. Ett särskilt sätt att erfara någonting motsvarar en kombination av de relaterade aspekter som samtidigt är närvarande i en persons fokuse- rade medvetande. Erfarandet utgörs därmed av en intern relation mel- lan personen och världen.

Så, att exempelvis erfara en andragradsfunktion kan innebära att lä- rare och/eller elever urskiljer denna funktion från det sammanhang som den ingår i och relaterar den till det sammanhanget eller andra sammanhang som till exempel vad en andragradsfunktion som helhet handlar om, olika delar inom helheten och uppgifter varigenom dessa belyses. Ett exempel är funktionen f(x) = 2x2 – 12x + 4 som ingår i det matematiska sammanhang som kallas funktioner. Att urskilja att denna funktion är en andragradsfunktion och inte en förstagradsfunk- tion, till exempel f(x) = – 12x + 4, innebär att urskilja att en x2-term framträder i en andragradsfunktion. Om läraren och/eller eleven foku- serar på aspekten x2-term, öppnas det upp en variation i medvetandet som gör det möjligt att urskilja en andragradsfunktion från en första- gradsfunktion. Andragradsfunktionen som helhet handlar om en av- bildningsregel som kopplar ihop ett tal (argument) som tillhör funk- tionens definitionsmängd med ett annat tal (funktionens värde) som tillhör funktionens värdemängd. Denna avbildningsregel kan beteck- nas med f, g eller h och så vidare. Här är det inte själva beteckningen som är intressant, utan att meningen med dessa olika beteckningar är att representera olika avbildningsregler som har olika strukturer. De- larna som konstituerar en andragradsfunktion är dels funktionens defi- nitionsmängd, värdemängd och avbildningsregel som representeras av

ett uttryck av andra graden, dels andragradsfunktionens egenskaper, nämligen extrempunkt, symmetrilinje och nollställen. Genom att and- ragradsfunktionens olika delar urskiljs samt relateras till varandra får andragradsfunktionen en viss mening. Som tidigare betonats, mening förutsätter struktur och tvärtom.

För att urskilja aspekter måste variation erfaras. Sättet som denna variation erfars på studeras i min studie i relation till undervisningen som äger rum i klassrummet. Variationen kan erfaras genom synkron eller diakron simultanitet. En synkron simultanitet innebär att man erfar variation vid samma tidpunkt, medan en diakron simultanitet innebär att man relaterar till tidigare erfaren variation. I analysen av det empiriska materialet i min studie har både synkron och diakron simultanitet visat sig. Detta innebär att analysen inte enbart beaktar innehåll som framställs under en lektion utan även innehåll som fram- ställs under flera lektioner. En utgångspunkt i analysen av det erfarna innehållet i klassrumspraktiken är att variationen i lärares och elevers sätt att erfara olika situationer och fenomen återspeglar skillnader i de aspekter av dessa situationer och fenomen som urskiljs och samtidigt är fokuserade i medvetandet. En annan utgångspunkt är att undervis- ning och lärande är intimt sammanbundna med varandra och att stu- dera undervisning i relation till elevernas lärande med fokus på inne- håll kan göras med utgångspunkt i erfaranden som lärare och elever går igenom tillsammans.