Några studier om innehållet i matematik

Begreppet undervisning används ofta i skolförfattningarna som något läraren gör. I Skollagskommitténs förslag uttrycker man att undervis- ning är ”sådana målstyrda processer som under lärarens ledning syftar till inhämtande av kunskaper och värden” (SOU 2002:121, s. 34). Hur ska man analysera, förstå och beskriva ”lärarens ledning” och vilka kunskaper inhämtar eleverna i till exempel matematik?

Ett försök att reda ut och definiera begreppet undervisning via etymologiska och historiska analyser görs av Kroksmark (1997). En-

ligt Kroksmark är undervisning en aktivitet som karakteriseras av att vara riktad, planerad och målbestämd och har som avsikt att lärande ska ske. I en undervisningssituation riktas uppmärksamheten mot ett innehåll och den som ansvarar för undervisningen riktar dessutom uppmärksamhet mot själva lärandet, det vill säga hur eleven förändrar sitt sätt att uppfatta, förstå eller utföra något. Undervisningen sker mellan minst två subjekt i ett socialt sammanhang, den är kommuni- kativ och interaktiv. Med andra ord innebär undervisning ett växelspel mellan lärare, elev, undervisningsinnehåll, läromedel, läroplan med mera i en given miljö. Av Kroksmarks definition och tolkning av vad undervisningen är i skolsituationen framgår att den är starkt kopplad till externa (till exempel läroplan, tid osv.) och interna faktorer (mötet mellan lärare och elever kring ett innehåll).

Relationerna mellan läroplaner och resurser, avsatta för undervis- ning eller undervisningens förverkligande och resultat har studerats av till exempel Dahllöf (1967) och Lundgren (1972). Dahllöf preciserar ett antal variabler som kan kopplas ihop med undervisningens resultat, nämligen elevgruppens förutsättningar, studiemålens nivå och den tid som läggs ner på ett visst moment. Lundgren behandlar undervis- ningsprocessen ur ett läroplansteoretiskt perspektiv med begrepp som styrgrupp, tidsramar, innehållsangivelser i läroplaner och sammansätt- ning av skolklassen. Lindblad och Sahlström (1999) analyserar med utgångspunkt i bland annat Dahllöfs och Lundgrens arbeten hur inre ramar för undervisning konstitueras i klassrumsinteraktioner från 1973 till 1995. Deras resultat visar att formerna för klassrumsinteraktionen under 1993-1995 domineras av individuellt arbete eller arbete i små grupper. I smågruppsarbetet kunde det sätt som läroböcker, arbets- boksanvisningar och lärares instruktioner förespråkade bekräftas. Det förefaller som om det innebär en begränsning med avseende på skol- arbetets innehåll, det vill säga att eleverna får ökade möjligheter att under lektioner kunna ägna sig åt annat än den egna strävan efter att upptäcka kunskap (Lindblad & Sahlström, 1999).

Min studie skiljer sig från dessa inriktningar i och med att det är det som behandlas i innehållet och elevernas lärande av detta som är det centrala. Några studier med ett sådant syfte, i vilka relationen mellan undervisningens innehåll och elevernas lärande i matematik har analyserats i ett variationsteoretiskt perspektiv kommer att pre- senteras nedan.

Runessons (1999, 2002, 2006) forskning är inriktad mot de varia- tioner som används i undervisningen för att framställa ett innehåll. Runessons forskningsintresse är bland annat att studera olika möjlig-

heter att uppfatta innehållet i klassrummet med utgångspunkt i att se lärarnas undervisningshandlingar som en potential för att forma ele- vernas medvetande. Hon visar i en av sina studier (Runesson, 1999) hur olika lärare formar olika undervisningsobjekt när de undervisar sina elever om samma matematiska innehåll. I studien deltog fem lärare som undervisar om tal i bråkform i åk 6 eller 7. Varje lärares undervisning har följts och ljudbandats under fem på varandra föl- jande lektioner. Före och efter den observerade undervisningen har samtliga lärare intervjuats. Genom att analysera på vilket sätt inne- hållet framställs och vilka aspekter som lyfts fram i detta innehåll identifierar Runesson tre sätt som lärarna använder för att presentera ett matematiskt innehåll. Det första sättet innebär att lärarna fokuserar på det rätta svaret och det rätta sättet, vilket leder till att elevernas svar på vissa frågor som läraren ställer beröms eller avvisas. Det andra sättet innebär att lösningsmetoderna och presentationen av innehållet görs på ett systematiskt sätt. Detta leder till att eleverna får vissa strukturer och principer som ligger till grund för deras arbete med olika uppgifter. Det tredje sättet utgörs av att lärarna tar elevernas responser på framställningen av innehållet som utgångspunkt. Ett an- nat resultat som Runesson kommer fram till är att undervisningen ser helt olika ut trots att lärarna undervisar om samma innehåll, använder i stort sett samma läromedel och samtalar med sina elever om samma uppgifter. Detta i sin tur leder till att eleverna kan få helt olika upp- fattningar om det behandlade innehållet. En förklaring till detta är att lärarna fokuserar på olika aspekter i framställningen av innehållet och att eleverna på så sätt erbjuds olika aspekter av detta innehåll. Det som enligt Runesson spelar en avgörande roll för elevernas lärande är hur lärarna presenterar samtidiga variationer i innehållets kritiska aspek- ter. Runesson (1999) studerar inte elevernas eller lärarnas erfarande eller förståelse av undervisningsinnehållet. Det är ”innebörder av tal i bråk- och procentform, så som de uttrycks av läraren då hon kommu- nicerar begreppet till eleverna” (s. 112) som är studiens objekt.

Runesson och Mok (2004) poängterar att variationen som framträ- der i en aspekt av innehållet som fokuseras i undervisningen är avgö- rande för elevernas lärande. Med andra ord är det inte tillräckligt att enbart fokusera på vissa aspekter, utan det krävs även att en samtidig variation konstitueras i dessa aspekter: ”So, what is varying, what is invariant, and what is varying at the same time are important for what is possible to learn” (s. 86). Marton, Runesson och Tsui (2004) har utifrån olika studier identifierat fyra variationsmönster som framträder i konstitueringen av ett innehåll: variation genom kontrast (för att veta

vad något är måste individen erfara något annat att jämföra med), ge- neralisering (det finns varierande former av samma sak), separation (man håller en aspekt invariant och varierar andra aspekter) och fusion (flera kritiska aspekter måste sammanföras i erfarandet).

Emanuelsson (2001) har som fokus att undersöka ”variationen i hur lärarens frågor i klassrummet öppnar elevernas möjligheter att se, förstå, uppfatta, erfara elevernas sätt att förstå inom matematik och naturvetenskap” (s. 7). Han utgår från variation eller variation i erfa- rande för att söka djupare insikter beträffande lärande. Resultatet visar bland annat att lärare i behandlingen av innehållet fokuserar på proce- durer, vilket leder till svårigheter i att se skillnaderna i elevernas för- ståelse av matematiken. Emanuelsson (2001) förklarar detta på föl- jande sätt:

I matematik dominerar istället möjligheterna att bedöma elever- nas kunnande i termer av rätt respektive fel svar eller lösnings- metod. Sämre är möjligheterna att avgöra hur eleverna förstår den matematik de hanterar. Lärarna har relativt små möjligheter att bedöma elevernas kunnande när det gäller att presentera eller argumentera för en ståndpunkt, ett resonemang eller en lös- ningsmetod i matematik. (s. 210)

Emanuelssons (2001) resultat lyfter fram en viktig aspekt som har att göra med lärarnas syn på kunskap, nämligen att det är svaret eller lösningsmetoden i matematik som utvärderas av lärarna. Det vikti- gaste resultatet av denna studie är att det är möjligt att få reda på nå- gons sätt av att förstå någonting om detta någonting behålls invariant och kunnandets akt varierar i relation till de invarianta aspekterna av kunnande.

För att komma till det rätta svaret använder sig läraren av vad tidi- gare forskning ofta kallat ”lotsning”. Lundgrens (1979) och Kilborns studier (1979) inom PUMP-projektet lyfter fram begreppet lotsning som betyder att läraren forcerar fram ett korrekt svar från eleven trots att han eller hon egentligen inte skapat någon förståelse för problemet i uppgiften. Lotsning kan även bero på att läraren vill dölja sin egen osäkerhet kring undervisningsinnehållet. Säljö (2000) anser att genom lotsning tas tankehinder hos eleven bort av läraren, istället för att lära- ren vägleder eleven genom problemet. Löwing (2004) beskriver en typ av lotsning där läraren talar med en grupp elever som om de vore en individ. Löwing anser att detta får till följd att elever såväl som lärare tror att eleverna har skapat förståelse vilket i själva verket inte stäm- mer. Carlgren och Marton (2001) argumenterar att ur lärarperspektiv

fungerar lotsningen både som ett sätt att undervisa och som ett sätt att hålla elevernas uppmärksamhet upp. De hävdar att

ur ett (konstruktivistiskt) inlärningspsykologiskt perspektiv … har lotsningen emellertid uppfattats som ett fenomen som hind- rar elevernas förståelse och främst är ett uttryck för en felaktig kunskapssyn. En sådan ”didaktisk” förståelse av lotsningen missar att den är ett uttryck för att få ihop lärararbetets intentio- nella och betingade sidor. (s. 77-78)

Holmqvist, Lövdahl och Strömberg (2006) presenterar i sin studie ett försök att förstå hur eleverna lär sig skillnaden mellan funktioner och ekvationer. För att göra detta planerar författarna tillsammans med samtliga undervisande lärare tre lektioner. Den första lektionen hade som syfte att eleverna skall lära sig att ett ekvationssystem ”har en exakt lösning, medan en kontinuerlig funktion har en graf som lösning [sic!]” (s. 112). Den andra lektionen betonar ”skillnaden mellan en kurva och två korsande linjer” (s. 117). Den tredje lektionen fokuserar på att ”en graf är uppbyggd av oändligt många punkter” (s. 124). För- fattarna identifierar ”negativa tal, algebraisk förståelse samt hantering av koordinatsystem” (s. 137) som kritiska aspekter i elevernas förstå- else av skillnaden mellan funktioner och ekvationer. Dessutom påpe- kas betydelsen av att eleverna utvecklar sin förståelse av att en funk- tions graf består av oändligt många punkter. Ett annat resultat som författarna kommer fram till är att användningen av olika representa- tioner av en funktion ökar elevernas förståelse av relationen mellan funktionens algebraiska och grafiska representation, vilket även andra forskare har pekat på (se t.ex. Moschkovich m.fl., 1993; Schwartz & Yerushalmy, 1992).

Flera studier genomförda ur ett variationsteoretiskt perspektiv (se t.ex. Marton m.fl., 2004; Marton & Morris, 2002) har visat att de mönster av variation som konstitueras i undervisningen återspeglas i det som eleverna faktiskt lär sig. Forskningsresultat som presenteras i detta avsnitt visar att frågor som avser analysen av ett matematiskt innehåll har som gemensamt drag att identifiera det som framställs i klassrummet som mönster av variation. Det är detta antagande som utgör denna studies utgångspunkt och som kommer att presenteras i nästa kapitel i relation till hur analysen av det empiriska materialet har genomförts.

Sammanfattning

I matematikdidaktisk forskning har övergången från process till objekt när det gäller algebra och funktionslära studerats. I denna övergång har forskare identifierat olika svårigheter i elevernas lärande. Dessa svårigheter avser likhetstecknet, ekvivalenta uttryck och funktionens tillordningsregel. Olika studier visar att svårigheter med funktionsbe- greppet kan övervinnas om man använder sig av multipla representa- tioner eller om man fokuserar på funktionens egenskaper. Dessutom visar forskningsresultat att en funktion i den algebraiska representa- tionen framträder som process medan den grafiska representationen framträder som objekt i en funktion. Trots omfattande kunskap som vi får utifrån detta perspektiv finns det fortfarande begränsad kunskap om vad som krävs för att eleverna ska utveckla vissa förmågor för att vara kompetenta brukare av begreppen ekvation och funktion.

Att göra generaliseringar i matematik understryks av många fors- kare som viktigt för utvecklingen av det matematiska tänkandet. Ut- ifrån olika teoretiska perspektiv kommer forskare fram till att en avgö- rande faktor för att göra generaliseringar i algebra och funktionslära är strukturen i exempelvis begreppen funktion och ekvation. Dock an- vänds begreppet struktur på olika sätt och med olika innebörder inom den matematikdidaktiska forskningen, såsom Hoch och Dreyfus (2004) och Radford (2006) påpekar. Det finns forskare som hävdar att generaliseringsprocessen äger rum genom identifiering av vad som är invariant i speciella fall och därefter fokusera på dessa invarianta egenskaper för att upptäcka mönster och göra generaliseringar. Det har påpekats (se t.ex. Dörfler, 1991) att denna identifikation är svår att göra i en undervisningssituation. Forskare delar in användningen av symboler i algebra utifrån olika kriterier. Sfard och Linchevski (1994) använder denna indelning för att identifiera den historiska och episte- mologiska utvecklingen av algebra, Küchemann (1981) indelar ele- vernas svar i klasser, Usiskin (1988) länkar användningen av symboler till avsikten med algebra och Ursini och Trigueros (1997) identifierar och indelar algebraiska färdigheter i klasser.

Forskare som har haft studium av epistemologiska hinder eller uppfattningar om begreppet ekvation och funktion som huvudfrågor visar ett antal svårigheter som kopplas till övergången från aritmetik till algebra, ekvivalensen av algebraiska uttryck och termerna som förekommer i ett algebraiskt uttryck. Dessutom visar ett par nyligen utkomna avhandlingar (Attorps 2006; Hansson, 2006) att blivande lärare har svårt att urskilja begreppet funktion från begreppet ekvation.

Forskare som har fokuserat på att studera innehållsrelaterade frågor i matematik och som har en variationsteoretisk ansats som utgångs- punkt lyfter fram att variation, urskiljning och samtidighet är begrepp som är centrala i denna ansats. Dessutom visar forskarnas resultat att de mönster av variation som konstitueras i undervisningen återspeglas i det som eleverna lär sig.