Relationer mellan det erbjudna och erfarna lärandeobjektet

ation i olika aspekter avseende lärarens respektive läromedlets fram- ställning av objekten för lärande samt olika kritiska aspekter i vad eleverna erfar och kommer att presenteras i kapitel 6.

4.4 Relationer mellan det erbjudna och erfarna

lärandeobjektet

I kapitel 3 presenteras forskare som med utgångspunkt i Brousseaus (1983, 1997) arbete har börjat studera epistemologiska hinder i ele- vernas lärande av matematiken genom att i första hand ta ett kogniti- vistiskt perspektiv som utgångspunkt. Forskare som utgått från be- greppet epistemologiska hinder för att förstå vilka aspekter som hind- rar elevernas lärande av algebra och funktionsbegreppet har i stort sett fokuserat på vad eleverna inte kan inom dessa områden. Såsom Herscovics (1989) lyfter fram kan undervisningen ha betydelse för i vilken utsträckning eleverna kan komma förbi vissa hinder eller inte i deras lärande av matematiken. Herscovics konstaterar att elevernas svårigheter inte kan bemästras genom att erbjuda eleverna mer information:

No matter how much goodwill and care the teacher provides, these structural changes cannot be conveyed by mere transmis- sion of information. Each learner is condemned to alter the mental structure in his or her own mind. (s. 83)

Om lösningen inte är att erbjuda eleverna mer information, kan en lösning vara att läraren har verktyg för att identifiera vilka aspekter som måste fokuseras i framställningen av ett matematiskt innehåll och som kan leda till utveckling av elevernas existerande kunskaper. Emanuelsson (2001) konstaterar i sin studie att lärarna har små möj- ligheter att bedöma elevernas kunskaper i matematik när de exem- pelvis genomför olika resonemang vid lösningen av en uppgift.

Davydov (1999) visar att läraren har en avgörande roll i att fokusera på det som är relevant i innehållet eftersom

textbooks and methodical recommendations for the instruction of particular school subjects do not meet the requirement of the very learning material and the intended way of how to introduce the subject into the teaching/learning process. (s. 130)

Till skillnad från forskare som varit intresserade av att studera ele- vernas kunskapsutveckling med hjälp av begreppet epistemologiska hinder, används inom variationsteorin begreppet kritiska aspekter för att, som jag tidigare har nämnt, markera vilka aspekter som är nöd- vändiga för förståelse av ett lärandeobjekt. Relationen mellan det er- bjudna och det erfarna lärandeobjektet förklaras av Marton och Morris (2002) på följande sätt:

We have defined what the pupils can possibly learn in terms of the enacted object of learning, described as a space of variation. Our conjecture was that what is focused upon, what is taken- for-granted, what is invariant and what varies simultaneously, is of decisive importance for what is possible for pupils to learn and to achieve. (s. 140)

Av citaten ovan framgår att det som är möjligt för eleverna att lära sig är starkt kopplat till det som fokuseras på och vad som tas för givet, det som varierar samtidigt och det som är invariant i det erbjudna lärandeobjektet. Genom att förstå relationen mellan det erbjudna och det erfarna lärandeobjektet är det möjligt att finna de verktyg som kan leda till att förbättra undervisningen. För att få reda på vad som ska förbättras behöver vi kunskap om bland annat vad det är i innehållet som behandlas i en undervisningssituation. Detta kan förstås på olika sätt utifrån olika teoretiska ställningstaganden. Inom variationsteorin betonas lärarens roll i undervisningen och variationsteoretiska per- spektiv ger även möjlighet att förstå, analysera och förklara undervis- ningen i relation till innehållet som behandlas i undervisningen (se t.ex. Carlgren & Marton, 2001; Ko & Marton, 2004; Runesson & Mok, 2004). Dessutom erbjuder variationsteorin verktyg för att förstå relationen mellan undervisning och elevernas lärande, vilket är det väsentliga i min studie. För att analysera denna relation har jag använt mig av följande modell:

Erbjudet lärand eobjekt lärare 1 lärare 2 lärom edlet Erfaret lärandeobjekt elever (lärare 1) elever (lärare 2) R1 R2 R3

Figur 4.3. Relationer – det erbjudna och det erfarna lärandeobjektet.

Av Figur 4.3 framgår att det som analyseras först är relationen mellan de erbjudna lärandeobjekten i de två observerade klasserna och i lä- romedlet (R1). Därefter analyseras relationen mellan det som eleverna erfar i de två observerade klasserna (R2). Den sista relationen (R3), det vill säga relationen mellan det erbjudna och det erfarna lärande- objektet är en konsekvens av den första och den andra relationen.

Analysen av relationen mellan det som erbjuds i klassrummet och i läromedlet har genomförts i tre etapper. Jag började min analys med att identifiera de lektioner i vilka innehåll avseende andragradsekva- tioner och andragradsfunktioner behandlats (Etapp 1). Därefter har jag identifierat delarna som framställs i varje lärandeobjekt (Etapp 2). Analysen har inriktat sig på att identifiera de aspekter som framträder i det erbjudna lärandeobjektet och som gör det möjligt att urskilja dess delar. I den tredje etappen (Etapp 3) har analysen riktats mot hur dessa delar relateras till varandra och till lärandeobjektet som helhet. Analy- sen har här fokuserat på att identifiera de fokuserade aspekterna för att relatera delarna till helheten. Detta har gjorts genom att uppmärk- samma det som varierar och det som hålls invariant i dessa aspekter. Analysen har även uppmärksammat de aspekter som leder till att ur- skiljandet av en andragradsfunktion från en andragradsekvation blir möjligt. I de identifierade aspekterna har de mönster av dimensioner av variation som har öppnats upp i lärarnas och läromedlets framställ- ning av objekten för lärande analyserats. Dessa mönster ligger till grund för att identifiera relationen mellan lärarnas och läromedlets framställning av lärandeobjekten.

Den andra relationen som illustreras i Figur 4.3 syftar på elevernas erfarande av det lärandeobjekt som läraren och läromedlet erbjuder i klassrummet. Analysen av denna relation har genomförts i tre etapper. Först har jag identifierat i vilka av de uppgifter som eleverna hade på sina prov andragradsekvationer och/eller andragradsfunktioner före- kom (Etapp 1). För det andra har jag analyserat hur eleverna går till väga för att lösa olika uppgifter (Etapp 2). Här har det särskilt upp- märksammats om eleverna använder en andragradsfunktion eller en

andragradsekvation som utgångspunkt i sina lösningar. Därefter (Etapp 3) har uppgifterna grupperats utifrån det gemensamma tillvä- gagångssättet som eleverna uppvisar i sina lösningar. I dessa grupper har delarna som skiljer ett sätt att erfara en andragradsekvation och/eller en andragradsfunktion på identifierats. Dessa delar består av olika sekvenser i en uppgift. Med en sekvens menar jag att det kan finnas ett eller flera steg som eleverna använder för att lösa en uppgift, men dessa steg svarar mot samma del med avseende på lärandeobjek- tet. I dessa sekvenser kunde det identifieras kritiska aspekter i elever- nas lärande. Dessa kritiska aspekter avser skillnader i meningen med lärandeobjektets delar. Jag har även identifierat kritiska aspekter när eleverna har relaterat dessa delar till lärandeobjektet som helhet. I dessa kritiska aspekter kunde det identifieras olika mönster av varia- tion avseende elevernas erfarande av lärandeobjektets delar och rela- tionen mellan delar och lärandeobjektet som helhet. De mönstren har gjort det möjligt att relatera elevernas erfarande av en andragradsek- vation och en andragradsfunktion i de två observerade klasserna.

I analysen av relationen mellan de erbjudna och de erfarna läran- deobjekten, det vill säga den tredje relationen som presenteras i Figur 4.3, har för det första relationen mellan de fokuserade aspekterna i de erbjudna lärandeobjekten och de aspekter som eleverna urskiljer när de löser olika uppgifter uppmärksammats. För det andra har relationen mellan mönster av dimensioner av variation i de erbjudna lärandeob- jekten och de mönster som konstitueras i elevernas erfarande av dessa objekt för lärande uppmärksammats.

De identifierade mönstren av dimensioner av variation och relatio- nen mellan de erbjudna och de erfarna lärandeobjekten kommer att presenteras i kapitel 7.

Sammanfattning

Det variationsteoretiska perspektivet ger mig teoretiska begrepp som fungerar som analysverktyg för att tolka det empiriska materialet i min studie. Inom detta perspektiv förstås lärande som en förändring i ele- vernas förmåga att erfara ett objekt. Analysen av det erbjudna och det erfarna lärandeobjektet i min studie kan sammanfattas på följande sätt. För det första har jag identifierat delarna som framträder i framställ- ningen av lärandeobjektet eller elevernas resonemang samt identifierat de aspekter i vilka det var möjligt att identifiera dimensioner av varia- tion. För det andra uppmärksammades om dessa dimensioner av vari- ation framträder samtidigt eller sekventiellt. För det tredje har jag

identifierat vilken eller vilka aspekter som är avgörande för den me- ning som erfars och erbjuds inom och mellan lärandeobjekten. Analy- sen av relationen mellan de erbjudna och de erfarna objekten för lärande har gjorts med utgångspunkt i de identifierade mönstren av dimensioner av variation med avseende på de aspekter som framställs i klassrummet och som kunde identifieras i elevernas tillvägagångssätt när de löste olika uppgifter.