Det avsedda, erbjudna och erfarna lärandeobjektet

Fokus i denna studie är, som tidigare nämnts, att analysera relationen mellan framställningen av innehåll avseende andragradsekvationer och andragradsfunktioner och elevernas lärande av detsamma. Denna relation kan förstås, analyseras och beskrivas med utgångspunkt i vad det är i innehållet som erbjuds eller framställs i klassrummet och ele- vernas erfarande av samma innehåll, det vill säga vad som är möjligt för eleverna att erfara som variation och vad de erfar. Innehållet väljs

med utgångspunkt i kursplaner och behandlas av läraren förhopp- ningsvis med syftet att få eleverna att lära sig något. Det innehåll som konstitueras i klassrummet mellan lärare och elev, benämns som lärandeobjekt eller objekt för lärande. Ett objekt för lärande kommer till uttryck när läraren framställer olika matematiska begrepp i hela klassen, i individuella samtal med eleverna eller när eleverna ställer vissa frågor. Ett lärandeobjekt definieras som ”a capability” (förmåga) och består av en generell och en specifik aspekt:

The general aspect has to do with the nature of the capability, such as remembering, discerning, interpreting, grasping, or viewing, that is, the acts of learning carried out. The specific aspect has to do with the thing or subject on which these acts are carried out, such as formulas, engineering problems, simul- taneous equations. (Marton, Runesson & Tsui, 2004, s. 4) Dessa förmågor som handlar om elevernas lärande ligger till grund för lärarnas handlingar. Det finns en dialektisk sammanflätning mellan lärandeobjekt och förmåga som innebär att ett lärandeobjekt består av ett indirekt lärandeobjekt som kopplas till en typ av förmåga som ele- ven försöker utveckla (minnas, urskilja, förstå, använda, komma fram till och så vidare) och ett direkt lärandeobjekt som förstås som det innehåll man lär sig. Utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv kan objektet för lärande analyseras ur tre perspektiv, nämligen det avsedda (intended), det erbjudna (enacted) och det erfarna (lived) lärandeob- jektet. Figur 4.2 återger i visuell form dessa tre perspektiv.

Erbjudet lärandeobjekt Erfaret lärandeobjekt

direkt direkt

Avsett lärandeobjekt

direkt indirekt indirekt indirekt

Figur 4.2. Tre perspektiv för att analysera objekten för lärandet.

Det avsedda lärandeobjektet refererar till vad det är i innehållet som eleverna ska lära sig och som är tänkt att behandlas i klassrummet. Det lärarna tänker behandla i klassrummet synliggörs i min studie dels i lärarnas gemensamma planering av innehållet i matematikkurs B, dels i vad läraren säger vid lektionens inledning. Om läraren till ex- empel säger: ”Idag ska vi lösa några andragradsekvationer”, är det avsedda lärandeobjektet andragradsekvationer. Analysen av lärande- objektet ur detta perspektiv har i min studie fokuserat på att identifiera

de situationer som skapas i klassrummet och som ger upphov till ge- staltningen av objektet för lärande. Utgångspunkten i denna analys var att erfarandet av objektet för lärande skapas i en situation som ger undervisningen en relevansstruktur. I analysen har skillnader mellan de skapade lärandesituationerna i de två observerade klasserna identi- fierats. Dessa skillnader avspeglas i det använda arbetssättet i klass- rummet. Resultaten av analysen kommer att presenteras i kapitel 6 och utgör en bakgrund för presentationen av det erbjudna och det erfarna objektet för lärande. Det som läraren avser att innehållet ska handla om kan vara skilt från det som egentligen erbjuds eleverna.

Innehållet som framställs i klassrummet kallas det erbjudna läran- deobjektet (the enacted object of learning) och är

the researcher’s description of whether, to what extent and in what forms, the necessary conditions of a particular object of learning appear in a certain setting. (Marton, Runesson & Tsui, 2004, s. 24)

Analysen har haft som utgångspunkt att identifiera vilka variationer som iscensätts när lärarna framställer ett innehåll och har genomförts i fyra steg. Första steget var att avgränsa lärandeobjekten andragrads- ekvationer och andragradsfunktioner från andra innehåll som lärarna presenterade under matematikkurs B (Steg 1). Nästa steg var att ur- skilja de fokuserade och icke-fokuserade aspekterna inom varje läran- deobjekt (Steg 2). Därefter analyserade jag i vilka aspekter av varje lärandeobjekt som samtidiga variationer framträtt och vilka mönster av dimensioner av variation som kunde identifieras i framställningen av varje lärandeobjekt (Steg 3). Efter detta analyserade jag relatio- nerna mellan olika mönster inom varje lärandeobjekt och från ett lärandeobjekt till ett annat (Steg 4).

Det som erbjuds eleverna att lära sig behöver inte vara detsamma som det de lär sig, det vill säga att det erfarna objektet för lärande inte nödvändigtvis är identiskt med det erbjudna lärandeobjektet. Det lärandeobjekt som erfars av eleverna kallas det erfarna lärandeobjektet (the lived object of learning) och analyseras i min studie med ut- gångspunkt i elevernas tillvägagångssätt när de har löst olika uppgif- ter. Analysen har fokuserat på att identifiera de aspekter som skiljer elevernas tillvägagångssätt när de löser samma uppgift. Detta var möjligt eftersom det finns elever som inte klarar av att urskilja alla aspekter som konstituerar ett lärandeobjekt, vilket även Marton och Booth (1997) understryker. Däremot kan eleven urskilja vissa aspekter som fokuseras och relateras till varandra och till helheten på ett visst

sätt. Dessa aspekter är inte nödvändigtvis kritiska för elevernas lärande utan fokuserar på de aspekter som eleverna urskiljer i sina tillvägagångssätt. Det var i dessa aspekter som jag kunde observera och analysera dimensioner av variation. Genom att analysera skillna- derna mellan olika dimensioner av variation och lärandeobjektens strukturer kunde jag identifiera de kritiska aspekterna i elevernas lärande, det vill säga de aspekter som gör att eleverna förstår me- ningen med lärandeobjekten på olika sätt. Det innebär att de urskilt andra eller fler aspekter samtidigt som de relateras till delar och hel- heten på andra sätt än inom matematiken avsedda. Eftersom de er- bjudna och de erfarna objekten för lärande i klassrummets komplexa miljö analyseras i min studie, det vill säga när läraren framställer ett innehåll, när eleven ställer frågor till lärare individuellt eller vid lära- rens framställning av innehållet och elevernas skriftliga prov, har be- hovet av att urskilja vad som erbjuds och erfars i klassrummet varit centralt. Som erbjudet lärandeobjekt har lärarnas framställning av innehållet samt samtalen som äger rum mellan lärare och elev när eleven ställer individuella frågor till läraren eller när innehållet fram- ställs i klassrummet analyserats. Att dessa samtal har behandlats som erbjudet lärandeobjekt beror på att det erbjudna objektet i samtalen skapas av elever och lärare tillsammans. Som erfaret lärandeobjekt har elevernas prov och samtalen som äger rum mellan elever när de löser en viss uppgift eller mellan lärare och en elev analyserats. I dessa situ- ationer ger eleverna uttryck för vilka aspekter av objektet för lärande som urskilts samtidigt eller som inte alls urskiljs, det vill säga hur de uppfattar objektet för lärande och vilken mening som tillskrivs objektet.

För att analysera samband och relationer mellan delarna som ele- verna urskiljer och som ingår i konstitueringen av ett lärandeobjekt samt hur dessa delar relateras till lärandeobjektet, det vill säga att analysera meningen med lärandeobjekten såsom den erfars av ele- verna, använde jag mig av följande tillvägagångssätt som exemplifie- ras med hjälp av den uppgift som presenterades i avsnitt 2.4. Jag på- minner läsaren om att följande andragradsfunktion behandlas i denna uppgift: h(t) = 8,5 + 9,8t – 4,9t2. En fråga som ställs är att hitta de t-värden för vilka funktionens värde är lika med 10. Den andra frågan var att ta reda på andragradsfunktionens största värde. Detta innebär att variationen i de aspekter som konstituerar en andragradsfunktion och en andragradsekvation samt relationen mellan dessa aspekter, delar och helheten har analyserats i elevernas tillvägagångssätt. Denna analys har gjorts i tre steg.

Steg 1

Jag började min analys med att identifiera vad eleverna fokuserar på när de löser en viss uppgift, det vill säga om fokus ligger på en andra- gradsfunktion, en andragradsekvation eller på båda lärandeobjekten samtidigt. I uppgiften som jag har tagit som exempel använder sig exempelvis vissa elever av att ställa upp andragradsekvationen 10 = 8,5 + 9,8t – 4,9t2, för att identifiera de sökta t-värdena i punkt a. För att finna andragradsfunktionens maximipunkt använder sig vissa elever av att ställa upp en andragradsekvation som är lika med noll medan andra behåller den givna funktionen.

Steg 2

Därefter har jag analyserat vilka delar av en andragradsfunktion eller andragradsekvation eleverna urskiljer och vad dessa handlar om. I uppgiften som jag har tagit som exempel består delarna exempelvis av andragradsfunktionens argument och funktionens värde. Det som ele- verna fokuserar på för att urskilja dessa delar har gjort det möjligt att identifiera de aspekter som leder till en variation i meningen av läran- deobjekten som eleverna uppvisar i sina lösningar. Till exempel kan eleverna fokusera på att 10 är funktionens argument och då beräkna funktionens värde för detta argument eller på att funktionens värde är lika med 10 och då ställer de upp den ovan nämnda andragradsekva- tionen. På så sätt kunde det identifieras att den aspekt som skiljer ele- vernas uppfattningar åt för att besvara den första frågan är funktionens argument. Eftersom denna aspekt leder till att eleverna uppfattar upp- giften på olika sätt, är denna aspekt en kritisk aspekt i elevernas lärande.

Steg 3

Efter detta har jag analyserat hur delarna relateras till lärandeobjektet som helhet. Här har analysen inriktats på att identifiera de aspekter som eleverna fokuserar på för att relatera det de räknar ut till andra- gradsfunktionen som helhet. I uppgiften som jag har tagit som exem- pel består de fokuserade aspekterna exempelvis av andragradsfunktio- nens argument och dess värde för vissa argument. Det vill säga att eleverna för att besvara första frågan räknar ut för vilka t-värden and- ragradsfunktionens värde är lika med 10 (argument) respektive vilket t-värde som ger andragradsfunktionens högsta punkt (funktionens värde för ett visst argument). Om eleverna relaterar funktionens argu- ment till funktionens definitionsmängd för att besvara fråga a och/eller funktionens argument till funktionens tillordningsregel för att besvara fråga b, relaterar eleverna delarna till andragradsfunktionen som hel-

het. Sättet som delarna relateras på till helheten ger upphov till nya kritiska aspekter. Detta innebär att det kan finnas elever som exem- pelvis inte beräknar funktionens värde för ett givet argument utan sätter detta värde i en andragradsekvation.

Urskiljning, variation och samtidighet är grunden i analysen av både vad som erbjuds i klassrummet och vad eleverna erfar. Analysen har som utgångspunkt att urskiljningen förutsätter variation och varia- tion förutsätter samtidighet. Analysen av det erbjudna och det erfarna