Process – objekt-perspektivet

Med utgångspunkt i ett ontologisk-psykologiskt perspektiv studerar Sfard (1991) olika matematiska begrepp. Resultatet av hennes studier kan sammanfattas så att abstrakta begrepp (som t.ex. tal och funktio- ner) består av två olika men komplementära aspekter: en strukturell aspekt (objekt) och en operativ (process). Den strukturella aspekten

kopplas till ett matematiskt objekt och karakteriseras som ”static, in- stantaneous and integrative” (Sfard, 1991, s. 4). Den operativa aspek- ten kopplas till processen och karakteriseras av att vara ”dynamic, sequential and detailed” (Sfard, 1991, s. 4). Sfards resultat är välkända bland matematikdidaktiker under benämningen process–objekt- perspektivet. Ur detta perspektiv har bland annat övergången från aritmetik till algebra, ekvationer av första graden och begreppet funk- tion studerats. I övergången från aritmetik till algebra har forskare identifierat ett antal svårigheter som kopplas till att se en algebraisk formel eller uttryck som ett objekt med en given struktur (Herscovics, 1989; Herscovics & Linchevski, 1994; Kieran, 1989, 1992; Linchevski & Livneh, 1999; Sfard, 1991, 1994; Sfard & Linchevski, 1994; Tall & Thomas, 1991).

När det gäller algebraiska uttryck visar Sfard och Linchevski (1994) att algebra har en hierarkisk struktur i vilken det som anses vara operation på en nivå kan bli ett abstrakt objekt på en annan nivå. Författarna förklarar utifrån den hierarkiska uppbyggnaden av algebra att uttrycket 3(x + 5) + 1 kan tolkas på fyra olika sätt. För det första som en bestämd beskrivning av en handlingssekvens: addera 5 till variabeln, multiplicera resultatet med 3 och lägg till 1. För det andra kan samma uttryck tolkas som ett visst tal, det vill säga som en pro- dukt av en beräkning istället för själva beräkningen. Även om denna produkt inte kan specificeras eftersom x för närvarande är okänt, är den fortfarande ett tal och hela uttrycket förväntas vara ett tal. För det tredje kan uttrycket tolkas som en funktion i den bemärkelsen att ut- trycket representerar en ändring, det vill säga att uttryckets värde änd- ras beroende av talet som väljs istället för x. Den fjärde tolkningen kan vara att uttrycket är ett algebraiskt objekt i sig självt. Sfards och Linchevskis (1994) resultat visar att ”students were not aware that the strings of symbols might be interpreted in many different ways, de- pending on the context” (s. 222). Linchevski och Livneh (1999) häv- dar att denna pluralitet av att tolka ett algebraiskt uttryck kan uppnås om elevens ”structure sense” utvecklas:

Students must be exposed to the structure of algebraic expres- sions … in a way that enables them to develop structure sense. This means that they will be able to use equivalent structures of an expression flexibly and creatively. (s. 191)

Sfard och Linchevski (1994) identifierar fyra faser i utvecklingen av algebra utifrån dess historiska utveckling: algebra som generaliserad aritmetik (process och objektfas), algebra av ett fixt värde (av en obe-

kant storhet), funktionell algebra (av en variabel) och slutligen ab- strakt algebra (algebra av formella operationer och abstrakta struk- turer).

Tall och Thomas (1991, s. 127) grupperar elevernas svårigheter i lärande av algebra i tre kategorier: ”parsing”, ”expected answer” och ”product-process”. Den första kategorin refererar till att eleverna läser ett algebraiskt uttryck från vänster till höger vilket leder till att ele- verna uppfattar innebörden i ett algebraiskt uttryck inkorrekt. Detta innebär att eleverna läser a + b som a och b som förenklas ab. Den andra kategorin refererar till att eleverna har svårt att acceptera ett algebraiskt uttryck som svar (se även Sfard 1991, 1994). Den tredje kategorin refererar till att uttrycket 2 + 3a representerar både en pro- cess i vilken två operationer ingår och processens resultat (produkt). Om eleverna enbart ser det algebraiska uttrycket som en process, så uppfattar de exempelvis uttrycken 3(a + b) och 3a + 3b som olika ef- tersom eleverna i det första uttrycket tänker på addition före multipli- kationen med 3, medan eleverna i det andra uttrycket ser att både a och b multipliceras med 3 före addition.

Ett annat resultat som man kommer fram till utifrån process– objekt-perspektivet är att eleverna tolkar likhetstecknet som att göra någonting istället för att se att likhetstecknet visar att två uttryck är ekvivalenta (se t.ex. Herscovics & Linchevski, 1994). Herscovics och Linchevski (1994) visar att ekvivalensen mellan två algebraiska ut- tryck leder till att eleverna har svårt att lösa en förstagradsekvation om den innehåller obekanta på båda sidor om likhetstecknet, det vill säga om ekvationen har formen ax + b = cx + d med a, b, c och d konstan- ter och x som obekant storhet. Dessutom kommer författarna fram till att likhetstecknet i ekvationen ax + b = c har samma funktion som i utförandet av aritmetiska operationer, vilket leder till att denna ekva- tion intuitivt är tillgänglig för eleverna. Det finns forskare som stude- rar likhetstecknets dualism utifrån detta perspektiv, det vill säga att likhetstecknet kan användas som en symbol för att markera en identi- tet eller som ett kommando för att genomföra en serie av matematiska operationer (se t.ex. Behr, Erlwanger & Nichols, 1980; Kaput, 1979; Kieran, 1981).

Process–objekt-perspektivet har öppnat ett forskningsfält inom matematikdidaktiken som först och främst kopplas till studier om funktionsbegreppet. Inom denna forskning har två riktningar utveck- lats utifrån ställningstaganden till ordningen i vilken dessa faser före- kommer, nämligen process–objekt eller objekt–process. Breidenbach, Dubinsky, Hawaks och Nichols (1992) menar att förståelse av funk-

tionsbegreppet kan nås genom att utveckla ”the ability to construct processes in their [the students’] minds and use them to think about functions” (s. 247) och Schwartz och Yerushalmy (1992) argumente- rar att

the symbolic representation ... is relatively more effective in making salient the nature of the function as a process … the graphical representation ... is relatively more effective in mak- ing salient the nature of function as entity. (s. 263)

Schwartz och Yerushalmy (1992) visar att funktionens algebraiska representation är effektiv för att lyfta fram funktionsbegreppet som operativt (process), medan den grafiska representationen är effektiv för att lyfta fram funktionsbegreppet som struktur (objekt). Dessutom påpekar forskarna att det strukturella framställandet bör komma före det operationella, medan Sfard (1991, 1992) menar att den operativa föreställningen är det första steget i konstruktionen av nya matema- tiska begrepp.

Andra forskare (se t.ex. Moschkovich, Schoenfeld & Arcavi, 1993; Slavit, 1997) kopplar övergången från process till objekt med en funktions olika representationer. Moschkovich m.fl. (1993) hävdar att en elev kan använda funktionsbegreppet om han eller hon

knows which representations and perspectives are likely to be useful in a particular problem context and is able to switch flexibly among representations and perspectives as seems ap- propriate. (s. 74)

Genom att koppla funktionens olika representationer med övergången från process till objekt hävdar Moschkovich m.fl. (1993) att det är möjligt att utveckla elevens kompetens:

Developing competency ... means learning which perspectives and representations can be profitably employed in which con- texts, and being able to select and move fluently among them to achieve one’s desired ends. (s. 72)

Studiens resultat visar att eleverna ser sambandet mellan variablerna x och y som ingår i en funktions representation, det vill säga funktio- nens processaspekt, genom att använda en funktion som representeras algebraiskt, grafiskt och med hjälp av värdetabell.

Till skillnad från Moschkovich m.fl. (1993) fokuserar Gray och Tall (1994) på funktionens algebraiska representation. De understry- ker att exempelvis funktionen f(x) = 2x + 3 visar dels hur funktionens

värde kan beräknas om man väljer olika argument (det vill säga pro- cessen), dels funktionsbegreppet (det vill säga objektet).

Slavit (1997) presenterar en alternativ tolkning av övergången mellan process och objekt. Han hävdar att funktionens egenskaper bör fokuseras i användningen av olika representationer för en funktion. Denna fokusering gör det möjligt för eleverna att se funktionen som ett objekt och på så sätt tänka på funktioner som ”entities possessing various growth properties of a local and global nature” (s. 260). Av citatet framgår att Slavit uppdelar funktionens egenskaper i lokala och globala egenskaper. Till exempel kan globala egenskaper vara perio- dicitet, symmetri och asymptoter och lokala egenskaper kan vara vär- detabell och funktionens nollställen. Det som menas med lokala och globala egenskaper avseende en andragradsfunktion specificeras på följande sätt:

For example, a quadratic function could be viewed as a con- tinuous function with exactly one extrema, at most two zeroes, and which is symmetric about a vertical line (with, of course, second-degree growth). (s. 267)

Enligt Slavit (1997) räknas som global aspekt andragradsfunktionens symmetrilinje och som lokal aspekt funktionens nollställen och ex- trempunkt. Genom att välja olika funktioner som representeras gra- fiskt med hjälp av miniräknare visar Slavit att det är möjligt att ele- verna ser funktionen som ett objekt om man fokuserar på relationer och samband som framträder mellan funktionens egenskaper.

I de presenterade studierna identifieras olika svårigheter i elevernas övergång från process till objekt inom algebra och funktionslära. En- ligt Sfard (1991) är interaktionen mellan process och objekt viktig för tillägnande (i Piagets mening) av ny matematisk kunskap. När det gäller begreppet ekvation visar dessa studier att begreppet ekvation och ekvivalensen av algebraiska uttryck är förknippade med varandra. Ett algebraiskt uttryck kan betraktas som process eller som objekt vilket leder till att eleverna utvecklar olika tolkningar av två ekviva- lenta uttryck (Sfard & Linchevski, 1994). Detta leder i sin tur till att eleverna får svårt att exempelvis lösa ekvationen 10x – 4 = 6x + 16 eftersom de inte accepterar att de två leden är ekvivalenta. Forskare hävdar att en förståelse av funktionsbegreppet kan nås genom att re- latera process–objekt-perspektivet till funktionens olika representatio- ner eller till funktionens egenskaper (se t.ex. Breidenbach m.fl., 1992; Slavit, 1997).

Trots omfattande forskning med utgångspunkt i detta perspektiv finns det flera forskare (se t.ex. Artigue, 1996; Graham & Thomas, 2000) som argumenterar för att man med utgångspunkt i process– objekt-perspektivet inte kan förklara hur det kan vara möjligt att det finns elever som inte ser att till exempel funktionerna f(x) = 3(x2 – 4) och g(x) = 3x2 – 12 är identiska om den operativa processen skiljer sig åt. Dessutom finns det forskare (se t.ex. Dias & Artigue, 1995) som konstaterar att det även är svårt att ur detta perspektiv förklara elever- nas svårigheter med att känna igen olika representationer av samma begrepp.