Alla kan singla slant, eller? : Användningen av konkret material i sannolikhetsundervisningen

Alla kan singla slant, eller?

Användningen av konkret material i sannolikhetsundervisning

KURS: Examensarbete för grundlärare 4-6, 15 hp

PROGRAM: Grundlärareprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4-6 FÖRFATTARE: Edwin Bock

EXAMINATOR: Martin Hugo TERMIN: VT21

JÖNKÖPING UNIVERSITY

Examensarbete för grundlärare 4-6 15 hp

School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4-6

VT21 Edwin Bock

Alla kan singla slant, eller? - Användningen av konkret material i sannolikhetsundervisning

Everyone can flip a coin, right? - The use of concrete material in probability teaching

Antal sidor: 35

___________________________________________________________________________

Matematik är ett abstrakt ämne. Syftet med denna studie är att undersöka hur lärare arbetar för att eleverna med hjälp av ett konkret material ska få en förståelse för olika sannolikhetsprinciper. Arbetet har utgått från teorin, instrumentell genes, som innebär att ett konkret material blir en del av elevernas meningsskapande. För att besvara syftet finns frågor som exempelvis hur lärarna tänker sig att det ska bli en instrumentalisering hos eleverna och om det finns några hinder för eleverna att skapa en relation till det konkreta materialet. Analysen har gjorts utifrån färgkodning och därefter

kategorisering för att jämföra dessa koder. Urvalet har valts utifrån ett ”case” och insamling av data har gjorts genom digitala intervjuer. Resultatet visar att det finns olika sätt för lärarna att se till att eleverna har en relation till föremålet. Bland annat genom att de får öva på att använda det eller genom att ta ett material från elevernas vardag som de redan är bekanta med. I diskussion lyfts det exempelvis hur ett material som är bekant för en elev inte nödvändigtvis är det för en annan elev samt att det är viktigt med förståelse utöver materialet som till exempel centrala begrepp.

Mathematics is an abstract subject. The purpose of this study is to examine how teachers work to ensure that students, with the help of concrete material, gain an understanding of the principles of different probabilities. The work has been based on the theory of instrumental genesis, which means that a concrete material becomes part of the students' meaning-making. To answer the purpose, there are questions that, for example, how the teachers think that there should be an instrumentalization of the students and whether there are any obstacles for the students to create a relationship to the concrete material. The analysis has been done based on color coding and then categorization to compare these codes. The selection has been selected on the basis of a "case" and data collection has been done through digital interviews. The result shows that there are different ways for teachers to ensure that students have a relationship with the object. Among other things, by allowing them to practice using it or by taking material from the students' everyday lives that they are already familiar with. In the discussion, it is highlighted, for example, how a material that is familiar to one student is not necessarily that of another student and that it is important to understand in addition to the material, such as key concepts.

__________________________________________________________________________ Sökord: konkret material, sannolikhetsundervisning, matematik, instrumentell genes

Innehållsförteckning

3. Syfte och problemformulering ... 12

4. Metod och material ... 13

4.1 Insamlingsmetod ... 13 4.1.1 Datainsamling ... 13 4.1.2 Urval ... 14 4.1.3 Innan intervjun ... 14 4.1.4 Genomförandet av intervju ... 15 4.1.5 Efter intervju ... 16 4.2 Materialanalys ... 16 4.3 Etiska övervägande ... 17 4.4 Tillförlitlighet ... 18 5. Resultat ... 19

5.1 På vilka sätt tänker lärare att det ska ske en instrumentalisering/instrumentation? ... 19

5.2 Vilka instrumentationsprocesser tänker sig lärarna? ... 22

5.3 Vilka hinder finns när eleverna ska göra ett konkret material till ett instrument? ... 25

6. Diskussion ... 28

6.1 Metoddiskussion ... 28

6.2 Resultatdiskussion... 30

6.2.1 Anledningen till att alla inte kan singla slant ... 30

6.2.2 Vardagligt- eller pedagogiskt material... 31

6.2.3 Att byta ut det konkreta materialet mot något annat ... 32

6.2.4 Lärarens utmaningar i undervisningen... 33

6.2.5 Olika sannolikhetsprinciper som kan synliggöras med konkret material ... 33

6.3 Förslag på vidare forskning ... 35

Referenslista ... 36 Bilagor... I

1

1. Inledning

Matematiken är ett abstrakt ämne, vilket gör att det ställs höga krav på elevernas abstrakta förmåga (Kay & Yeo, 2003). Matematiksvårigheter är en vanlig företeelse och många elever kämpar med att hänga med under matematiklektionerna (Grevholm, 2014). Elevernas

utveckling i matematiken är i stor mån baserat på läraren och hur denna lägger upp sin undervisning (Thorén, 2009). Ett sätt att konkretisera ämnet är att använda sig av konkret material, vilket har använts sedan urminnes tider med exempelvis en så kallas abakus, som är ett sätt att använda kulor för att räkna (Nationalencyklopedin, 2021a). Att använda sig av konkret material i sannolikhetsundervisningen är inget nytt och resulterar ofta i någon form av spel. Detta motiverar Batanero et al. (2016) med att i människans historia har det funnits många spel som på ett eller annat sätt går att koppla till sannolikhet. Ben-Zvi och Garfield (2007) skriver att det finns många verksamma lärare som har svårigheter i att undervisa i sannolikhet och däribland förklara olika begrepp som hör till. Jag har således valt att undersökningen ska finnas inom det specifika området sannolikhet.

Matematiken har en stark tradition av hur undervisningen ska se ut (Skolverket, 2003). Ofta är det en genomgång av läraren, sedan får eleverna jobba i matematikboken för att sedan avsluta med någon form av prov på slutet (Skolverket, 2003). Det kan vara viktigt för läraren att känna till den traditionella katederundervisningen och att matematiken är ett ämne som är väldigt abstrakt och således bör konkretiseras. Läraren bör därför fundera på hur matematiken ska läras ut så att det blir tydligare för eleverna. Skolverket (2011) skriver dock att det lätt hamnar i att läraren fokuserar på att få in ett material utan att tänka igenom hur det ska användas för att gynna elevernas lärande. Det är inte bara att välja ett material utan det måste vara noggrant uttänkt vilket och hur det ska användas i undervisningen för att eleverna ska få syn på det som läraren har i syfte att lära ut under lektionen (Skolverket, 2011).

Emanuelsson (2004) skriver att konkret material gynnar elever som har svårt för matematik men även de som har en högre kunskapsnivå inom ämnet. Skribenten skriver också att det är viktigt att läraren har en tanke kring vilket konkret material som ska användas och hur. Konkret material i sannolikhetsundervisningen kan vara en ingång för att skapa möjligheter för eleverna att lära sig det som är avsett (Nilsson, 2013). Läraren har då en viktig uppgift med att välja ut ett material som passar till det som ska läras ut under lektionerna (Nilsson,

2

2013). Under mina olika VFU1-perioder har jag upplevt att ett gynnsamt sätt att jobba med elevernas lärande är att använda olika variationer av konkret material. Att använda konkret material i matematiken ökar förutsättningarna för eleverna att lära sig eftersom det dels blir en roligare undervisning men också att eleverna har lättare att behålla ett fokus (Malmer, 2002).

Bock och Spets (2020) konstaterar att det används konkret material i

sannolikhetsundervisningen och att det gynnar elevernas lärande. Detta byggs vidare på i denna studie genom att undersöka hur olika lärare i verksamheten motiverar sina val av konkret material i sannolikhetsundervisningen. Detta för att få inblick i om de har en tanke med deras val av material i förhållande till de sannolikhetsprinciper som de vill att eleverna ska lära. Inom läraryrket är det dessutom viktigt att kunna redogöra didaktiska frågorna och läraren behöver veta vad som görs, hur det ska göras och varför. Således blir det viktigt att kunna koppla hur läraren ser att materialet ska hjälpa eleverna att få syn på det matematiska innehållet. I läroplanen (Skolverket, 2019) finns det riktlinjer för vad läraren ska undervisa om men det står inte specifikt hur, vilket gör att det finns ett tolkningsutrymme för läraren. Jag vill därför få en insikt i ifall lärare har en tanke kring det matematiska innehållet som ska läras ut och hur eleverna tar emot det utifrån det konkreta materialet. Detta kommer att göras genom digitala intervjuer av lärare för att få en inblick i hur det konkreta materialet kan användas i sannolikhetsundervisningen för att eleverna ska utvecklas inom området.

3

2. Bakgrund

Följande kapitel kommer att beskriva tidigare forskning om konkret material i

sannolikhetsundervisningen. Det kommer också finnas med beskrivningar av några viktiga begrepp inom sannolikhetsläran samt några principer för hur de kan läras ut. I kapitlet ges en förklaring till sannolikhetsundervisning och konkret material. Även vilken teori som kommer ligga till grund för materialanalysen tas upp.

2.1 Begreppsdefinition

Slump är ett begrepp som innebär att det inte går att förutse det som ska inträffa. Slump är alltså något som är oförutsägbart. Ett slumpförsök resulterat i ett utfall. Ett utfall är en företeelse som kan inträffa, vid ett mynt till exempel kan det bli antingen krona eller klave. Vid kast av ett mynt går det exempelvis inte att säga om det kommer bli krona eller klave, det är en slump att det blir något av dem. En händelse i sin tur innebär ett eller flera olika utfall som kan inträffa. En händelse kan dels vara att kasta en sexa på en tärning men det kan också vara att kasta så att det blir lägre än fyra på en tärning. Chans och risk är två begrepp som används för att beskriva sannolikheten för att en viss händelse ska inträffa. Skillnaden mellan dessa är att chans används när det är något som man vill ska inträffa. Medan risk används för en händelse som man inte vill ska inträffa (Tengstrand, 2015).

Utfallsrum är de olika utfallen som kan bli, tillexempel vid ett mynt är utfallsrummen, krona och klave. Med totala antalet utfall menas alla de möjliga utfall som kan bli till exempel vid ett mynt så finns det två utfall. Ett annat exempel är en kortlek där det totala antalet utfall är 52 och ett exempel på ett av alla utfallsrum är hjärter fyra. Med gynnsamma utfall menas de utfall man är intresserad av och tänker beräkna sannolikheten för (Tengstrand, 2015). Sollervall (2002) ger vidare en förklaring av den klassiska sannolikhetsdefinitionen som 𝑃(𝐴) =Antalet gynnsamma utfall

Totala antalet utfall , för att räkna hur stor sannolikheten för ett utfall är.

Exempelvis vid ett myntkast är antalet gynnsamma utfall att få en klave ett och det totala antalet utfall är två. Ett delat med två blir 0,5. Det är alltså 50 procents chans att få klave vid ett myntkast. Den klassiska sannolikhetsdefinitionen fungerar enbart om det är lika möjlighet för alla de olika utfallen (Sollervall, 2002).

En oberoende händelse är ett utfall som inte påverkas av föregående utfall. Till exempel har ett mynt efter ett första kast fortfarande 50 procent chans att bli det ena eller det andra oberoende av vad det blev första gången. En beroende händelse i sin tur innebär att ett utfall påverkas av det förgående utfallet. Det kan vara att man drar en kula ur en påse som inte

4

läggs tillbaka, vilket påverkar sannolikheten för en specifik kula att dras nästa gång eftersom en kula försvinner (Nationalencyklopedin, 2021b). Om det finns två blå kulor och två röda kulor och en blå försvinner, så blir nästa drag med mindre antal utfall, från fyra till tre, samt att det finns fler röda än blå. Kombinatoriken är ett begrepp som innefattar väldigt mycket men som i denna studie innebär att det finns olika kombinationer. Alltså på hur många sätt något kan inträffa, till exempel om du ska köpa två kulor glass och det finns fyra smaker. Hur många olika kombinationer av glassar kan du göra? (Nationalencyklopedin, 2021c).

Kombinationer av två händelser i rad på detta sätt kan kallas för en sammansatt händelse, vilket inom kombinatoriken innebär att räkna ut sannolikheten för att det ska ske flera händelser efter varandra (Iversen & Nilsson, 2007).

Relativ frekvens är ett begrepp som innebär att vid många oberoende händelser så kommer det att närma sig det förväntade antalet för varje, till exempel vid 100 myntkast närmar det sig 50 klave och 50 krona. Med stora talets lag menas att desto fler observationer som görs desto närmare den relativa frekvensen hamnar man (Tengstrand 2015). Till exempel, vid flera upprepade försök vid ett myntkast så närmar sig resultatet den förväntade relativa frekvensen. Det vill säga att vid myntkastning så är den relativ frekvensen 50 procent för varje utfall, ju mer man upprepar kastet med myntet desto mer bör den relativa frekvensen bli synlig (Batanero & Diaz, 2012).

2.2 Sannolikhetsundervisning

I kursplanen för matematik i läroplanen finns det ett centralt innehåll inom matematiken som heter sannolikhet och statistik (Skolverket, 2019). Fokus i detta arbete kommer enbart vara på sannolikhetsundervisningen. I kommentarmaterialet för ämnet matematik (Skolverket, 2017) finns det en förklaring på begreppet sannolikhet, som beskriver att det innebär att det handlar om slumpmässiga händelser. Begreppet sannolikhet kan också förklaras som; i hur stor utsträckning det är troligt att en specifik företeelse kommer att inträffa (Kilhamn & Nilsson, 2015a). Det vill säga hur stor är möjligheten att slå en fyra på en sex-sidig tärning, vilka möjliga utfall finns det och vad är sannolikheten för dem?

I det centrala innehållet för sannolikhet i årkurs 4-6 står det att eleverna ska arbeta med ”Sannolikhet, chans och risk grundat på observationer, simuleringar eller statistiskt material från vardagliga situationer. Jämförelser av sannolikheten vid olika slumpmässiga försök.” och ”Enkel kombinatorik i konkreta situationer.” (Skolverket, 2019, s.57). Inom

5

sannolikhetsområdet står det alltså att eleverna ska ges möjlighet att lära sig att göra

observationer samt ha använt sig av material från en vardaglig kontext (Skolverket, 2019). Vidare står det i kunskapskraven att eleverna ska ha ”[…] kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem […]” och att ” Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar och lösa enkla rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband […]” (Skolverket, 2019, s.60). I och med detta, betyder det att lärare behöver undervisa om sannolikhet så att eleverna får en begreppsbank med exempelvis utfall och chans. I kunskapskraven står det att eleverna ska kunna arbeta med uppgifter i sannolikhet och använda korrekta begrepp. Detta innebär även att lärare behöver fundera på hur eleverna ska lära sig detta på ett bra sätt, där konkret material kan vara ett bra sätt.

Inom sannolikhetsundervisningen finns det en utmaning eftersom många elever ofta har olika uppfattningar och gör egna tolkningar inom området (Stohl, 2005). Elever kan ha olika

erfarenheter och uppfattningar, däribland kan det finnas olika fördomar som eleverna har med sig in i klassrummet (Stohl, 2005). Det skulle kunna vara att det är svårare att slå en sexa på en tärning eller att det är lättare att få sitt turnummer. Olika övningar i klassrummet med exempelvis tärningar eller mynt, kan vara en bra ingång till givande diskussioner för elevernas förståelse kring just sannolikhet (Kilhamn & Nilsson, 2015b).

2.3 Konkret material

Det finns en stor variation av konkret material att välja på som lärare att ta med i sin sannolikhetsundervisning som till exempel tärningar, kulor, mynt och pärlor.

Att använda konkret material i sannolikhetsundervisningen är inte en självklarhet. Malmer (2002) skriver att lärare ogärna arbetar med konkret material med en rädsla för att det ska anses som tramsigt och inte tas emot seriöst av eleverna. Skolverket (2011) skriver också att det lätt hamnar i att läraren fokuserar på materialet och inte själva undervisningen. Det är inte bara att välja ett material utan det måste vara noggrant uttänkt vilket och hur det ska användas i undervisningen för att eleverna ska nå målet (Skolverket, 2011).

Rystedt och Trygg (2010) gör åtskillnad på konkret material i två kategorier baserat på om materialet är framtaget för ett pedagogiskt syfte eller om materialet är taget ur vardagen. Skribenterna delar upp de två olika kategorierna i vardagliga eller pedagogiska material, se

6

figur 1. Det pedagogiska föremålet har till syfte att fokusera på relevans för

undervisningskontexten, medan vardagligt föremål kopplas till elevernas erfarenheter (Rystedt & Trygg, 2010).

Figur 1. (Bock & Spets, 2020, s.6).

Exempel på vardagliga föremål och hur det används i sannolikhetsläran är HodnikČadež och Škrbec (2011) studie där eleverna skulle dra gosedjur ur en påse. Eleverna fick i förväg veta hur många av varje gosedjur som låg i påsen och uppgiften vara att lista ut vilket djur som skulle dras upp ur påsen. Efter att ett gosedjur dragits upp lades denna åt sidan och

sannolikheten för de olika gosedjuren att dras nästa gång förändrades. Målet var således att eleverna skulle få syn på att det som det är mest av har störst sannolikhet att bli taget. Ett exempel där det istället används pedagogiskt material är i Hurrells (2016) studie där det används begreppskort. Eleverna fick kort där det stod olika begrepp kopplat till

sannolikhetsläran som exempelvis, troligt, otroligt och lika troligt. Dessa begrepp kan dels eleverna diskutera för att få en uppfattning av vad de innebär, men i Hurrels (2016) studie används det också för att eleverna skulle placera dem inom olika påståenden som exempelvis ”sannolikheten för att det ska bli åska imorgon”, där eleverna fick träna sig i att koppla begreppen till en kontext.

2.4 Tidigare forskning

Det finns mycket forskning som skriver att konkret material är positivt för att nå elevernas lärande och det finns många studier som visar att det fångar elevernas intresse och

7

valts ut, utifrån det självständiga arbetet som gjorts under mitt tredje år på högskolan, med anledning av att detta blir en fortsättning på det arbetet men också för att det arbetet har riktats mot delar av det som är viktigt att ta upp här. Det finns forskning om olika typer av material i sannolikhetsundervisningen. Det finns även i de olika studierna motiv för varför det valda materialet är fördelaktigt och bör användas för att få syn på olika principer inom

sannolikhetsläran.

Hansson McPherson (2014) har gjort en studie där tärningar använts i ett spel under

sannolikhetsundervisningen, vilket även har gjorts av Hawera och Taylor (2016). Båda dessa studier bygger på att eleverna ska satsa på olika nummer där de sedan kastar två tärningar för att se vilket summan eller produkten blir. Båda studierna bygger alltså på att eleverna ska satsa på de tal de anser mest sannolika att bli. Det som eleverna kan få syn på utifrån detta är att vissa nummer förekommer oftare, vilket skulle kunna leda till diskussion om varför. Detta ska de få syn på med hjälp av det konkreta materialet, tärningar. Vissa tal har flera olika kombinationer och således har de också större sannolikhet att komma.

Ett sätt att arbeta med konkret material är att använda fler än ett konkret material även om det är samma, som exempelvis att använda två tärningar eller två mynt. Bland annat beskriver Iversen och Nilsson (2019) i sin studie att elever med hjälp av två av samma material, till exempel två tärningar eller två mynt, kan utveckla sin förståelse för ”delen och helheten”. Detta innebär att eleverna ska få syn på vad sannolikheten för en händelse är samt hur sannolikheten påverkas av att flera händelser ska inträffa i följd. Delen är alltså den enskilda händelsen och helheten är sannolikheten för sammansatta händelser. Eleverna får alltså använda konkret material för att få syn på olika kombinationer som kan bli.

Hawera och Taylor (2016) skriver också att det är bra att använda olika färger på tärningarna för att visa eleverna att det faktiskt är två olika tärningar, du kan få blå ett och grön två vilket inte är samma som blå två och grön ett. Detta gör att eleverna kan få syn på att samma tal inte nödvändigtvis är samma resultat, det vill säga att det vid två tärningskast finns två möjliga utfallsrum med samma tal. Alltså visar Hawera och Taylor (2016) exempel på hur ordningen spelar roll vid tärningskast och att utfallsrummet kan vara större än vad eleverna tänkt sig. Erdem et al. (2014) visade i sin studie exempel på hur konkret material kan användas för att eleverna ska få syn på hur sannolikheten kunde variera beroende på hur utfallsrummet ändrades. Detta gjordes genom att det fanns några sex-sidiga tärningar med olika

8

och en tredje tärning med tre 2.or och tre 3.or. Här finns det möjligheter för eleverna att diskutera om det är större sannolikhet för att det ska bli ett specifikt utfall. Erdem et al. (2014) skriver också att eleverna fick skriva ner varje observation av en viss tärning och att de kastade 50-100 kast. Sedan kunde de se om det fanns större sannolikhet för någon siffra. Detta möjliggör att eleverna kan få syn på den relativa frekvensen som bör närma sig sitt förväntade värde på sannolikheten för respektive observation.

Batanero et al. (2016) skriver i sin studie om att myntkastning är bra för att det gör att eleverna får möjligheten att se oberoende utfall. Det eleverna kan få syn på inom

sannolikhetsläran är alltså att efter fem kast med ett mynt där samtliga har blivit klave, så är det i nästa kast fortfarande samma sannolikhet för båda de olika utfallsrummen, där det alltså fortfarande är 50 procent för klave. Även Erdem et al. (2014) visar i sin studie att det gynnar elevernas lärande om läraren använder ett material som är oberoende i varje utfall. Till exempel vid valet av spinners2 i undervisningen, får du rött första gången och ska snurra igen så är det återigen lika stor chans att få rött eftersom utfallsrummet förblir densamma.

Det finns också studier som visat på material som går att använda för att eleverna ska få syn på händelser som är beroende av resultaten innan. Exempelvis har HodnikČadež och Škrbec (2011) använt leksaker som konkret material. I deras studie får eleverna dra en leksak ur en låda för att sedan lägga bort den och då blir utfallsrummet helt nytt efter varje leksak som försvinner. Eleverna fick i förväg veta hur många av varje leksak det fanns i lådan för att sedan gissa vilken som var störst sannolikhet att de skulle dra upp. Efter varje upplockad leksak fick eleverna gissa på nytt. På detta sätt fick eleverna möjlighet att utveckla en

förståelse för att sannolikheten kan ändras om antalet gynnsamma utfall och det totala antalet utfall ändrades.

2.5 Instrumentell genes

En teoretisk utgångspunkt för studien kommer att vara inom instrumentell genes vilket innebär att eleverna får ett instrument för att skapa en förståelse för innehållet (Drijvers & Trouche, 2008). Teorin utgår från att en person använder en artefakt3 för att få en förståelse

2 _{Spinners = Ett hjul som är uppdelat i siffror eller färger med en pil längst upp. Man snurrar hjulet för att se}

vilken siffra eller färg som hamnar vid pilen.

9

för ett innehåll. Synonymt med artefakt är konkret material och det är också det begreppet som vidare kommer att användas i denna studie.

Om en elev inte vet hur ett konkret material ska användas kommer det heller inte vara till någon hjälp för att ta till sig det matematiska innehållet. Guin och Trouche (1998) ger ett exempel på när miniräknaren skrevs in i den franska läroplanen. De skriver att lärarna inte lyfte in miniräknaren i matematikundervisningen på ett bra sätt där eleverna fick lära sig att använda den och därför hamnade mycket ansvar på att eleverna själva skulle lära sig att använda miniräknaren. Detta skriver skribenterna medförde att eleverna inte visste hur den skulle användas och de blev istället bara förvirrade. Det blev en stor lucka mellan det

konkreta materialet och eleven, vilket gjorde att miniräknaren inte blev till någon hjälp för att lära sig matematik (Guin & Trouche, 1998). Däremot kan ett konkret material bli ett

instrument om det finns en förståelse och en relation mellan materialet och personen som ska använda det (Rabardel, 2003).

Rabardel och Verillon (1995) lyfter fram en tanke om att vissa sätt att lösa en uppgift på kan uppstå när det används ett konkret föremål, men att sättet som det används på är viktigt. Skribenterna drar därför slutsatsen att det finns en skillnad på konkret material och instrument. Ett konkret material är enbart ett objekt medan ett instrument bör ses som en psykologisk konstruktion där materialet blir ett redskap för lärandet. Instrumentet

framkommer alltså först när det är tydligt vad ämnets avsikt, i detta fall vilken

sannolikhetsprincip som ska läras ut, är och vad materialet har för egenskaper (Rabardel & Verillon, 1995). Det som skribenterna vill lyfta fram med detta är att för att det konkreta materialet ska bli ett instrument finns det faktorer som bör beaktas, nämligen att det finns en begränsning i konkret materialet om vad som kan läras ut samt att det finns en social

koppling till materialet.

Som ett exempel kan det konkreta materialet jämföras med en hammare, vilket kommer att bli ett användbart instrument om personen som ska använda det har kunskap om hur det ska användas. Skillnaden mellan konkret material och instrumentet ligger i att det blir ett

instrument först om personen tänker på och praktiskt använder det på ett sätt som hjälper till att nå målet med objektets användning (Drijvers & Trouche, 2008).

Patsiomitou (2010) skriver att det finns ett mentalt schema som planerar handlingen genom det konkreta materialet. Detta schema är själva processen från att det konkreta materialet får en mening i hur det ska användas, och därefter blir till ett instrument (Patsiomitou, 2010).

10

Med andra ord är det mentala schemat de erfarenheter och kunskaper som eleverna redan har. Baserat på hur elevernas scheman, tidigare erfarenheter och kunskaper, ser ut påverkas elevernas sätt att se på det konkreta materialet. Beroende på elevernas kunskap och

erfarenheter i förhållande till det konkreta materialet är alltså det som avgör om eleven kan integrera med materialet för att överhuvudtaget kunna använda det. Schemat i denna studie kommer således att handla om hur eleverna drar en koppling från materialet till det

matematiska innehållet som ska läras ut, i detta fall en princip inom sannolikhetsläran. Alltså vilket konkret material läraren väljer och vad det erbjuder för att eleverna ska få syn på innehållet för att kunna lägga det till sina mentala scheman.

Instrumentell genes är en lärandeprocess med två olika riktningar. Den ena riktningen kallas för instrumentalisering och är ”mot artefakten” och innebär att personen ska lära sig att använda det konkreta materialet. Detta innefattar de tillfällen som ett konkret material blir till ett instrument för personen och hur den används för att påverka personens kunskap. Den andra riktningen kallas för instrumentation och är ”mot personen” och innebär att personen använder materialet på ett meningsfullt sätt för att lösa uppgifter. Att det konkreta materialet redan har en koppling till eleven möjliggör att det kan bli ett instrument för eleven (Trouche, 2004). Se figur 2.

Figur 2. Relationen mellan verktyg och person, förståelsen för hur det ska användas. I denna studie kommer instrumentet att vara de variationer av konkret material som tas upp och detta kommer att ställas i relation till vad lärarna vill få ut för resultat av det, det vill säga

11

vilka principer inom sannolikhetsläran de vill åt med hjälp av det valda materialet.

Exempelvis kan tärningen vara ett instrument som på något sätt ska användas för att få syn på stora talets lag.

Inom instrumentell genes görs det en åtskillnad på instrumentell genes och instrumentell orkestrering. Instrumentell genes har med instrumentation och instrumentalisering att göra och innefattar elevens tanke och agerande i mötet med ett redskap för att bilda ett instrument. Det vill säga hur eleven kan använda verktyget för att förstå det som ska läras ut och således bli ett instrument. Instrumentell orkestrering däremot, har sitt fokus på läraren och dennes tankar om hur elevernas instrumentella genes ska stärkas. Det vill säga hur läraren använder sig av ett verktyg för att det ska bli ett instrument, detta för att eleverna i sin tur ska kunna använda det konkreta materialet för att få syn på det matematiska innehållet (Trouche, 2004). I denna studie kommer fokus ligga på vilken instrumentell genes som läraren har tänk sig.

12

3. Syfte och problemformulering

Syftet med studien är att synliggöra olika aspekter av vanligt förekommande instrument i sannolikhetsläran i årkurs 4-6. För att besvara syftet kommer följande frågor att diskuteras:

 På vilka sätt tänker lärare att det ska ske en instrumentalisering/instrumentation?  Vilka instrumentationsprocesser tänker sig lärarna?

13

4. Metod och material

I detta kapitel beskrivs det hur data för undersökningen har samlats in, hur urvalet har gjorts och vilka kriterier som har funnits samt hur det insamlade materialet har analyserats.

4.1 Insamlingsmetod

4.1.1 Datainsamling

Denna studie har baserats på den deskriptiva forskningen i syfte att ge en beskrivande bild av en företeelse, i detta fall hur lärare väljer att använda konkret material för att eleverna ska få syn på en princip inom sannolikhetsläran. Den deskriptiva forskningen går ut på att samla in data för att sedan tolka det materialet som har samlats in (Krishnaswamy et al., 2006). Inom den deskriptiva forskningen används ofta en datainsamlingsmetod för att kunna

beskriva en specifik företeelse på en djupare nivå (Davidson & Patel, 2011). Denna studie har samlat in data genom intervjuer av fyra lärare. Anledningen till valet av intervju är för att få reda på hur lärarna själva uppfattar att de kopplar materialet i relation till eleverna för att nå en specifik sannolikhetsprincip. Intervjun är en kvalitativ metod som i denna studie ger en möjlighet till att få lärarens erfarenheter och den enskilda lärarens perspektiv och resonemang (Lewis et al., 2009). Intervjun har varit strukturerad, där alla frågor sedan innan varit

bestämda. Anledningen är att en strukturerad intervju ger en stor exakthet i resultat samtidigt som det finns utrymme för respondenten att säga sina åsikter (Lewis et al., 2009). Det har således blivit lättare att jämföra datamaterialet eftersom intervjuerna har byggt på samma frågor. I en intervju finns det också utrymme för att ställa följdfrågor om det behövs kompletteras eller förtydligas på någon fråga vilket gör att svaren kan preciseras ännu mer (Lewis et al., 2009).

Det vetenskapliga förhållningssätt som har beaktats under studien är instrumentell genes. Vid genomförande av intervjuerna har det varit denna vetenskapliga teori som legat till grund för frågorna och analysen av de olika svaren. Frågorna är formade på ett sätt för att få svar på hur det konkreta materialet ska stå i relation till eleverna och hur det konkreta materialet ska utveckla förståelsen för det innehåll som läraren vill lära ut. Även hur läraren jobbar om eleven inte kopplar det konkreta materialet till den sannolikhetsprincip som ska läras ut har det varit frågor om.

14

4.1.2 Urval

Urvalet till intervjuerna har valts ut utifrån kontakter som skaffats genom VFU. Anledning till att själv välja ut lärarna kommer ifrån att det ökar chansen för att lärarna själva känner sig bekväma med konkret material i sannolikhetsundervisningen. Valet av att intervjua lärare som känner sig bekväma med konkret material i sannolikhetsundervisningen bygger på att studien ställt krav på att läraren kan argumentera för sin sak. Därför har urvalet också gjorts utifrån ett ändamålsenligt urval, också kallat ”case”, vilket innebär att de intervjuade väljs ut på grund av att de kan svara på frågeställningarna som finns (Denscombe, 2014). I denna studie är ”the case” att de intervjuade måste kunna svara på frågor som är kopplade till sannolikhet och konkret material.

Studien har haft några olika kriterier för att säkerställa validiteten i arbetet och till exempel har studien enbart bestått av matematiklärare eftersom studien är inriktat mot enbart sannolikhet.

Det fanns några olika kriterier för att läraren skulle få delta:  Vara verksam lärare i årskurs 4-6.

 Vara en legitimerad lärare i ämnet matematik.

 Läraren skulle själv anse att hen har kännedom om användningen av konkret material i sannolikhetsundervisningen.

4.1.2.1 Bortfall

I början av studien var det tänkt att intervjua fem lärare men under studiens gång har det blivit ett bortfall på de tänkta personerna som skulle intervjuats, detta medförde att det blev fyra personer som istället deltog i undersökningen.

4.1.3 Innan intervjun

Lewis et al. (2009) menar att om att det är viktigt att vara förbered för att intervjun ska bli lyckad. Att vara förbered ökar möjligheten att intervjun går i den riktning som den ska och att båda parterna känner sig bekväma i situationen.

Intervjufrågorna har varit formade på så vis att de skulle besvara frågeställningarna för att ge svar på syftet. Detta genom att intervjufrågorna skulle leda in respondenterna i att motivera vilken matematisk princip i sannolikhetsläran som de ser att ett konkreta material kan

tydliggöra för eleverna. Frågorna har varit starkt kopplade till relationen mellan det konkreta materialet och eleven samt hur detta kopplas för att få syn på principen. Läraren skulle

15

motivera materialet till det som skulle läras ut och hur det är till en hjälp för eleverna samt hur förhållandet ser ut mellan dessa. Se bilagor för komplett frågeformulär.

Innan intervjuerna fick deltagarna ta del av de sju frågor som låg till grund för intervjun, detta för att de skulle känna att de hade en koll på vilka typer av frågor som skulle komma.

Intervjufrågorna skickades ut med dryga veckan kvar till intervjuerna. Detta gav lärarna även en möjlighet att förbereda sig och också fundera på varför de gjort som de gjort. Lewis et al. (2009) skriver också om vikten av att vara tydlig för respondenterna genom att förklara vad undersökningen går ut på, hur frågorna är upplagda, hur lång tid det kommer ta och även hur materialet är tänkt att användas.

Platsen för intervjuerna var utvalda eftersom ljud och dylikt inte skulle komma med.

Intervjuerna kom inte att påverkas negativt på så vis att respondenten eller intervjuaren blivit störd (Lewis et al., 2009). Den intervjuade ombads därför att sitta själv i ett rum där så lite ljud som möjligt fanns. För att skapa en trygghet och en miljö där den intervjuade kände sig bekväm började varje intervju med information som var bra att känna till som exempelvis att det inte kommer att kunna härledas information till den intervjuade (Lewis et al., 2009). För att den intervjuade inte skulle känna någon stress tillfrågades de om vilken tid och dag som passade dem.

4.1.4 Genomförandet av intervju

Intervjun spelades in för att möjliggöra att det skulle gå att gå tillbaka och lyssna igen, det gjorde också att det blev möjligt att göra en transkribering. Detta gjorde också att inget från intervjun missades och således blev det mer exakt vad lärarna sagt.

Intervjuerna skedde digitalt utifrån de rådande omständigheterna med Covid-19. Mer specifikt har Zoom använts för att det är en gratistjänst. För inspelning användes inspelningsfunktionen på mobilen där enbart ljud har tagits upp.

Frågorna ställdes i den ordning som de finns i, frågeformuläret i bilagor. Trost (2010) skriver dock att det är viktigt att intervjuaren inte blir för låst till sina frågor utan även vågar ställa följdfrågor för att få fram det som den intervjuade tänker. Den intervjuade frågades även om det varit något mer som hen ville lägga till efter frågorna och om det fanns fler exempel som kunde lyftas.

16

4.1.5 Efter intervju

Intervjuerna spelades in och sparades för att därefter kunna transkriberas. De intervjuade fick varsin bokstav och ett datum för när intervjun genomfördes, detta för att det ska gå att se tillbaka på när och vem. Transkriberingen färgkodades utefter koder till frågeställningarna och när transkriberingen var färdig gjordes en sållning på det som inte tillfört något till problemformuleringen, som då heller inte fått någon färg. Det var exempelvis när intervjun kom för långt ifrån ämnet och inte gav något svar på de problemformuleringarna som fanns. Även onödiga ord som öhh och ehh togs bort eftersom studien inte skulle undersöka huruvida lärarna tvekade på en fråga eller sättet de svarade, det var vad de svarade som var intressant för att ge svar på frågeställningen till denna studie. Detta gjorde att det blev mer flyt i resultatet och onödiga avbrott inte gjorde att texten blev förvirrande.

4.2 Materialanalys

I studien har lärarna kopplat det konkreta materialet som de använt i undervisningen för att ge eleverna ett instrument för att lära sig inom sannolikhet. I analysen har detta ställts emot den teori som beskrevs i bakgrunden, nämligen instrumentell genes. Svaren från lärarna

analyserades utifrån hur de fått materialet att skapa en relation i förhållande till eleven för att således ta till sig sannolikhetsprincipen.

Materialet har jämförts och kategoriserats utifrån konstant jämförande analys som är en central tanke inom grundad teori (Forslund Frykedal & Thornberg, 2009). Undersökningen har inte helt byggt på grundad teori utan fungerade som en inspiration och därutav ledde till användandet av konstant jämförande analysen. Denna metod utgår från att ställa frågor och jämföra för att få fram nya koder som sedan jämförs med gamla koder för att se likheter och skillnader (Forslund Frykedal & Thornberg, 2009).

Transkriberingen har kodats. Detta har gjorts genom att noggrant läsa igenom det insamlade materialet för att hitta betydelsebärande delar i transkriberingarna. Dessa delar har färgkodats för att se vilka koder som hör till vilken problemformulering, vilket även medför att det blir enklare att analysera bitarna var för sig (Eriksson Barajas, et al., 2013). De olika koderna sattes ihop under olika kategorier som skapades utifrån vad de olika koderna berättade. Detta gjordes för att det skulle bli enklare att analysera materialet genom att jämföra dem. Det är även de olika kategorierna som har legat till grund för resultatet, kategorierna blev till utifrån olika koder som var lika. De olika koderna delades utifrån färg in i de olika

17

frågeställningarna, i detta skede delades koderna för varje frågeställning in i kategorier, dessa var:

Fråga 1. ”Öva sig i att använda det konkreta materialet”. Och ”Se till att eleverna redan har en relation till det konkreta materialet”.

Fråga 2. ”Den klassiska sannolikhetsdefinitionen i förhållande till slump”. ”Relativ frekvens vid stora tal”. Och ”Olika kombinationer”.

Fråga 3. ”Diskutera centrala begrepp”. ”Lyfta flera exempel på andra sätt”. Och ”Jobba med andra matematiska områden”.

4.3 Etiska övervägande

Etiska överväganden är viktigt och detta även i forskningen för att säkerställa att forskningen bedrivs på ett ansvarsfullt sätt (Vetenskapsrådet, 2017).

Lärarna som har deltagit i studien kommer inte vara helt anonyma eftersom jag har sett och hört dem. Däremot kommer de i denna studie att benämnas med bokstäver för att bli avidentifierade. I denna studie har det heller inte spelat någon roll vilket kön eller någon annan identitetsmarkör som de intervjuade haft och därför har det inte gjort något att de intervjuade blivit avidentifierade på detta sätt. Anledningen till bokstaven lärarna har fått är för att det inte ska gå att söka upp någon lärare som har valt att delta. Lärarna har i resultat blivit benämnda med bokstäverna A-B-C-D. Detta utifrån konfidentialitetskravet som handlar om att inte sprida uppgifter för att skydda de som varit delaktiga i studien (Vetenskapsrådet, 2017).

Om det skulle skett stora förändringar i studien som exempelvis redigering av ljudinspelning skulle respondenterna ha blivit förmedlade om detta. I all forskning är det viktigt att de som är deltagande i studien har lämnat ett godkännande att vara med, att de samtycker

(Vetenskapsrådet, 2017). Detta är samtyckeskravet och det är även viktigt att respondenten känner att hen kan avsluta om hen inte känner sig bekväm. För att få ett godkännande från de som intervjuats fick de skriva på att de samtycker till att bli intervjuade och att deras

uppgifter behandlats av mig innan intervjun ägde rum, se samtyckesblankett i bilagor. Det har även varit relevant att de deltagande haft vetskap om vad det har varit för något som skulle undersökas och hur det skulle göras. Detta kallas för informationskravet och hänvisar till att det är viktigt att respondenterna är medvetna om de krav och förväntningar som jag har

18

för att min studie ska bli bra. Det är också först när de som ska delta i undersökningen har fått information om studien som de kan lämna samtycke till att delta (Vetenskapsrådet, 2017).

4.4 Tillförlitlighet

Två nyckelbegrepp för att göra en tillförlitlig studie är validitet och reliabilitet (Denscombe, 2014). Dessa begrepp har tagits hänsyn till under studien och kommer därför att beskrivas mer.

Med reliabilitet menas studiens genomförande och att om någon annan skulle göra om studien, skulle resultatet bli densamma (Denscombe, 2014). De tolkningar som har gjorts skulle kunna ha gjorts samma eftersom de har utgått ifrån en befintlig teori, instrumentell genes. Det ökar chansen att det skulle ha setts på snarlika sätt eftersom det har utgått ifrån ett specifikt perspektiv. Det finns också beskrivet hur studien har genomförts med alltifrån insamling av data till analysen av datan vilket möjliggör att någon som gör om studien gör på samma sätt och därför får ett liknande resultat. Intervjuerna har utgått ifrån en intervjuguide och varje intervju har spelats in vilket också har ökat möjligheten för att det i resultatet ska ha kunnat redogöras på ett så komplett sätt som möjligt (Bryman, 2018).

Med begreppet validitet menas att de slutsatser som görs också hänger ihop med

undersökningens syfte (Denscombe, 2014). Med andra ord att resultatet visat det som studien är avsett att visa. I denna studie har forskningsfrågorna ändrats en del för att anpassas mer till resultatet. Urvalet har dessutom varit noggrant utvalt för att kunna besvara frågeställningarna utifrån de kriterier som funnits med. Eftersom målet med studien inte heller var att göra någon större jämförelse över längre tid, passade intervjun bra. Intervjuerna har också varit transkriberade på ett objektivt sätt, vilket möjliggör att studien blir tillförlitlig och har mätt det som den skulle mäta. Bryman (2018) skriver om begreppet konfirmering vilket tagits hänsyn till i denna studie. Konfirmering innebär att den som genomför studien inte medvetet lägger in egna åsikter som medför att resultatet blir på ett specifikt sätt, vilket ökar

19

5. Resultat

Ikapitlet tas det upp det resultat som utifrån den insamlade datan har analyserats. Varje delkapitel är baserat på problemformuleringarna för att ge svar på frågorna för att uppnå syftet med undersökningen.

5.1 På vilka sätt tänker lärare att det ska ske en

instrumentalisering/instrumentation?

Lärarna har tänk olika när det gäller att eleverna ska skapa en relation till det konkreta materialet. Dessa delades upp i två kategorier.

1) Öva sig i att använda det konkreta materialet, vilket innebär instrumentalisering. Och 2) Se till att eleverna redan har en relation till det konkreta materialet, vilket innebär instrumentation.

När lärarna fick frågan hur de förbereder eleverna att ta emot det konkreta materialet för att förstå hur det ska användas, svarade lärare C:

[…] chans o risk, mot olika spel, man kan ju koppla till vardagssaker som elever kan möta på, om de tillexempel har hört talas om det här med spelsajter osåhär speltjänster man ska betta mot olika saker, hur stor är chansen, risken, så det går ju att göra på olika sätt, till vardagsnära saker.

Lärare C har sedan tidigare diskuterat att dra kulor ur en låda och även diskuterat tärning och hur den kan användas i olika spel. Här går det att koppla detta till att kulorna och tärningarna ska kopplas till de olika begreppen som ”chans”, ”risk” och ”slump”. Läraren vill att eleverna ska dra nytta av det konkreta materialet i olika spel för att kunna använda sig av dessa

begrepp i vardagen. Lärare C säger också att materialet behöver vara kopplat till vardagen för att eleverna då har en närmare relation till föremålet. Det läggs även en vikt vid just spelandet vilket skulle kunna bero på att även det är något som är vardagsnära för eleverna. Detta möjliggör att det blir ännu lättare för eleverna att få en relation till föremålet för att lära sig. Lärare C har i detta fall tänkt sig att materialet ska närma sig eleverna. Det vill säga

instrumentation, där eleverna redan har en befintlig relation till det konkreta materialet. Eleverna stöter på många av de olika sannolikhetsbegreppen i sin vardag och således går det att hitta många exempel därifrån, exempelvis lyfter lärare C att eleverna är vana vid olika speltjänster, vilket skulle kunna innebära bingo eller olika datorspel. Här har eleverna ett försprång till hur det ska användas men detta är inte nog utan det behöver även vara ett

20

föremål som är bekant för eleverna. Lärare C har sedan tidigare lyft tärning vilket skulle kunna anses som ett vanligt föremål speciellt när det spelas olika spel, på detta sätt skulle eleverna alltså redan innan ha en relation till föremålet för att helt kunna fokusera på det som läraren vill att eleverna ska lära sig under lektionen. Däremot är det svårt att veta vad som gör att något blir vardagsnära och det skulle kunna vara ett konkret material som är vardagsnära för en elev men som inte nödvändigtvis är det för en annan.

Vidare säger lärare D:

Ja det blir ju till att ta fram ett litet pengaskrin o visa pengarna.

Detta blir ett nytt sätt att se på hur eleverna ska knyta en relation till föremålet för att det ska bli ett instrument. Ett sätt att försöka få eleverna att bilda en relation till föremålet kan vara att helt enkelt låta eleverna jobba med materialet. Att ta fram pengar och visa eleverna hur det ser ut och hur det används kan göra att eleverna skapar en relation till det konkreta materialet. I det här fallet, blir det att läraren tänker sig en instrumentalisering eftersom eleverna ska få träna sig i att förstå det konkreta materialet i relation till det som det konkreta materialet ska synliggöra. Om eleverna inte är bekanta med myntet och på förhand vet att det finns krona och klave kommer eleverna även ha svårigheter i att förstå att det kan representera två

möjliga utfall. Således blir det svårt att koppla materialet till den principen som ska bli synlig. Detta går dock att visa eleverna, vilket gör att det konkreta materialet går att använda.

Lärare A säger vidare:

[…] de vet ju inte hur man slår ett mynt, roterar ett mynt i luften och fångar det och

lägger det på ovansidan av handen, så det var ju nått som vi upptäckte, att oj det här får vi faktiskt, motoriskt träna på att singla slant..

Vilket hänvisar till att eleverna behöver tränas i förståelsen av det eleverna inte förstår, i detta fall rent motoriskt träna i hur ett mynt ska flippas i luften. I detta exempel handlar det om själva utförandet och begrepp som exempelvis singla slant som blir hinder för att eleverna ska kunna göra myntet till ett instrument. I lärarens svar så lyfts tre faktorer i början som

svårigheter, slå myntet, rotera myntet och fånga samt lägga det på handen. Det är alltså inte bara en sak med myntet som eleverna behöver träna på utan det är flera faktorer och läraren är medveten om detta och vet att det krävs en del för att myntet ska gå att använda för eleverna, att det inte bara finns en sak de behöver tränas i. Lärare A säger alltså att eleverna behöver träna sig i att använda materialet, vilket gör att instrumentalisering också syns i detta

21

exempel. Eleverna får träna för att skapa relationen och kunna använda det konkreta

materialet. Att lärare A säger att det var något som upptäcktes betyder att hen testat med att ge ett mynt till eleverna och sedan fått syn på att eleverna inte hade den relation till föremålet som krävdes för att det ska vara till någon hjälp. Detta går också att tolka som ett

tillvägagångsätt, genom att testa det konkreta materialet, för att få syn på de faktorer som gör att föremålet inte blir ett instrument för att sedan veta vad de behöver lära sig om föremålet. Med andra ord är det ett sätt att få reda på hur läraren ska göra i sin undervisning för att det ska bli en instrumentalisering, alltså vad eleverna behöver få övning i för att kunna använda materialet för att ta till sig innehållet.

Både lärare A och D säger att det går att träna eleverna till att förstå hur ett material ska användas för att lära sig det som är tänkt. Deras inställning är att eleverna kan skapa ett instrument genom att de tränar sig i att skapa en relation för att förståelse mellan föremål-elev ska nås.

Vidare säger lärare B:

Ibland använder jag bara kort, asså kryss på ena sidan, en cirkel på andra, det är ju olika, det behöver ju inte vara ett mynt.

Lärare B säger att det är bra om eleverna redan har en relation till det konkreta materialet. Det som skiljer sig från övriga lärare är att lärare B explicit säger att det kan tas in ett konkret material som eleverna inte förstår och då får man börja om. Ta in ett nytt konkret material som eleverna redan har en relation till för att det ska bli ett instrument av verktyget. Läraren säger att om eleverna inte har förståelse för det konkreta materialet går det istället att få in något som eleverna har kunskap om för att de ska ta till sig innehållet, det är inget som säger att det måste vara krona/klave, det kan vara kryss eller euro pengar. På så vis får eleverna ett nytt konkret material för att ta till sig det innehåll som är syftet att få ut till eleverna. Det går att tolka detta, som att läraren lägger det största fokuset på innehållet och inte vill lägga tid på att eleverna ska träna sig på att använda ett konkret material. Det viktiga i detta fall är att eleverna känner igen hur det konkreta materialet fungerar för att de inte ska fastna vid något som de inte förstår med materialet. Lärare B väljer inte att leta efter föremål som eleverna redan är bekanta med men om det märks att eleverna inte förstår ett material, går det att byta ut vissa delar. Om det exempelvis är ett mynt som eleverna inte förstår, kan läraren testa att lägga in ett kryss och en cirkel som utfallsrum istället för krona och klave. Om eleverna känner igen ett kryss och en cirkel istället för krona och klave som vanligtvis är på ett mynt är

22

det bättre att byta ut detta för att eleverna redan ska känna igen symbolerna och kunna fokusera på sannolikhetsprincipen som ska läras ut. Lärare B säger alltså i detta fall att instrumentation är vägen att gå, där det konkreta materialet har en relation till eleverna.

5.2 Vilka instrumentationsprocesser tänker sig lärarna?

Det finns framförallt tre huvudprinciper som de olika lärarna har tagit upp inom sannolikhetsläran, dessa är:

1) Den klassiska sannolikhetsdefinitionen i förhållande till slump. 2) Relativ frekvens vid stora tal. Och

3) Olika kombinationer.

När lärarna fick frågan om vilken princip som hen hade tänkt sig att lära ut med det konkreta materialet, svarade lärare A:

Det som jag ville var, ville liksom få eleverna att upptäcka i sannolikhetssammanhangen, det var ju att det även om det är en på två att man får ett viss utfall på myntet så blir det ju ändå inte alltid rättvist, när man singlar slant eller kastar tärning. Så principen då att det blir inte alltid rättvist, sannolikhet varierar.

Lärare A har tidigare diskuterat att tärning och mynt är två konkreta material som använts i sannolikhetsläran. Principen som läraren är ute efter i båda dessa fall är att den klassiska sannolikhetsdefinition, där eleverna ska förstå att det finns ett utfallsrum med olika möjliga utfall. Lärare A använder sig även av begreppet ”rättvist” detta går att tolka som läraren vill visa på att även om det är 50 procents chans för varje utfall betyder inte detta nödvändigtvis att det ska blir krona-klave-krona-klave och så vidare. Genom att använda myntet som konkret material kan eleverna lära sig detta. Att slumpen spelar en roll i och med att det inte alltid går att förutse även om utfallsrummet visar på att de bör ske lika ofta. Bara för att det finns två möjliga utfall betyder det inte att det på förhand finns ett bestämt svar för att det ska bli det ena eller det andra, alltså att det är en slump att något inträffar. Att eleverna ska få syn på detta genom ett mynt, där det finns två möjliga utfall, skulle kunna öka möjligheten för att visa att det kan komma tre raka klave, om det istället hade varit sex utfallsrum som vid en tärning kan det ha varit svårare då det skulle kunna dröja innan det blir samma tal i en längre följd.

23

Lärare A säger även ”det är inte alltid rättvist, sannolikhet varierar”, vilket även skulle kunna betyda att läraren med hjälp av myntet som konkret material vill att eleverna ska få syn på relativa frekvenser. Att myntet ska kastas många gånger för att visa på många observationer och göra det möjligt för eleverna att studera resultatet. Att materialet kan användas till flera principer som eleverna ska få syn på är inget konstigt och det skulle dessutom kunna vara en mix av att lärare A vill att eleverna ska få syn på de båda. Alltså att

instrumentationsprocesserna är fler än bara en. Lärare B och lärare D säger vidare:

Lärare B: Ja men tillexempel att man använder en låda då oså lägger man 6 röda klossar i det o så 1 blå, oså drar man ifrån den, så pratar man om först att de ska gissa barnen, hur tror ni att utfallet blir? Vad tror ni att det är störst sannolikhet över att jag drar nudå? Då säger ju alla barn att det är röda, så att man får ju börja lite enkelt först liksom, och så drar man igen och då kan det ju bli en blå, så får man ju diskutera, varför blev det en blå nudå, ja men det är ju för att det finns ju en blå, så att sannolikheten är ju att det kan bli en blå.

Lärare D: Men det blir ju färgerna på bollar till exempel. Att 3 gula, tre blå, fyra rosa o två svart vad är mest sannolikhet att de får om man har svart o röd liksom.

Även i dessa exempel tänker sig både lärare B och lärare D att eleverna ska få syn på den klassiska sannolikhetsdefinitionen dock med valet av ett annat konkret material, nämligen bollar och klossar. Lärare B säger också att trots att det finns ett visst utfallsrum som talar för en viss händelse kan något annat inträffa. Således finns även slumpen i detta yttrande

eftersom det kan ske en oväntad händelse. Läraren vill visa att även om chansen för något är liten, så finns ändå möjligheten till att det blir så. Om det finns en chans så kan det inträffa. Lärare B lyfter framförallt ett konkret material där eleverna ska dra klossar i olika färger ur en låda. Eleverna får veta hur många av varje kloss det finns i varje färg för att sedan

diskutera vilken färg på klossen som läraren kommer att dra upp. Principen som eleverna får möjlighet att få syn på enligt lärare B är hur stor sannolikheten är att få ett visst utfall utifrån ett specifikt utfallsrum. Det går att diskutera vad som har störst sannolikhet och varför men att det samtidigt finns en risk för att det blir det andra. Om det dras många gånger kommer det öka sannolikheten för att någon gång dra den blå klossen även om den inte är så stor i den hela mängden. Vilket i sig skulle kunna vara något som lärare vill att eleverna ska få syn på.

24 Lärare A säger vidare:

Det kunde vi grafiskt se när vi liksom byggde de här stapeldiagrammen sen, att det blev inte på 20 kast, så blev det inte tio kronor och tio klave. Den principen tänker jag att den blir ju tydligast när man bara har ett mynt när det bara blir två utfall. Att det blir färre utfall. Men man får ju den ändå på tärningen, och då sammanställer vi flera, liksom flera serier, undersökningsserier och då jämnas det ut, men det blir ju ändå inte helt rättvist då. Här klargörs det att lärare A är ute efter att visa eleverna att även om det är 50 procents chans att få krona eller klave innebär inte detta nödvändigtvis att de dyker upp lika många gånger. Det är en slump vad resultat blir efter x-antal kast med ett mynt och det går inte att beräkna det.

Lärare C lyfter en tredje princip som går att synliggöra med hjälp av konkret material:

Men jag tänker att kombinatoriken ligger lite nära till hands där också, just att hur många kombinator kan man få, o hur stor är risken eller sannolikheten att man får det om man inte vet nått, förutsättningarna innan, för många år sen när jag jobbade med en

strumplåda, att hur stor är sannolikheten eller risken att jag får en svart strumpa om de inte vet hur många strumpor som finns i lådan.

I exemplet säger lärare C att strumpor går att använda för att visa på antalet kombinationer som det går att dra upp stumpor. Lärare C nämner inte hur många av varje färg som

strumporna kan ha men lyfter att eleverna inte ska få veta något om förutsättningarna innan. Detta skulle kunna vara för att eleverna efter upprepade försök av att ha dragit upp strumpor ska gissa vilken färg det är mest av genom att se vilken strumpfärg som dragits upp flest gånger. Eleverna kan ha sett vilken färg som det är störst sannolikhet att de får upp är och på så vis gissa vilken färg det är sannolikt att de olika strumporna har. Om de heller inte vet hur många färger det finns blir detta ännu en faktor, tänk om de aldrig får upp en färg och när läraren sedan redovisar svaret vilka diskussioner det skulle gå att ha. Lärare C säger inte explicit hur det konkreta materialet, strumpor, ska bli till ett instrument för eleverna men eftersom det dels går att koppla till ett vardagligt sammanhang kan det vara så att läraren tänker att eleverna redan tänker att de har en relation till varandra. Ett annat sätt att tänka skulle vara att lärare C tänker att om eleverna får testa på att jobba med materialet kommer de sedan att kunna diskutera det.

25

Vad är sannolikheten att du får två krona i rad, på rad eller två klave på raken o sen går vi igenom det, utifrån det.

Även i detta exempel handlar det om att få syn på olika kombinationer, i detta fall med ett mynt. Eftersom det är ett mynt så vet också eleverna på förhand de olika utfallen, vilket gör att det blir en annan sak än i fallet med strumporna. Hur stor är sannolikheten för de olika kombinationerna, är det lika stor chans att få klave-klave som klave-krona är frågor inom kombinatoriken, myntet skulle kunna användas för att eleverna ska få syn på detta här. Att med hjälp av myntet få syn på olika kombinationer är ett sätt att med hjälp av två utfallsrum visa hur sannolikheten för vissa händelser kan se ut.

5.3 Vilka hinder finns när eleverna ska göra ett konkret material till ett

instrument?

Det visade sig finnas en del begräsningar för att det konkreta materialet skulle bli ett instrument för eleverna, dessa jobbade lärare med för att få bort på olika sätt. Dessa sätten delades in i tre kategorier;

1) Diskutera centrala begrepp.

2) Lyfta flera exempel på andra sätt. Och 3) Jobba med andra matematiska områden.

Lärarna fick frågan, på vilket sätt de skulle göra om en elev inte förstår hur materialet ska användas för att synliggöra sannolikhetsprincipen, lärare A svarade:

Då tänkte ju jag att tärningen den är ju liksom känd, hur tärningen fungerar, det är ju känt att den, den har sex sidor så det kan man tänka. Jag tänkte lite naivt att myntet också var känt. Men det var ju inte riktigt liksom självklart, barnen har ju inte mynt och de ser ju inte riktigt så mycket som en annan gjorde och det här med att man singlar slant.

Lärare A säger att tärningen är allmänt känd och därför behövs det inga speciella

förberedelser för att eleverna ska till sig hur den ska användas. Däremot när läraren använde myntet uppstod det problem i form av att elever idag inte använder mynt. För många elever var myntet främmande. Det skulle också kunna vara så att det konkreta materialet är

vardagsnära för läraren men inte för eleverna, vilket gör att relationen inte finns. Ytterligare ett problem för eleverna var att de inte var bekanta med begreppet singla slant och hade svårigheter rent motoriskt att få myntet att snurra runt i luften. I dessa fall blir inte myntet ett

26

instrument för eleverna eftersom de inte vet hur det ska användas för att ta till sig innehållet. Däremot fanns det senare förberedelser för att myntet skulle bli ett instrument. Lärare A säger att det behöver diskuteras centrala begrepp och förbereda eleverna på vad som menas med dem, vad som menas med att singla slant tillexempel. I detta fall behövdes det även färdighetsträning där eleverna fick öva sig i att singla myntet. Vid en förståelse för hur myntet ska kastas och vad myntet är blir det enklarare att få användning för myntet.

Lärare B: […] då får vi prata om det, vad är ett mynt, vad är en krona, vad är klave, alltså det är ju där man börjar först, o vad menas med att kasta mynt, o så kan man ju titta på nått filmklipp kanske där man använder det i tillexempel tävlingar och att det kan se olika ut olika ut, olika mynt, vi har ju euro-mynt också på skolan, som man kan prata om det.

Lärare B lyfter att myntet kan vara ett obekant föremål för vissa elever. Lärare B är i detta stycke lösningsorienterad och säger att det går att använda sig av Euro mynt för att möta vissa elever med förutsättningen att detta skulle vara bekant för eleverna. Eftersom eleverna inte förstår vad själva myntet är för något, går det att hitta andra vägar för att det konkreta materialet ska bidra till en förståelse. Läraren behöver hitta alternativa vägar för att möta eleverna där de befinner sig, eleverna behöver ha en koppling till det konkreta materialet för att förstå hur det ska användas. Lärare B säger att det är svårt att få elever som inte direkt kopplar materialet till det som ska läras ut, att förstå det. Det läggs däremot en stort vikt vid att innan materialet tas i användning måste eleverna förstå de begreppen som hör till. För att kunna använda det konkreta materialet i sannolikhetsläran för att få syn på principen måste eleverna få en begreppsbank för att kunna koppla materialet till innehållet. Lärare B lyfter även filmklipp som en alternativ väg att gå, det kan vara att eleverna får ta till sig information på andra sätt som gör att de fångar upp det bättre. Detta går också att se som en alternativ väg för hur elevernas förståelse till materialet ska fångas upp.

Lärare D säger att:

Vad får du för femti kroner, ahh men liksom de kommer ju inte fatta det begreppet för de går ju och drar kort, […]

Detta är intressant eftersom lärare C säger att själva begreppet pengar och femtio kronor är begrepp som är svårt att koppla för eleverna, vilket även i sådana fall visar på att det kan vara en bristande kunskap på just begreppen. Om läraren arbetar med kronor som konkret material i sannolikhetsundervisningen kan det i vissa fall ställa krav på att eleverna ska förstå begrepp

27

som hur mycket kronan är värd och liknande. Om eleverna ska få syn på exempelvis hur stor sannolikheten är att kasta klave på ett mynt kan det vara en god förutsättning att eleverna vet vad begreppet klave betyder.

Lärare C: Det behöver ju ha grundat hela ditt arbete också med bra arbete i bråkräkning, det behöver ju liksom ligga till grund för att man faktiskt förstår att det tillexempel då är en kula av fyra kulor det motsvara en fjärdedel, o då behöver ju eleverna förstå vad en fjärdedel är. Så du behöver ju en grundad och bottnat, gått till botten med kanske bråk förståelse och procentuell förståelse, för att man ska kunna ta till sig sannolikhetsläran. Lärare C hänvisar till att det krävs en förståelse för vissa begrepp och andra principer för att det ska kunna gå att förstå sannolikhetsläran. För att förstå hur det konkreta materialet, kulor, ska användas för att förstå själva innehållet krävs alltså att läraren har gått igenom andra delar inom matematiken som kan vara till hjälp för att förstå hur materialet kan relatera till

innehållet. Just bråk och procent är två delar som lärare C lyfter och med hjälp av att eleverna har kunskap om fjärdedelar går det att koppla detta till sannolikhet. Det är 1 på 4 att dra något gör att det går att tala i sannolikhetstermer också. Avgörande faktor för att eleverna ska lyckas i sannolikhetsläran och ha användning av fyra kulor är alltså att de vet vad ett av fyra är. Här går det alltså att koppla till att eleverna behöver en viss förförståelse för att förstå olika aspekter i ett konkret material för att kunna göra det till ett instrument.

28

6. Diskussion

I det sista kapitlet kommer det att diskuteras vad som kunnat göras annorlunda i studien och hur olika val har påverkat resultatet. Därefter kommer resultatet att diskuteras och hur det förhåller sig till bakgrunden och den tidigare forskningen.

6.1 Metoddiskussion

Intervjuerna har skett digitalt, vilket skulle kunna medföra konsekvenser som inte hade funnits om det skett i ett fysiskt möte. Det kan ha påverkat både negativt med att olika

faktorer som ansiktsuttryck, kroppsgester och liknande inte har kunnat beaktas på samma sätt i studien. En fördel med det digitala mötet skulle kunna vara att båda parterna har varit tryggare som suttit på egen vald plats och en skärm emellan.

Valet av att samla in data var genom intervjuer, vilket gjort att det har gått att förtydliga frågor och ställa följdfrågor för att se hur läraren ser på det själv (Lewis et al., 2009). Det är ändå värt att diskutera huruvida det hade gått att observera läraren i dessa sammanhang för att se hur det faktiskt ser ut i praktiken. Eventuellt kan lärare försöka att skönmåla något som de inte alls gör egentligen, det hade även varit intressant att se huruvida eleverna fångar upp det konkreta materialet, däremot har studien varit inriktad just på hur läraren själv ser på det, vilket gör att intervjun ändå fungerat. Anledningen till att det inte har valts att använda exempelvis hypotesbeprövande forskning är för att den har i avsikt att förklara samband mellan olika företeelser och hur de påverkar varandra (Lewis et al., 2009), vilket inte varit något som skulle gjorts i denna studie. Anledningen till att det inte har gjorts någon kvantitativ undersökning i form av exempelvis enkät är för att det inte skulle blivit samma kontakt mellan respondenten och mottagaren, frågorna hade också ofta blivit mer generella och inte fått samma djup samt att det heller inte funnits någon möjlighet att ställa följdfrågor i en enkät (Lewis et al., 2009). Dessa punkter är viktiga i denna studie och således har

kvalitativa intervjuer i studien genomförts.

Vidare går det att diskutera hur urvalet har tagits ut, det har skett genom kontakter vilket gjort att skribenten till denna undersökning på ett eller annat sätt haft en relation till den som intervjuades. Detta kan ha medfört att de känt sig tryggare men det kan också ha lett till att både intervjuare och respondent haft tolkningar, förväntningar och liknande på den andra (Bryman 2018). I och med detta kan intervjuerna också ha påverkats genom att personerna som deltagit i studien redan haft en uppfattning om hur intervjun ska gå till. Däremot har detta inte upplevts som ett problem eftersom att studien har haft i syfte att undersöka varje