Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoängAtt språka matematiskt – en fallstudie
om språkets roll i
matematikundervisningen
Talking Mathematically – A Case Study on the Impact of Language
in Mathematics Instruction
Thomas Cronhamn
Lärarexamen 270hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2010-01-04
Examinator: Mats Areskoug
3
Sammanfattning
Jag har gjort en fallstudie på den matematiska språkstatusen i en gymnasieklass i Sverige. Eleverna som deltagit har fått värdera språkliga variabler av matematikämnet samt fått fyra matematikuppgifter att lösa. De har blivit ombedda att beskriva sina tankar skriftligen för att det ska framgå vilken terminologi de använder. Resultatet visar tydligt att elevernas matematiska språk är bristfälligt och att de som klarar att lösa uppgifterna bäst också använder den mest korrekta matematiska terminologin, dock utan att själva inse vikten av detta samband.
Teorier inom lingvistiken och psykologin som visar på vikten av att behärska språket för att kunna utveckla tanken har en framträdande roll i arbetet, liksom Skolverkets arbete med att hitta förklaringar till svenska elevers allt sämre prestationer i TIMSS och andra internationella jämförelser av elevers matematikkunskaper.
Nyckelord
Matematik, Begrepp, Språk, Förståelse, Inlärning, Kommunikation, Diskurs, Kontext, Lingvistisk relativitet, Sociokulturell teori
5
Förord
Jag vill börja med att tacka alla deltagande elever i den klass där jag hämtat mina respondenter ifrån samt deras matematiklärare för att ni velat hjälpa mig att skapa underlaget till detta arbete. Utan er hade det inte blivit av.
Tack även till min handledare, Per Jönsson, som hindrat mig att dra förhastade slutsatser samt fått mig att se saker jag inte själv varit uppmärksam på.
Jag vill också tacka alla de elever jag mött under mina år som student på lärarhögskolan i den verksamhetsförlagda delen av utbildningen och de överraskande impulser jag tagit intryck av genom er; det är guld värt att uppleva era tankar om livet i allmänhet och om matematik i synnerhet.
Slutligen vill jag rikta ett stort tack mot min familj som fått uppleva att jag har sadlat om på äldre dagar och agerat student som vuxen. Det är inte alla förunnat att få den chansen, och ni har verkligen stöttat mig hela vägen. Tack.
7
Innehållsförteckning
1 Inledning _________________________________________________________ 9 2 Syfte och frågeställningar ___________________________________________ 12 3 Teori ___________________________________________________________ 13 3.1 TIMSS _______________________________________________________ 13 3.2 Minsta motståndets lag __________________________________________ 14 3.3 Lingvistisk relativitet ____________________________________________ 14 3.4 En jämförelse mellan Whorf och Vygotsky___________________________ 16 3.5 Är det svårt att tala matematik? ____________________________________ 17 4 Metod __________________________________________________________ 19 4.1 Val av undersökningsmetod _______________________________________ 19 4.2 Val av matematikuppgifter _______________________________________ 20 4.2.1 Uppgift 1 __________________________________________________ 21 4.2.2 Uppgift 2 __________________________________________________ 22 4.2.3 Uppgift 3 __________________________________________________ 22 4.2.4 Uppgift 4 __________________________________________________ 23 5 Resultat och analys ________________________________________________ 24 5.1 Tolkning av information _________________________________________ 24 5.2 Enkätsvar _____________________________________________________ 25 5.3 Skillnader i attityder och begreppsuppfattning per grupp ________________ 26 5.4 Genusperspektivet ______________________________________________ 28 5.5 Användande av matematiska begrepp _______________________________ 29 5.6 Begreppsmissuppfattningar _______________________________________ 30 5.7 Hur ser en ‖duktig‖ matematikelev ut? ______________________________ 32 5.8 Utvärdering av frågeställning _____________________________________ 32 5.9 Validitet och reliabilitet __________________________________________ 33 6 Diskussion ______________________________________________________ 35 7 Referenser _______________________________________________________ 37 Bilagor _____________________________________________________________ 39 Bilaga 1: Godkännande av deltagande i examensarbete ______________________ 39 Bilaga 2: Mina tankar om matte _________________________________________ 40 Bilaga 3: Matematikuppgifter till respondenter _____________________________ 41 Uppgift 1 _________________________________________________________ 41
8
Uppgift 2 _________________________________________________________ 41 Uppgift 3 _________________________________________________________ 42 Uppgift 4 _________________________________________________________ 42 Bilaga 4: Elevlösningar av matematikuppgifter _____________________________ 43 Uppgift 1 _________________________________________________________ 43 Uppgift 2 _________________________________________________________ 46 Uppgift 3 _________________________________________________________ 48 Uppgift 4 _________________________________________________________ 53
9
1 Inledning
Stort medialt intresse riktas mot det faktum att svenska grundskoleelever presterar allt sämre i internationella kunskapstester i matematik. En god sak med denna uppmärksamhet är att problemet kommer i dager och engagerar många människor i samhället. Många av dessa är föräldrar till ungdomar som går eller kommer att gå i skolan i framtiden. Alla har på något sätt ett förhållande till skolan med vidhängande åsikter och uppfattningar om vad skolan betyder för dem personligen, något som även överförs till de egna barnen. Bland andra skriver Pehkonen (2001) att ‖[e]lever agerar inom ramen för ett komplicerat nätverk som består av olika former av påverkan‖ (s. 239). Detta baserar han på Underhills (1990) spunna nät av uppfattningar, och säger att nätverket består av ‖matematiklärare, klasskamrater, vänner, släktingar och lärare i andra ämnen‖ (Ibid). Förhoppningsvis kan undersökningarna som presenterats få föräldrar att övertyga sina barn om vikten av att lära sig matematik.
Sedan TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) genomfördes första gången, 1995, har fjorton år förflutit. Första undersökningen gjordes året efter införandet av Lpo 94. Att påstå att införandet av denna läroplan haft inflytande på resultatet av den första undersökningen är att dra förhastade slutsatser, men när 2007 års undersökning gjordes hade läroplanerna hunnit påverka utbildningsresultaten under lång tid, och dessutom hade de som undersöktes 2007 påbörjat sin skolgång under denna läroplan. I Lpo 94 är ett av målen att eleven ‖förstår och kan använda matematiska begrepp och metoder, inser värdet av och kan använda matematikens språk, symboler och uttrycksformer‖ (Skolverket 1994), det vill säga betydelsen av att kunna tillägna sig det matematiska språket betonas. Trots detta möter lärare dagligen gymnasieelever som har mycket svårt att uttrycka sig i matematiska sammanhang.
Om man tittar på tidigare läroplaner kan man se att i kursplanen för matematik i Lgr 80 står uttryckligen om problemlösning att ‖[d]en måste omfatta övningar i att diskutera och ta ställning till såväl problemets natur som lösningens rimlighet […]. Att tala matematik är ett viktigt led i undervisningen‖ (Skolöverstyrelsen, 1980, s. 100). I Lgr 69 skrivs om målen för matematikämnet att:
Undervisningen i matematik skall utgå från elevernas erfarenheter och föreställningar och grundas på förståelse. Den ska efter hand ge förtrogenhet med några väsentliga begrepp och tillvägagångssätt inom aritmetik, geometri, algebra och beskrivande statistik. (Skolöverstyrelsen, 1969, s. 137)
10
1962 ersattes den tidigare enhetsskolan av grundskolan och dess första läroplan säger att ‖[e]leverna bör efter hand göras förtrogna med allmänt brukliga matematiska termer och uttryckssätt‖ (Kungl. Skolöverstyrelsen, 1962, s. 164).
En slutsats man kan dra av den historiska tillbakablicken över målen med matematikundervisningen är att det matematiska språket intar en central roll i ämnesundervisningen och att begrepp och uttryck som tillhör den matematiska kontexten måste behärskas av eleverna. Senare versioner av läroplanerna har dessutom försetts med mer precisa och tydliga formuleringar av detta mål och jag vill i denna undersökning ge en bild av vilken nivå begreppsförståelsen bland elever som studerar Matematik A på en gymnasieskola i Sverige ligger på.
Många forskare har visat att en av de största orsakerna till varför svenska elever presterar sämre resultat på internationella kunskapsmätningar är att det matematiska språket inte är tillgängligt för eleverna. Skolverket (2008) skriver att
[r]esultatet i sin helhet visar, att elever i förhållandevis liten utsträckning gör slumpmässiga räknefel. Misstagen är betydligt mer genomtänkta och bygger på att förståelsen av begrepp eller begreppsmodeller inte utvecklats tillräckligt. (s. 128)
Detta är ett konstaterande utan värdering, men förutsatt att man fortfarande vill eftersträva att svenska elever ska kunna prestera resultat som är jämförbara med övriga världen måste trenden vändas för att Sverige ska kunna räknas till de länder som erbjuder en väl fungerande undervisning i matematik. Förutom att forskare visat på diskrepansen mellan målen och utfallen så känner alla matematiklärare jag pratat med till att det finns en problembild med att eleverna inte känner till matematiska begrepp och uttryck.
Man kan diskutera anledningen till att fundamentala matematiska begrepp är så svårbegripliga utifrån ett förståendeperspektiv. Benämningarna på de fyra räknesätten härstammar från latinska och franska termer, importerade till svenskan under sexton- och sjuttonhundratalen, men dessa liknar inte några andra ord i svenska språket som elever kan härleda betydelserna till. Som exempel kan nämnas ‖addition‖ som härstammar från det latinska ‖additio‖ och som enligt Svenska Akademiens Ordbok (http://g3.spraakdata.gu.se/saob/) har sin första förekomst i svenska språket 1745. De liknande ord som står att finna i Svenska Akademiens Ordbok är bara ‖addiktion‖, ‖additament‖, ‖additiv‖ och ‖adduktion‖, det vill säga inga ord som förekommer
11
speciellt frekvent i dagligt språkbruk. Denna brist återkommer jag till under ‖Lingvistisk relativitet‖ på sida 14.
Jämför man med engelskan genom slagningar i British National Corpus (http://corpus.byu.edu/bnc) avslöjas att liknande ord finns representerade i andra sammanhang än matematiska i mycket större utsträckning. Ska man då i den svenska matematikundervisningen övergå till försvenskade former som ‖gånga‖, ‖dela‖, ‖plussa‖ och ‖minska‖ i stället för ‖multiplicera‖, ‖dividera‖, ‖addera‖ och ‖subtrahera‖? Det finns kanske både lärare och elever som anser att man borde genomföra denna förändring, men de kommer troligtvis inte att bidra till en lösning av problemet. Dels finns det är alldeles för många andra termer i matematiken som behöver försvenskas i så fall, och dels är matematik en internationell vetenskap som kräver språkkunskaper utöver svenska för att man ska kunna studera den på högre nivåer.
12
2 Syfte och frågeställningar
Förutom den undersökning jag presenterar i detta arbete kommer jag utifrån ett generellt angreppssätt att dra paralleller med andra forskningsområden, såsom psykologi, antropologi, lingvistik och annan språkforskning, för att kunna belysa problemen och konsekvenserna av att inte behärska de uttryck och begrepp som är typiska för den specifika vetenskapsgrenen. Jag kommer inte att kartlägga hur stora bristerna är, eller ens att peka ut vilka de är, utan bara ge en bild av en slumpvis vald elevgrupp som fungerar och ser ut som vilken gymnasieklass som helst.
Syftet med arbetet är att belysa och åskådliggöra hur problemlösningssituationer i matematik hanteras av elever i gymnasieskolan. Av speciellt intresse är att se vilket språkbruk som används. De frågor jag vill ha besvarade med min undersökning är:
1. I vilken utsträckning använder eleverna de begrepp och termer de fått lära sig i skolans matematikundervisning?
2. På vilka andra sätt kan eleverna göra sig förstådda genom att använda andra termer och begrepp än de strikt matematiska?
3. Hur påverkar god begreppsförståelse introduktionen av för eleverna nya matematiska samband?
För att kunna relatera svaren på mina forskningsfrågor till respondenternas syn på sig själva som matematikstudenter har jag en fjärde fråga som jag vill ha besvarad:
4. Vilka attityder finns bland de deltagande respondenterna till matematik?
Det är inte självklart att dessa frågor är möjliga att besvara entydigt, men jag kommer ändå att försöka ge en så klar bild av klassens språkliga status som möjligt. Dessutom kommer jag att analysera faktorer som är viktiga för att kunna uttrycka sig korrekt inom den exakta vetenskap matematik är. Jag vill också visa på vissa konsekvenser av att använda alltför opreciserade termer och begrepp i matematikundervisningen.
13
3 Teori
De teorier jag bygger denna undersökning på är hämtade från lingvistikens och psykologins forskningsområden. Jag har som jämförelse och utgångspunkt tagit det svenska resultatet i TIMSS undersökningar från 1995 och framåt, därefter jämför jag de teoretiska samband som kan kopplas till problemformuleringen i ‖Syfte och frågeställningar‖ på sida 12. De teoretiska sambanden blir tydligare på detta vis.
3.1 TIMSS
Av de 91 uppgifter för årskurs 8 som är offentliggjorda på TIMSS hemsida (http://www.timss.com) är inte mindre än 51 så kallade flervalsuppgifter med fyra till
fem olika svarsalternativ, vilket är 56 % av frågorna. Detta i sin tur betyder att eleverna trots att de skulle kunna gissa sig fram till rätt svar ändå behöver ha kunskaper om hur de ska räkna på uppgifterna för att kunna prestera ett gott resultat. Sannolikheten att få alla rätt utan förkunskaper är nämligen extremt liten. Hur som helst så är denna typ av test inte speciellt vanlig i Sverige, förutom att det i de nationella proven någon gång kan förekomma uppgifter där man får två eller tre olika alternativ (http://www.prim.su.se/matematik/). I dessa fall ska man motivera varför alternativet man valt är det riktiga, inte bara kryssa i en ruta, som i TIMSSs uppgifter. Skolverket (2008) efterlyser dock en större användning av flervalsuppgifter i de nationella proven för att "[v]iss användning av uppgifter med flervalsalternativ skulle kunna förenkla bedömningen‖ (s. 135), och därigenom ge förutsättningar för att hantera fler elevlösningar än vad som är fallet idag.
TIMSS-resultatet för svenska elever i årskurs 8 låg i senaste undersökningen under EU-genomsnittet i områdena Algebra och Geometri (Ibid, s. 88) och Sverige är ett av de få länder som visar en nedåtgående trend från 1995, då den första studien genomfördes, till 2007 för elever i årskurs åtta. Motsvarande undersökning har gjorts för elever i årskurs fyra, och även här visar Sverige en negativ trend, om än inte lika signifikant. 2008 publicerades resultaten från den av TIMSS mera sällan genomförda undersökningen i avancerad matematik för elever i tredje årskursen på gymnasiet. Denna undersökning visar en ännu större negativ utveckling än de två tidigare nämnda, men här kan problemet enbart hänföras till de elever som läser de naturvetenskapliga och tekniska programmen, och gäller inte den generella matematikkunskapen bland alla svenska ungdomar. Det är ändå ett problem att ta på största allvar, eftersom dessa elever
14
innan de påbörjade sina utbildningar i gymnasieskolan förmodligen haft samma brister som alla andra elever i svenska skolan. Vi nöjer oss med att konstatera att Sverige presterar allt sämre resultat i internationell jämförelse och hänvisar till TIMSS hemsida för detaljerade redovisningar.
3.2 Minsta motståndets lag
Detta begrepp är välkänt i många sammanhang, och i sin engelska form, Principle of Least Effort, användes det av Zipf (1935) när han forskade på sådant som vi idag många gånger anser självklart. Han utgick ifrån definitionen:
In simple terms, the Principle of Least Effort means, for example, that a person in solving his immediate problems will view these against the background of his probable future problems, as estimated by himself. Moreover he will strive to solve his problems in such a way as to minimize the total work that he must expend in solving both his immediate problems and his probable future problems. (Zipf, 1935, s. 1)
Zipf studerade ords användning och förekomst i olika sammanhang, som till exempel i litteratur, vardagsspråk och politik. Han kunde med hjälp av samband som beskrevs med rent matematiska termer bland annat visa att ju längre och mer komplicerat ett ord är, desto mer sällan används det, oavsett om det används i skrift eller tal. Detta kan man beskriva genom en serie deviser; Ju kortare ord, desto oftare blir det använt. Ju oftare använt desto större blir förståelsen. Ju högre förståelse, desto lättare att använda ordet i andra sammanhang.
3.3 Lingvistisk relativitet
Lingvisterna Sapir och Whorf inledde på 1920-talet, bland mycket annat, forskning av igenkännande av färgtermer, och publicerade i Whorf (1956), sambandet mellan att känna till begrepp och termer och att kunna använda dem i dagligt tal. Deras teorier har kritiserats av många, bland andra Franklin, Clifford, Williamson och Davies (2004) och Kay och Maffi (1999), som anser att han utfört sina undersökningar felaktigt. Whorf anklagades framför allt för att ha lagt in sina egna tankar om en kontext och därefter förutsatt att forskningspersonerna hade samma tolkning av världen som han. Andra forskare, som till exempel Prins och Ulijn (1998) har däremot givit Whorf rätt i sina slutsatser. Hur som helst pekade han på fenomen som inte tidigare var kända. Om vi utgår ifrån hans hypotes att: ‖diverse languages influence the thought of those who speak them‖ (Lucy, 1992, s. 1), kan vi komma vidare till den centrala tanken i Whorfs forskning, nämligen att:
15
[t]he statement that ―thinking is a matter of LANGUAGE‖ is an incorrect generalization of the more nearly correct idea that ―thinking is a matter of different tongues.‖ The different tongues are the real phenomena and may generalize down not to any such universal as ―Language,‖ but to something
better—called ―sublinguistic‖ or ―superlinguistic‖—and NOT
ALTOGETHER unlike, even if much alike, what we now call ―mental.‖ (Whorf, 1956, s. 239)
En undersökning Sapir och Whorf utförde gick ut på att visa människor från olika kulturer diverse föremål och efteråt låta dem berätta vilka färger föremålen hade. De kunde då visa att människor som kommer från kulturer där man bara använder ett fåtal färger i språket har svårt att beskriva ett föremåls exakta färg, medan människor från kulturer med många olika namngivna färger i språket inte alls hade samma problem med detta. Whorf beskrev hur tanken påverkas av det språk människan använder och blir tilltalad med. Han påpekar att det är av yttersta vikt att sändare och mottagare av samma meddelande har samma språkliga referensram, annars kommer det att uppstå en diskrepans dem emellan. Han kallar detta för den lingvistiska relativitetsprincipen som han beskriver såhär:
[…] what I have called the ―linguistic relativity principle,‖ which means, in informal terms, that users of markedly different grammars are pointed by their grammars toward different types of observations and different evaluations of externally similar acts of observation, and hence are not equivalent as observers but must arrive at somewhat different views of the world. (Whorf, 1956, s. 221)
Detta betyder i sin tur att om man ser till en undervisningssituation i matematik så är det viktigt att lärare och elev har samma konceptuella förståelse av det språk som används, och eftersom matematikläraren har befunnit sig i den matematiska diskursen så mycket längre och dessutom har ansvaret för utbildningen är det hon/han som ska se till att eleverna också blir en del av den matematiska diskursen. Detta hanteras vidare under ‖Är det svårt att tala matematik?‖ på sida 17 f.
Lucy (1992) beskriver i en modell hur Brown och Lenneberg (1954) vidareutvecklat Zipfs lag (1935), som Priciple of Least Effort även kallas. För att kunna tolka Figur 1 behöver man kunna skilja på lingvistiska och icke-lingvistiska variabler. Lingvistiska variabler är sådana där betydelsen av ett ord är densamma, men formen varierar, t.ex. hund och jycke, som har samma sociala innebörd men olika form.
16 Lingvistisk Icke-lingvistisk Zipfs lag: kortare ord i språket frekventare användning i språket
Brown och Lennebergs anpassning:
kortare verbala uttryck frekventare användning i tal frekventare medvetna beslut (i vardagen) kognitivt krävande nivå (i uppgifter) (d.v.s. ord mot fraser,
eller grad av lexikal differentiering)
Brown och Lennebergs applicering:
Eskimåiska har flera ord för ‖snö‖ Eskimå-talande skiljer oftare på typer av ‖snö‖ Engelska har färre ord för ‖snö‖ Engelsktalande skiljer mera sällan på typer av ‖snö‖
Figur 1: Det interkulturella fallet: påverkan från lingvistiska och icke-lingvistiska variabler kopplade till Zipfs lag i Brown och Lenneberg (1954)1. Översatt av mig.
Brown och Lennebergs applicering i Figur 1 har senare visat sig vara felaktig, eftersom den bygger på en missuppfattning av antalet ord för ‖snö‖ i eskimåiska. Brown och Lennebergs anpassning är dock giltig och accepterad i vetenskapen. Slutsatsen man kan dra av anpassningen är att den kognitiva närvaron av begrepp som används oftare är högre än om begreppen används mera sällan.
3.4 En jämförelse mellan Whorf och Vygotsky
Lev Vygotsky studerade också språk, men till skillnad från Whorf, som studerade det synkrona (samtidiga) perspektivet i språkutveckling, studerade Vygotsky språk ur ett diakront perspektiv, det vill säga språkutveckling över tid. Vygotsky är mest känd för sina teorier om sociokulturell utveckling och är ofta citerad i pedagogisk litteratur. Exempelvis beskriver Dysthe (2003, s. 75 ff) på ett förträffligt sätt hans arbete från internaliseringsprocessen (att göra kunskapen till sin egen) via semiotisk mediering (användandet av meningsbärande symboler) till den proximala utvecklingszonen som är så viktig för en lärare att upptäcka hos sina elever.
Vygotskys och Whorfs forskning bedrevs under samma tidsperiod, mellan världskrigen, men det faktum att de hade så olika perspektiv, liksom att Whorf hade ett lingvistiskt och Vygotsky ett psykologiskt fokus i sina respektive forskningsinsatser gör
17
att de sällan jämförs. Lucy och Wertsch (1987) har dock gjort en intressant jämförelse och funnit att de i många fall delade åsikt. De skriver att:
[i]n ontogenesis, the domain Vygotsky and his colleagues studied in most concrete detail, the most important qualitative transition results from the collision of cultural patterns of social interaction and communication with the ―elementary mental functioning‖ of the child. (s. 70)
Detta betyder att Vygotsky hävdade att den kvalitativt mest avgörande förändringen i ett barns menatala funktioner iscensätts av konflikter mellan kulturella mönster av social interaktion och kommunikation. Maltén (1997) skriver om Vygotsky att ‖[f]ör den ryske forskaren är samspelet mellan individen och den socio-kulturella omgivningen helt avgörande för människans utveckling‖ (s. 129).
En jämförelse med Whorfs (1956, s. 239) påstående om att språket ger upphov till tanken och inte tvärtom, gör att vi kan se tydliga likheter i de båda forskarnas tolkning av utvecklingsteori. Likheten ligger framför allt i deras påstående att språket ger upphov till tanken och att den kulturella omgivningen spelar en viktig roll. Lucy och Wertsch (1987) skriver vidare att
[…] because the analogies are not the same in all languages, that is, grammars differ, use of these categories necessarily guides thought in a way characteristic of the given language and culture and not along universally preordained lines of thinking. (s. 82)
Detta skulle man även kunna tolka in i ett matematiskt perspektiv och jämföra vardagsspråk och vardagskultur med matematiska diton. Forskningen Vygotsky och Whorf bedrev koncentrerade sig inte på något specifikt språk eller på någon speciell kultur. De försökte närmast i generella teorier beskriva vilka de viktigaste faktorerna var till utvecklandet av tanken och tillgodogörandet av kunskap.
3.5 Är det svårt att tala matematik?
Denna fråga går inte att besvara sanningsenligt eftersom svaret man får beror på vem man frågar, men det finns många som hävdar att den matematiska begreppsvärlden är svår att ta till sig, och att det därför finns en hög tröskel att ta sig över för att kunna delta i matematiska diskussioner och agera i matematiska sammanhang. Det finns saker som gör att matematiska texter inte är helt enkla att dechiffrera, bland annat på grund av att:
[a] further consequence of the use of nominalizations that is seen to be important in Critical Linguistics is the obscuring of agency; the transformation of process into object removes the grammatical need to specify the actor in the process. (Morgan, 1998, s. 82)
18
I lingvistiken är den handlande i en passiv sats en agent. I matematiken försöker man alltså ofta mala ner en process i ett objekt, något som ofta får till följd att det blir svårt för läsaren att plocka fram den i lingvistiken så viktiga agenten. Utan agent finns det ingen som utför någon handling, och när agenten är obskyr blir också handlingen otydlig. Detta kan vara en bidragande faktor till att matematiska texter kan vara svårbegripliga om man inte känner till de diskursiva särdragen. Utan övning i att läsa matematiska texter eller om man inte blir utsatt för det matematiska språket i sin rätta kontext kan man alltså heller inte förstå det som kommuniceras. Detta för oss tillbaka till Vygotskys och Whorfs slutsatser om att språket ger upphov till tanken.
En annan sak som bidrar till att göra den matematiska diskursen svårtillgänglig är att det för en ovan inte alltid är så enkelt att översätta ett vardagsproblem till matematiskt språk.
No kind of mathematical processing can be performed without using a semiotic system of representation, because mathematical processing always involves substituting some semiotic representation for another. The part that signs play in mathematics is not to be substituted for objects but for other signs. What matters is not representations but their transformations. (Duval, 2006, s. 107)
Man kan kalla denna process för att matematisera ett problem, som man annars klarar alldeles utmärkt att beskriva med vardagsspråk, det vill säga att byta ut en beskrivning av ett problem i vardagen till en matematisk algoritm eller beräkningsmodell. Detta är något som många elever upplever som svårt, och det visar sig också ganska tydligt i den undersökning som presenteras i detta arbete. Fenomenet kan leda till oönskade konsekvenser som tas upp vidare i avsnittet ‖Begreppsmissuppfattningar‖ på sida 30.
Att ovanstående faktorer måste kunna hanteras för att elever ska kunna tillägna sig det matematiska språket är enkelt att förstå, och det är lärarna som har huvudansvaret för att det sker. Riesbeck (2008) har belyst frågan tidigare och skriver:
Löwing (2004) ställer sig frågan hur lärare organiserar
matematikundervisningen och hur de kommunicerar ett matematiskt innehåll med eleverna. Kommunikationens didaktiska kvalitet bygger på tre komponenter: Lärarens egen kunskap om det hon skall undervisa, hennes förmåga att lyfta fram poängerna i det hon skall undervisa om och att då ta hänsyn till elevens förförståelse och abstraktionsförmåga. (s. 40)
Om man inte lägger ner tillräckligt med arbete på dessa saker kommer man heller aldrig över den språkliga barriären till den matematiska begreppsvärlden. Man måste också som lärare kunna följa upp den språkliga utvecklingen, annars menar Riesbeck att konsekvensen blir den hon visar att Löwing (2004) har beskrivit i
19
…att dialogen saknar precision eftersom lärare och elever ofta talar förbi varandra. Lärare saknade kännedom om elevernas förkunskaper. En omfattande lotsning av eleverna ägde rum i hennes undersökningar. Vidare fann hon att lärarna ansåg det viktigare att deras elever räknade många uppgifter än att låta dem reflektera över lösningsmetoderna. (Ibid)
Att lärare tycker att det är bättre att räkna många uppgifter än att förstå innehållet i undervisningen betyder att de är fokuserade på instrumentell inlärning, en metod som inte leder till förståelse, utan bara på kort sikt lär elever att räkna på uppgifter som ser ut på ett speciellt vis. Instrumentell inlärning har i en mängd tidigare artiklar och avhandlingar fått innebörden av en sämre didaktisk metod än den relationella och om detta är målet med undervisningen blir det också svårt att motivera att eleverna lär sig ett språk de ändå inte kommer att få någon nytta av i framtiden. Skemp (1975, s. 21 f) uttrycker problemet träffande genom att beskriva elever som vill förstå instrumentellt, undervisade av lärare som undervisar relationellt och jämföra detta problem med det omvända; att elever som blir undervisade instrumentellt vill förstå relationellt. Det senare scenariot kan också vara en av anledningarna till det för svenska gymnasieskolan föga smickrande resultatet i TIMSS-rapporten i avancerad matematik som presenterades 2008.
4 Metod
Den metod som använts i detta arbete är en fallstudie av kvalitativ art, eftersom ‖jag är intresserad av att t.ex. försöka förstå människors sätt att resonera eller reagera, eller av att särskilja eller urskilja varierande handlingsmönster, är en kvalitativ studie rimlig" (Trost, 2001, s. 22). Det finns, som tidigare nämnts, många lärare och andra människor som gärna beskriver verkligheten i dagens matematikundervisning i generella ordalag. Detta vill jag undvika genom att ‖…med hjälp av fallet beskriva verkligheten och säga att fallet i fråga får representera verkligheten‖ (Ejvegård, 2003, s. 33). Det finns många tidigare undersökningar som studerar liknande fenomen och som på ett eller annat sätt strävar efter att påvisa språkets betydelse för förståelsen i matematikämnet, t.ex. Österholm (2006), Riesbeck (2008) och Jakobsson-Åhl (2006).
4.1 Val av undersökningsmetod
Jag har själv konstruerat problemlösningsuppgifter som även skulle kunna användas i undervisning av Matematik B. Elevunderlaget är en klass i gymnasieskolan, utsedd av elevernas ordinarie matematiklärare, som av mig blivit ombedd att välja elever med
20
relativt bred kunskapsdifferens. De har fått materialet presenterat för sig tillsammans med informationen att de när de vill kan avbryta undersökningen, där de ombeds att skriftligen beskriva så tydligt de kan hur de ska gå tillväga för att lösa de uppgifter de får. Jag har medvetet låtit studenter som läser Matematik A få uppgifter som de inte tidigare har fått någon undervisning i för att jag ska kunna besvara min egen forskningsfråga nr 3, Hur påverkar god begreppsförståelse introduktionen av för
eleverna nya matematiska samband?
De elever som deltar i undersökningen har fått information om hur den är konstruerad och vilka frågor den försöker ge svar på. De har även fått information om vad som gäller enligt lag vid undersökningar av denna typ och att de inte riskerar några som helst påföljder genom att delta. De har även garanterats anonymitet samt att deras betygsättande lärare inte kommer att få tillgång till deras individuella svar.
Efter att ha undertecknat dokumentet där de godkänner att resultatet får användas, bifogat som Bilaga 1: Godkännande av deltagande i examensarbete, har de fått svara på till hur stor del de håller med om de sju påståenden som finns i formuläret, som finns med som Bilaga 2: Mina tankar om matte. Syftet med denna enkät är att kunna jämföra respondenternas förklarande text i matematikuppgifterna med hur deras självbild som matematikstudenter ser ut och att få svaret på forskningsfråga nr 4, Vilka attityder finns
bland de deltagande respondenterna till matematik? Först härefter presenterades
matematikuppgifterna, och hela undersökningen utfördes gemensamt av samtliga deltagare på grund av att det var mera praktiskt på det viset, och att jag inte ville interferera med elevernas ordinarie undervisning alltför mycket.
Upplägget kan eventuellt ha uppfattats av eleverna som en provsituation, vilket någon elev påpekade, men eftersom jag var tvungen att välja mellan att plocka ut några elever per matematiklektion under en veckas tid och att låta alla göra testen samtidigt prioriterade jag ovan beskrivna metod.
4.2 Val av matematikuppgifter
När jag konstruerat matematikuppgifterna i undersökningen har jag försökt eftersträva att de ska kunna användas för att besvara mina forskningsfrågor på sida 12. Myndigheten för skolutveckling (2007, s. 13) har använt en fyrfältsmodell för indelning av uppgifterna i TIMSS i om de är kognitivt krävande respektive om det finns kontextuellt stöd för matematikinnehållet efter Cummins (1996). Denna undersöknings
21
fyra uppgifter är också placerade i denna modell, som fritt avritad visas med uppgiftsnumren inlagda efter min subjektiva bedömning i Figur 2.
Kognitivt krävande St öd i k onte xten Imge t st öd i k on tex ten Kognitivt enkelt
Figur 2: Kognitivt/kontextuellt stöd i undersökningens fyra uppgifter2.
Som synes är det kraftig övervikt för uppgifter utan stöd i kontexten, men ganska spritt i kognitiv svårighetsgrad. Eftersom avsikten med undersökningen är att kontrollera elevernas förståelse av matematiska begrepp är valet av uppgifter ‖utan stöd i kontexten‖ dominerande. Nedan redovisas uppgifterna så som de presenterats för eleverna med en förklaring till vilka forskningsfrågor de är avsedda att kunna svara på. 4.2.1 Uppgift 1
Arean (T) av en triangel är lätt att beräkna om man känner bredd och höjd, men om man bara känner triangelns sidor kan man använda ett samband som kallas Herons formel, enligt vilken triangelns area beräknas med formeln: √ ( )( )( ), där
p står för halva omkretsen. Om a = 3 cm, b = 5 cm och c = 4 cm, hur stor är då arean T,
och vilket värde har höjden h?3
Här används begrepp som är typiska inom geometrin, dock inte väldigt komplicerade. Jag bedömer det som fullt möjligt för de flesta elever att förstå uppgiften, även om de inte skulle vara helt bekanta med termer som ‖bredd‖, ‖höjd‖, ‖omkrets‖ och ‖area‖. Man kan förenkla uppgiften ytterligare genom att ställa upp uttrycket . Jag hade detta med i den ursprungliga versionen av uppgiften, men tog bort det efter att ha genomfört en pilotstudie. Det blev för enkelt att bara sätta in alla siffror i
2 I figuren finns uppgift 4 markerad två gånger med olika kognitiv svårighetsgrad, beroende på vilken
lösningsmetod man väljer.
3 Uppgiften är även försedd med illustration (se sida 39).
1
4
3
2
22
stället för bokstäver, och inget problemlösningsarbete hade krävts. Uppgiften bör kunna ge svar på alla mina forskningsfrågor.
4.2.2 Uppgift 2
Pythagoras sats kan användas för att ta reda på längderna av en rätvinklig triangels sidor. Sambandet tecknas: . Visa och ge exempel på att det finns värden på triangelns sidor a, b och c, så att alla är heltal.4
Här uppmanas eleven att prova och därigenom diskutera sambandet. Den stora utmaningen är att förklara så att någon annan kan förstå hur eleven kommit fram till sitt resultat. Forskningsfrågorna nr 1, I vilken utsträckning använder eleverna de begrepp
och termer de fått lära sig i skolans matematikundervisning? och nr 2, På vilka andra sätt kan eleverna göra sig förstådda genom att använda andra termer och begrepp än de strikt matematiska? bör kunna besvaras med hjälp av svaren på denna uppgift.
4.2.3 Uppgift 3
För att se vilket mobilabonnemang som är billigast om man ringer x samtal kan man rita upp kostnadsutvecklingen grafiskt i ett koordinatsystem, där man låter den lodräta axeln vara månadskostnaden (y), och den vågräta axeln vara antalet samtal (x).
Alternativ A kostar 100 kr/mån och 30 öre/samtal.
Alternativ B kostar ingenting i månadsavgift och 80 öre/samtal.
Åskådliggör kostnadsutvecklingen grafiskt i koordinatsystemet nedan. Ange själv en lämplig skala och ta reda på när alternativ A blir billigare än alternativ B. Man kan även lösa uppgiften algebraiskt genom att sätta upp två ekvationer och lösa dem med ett ekvationssystem.5
Detta är den enda uppgiften med tydlig koppling till verkligheten, samtidigt som den är uttryckt på ett matematiskt språk. Eleverna borde förstå innehållet i uppgiften, men avsikten är att se om formuleringen av den ställer till några problem, det vill säga om de kan matematisera innehållet. Här har man även möjlighet att se om eleverna väljer att presentera ett samband med hjälp av grafik i stället för att uttrycka sig verbalt. Uppgiften är tänkt att främst kunna besvara forskningsfrågorna nr 2, På vilka andra sätt
kan eleverna göra sig förstådda genom att använda andra termer och begrepp än de
4 Uppgiften är även försedd med illustration (se sida 39).
5 Uppgiften är även försedd med ett koordinatsystem utan markeringar för skala och beteckning på
23
strikt matematiska? och 3, Hur påverkar god begreppsförståelse introduktionen av för eleverna nya matematiska samband?
4.2.4 Uppgift 4
Om produkten av två udda faktorer, a och b adderas med den jämna termen c och sedan multipliceras med den udda faktorn d blir slutprodukten alltid udda. Visa att sambandet alltid gäller genom att använda ett generellt bevis eller visa med hjälp av ett exempel att sambandet gäller för de tal du valt.
Detta är en typisk kontrollfråga som kunde vara hämtad från ett nationellt prov, där syftet är att se om eleven förstår begreppen ‖faktor‖, ‖term‖, ‖addera‖, ‖produkt‖ och ‖multiplicera‖. Uppgiften är dessutom vald för att se om elever som kan begreppen också kan applicera bevisföring på ett givet problem. Att uppgiften är placerad så pass högt i skalan för kognitiv svårighetsgrad i Figur 2: Kognitivt/kontextuellt stöd i undersökningens fyra uppgifter., kan bero på att elever som läst mindre än en halv termin i Matematik A inte är vana vid matematiska bevis. Uppgiften är svårare att bevisa än att exemplifiera, så jag bedömer att ett flertal elever ändå ska kunna hitta exempel på tal där tesen gäller.
24
5 Resultat och analys
Undersökningen av hur det ser ut i en vanlig gymnasieklass ger en ganska likartad bild av de saker som de matematiklärare jag har talat med påstår; att det finns ett fåtal elever som är relativt säkra i den matematiska kontexten och ett lite större antal som klarar den hjälpligt. Tyvärr finns det även en hel del som varken klarar att göra sig förstådda eller förstår innehållet i de uppgifter de har framför sig. I den undersökning som här presenteras kan man endast placera en elev i den grupp som innehåller elever som är relativt säkra i den matematiska kontexten, och det var inte svårt att hitta denna elev bland de svar som lämnades. De elever som kan placeras bland dem som klarar sig hjälpligt är svårare att identifiera, eftersom begreppskännedomen hos dessa inte markant skiljer sig från den hos elever med bristande kännedom om matematiska begrepp och samband. På grund av graden av godtycklighet vid kategoriseringen är det svårt att välja fler än dessa grupper:
grupp i) god begreppskännedom – 1 person
grupp ii) hyfsad begreppskännedom – 6 personer
grupp iii) bristande begreppskännedom – 7 personer
I grupp iii) finns även de respondenter som inte lyckades svara på någon fråga, vilket gjorde det svårt att avgöra huruvida det var språket som var problemet, men det faktum att de även hade svarat att de inte hade förstått uppgifterna tyder på att det fanns ett tolkningsproblem. Beteckningarna grupp i), grupp ii) och grupp iii) kommer att hänvisas till fortsättningsvis i detta arbete.
Det kan finnas diskrepanser mellan verklig förmåga att använda matematiska begrepp och den i testen mätta. Testet utförs skriftligen, och några av deltagarna kanske inte ser berättandekonsten som någon av sina starkare sidor, och de kanske hade föredragit att delta i ett muntligt test. Detta kommer vi att få leva i ovisshet om, men det kan vara av vikt att påpeka problemet.
5.1 Tolkning av information
Först efter att jag fått materialet från respondenterna bestämde jag mig för hur jag skulle analysera detsamma. Detta för att först få veta vilka olika typer av jämförelser jag kan göra. Det visade sig att man kunde kategorisera svaren och beskrivningarna på många olika sätt.
25
Först och främst har jag velat titta på om det använda språket går att kategorisera som tillhörande den matematiska diskursen, därefter har jag tittat på om det går att följa respondentens tankegång.
Man kan som ett biresultat av undersökningen konstatera att de deltagande eleverna inte är tillräckligt duktiga i svenska. Även om orden de använder tidigare finns rättstavade i frågeformuleringen har flera stycken gjort ganska grova felstavningar i sin egen beskrivande text. Det var inte detta jag skulle undersöka, och det kanske inte heller är relevant, eftersom man när man koncentrerar sig på att beskriva ett matematikproblem kanske inte har fullt fokus på rättstavning. Samtidigt kan det vara av vikt att notera bristen, eftersom det borde finnas större incitament att stava rätt om man har i uppgift att beskriva så tydligt man kan.
5.2 Enkätsvar
Enkäten som delades ut innan eleverna började lösa matematikuppgifterna gav en hel del intressanta svar, vilka redovisas i Tabell 1. Det man tydligt kunde se var att den fråga som hade mest medhåll, med medelvärdet 76 %, var fråga 5, Jag säger hellre
”gånga” än ”multiplicera” och ”plussa” är ett bättre ord än ”addera”. De som hade
högsta värdet här var grupp iii), men även den enda elev som kunde lösa alla fyra uppgifterna på ett godtagbart sätt hade angett 80 % på denna fråga. En utvidgning av denna motsägelse kommer att hanteras i diskussionen på sida 29.
Respondent nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 medel fråga 1 50 77 70 10 50 70 95 50 20 50 10 60 70 65 53 fråga 2 50 86 70 40 60 76 100 60 20 50 20 90 60 65 61 fråga 3 70 83 100 70 70 72 100 90 40 80 50 74 70 76 75 fråga 4 70 67 60 90 20 71 30 80 80 0 0 57 10 74 51 fråga 5 90 67 80 90 40 46 70 90 100 100 100 51 50 94 76 fråga 6 60 45 0 90 50 45 20 90 100 40 100 1 50 4 50 fråga 7 60 14 10 90 40 27 10 80 70 30 60 52 40 54 46 förstår uppg. 1 64 förstår uppg. 2 () () 43 förstår uppg. 3 43 förstår uppg. 4 36
Tabell 1: Resultat av frågeformulär samt vilka av matematikuppgifterna eleven förstått.6
En annan observation, som kanske var mera väntad, var att grupp iii) hade högt värde på fråga 6, Jag tycker bättre om uppgifter där man slipper fundera över vad man
6 Siffror är procenttal och markerar om eleven har förstått frågan. Markeringen () innebär att eleven
26
ska göra och samma grupp hade också lågt värde både på fråga 1, Matte är roligt och
fråga 2, Matte är lätt. Dessutom hade de svårast att förstå de uppgifter som ingick i testet. Att grupp iii) hade lägst värde både på fråga 1 och på fråga 2 var inte någon överraskning, men det visar ändå på ett problem; det kommer att vara svårt för dessa elever att komma högre på skalan i någon av frågorna eftersom de hänger ihop genom att det ena ger det andra. Det var också grupp iii) som hade högst värde på fråga 7, Jag
förstår bättre när jag räknar tillsammans med en kompis, vilket kan betyda att de
snabbare får rätt svar på matematikuppgifterna om någon annan visar dem hur man ska räkna. Om detta är en korrekt tolkning kommer de inte att lära sig att matematisera uppgifterna själva, vilket kan antas genom att de även har höga värden på fråga 6, Jag
tycker bättre om uppgifter där man slipper fundera över vad man ska göra.
Fråga 3, Jag brukar förstå uppgifterna i matteboken, återspeglar även resultatet på de uppgifter respondenterna fick i undersökningen. Den med högst värde på dessa frågor var eleven i grupp i) och hon förstod också undersökningens frågor bäst, vilket tyder på en ganska bra insikt om den egna förmågan att behärska de matematiska begreppen.
Man kan försöka dra slutsatser av den information som finns i Tabell 1, men man måste samtidigt komma ihåg att det bara är 14 personer som genomfört testen. Fallstudien visar ändå vad respondenterna faktiskt har svarat och är en god värdemätare på hur det ser ut i klassen. Det är sedan upp till andra praktiserande lärare att se om resultatet i någon mån återspeglar det de själva upplever i sina egna klasser.
5.3 Skillnader i attityder och begreppsuppfattning per grupp
Siffrorna i Tabell 1 kan presenteras med genomsnittligt värde per grupp i stället för som genomsnitt för alla deltagande respondenter. Vi vet redan att uppdelningen i grupper enligt beskriving på sida 24 gav att en person hamnade i grupp i), sex personer i grupp ii) och sju personer i grupp iii). Presentationen av resultatet enligt denna uppdelning visas i Diagram 1 nedan. Det finns förväntade skillnader i denna presentation, som till exempel att:
ju lägre gruppnummer, desto lättare att förstå uppgifterna,
ju lägre gruppnummer, desto lättare och roligare är ämnet,
ju högre gruppnummer, desto mer tycker man om uppgifter där man slipper fundera över vad man ska göra,
27
ju högre gruppnummer, desto mer benägen är man att räkna tillsammans med en kompis.
Diagram 1: Gruppskillnader i självvärdering av matematik samt förståelse av matematikuppgifter. Redovisade staplar är respektive grupps medelvärde i procent.
Förutom dessa icke helt överraskande skillnader kan man notera att den elev som utgör hela grupp i) hellre än att använda de matematiska begreppen säger ‖gånga‖ och ‖plussa‖. Vi ska titta närmare på detta fenomen på sida 29.
En annan sak som blir tydlig i grupp ii) är att när de svarat att de förstått uppgiften betyder det inte att de verkligen har gjort det. Möjligen kan självförtroendet vara aningen för stort i dessa fall, eller så anser man sig ha förstått, men man har egentligen feltolkat uppgiften. Ett exempel på detta är när en elev från grupp ii) skriver följande förklaring som lösning på uppgift 1:
Om man tar som då är 30 5 gånger något är 30 som är 6
√
Svar: Arean är 30. Höjden är 6
Eleven har tydligen missförstått uppgiften och blandat ihop flera olika begrepp; halva omkretsen har blivit arean och triangelns area är beräknad med hjälp av algoritmen för rektangelns area. Dessutom har Herons formel inte använts, utan de uträknade delresultaten har bara skrivits in under en kvadratrotssymbol. Likväl har eleven svarat
0 20 40 60 80 100 % alla % grupp i) % grupp ii) % grupp iii)
28
att hon förstår uppgiften. Detta resultat kommer också att diskuteras vidare i kapitlet ‖Begreppsmissuppfattningar‖ på sida 30 f.
5.4 Genusperspektivet
För att se om det finns andra skillnader genom att gruppera deltagarna annorlunda kan man titta på respondenterna ur ett genusperspektiv. Vi kan vi först konstatera att det var tio kvinnliga och fyra manliga deltagare. Om vi presenterar siffrorna i Tabell 1 uppdelade på manliga och kvinnliga deltagare får vi resultatet i Diagram 2.
Diagram 2: Genusskillnader i självvärdering av matematik samt förståelse av matematikuppgifter. Redovisade staplar är manliga respektive kvinnliga deltagares medelvärde i procent.
Vi kan här se att de största skillnaderna är i fråga 5, Jag säger hellre "gånga" än
"multiplicera" och "plussa" är ett bättre ord än "addera" och fråga 7, Jag förstår bättre när jag räknar tillsammans med en kompis. Det är framför allt kvinnorna som tycker att
‖plussa‖ och ‖gånga‖ är bättre och männen som förstår bättre när de räknar tillsammans med en kompis. Man kan undra vad pojkarna gör när de räknar tillsammans med en kompis om det är flickorna som har högre värde på fråga 4, Jag brukar diskutera matte
med mina kompisar. Återigen måste det poängteras att detta bara är en fallstudie och att
det därför inte går att dra några generella slutsatser, men den respondentgrupp som deltog i undersökningen har i alla fall dessa skillnader i en jämförelse mellan könen.
0 20 40 60 80 100 % alla % m % f
29
5.5 Användande av matematiska begrepp
När man analyserar respondenternas språkanvändning i uppgifterna ser man att de betydligt oftare använder matematiska termer än vardagsspråk. När eleverna fick information om vad studien skulle gå ut på fick de veta att jag var intresserad av att undersöka vilket språk de använder i problemlösningssituationer i matematik. Man kan spekulera i att denna information kan ha påverkat några deltagares språkval så att de ville använda så många matematiska begrepp som möjligt, vilket de kanske inte hade gjort annars. Man kan dock tydligt se att begreppen är använda med varierande framgång. Generellt kan man se att om eleverna varit osäkra på innebörden i begreppen har de undvikit att använda dem, något som syns genom att det framför allt är när begreppen har använts i frågeformuleringen som de ställt till problem. Till exempel har en elev svarat ‖jag förstår uppgiften lite men kommer ej ihåg vad produkt, termer och
sånt är men med det hade man kanske klarat uppgiften‖ på uppgift 4, och en annan elev
svarade ‖jag förstår inte alla matematiska termerna och det var svårt att förstå hela
frågan och vad man skulle lösa‖ på samma fråga. Båda dessa elever kom från grupp iii).
Av de fyra uppgifterna var det bara en som hade anknytning till vardagslivet, de andra var rena matematikuppgifter utan koppling till någon annan situation. Uppgift 3, däremot, handlade om att jämföra mobilabonnemang och avgöra vilket alternativ som var billigast med givna variabler. Det visade sig att ingen elev lyckades lösa detta problem grafiskt, trots att det redan fanns ett koordinatsystem uppritat på lösningspappret. Ändå lyckades bara två av eleverna, en från vardera grupp i) och grupp ii), att lösa problemet genom att testa med olika antal samtal tills de hittade ett som gav samma kostnad för båda alternativen. Riesbeck (2008) säger:
[a]tt matematisera sin omvärld är således en fråga om att tolka världen i de symboler och i de operationer som matematiken tillhandahåller. Symbolerna och operationerna skall tjäna som medel för att argumentera om relationer mellan storheter. (s. 210)
I denna uppgift verkade det vara att matematisera som var svårigheten, och eleverna kunde inte omsätta något som annars är en stor del av deras vardag, mobiltelefoner, till matematiskt innehåll. Eleverna har bara kommit halvvägs in i Matematik A-kursen, och har därför inte stött på funktioner ännu, men de flesta hänvisade ändå till att de inte kom ihåg hur man använder koordinatsystem, vilket således var ett bekant ord, om än icke befäst i deras matematiska begreppsvärld.
30
5.6 Begreppsmissuppfattningar
Även om det finns en hel del riktiga tolkningar av begreppen som använts i denna studie existerar det en hel del begreppsmissuppfattningar bland respondenterna. Jag har gett ett exempel på sida 26, men det finns även andra. Det kan visa sig finnas en risk när en elev tror sig ha kontroll på begreppen i den matematiska diskursen, men i själva verket har missuppfattat eller tolkat dem fel. Om dessa elever löser matematikuppgifter utan att producera förklarande text är det inte helt säkert att den undervisande läraren uppmärksammar att felet ligger i tolkningen av termerna utan i slarvfel eller svårigheter att använda algoritmer. I denna undersökning blir feltolkningarna tydliga, eftersom respondenterna är ombedda att koncentrera sig på att tydligt beskriva vad de gör.
Bland lösningarna till uppgift 4 finns det ett annat exempel på feltolkning: Så Då provar vi. Det stämmde
De beror på om man multiplicerar ett gämt tal med ett ogemt blir det ogemt
Likadant plusar man två ogemna tal blir det ett gämt
Här har eleven inte tolkat ‖produkt‖ och ‖faktor‖ rätt, och dessutom har hon kommit fram till att 450 är ett udda tal. Man kan förutom detta lägga märke till att eleven är inkonsekvent i användningen av matematiska termer, hon använder ‖multiplicerar‖ och ‖plussar‖ i två på varandra följande meningar. Även i detta fall är det enkelt att upptäcka att eleven saknar korrekt tolkning av de matematiska begreppen. Skolverket (2008) har gjort liknande observationer i tolkningen av TIMSS-resultatet och skriver att ‖[i] några exempel har elever tillämpat en begreppsmodell utanför dess applikationsområde med misslyckat resultat som följd‖ (s. 135). Man kopplar här tillbaka till lärarens ansvar för att använda begreppsmodeller i relevanta sammanhang,
31
något som också kan tillskrivas Pehkonens (2001) teori om läraren som ensamt mest betydelsefulla påverkansfaktor, även om han i sitt arbete avsåg påverkan på inställningen till matematiken som skolämne och inte hur man som lärare använder begreppsmodeller.
I en av respondenternas svar på uppgift 1 är det tydligt att han inte lyckas vara tillräckligt tydlig för att kunna resonera obehindrat, och resultatet blir i detta fall väldigt förvirrande:
Det finns nån gammal grekisk filosof om olika kvadrater till en triangel och dessa räknade ut varandra värden
Jag kan ju göra som den givna formlen. Till att börja med p så behövs halva omkretsen dvs ⁄ ⇒ ⁄ alltså . Sen byter ut formlen med nummer √ ( )( )( )→ √ → √ → sen använder jag miniräknare för snabbare svar och rätt kortat 6 så om detta stämmer så är men enligt miniräknaren så blir svaret detta var en klurig väg, så jag räcknar h först och vad b kan vara för att göra ⁄ .
Det finns en teori om att en triangel på 3 enhet höjd och 4 enhet längd, får
en 5 enhet melan de två punkterna tyvär kommer
jag inte ihåg den och gör en gissning. Om b har majoritet på c sida (se bild) så borde det vara om ⁄ så borde T bli något mindre.
Slutligt svar med en
Hur Pythagoras teorem kommer in i sammanhanget är oklart, men eleven visar samtidigt fram en tydlig kreativ sida och försöker på alla sätt att använda det han lärt sig i matematikundervisningen. Detta är också ett exempel på hur beräkningsalgoritmer används utanför sitt applikationsområde. Intressant är dock att eleven kommer fram till nästan rätt svar på h utan att lyckas redovisa någon uträkning. Om detta hade varit en uppgift i ett annat sammanhang skulle läraren inte kunna veta att problemet ligger i elevens bristande begreppsuppfattning.
32
5.7 Hur ser en ”duktig” matematikelev ut?
I denna studie visar det sig att endast ett fåtal elevlösningar är matematiskt helt riktiga. Det är dessutom endast en elev som har lyckats lösa samtliga uppgifter rätt. Henne har jag tidigare kategoriserat i grupp i) enligt begreppsuppfattningen. När hon förutom att ha svarat rätt på alla frågor lyckats uttrycka sig relativt obehindrat, och därmed enligt många av de betygskriterier som gäller för Matematik A gjort sig förtjänt av ett ‖MVG‖, kan man låta henne själv genom enkäten svara på hur en typisk ‖duktig‖ matematikelev ser ut. Denna typ av elev ska alltså tycka att matte är ganska lätt och ganska kul, förstår alltid alla uppgifter i matteboken och tycker bäst om uppgifter som utmanar. Hon diskuterar ibland matematik med sina kompisar men tycker inte om att arbeta tillsammans med andra. Slutligen tycker hon att man ska använda ord som ‖gånga‖ och ‖plussa‖ i stället för traditionella matematiska begrepp. Att eleven dock inte lever som hon lär framgår av sättet uppgifterna är lösta på. Inte en enda gång har hon frångått den matematiska diskurs hon säger sig inte tycka om. Tydligen har hon bara accepterat att man ska använda de begrepp man lärt sig, och inte funderat mer över varför detta är viktigt. Om detta beror på att hon fogat sig i den begreppsvärld hennes lärare predikat, eller om det finns andra orsaker, framgår inte av undersökningsmaterialet, men det kanske skulle vara intressant att ta reda på i ett annat forskningsuppdrag, tillsammans med framtagandet av prototypen av en ‖duktig‖ matematikelev.
5.8 Utvärdering av frågeställning
I början av detta arbete presenterades fyra forskningsfrågor som jag ville ha besvarade. Vi ska fortfarande komma ihåg att frågorna bara gäller för studiens deltagande respondenter och att tolkningarna av desamma måste hanteras därefter.
Den första av dessa var: I vilken utsträckning använder eleverna de begrepp och
termer de fått lära sig i skolans matematikundervisning? Svaret är att när de är säkra på
betydelsen använder de begreppen, även om de önskar att de slapp och att de ofta misslyckas i sin tolkning av begreppen när de utsätts för dem i uppgiftsformuleringen.
Andra frågan var: På vilka andra sätt kan eleverna göra sig förstådda genom att
använda andra termer och begrepp än de strikt matematiska? Om vi tittar på exemplet
33
andra exempel där elever klarar sig bättre, men över lag kan vi sluta oss till att det i alla fall är lättare att göra sig förstådd om man använder matematiska termer och begrepp.
Den tredje frågan löd: Hur påverkar god begreppsförståelse introduktionen av för
eleverna nya matematiska samband? När man utvärderar om frågan är besvarad måste
man ta i beaktande svagheten i den något godtyckliga gruppindelning som genomfördes på sida 24. När vi svarar på frågan kan vi däremot konstatera att de flesta av eleverna som deltog i undersökningen hade klara brister i kunskapen om de matematiska begreppen och den enda elev som kunde räknas in i grupp i) lyckades lösa samtliga uppgifter kan man tycka att det finns indikationer på att frågan kan besvaras med ja, men det är mycket sagt att ta resultatet från en respondent och dra slutsatser av det.
I det enda fall det nästan går att garantera ett för eleverna nytt matematiskt samband var uppgift 1; det är inte vanligt att Matematik A-studenter känner till Herons formel. Det är bara eleven i grupp i) som lyckats lösa hela denna uppgift, men flera av eleverna i grupp ii) har ändå gjort hyfsade försök, och kommit en bra bit på väg till en lösning, även om de saknade förmåga att förstå hela innebörden av uppgiften. Det kan alltså vara enklare att introducera nya samband om eleverna kan begreppen sedan tidigare. De tydligaste indikationerna på att begrepp ställer till problem kan man se i kommentarerna från två elever på sida 29 om att de hade haft lättare att lösa uppgiften om de hade förstått termerna. Även försöket på sida 30 att lösa uppgiften tyder på att det inte fungerar utan att ha kunskap om vad begreppen betyder.
Den fjärde frågan var: Vilka attityder finns bland de deltagande respondenterna
till matematik? Dess funktion var att samla in de attityder det fanns bland eleverna i
undersökningen, och den har analyserats i avsnittet ‖Enkätsvar‖ på sida 25 f. Enkätsvaren gjorde att analysen av de andra frågorna gick att utföra mer utförligt.
En sammanfattning ger att två av frågorna är tydligt besvarade och tillsammans med den tredje styrker de även de problem Skolverket (2008) hänvisar till i sin rapport. Klassen jag undersökt har i alla fall vid tillfället för observationerna ganska stora överensstämmelser med den verklighetsuppfattning som de flesta matematiklärare har.
5.9 Validitet och reliabilitet
Slutsatserna i ‖Utvärdering av frågeställning‖ ovan beskriver att frågorna på sida 12 är besvarade. Syftet med undersökningen kan i och med detta anses uppnått, även om ett stort mått av försiktighet måste iakttagas vid valideringen av den tredje
34
forskningsfrågan: Hur påverkar god begreppsförståelse introduktionen av för eleverna
nya matematiska samband? Utöver att frågorna har besvarats har svar framkommit på
sådant som inte efterfrågats, vilket ger oss anledning att ställa frågan om det hade varit bättre att designa undersökningen på annat sätt. Jag har genom att välja att utföra en deskriptiv fallstudie låtit klassen representera verkligheten (Ejvegård, 2003, s. 33) och sett att det finns överensstämmelse mellan denna och hypotesen att det finns brister i den matematiska språkliga begreppsvärlden hos eleverna i gymnasieskolor av idag (Olsson och Sörensen, 2001, s. 65), och därmed kan validiteten för arbetet styrkas genom att det som eftersträvats också har uppnåtts.
Reliabilitet i denna undersökning är givetvis svår att hävda, eftersom endast en gymnasieklass bestående av fjorton elever har undersökts vid ett enda tillfälle. Det behövs ytterligare undersökningar för att ge en mera tillförlitlig studie. Det jag påtalat i kapitlet ‖Inledning‖ på sida 9 f - att alla matematiklärare jag talat med har samma bild av hur verkligheten ser ut – betyder dock att viss reliabilitet kan tillskrivas denna undersökning utan att man för dens skull kan anse den bevisad. Den osäkerhetsfaktor som denna undersökning lider av kan göras mindre genom att göra om undersökningen i någon annan klass med samma material som grund. Inom ramen för detta arbete låter det sig dock inte göras, men det skulle definitivt vara intressant att se vad det hade givit för resultat. En relativt låg reliabilitet ger dessvärre ett lägre mått även på validiteten, vilket betyder att fallstudien måste betraktas som den är; fristående från allt annat, men med ett resultat som visar vad många andra forskare tidigare kommit fram till.
35
6 Diskussion
Undersökningen indikerar att det finns fog för de uppfattningar många matematiklärare har om dagens gymnasieklasser; att det finns brister i elevernas begreppsuppfattning i matematik. Det tydligaste exemplet på detta är att flertalet av respondenterna ansåg sig först förstå uppgifter som de sedan hade svårt att lösa. Tron på att man inte behöver tillägna sig de matematiska begreppen är i respondentgruppen klart överdriven. Man kan inte uttrycka sig matematiskt utan att känna till begreppen man behöver använda, inte heller går det att förstå budskapet om inte terminologin är korrekt. Detta gäller såväl förståelsen av en uppgift som uttryckandet av densamma i egna termer, och studien ger en ganska tydig fingervisning om att så är fallet.
Vidare har respondenterna visat att det finns tydliga kopplingar mellan viljan av att lösa problem och intresset för matematik. Vi har även kunnat se att de elever som är bäst på att använda matematiska begrepp säger sig helst uttrycka sig utan desamma, men när det kommer till kritan ratas vardagstermerna. När man prioriterar ett förenklat uttryckssätt framför ett mera precist kommer man inte att lära sig det valda sättet bra nog för problemfri användning, vilket har konsekvenser för inlärningen av matematiken som ämne. Det visades såväl av Vygotsky som av Whorf för över ett halvt sekel sedan att språket har stor betydelse för inlärningen och för utvecklingen av den kognitiva förmågan.
Att man behöver kunna både begreppen och deras betydelse för att kunna använda sig av dem har här visats genom att göra jämförelser med forskning inom lingvistik och psykologi, förutsatt att man kan acceptera den tolkning av teorierna som gjorts i detta arbete. Att det förhåller sig så är kanske inte helt självklart i en värld som till delar består av vuxna som tycker att barn inte ska behöva anstränga sig. En dag kommer dock dessa barn att behöva klara sig utan sina föräldrar, och kommer då inte att ha de kunskaper som krävs för att föra den matematiska diskursen vidare. Detta är ett problem som det kan komma att ta lång tid att rätta till, men å andra sidan räcker det om alla lärare gör gemensam sak av detta och börjar använda det korrekta matematiska språket i sin undervisning, precis som Zipf påpekade redan 1935.
Denna studie är alldeles för liten för att kunna påvisa att det finns ett nationellt problem, men eftersom problemet redan påvisats av TIMSS och Skolverket (2008) ligger vinsten i detta arbete i att det bekräftar förekomsten av problemet. Fallstudien behöver dock kompletteras med ytterligare undersökningar eller också nöjer man sig
36
med att konstatera att en del av lösningen till några av de problem som basuneras ut i media om att svenska barn inte presterar tillräckligt bra resultat i matematik i internationella jämförelser kan vara att de får bättre utbildning i begrepp och uttryck som tillhör den matematiska kontexten. Zipfs (1935) lag gäller fortfarande, om ett barn inte förstår vikten av att lära sig de specifika termer som utgör en stor del av det matematiska språket så kommer de heller inte att göra det. Whorf (1956) påstår att man inte kan känna igen något man inte vet namnet på. Om termerna används flitigare kommer barnen att vänja sig vid dem och bli säkrare på att använda dem själva, vilket både Vygotsky och Whorf tidigare gjort klarlagt; språket behövs för att utveckla tanken.
