Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur
,miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng
Lärares undervisning om den grafritande
räknaren och elevernas faktiska
användning
The Teachers’ Instruction in Graphing Calculators and Its Virtual
Application by the Students’
Helena Casspe Nyman
Martina Thomsen
Lärarexamen 270hp Matematik och lärande
Datum för slutseminarium 2010-01-18
Examinator: Mats Areskoug Handledare: Per Jönsson
Sammanfattning
Syftet med undersökningen var att undersöka hur lärare undervisar i den grafritande räknarens funktioner och hur eleverna faktiskt använder den. Detta har undersökts genom att låta lärare och deras elever besvara enkätformulär. Resultatet visar att eleverna använder räknaren som deras lärare instruerar dem att göra. Lärarens attityd till räknaren påverkar också eleverna att använda den på det sätt som läraren antyder att den borde användas. Denna undersökning knyter samman den tidigare forskning som gjorts kring, å ena sidan, hur räknaren används av eleverna och, å andra sidan, hur lärare undervisar om dess funktioner. Arbetet vilar på den sociokulturella teorin om medierande redskap.
Nyckelord: Grafritande räknare, Gymnasial utbildning, Didaktiska kontraktet, Matematik, Medierande redskap.
Förord
Under arbetets gång har vi funnit anledning att tacka flera personer som deltagit på ett eller annat sätt. Per Jönsson, vår handledare, som bidragit med intressanta synpunkter och hjälpt oss föra arbetet framåt, de lärare och elever som ställt upp i undersökningen samt Barbro Söderberg på Malmö högskola och hennes elever, som bidrog till den andra pilotstudien. Alla ovan nämna personer förtjänar ett stort TACK!
Malmö den 8 december 2009
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 9
2 Syfte och frågeställningar ... 10
3 Tidigare forskning ... 11
4 Teori ... 15
4.1 Medierande redskap och artefakter ... 15
4.2 Grafritande räknare som medierande redskap ... 16
4.3 Det didaktiska kontraktet ... 18
5 Metod ... 19 5.1 Urval ... 20 5.2 Elevenkäterna ... 21 5.2.1 Del I ... 22 5.2.2 Del II ... 23 5.3 Lärarenkäten ... 23 5.4 Databehandling ... 25 5.5 Bortfall ... 25 6 Resultat ... 26 6.1 Lärarenkäten ... 26 6.2 Elevenkäten ... 29 7 Diskussion ... 43
7.1 Till vilka matematiska moment använde lärarna räknaren?... 43
7.2 Till vilka matematiska moment använde eleverna räknaren? ... 45
7.3 På vilka sätt speglar eleverna lärarna? ... 47
7.4 Hur använder hög- respektive lågpresterande elever räknaren? ... 51
8 Referenser ... 52 Bilagor
9
1 Inledning
Rätt använd skulle den grafritande räknaren kunna tillföra ett undersökande arbetssätt på matematiklektionerna (Balke & Hutt, 2008; Guin & Trouche, 1999). Det finns mycket forskning som undersöker för- och nackdelar med att använda den grafritande räknaren som ett redskap i matematikundervisningen. Persson (2009) pekar på många fördelar som finns när räknaren används på ”rätt sätt”, men visar även på de risker som finns och vilka fallgropar som bör undvikas. Det är lätt att säga hur den grafritande räknaren ska användas för bästa effekt, men det är en annan sak att faktiskt använda den på det rätta sättet. Berry m.fl. (2006) efterlyser i sin undersökning forskning kring hur eleverna använder den grafritande räknaren kopplat till hur deras lärare undervisar om dess funktioner. Av den anledningen har vi valt att inrikta oss på just detta: hur undervisar lärare i den grafritande räknarens funktioner och hur använder faktiskt eleverna den?
10
2 Syfte och frågeställningar
Syftet med undersökningen har varit att försöka hitta en koppling mellan lärares undervisning och elevers användning av och kunskaper om den grafritande räknaren. Även en koppling mellan lärares och elevers åsikter var av intresse eftersom detta kommer att påverka hur de båda parterna använder sig av den grafritande räknaren. En del av syftet var också att undersöka om den grafritande räknaren nyttjas på olika sätt och/eller olika mycket av högpresterande och lågpresterande elever.
För att konkretisera det ovan nämna syftet formulerades följande fyra frågeställningar: 1. Till vilka matematiska moment använder lärarna den grafritande räknaren i sin
undervisning inom funktionsläran?
2. Till vilka matematiska moment använder eleverna den grafritande räknaren? 3. På vilka sätt speglas lärarnas användning av och attityder till räknaren i
elevernas användning av och attityder till räknaren, och på vilka sätt efterföljs det didaktiska kontraktet?
4. På vilka sätt skiljer sig räknaranvändningen åt mellan högpresterande och lågpresterande elever?
Med ett matematiskt moment menas alla detaljer inom ett valt matematiskt område, i detta fall funktionsläran. Vi har i detta examensarbete begränsat de intressanta matematiska momenten till de som kan utföras på en grafritande räknare från Texas Instruments, då det visade sig vara det enda märke som användes av eleverna i urvalsgruppen. Exempel på matematiska moment kan då vara att rita grafer, att utföra en numerisk derivering eller att utföra helt vanliga numeriska beräkningar.
Men en grafritande räknare menas alla räknare som kan rita grafer, som har flera inbyggda funktioner som förenklar beräkningar och därmed kan utföra mer matematik än de fyra räknaresätten. I arbetet har vi valt att inte alltid skriva ut ”grafritande räknare” utan ibland förkortat till ”räknare”. Dock menas alltid en grafritande räknare. Med lågpresterande elever menas de elever som inte presterar tillräckligt för de högre betygen, dvs Väl godkänt och Mycket väl godkänt. Med de lägre betygen avses Icke godkänt och Godkänt. I arbetet används ”lågpresterande elever” synonymt med ”svaga elever”. Detta grundar sig enbart på betyg. Högpresterande elever blir då motsatsen till ”lågpresterande elever” och används synonymt med ”starka elever”.
11
3 Tidigare forskning
Under 1990-talet och början på 2000-talet har det producerats mycket forskning kring den grafritande räknaren, dess användningsområden och hur arbetet med räknaren påverkar elevernas inlärning. Persson (2009) presenterar i sin översiktsartikel ”Handheld calcutators as tools for students’ learning of algebra” tidigare forskning inom området. Han presenterar även sina egna hypoteser om på vilka sätt den grafritande räknaren kan bidra till elevers begreppsutveckling genom sina olika presentationsformer. Mycket av den forskning Persson lyfter styrker hans egna hypoteser, men det finns även forskning som påvisar bristerna i räknaranvändandet. För att räknaren ska kunna användas för att stärka elevernas begreppsutveckling påpekar Persson också att räknaren måste användas på ”rätt sätt” och att räknaren inte utför tankearbetet åt eleven (Persson, 2009).
Flera andra forskare delar denna uppfattning. Balke och Hutt (2008) gjorde i sitt examensarbete inom lärarutbildningen på Göteborgs universitet en enkätundersökning om lärares attityder kring den grafritande räknaren. Även här betonade flera lärare vikten av att använda räknaren på ”rätt sätt”. Flera menade också att räknaren öppnar upp för ett undersökande arbetssätt inom matematiken. Dock var det många lärare som kände sig osäkra på hur räknaren fungerade och av den anledningen inte använde räknaren särskilt mycket i sin undervisning. På frågan vad som skulle krävas för att lärarna skulle använda räknaren mer menade de flesta lärarna att det behövdes fortbildning i räknarens funktioner. Balke och Hutt visade också genom sin enkät att kursplanerna inte har särskilt stor inverkan på lärares användande av tekniska hjälpmedel. Flera lärare ger de tekniska hjälpmedlen en mindre roll i undervisningen än de enligt Skolverket bör ha (Balke & Hutt, 2008).
Goos och Bennison (2008) har genomfört en undersökning bland lärare i Australien. Matematikkursernas uppbyggnad i australienska skolor påminner starkt om de i Sverige. I Australien syftar den första matematikkursen till att ge eleven de kunskaper han behöver i vardagslivet. Högre matematikkurser ger eleven de förkunskaper som behövs för att läsa vidare på högskola eller universitet. Även i Australien behandlas större delen av funktionsläran i de högre matematikkurserna (motsvarande svenska Matematik B och C). Flera av de australienska lärarna använde sig inte heller av räknaren i någon
12
större utsträckning. Även här önskar lärarna fortbildning i räknarens funktioner för att de ska kunna använda den mer i sin undervisning (Goos & Bennison, 2008).
Varken Persson (2009) eller Balke och Hutt (2008) har gett någon definition på vad ”rätt sätt” att använda räknaren innebär. Guin och Trouche (1999) menar att räknaren ska användas som ett redskap för att hjälpa eleverna med begreppsutvecklingen. Vidare menar de att det är lärarens uppgift att presentera räknaren på detta sätt och lära eleverna att med hjälp av räknaren växla mellan olika representationsformer. Eleverna behöver även hjälp med transformationen från en representationsform till en annan. Det är lärarens uppgift att försätta elever i situationer som kan knyta samman de grafiska lösningarna och representationsformerna med de som fås genom traditionellt arbete med papper och penna. Läraren måste uppmuntra eleverna att söka likheter och skillnader mellan dessa svar och representationsformer eftersom detta inte är något som eleverna gör spontant. Reflektionen behövs för att eleverna ska se sambanden i matematiken. De ska även utöka sina matematiska kunskaper för att kunna se motsättningar mellan olika representationsformer och förstå varifrån dessa kommer, till exempel mellan numeriska lösningar och analytiska. Enligt Guin och Trouche (1999) är det från denna kunskap som förmågan att använda den grafritande räknaren som ett matematiskt hjälpmedel istället för som en beräkningsmaskin kommer. Speciellt är det de svagare eleverna som behöver hjälp med omvandling mellan olika former, eftersom tidigare forskning har visat att detta inte är något som sker spontant. Räknaren måste användas på detta sätt av lärarna för att eleverna själva ska klara av det i framtiden (Guin & Trouche, 1999). Även de lärare som framträdde i undersökningen av Goos och Bennison (2008) menade att räknaren kunde användas på ett positivt sätt och bidrog bland annat till elevernas begreppsutveckling. Också här var argumenten för detta att räknaren kunde visualisera matematiken och att eleverna lätt fick tillgång till olika representationsformer (Goos & Bennison, 2008).
Flera undersökningar visar också att den grafritande räknaren inte används på det sätt som beskrivs av Guin och Trouche (1999) bara för att den finns i skolorna (Berry m.fl., 2006; Guin & Trouche, 1999; Rivera & Becker, 2004).
Respondenterna i undersökningen av Balke och Hutt (2008) kommenterade även nackdelar som fanns med att använda räknaren. Lärarna menade att räknarna lätt blev ett störande moment i undervisningen och de upplevde att elevernas
13
huvudräkningsförmåga samt förmågan att reflektera över rimligheten i svaren försämrades. Många lärare menade också att eleverna blev alltför beroende av räknarna och endast förlitade sig på dessa (Balke & Hutt, 2008). Denna uppfattning bekräftas av den undersökning som Doerr och Zangor (2000) har genomfört. Doerr och Zangor (2000) har undersökt hur eleverna använder räknaren och deras attityder till den, och upplever att eleverna använder räknaren som en ”black box”. Med detta menar Doerr och Zangor (2000) att eleverna använder räknaren utan att förstå dess funktioner och utan att veta vad räknaren egentligen gör. Eleverna ser även räknaren som en auktoritet som sitter inne med de rätta svaren, och att de endast genom att använda räknaren kan erhålla de rätta svaren (Doerr & Zangor, 2000). Även Berry m.fl. (2006) pekar på att eleverna saknade kritiskt tänkande när det kom till räknaren. Eleverna antog att räknaren gav rätt svar och funderade inte på om det var rimligt utifrån de kunskaper de redan hade (Berry m.fl., 2006). Doerr och Zangor (2000) menar att det är lärarens uppgift att förhindra detta synsätt på räknaren genom att uppmuntra eleverna att ifrågasätta räknarens svar. Läraren ska också hjälpa eleverna att inse räknarens begränsningar, till exempel att de numeriska svar räknaren ger inte alltid stämmer exakt med de som kan erhållas med en analytisk metod (Doerr & Zangor, 2000).
Även Guin och Trouche (1999) har i sin undersökning upptäckt att eleverna inte alltid förstår räknarens språk och vad de olika kommandona är till för. Detta gäller framförallt de svagare eleverna, som också ofta ger upp och inte orkar försöka förstå räknaren (Guin & Trouche, 1999). Detta samband har även Dahland och Lingefjärd (1996) upptäckt. De menar att räknaren skulle kunna användas för att öka förståelsen hos eleverna, speciellt för de elever som inte klarar av aritmetiken i en uppgift. Problemet blir dock, enligt Dahland och Lingefjärd (1996), att eleverna inte alltid förstår det svar som räknaren levererar och utan några djupare matematiska kunskaper är räknaren inte till särskilt stor hjälp. De menar att räknaren blir ett bättre redskap ju mer eleverna känner till om tekniken i räknaren och ju mer matematik de kan (Dahland & Lingefjärd, 1996).
Att eleven måste behärska matematiken och tekniken för att kunna använda sig av den grafritande räknaren på ett bra sätt står i kontrast till undersökningen gjord av Guin och Trouche (1999). De menar att speciellt svagare elever kan ha nytta av räknaren då de har lättare att angripa ett problem som de utan räknaren inte har tillräckliga kunskaper för att klara av. Guin och Trocuhe (1999) har även upptäckt att elever som har tillgång
14
till en grafritande räknare ofta vänder sig till den i första hand när de ska angripa en ny typ av problem. Speciellt när den grafritande räknaren används simultant med den teoretiska undervisningen upptäckter elever flera sätt att lösa samma problem eller sätt på vilka de kan verifiera sin lösning. Dock sker inte detta beteende spontant hos eleverna och detta beror till största delen på att de inte känner sig bekväma med räknaren och dess funktioner. Guin och Trouche (1999) kategoriserar även elevernas arbetsstilar med räknaren. De poängterar att lärarna måste ta hänsyn till varje elevs arbetsstil och anpassa uppgifterna därefter så att eleven använder räknaren på det för honom bästa sättet. Det är även viktigt att de svagare eleverna får den hjälp de behöver med räknaren och dess funktioner så att de inte använder den utan att förstå vad som händer (Guin & Trouche, 1999).
För att lättare kunna undersöka hur eleverna faktiskt använder räknaren har Berry m.fl. (2006) skrivit ett program till räknarna från Texas Instruments. Programmet gör det möjligt att spara alla knapptryckningar eleven gör på räknaren för att senare kunna analysera användningen. För att testa programmet gjordes tre pilotstudier där elever, med tillgång till räknare, fick lösa matematikuppgifter. Det upptäcktes att eleverna inte använde den grafritande funktionen hos räknaren mer än när uppgiften uttryckligen gick ut på att rita en graf, detta trots att elevernas lärare hade gått igenom flera av räknarens avancerade funktioner och ofta uppmuntrade eleverna att använda dem (Berry m.fl., 2004).
Berry m.fl. (2006) upptäckte även att elever med grafritande räknare gärna använde sig av lösningsmetoden trial and error (Berry m.fl., 2006). Med trial and error menas att eleven provar sig fram tills han/hon stöter på rätt svar. Detta var något som också Dahland och Lingefjärd (1996) kom fram till i sin något tidigare undersökning, där även de lät elever lösa uppgifter med den grafritande räknaren. Dahland och Lingefjärd (1996) upptäckte även att ett flertal elever uppfattar användningen av räknaren som fusk och därför väljer att inte använda sig av den (Dahland & Lingefjärd, 1996). Samma åsikt bland eleverna återfinns i undersökningen av Berry m.fl. (2006). De elever som Berry m.fl. intervjuade om lösningsmetoder uttryckte en rädsla för att få lägre poäng på ett prov om de använde sig av räknaren för att lösa uppgifterna. Detta kopplades till läroböckernas upplägg, där ett mer analytiskt angreppssätt förespråkades, och lösningsmetoder med räknaren sällan behandlades (Berry m.fl., 2006).
15
4 Teori
4.1 Medierande redskap och artefakter
Den teoretiska utgångspunkten för arbetet ligger i den sociokulturella teorin. I den sociokulturella teorin räknas medierande redskap som alla föremål och funktioner som kan förmedla kunskap. Medierande redskap kan alltså vara allt från vårt tal- och skriftspråk till fysiska föremål. Fysiska medierande redskap skapade av människan kallas även för artefakter. Dessa tillverkas av personer som vet vilka egenskaper artefakterna ska ha för att få bästa funktion. Den som använder artefakten behöver därför inte veta hur den är konstruerad, men genom att använda den tar personen del av ”samhällets kollektiva erfarenheter” (Säljö, 2005, s. 31).
Den sociokulturella teorin menar att det är den enskilda människans erfarenheter som avgör hur hon tolkar omvärlden. Två människor med olika erfarenheter kommer troligen att tolka samma situation olika. På liknande sätt ser våra tankegångar olika ut beroende på vilka medierande redskap vi har tillgång till i vår analys av omvärlden. Redskapen medierar omvärlden genom olika aktivteter där redskapen används, de gör att människan inte uppfattar omvärlden direkt utan genom det medierande redskapet. Även vilka kunskaper vi besitter beror på vilka medierande redskap vi har tillgång till (Säljö, 2005).
I och med att alla kunskaper bygger på människans egna erfarenheter ser alla människors kunskaper olika ut. Enligt Säljö (2005) lär sig människor nya saker utifrån de utmaningar och resurser som finns tillgängliga i hennes omgivning. Idag lär sig människan till exempel att använda datorer medan hon lärde sig att jaga på den tiden människan var samlare och jägare. Detta betyder att lärande inte enbart kan vara baserat på vad som finns i våra gener eftersom teknikens utveckling och människans användande av tekniken har gått för fort för att det skulle kunna bero på evolutionen. Lärande kan inte heller enbart baseras på erfarenheter eftersom vi dagligen talar och bygger meningar som vi inte behöver ha hört någon annan säga tidigare. Följden blir att det måste finnas något genetiskt som kan koppla ihop våra erfarenheter av språket och låter oss använda det på andra sätt än dem som redan upplevts (Säljö, 2005).
Detta betyder också att alla människor inte behöver lära sig allt nytt från grunden. Hade detta varit fallet hade utvecklingen inte gått framåt utan varje generation hade varit
16
tvungen att börja med att lära sig göra upp eld. Lärande kan medieras mellan generationer men det behövs en lärare för att lärande ska kunna ske. Läraren talar om hur de medierande redskapen ska användas i olika situationer. Läraren behöver i det här fallet inte vara en lärare som finns i skolan, utan kan vara vem som helst som behärskar kunskapen och kan föra den vidare (Säljö, 2005).
När kunskaper förmedlas görs detta bäst genom samtal mellan personer. Skriftlig information är för abstrakt för att kunna tolkas helt rätt i och med att det finns många olika delar i den som behöver tolkas, till exempel både text och bilder. Dessutom finns det sällan möjlighet för läsaren att få otydliga delar förtydligade av författaren, en möjlighet som finns i samtalet mellan två personer (Säljö, 2005).
4.2 Grafritande räknare som medierande redskap
Genom tiderna har matematiker utvecklat flera olika medierande redskap inom matematiken. Utvecklingen har dessutom vissa kulturella förtecken och har tagit olika riktning i olika delar av världen. En del av de matematiska medierande reskapen som människor använder och som har använts är, enligt Säljö (2005):
• Huvudräkning • Fingrar
• Papper och penna
• Abakus (räknebräde eller kulram) • Additionsmaskiner • Räknestavar • Räknesticka • Mekaniska räknare • Miniräknare • Kalkyleringsprogram (Säljö, 2005, s. 170).
Med hjälp av den tekniska utvecklingen har tidsåtgången till olika matematiska moment, såsom rena beräkningar, minskat (Säljö, 2005).
17
Flera undersökningar placerar den grafritande räknaren i ett sociokulturellt sammanhang som ett medierande redskap (Rivera & Becker, 2004; Doerr & Zangor, 2000; Guin & Trouche, 1999).
Enligt Rivera och Becker (2004) skapar den grafritande räknaren en virtuell miljö där eleverna kan tillägna sig nya begrepp och matematiska processer. Efterhand som eleverna bekantade sig med de representationsformerna som fanns i den grafritande räknaren kunde de tillägna sig dem och använda sig av dessa tankesätt även utanför den virtuella miljön som räknaren försatte dem i. Den grafritande räknaren användes alltså som ett redskap som hjälpte eleverna att ta kontroll över sitt tänkande så att de kunde ta till sig nya matematiska begrepp och idéer. Räknaren användes för att ge eleverna en bild av vad som skulle göras. Lösningsmetoder diskuterades sedan i helklass eftersom det är genom diskussion och förhandlig med andra som kunskap bildas enligt den sociokulturella teorin. När eleverna enats om lösningsmetoder och förstått dem kan de sedan även utan räknaren lösa likande problem med papper och penna. Eleverna kan också utöka lösningsmetoden till att omfatta utvidgade uppgifter av liknande karaktär (Rivera & Becker, 2004).
Guin och Trouche (1999) menar att den grafritande räknaren inte kan integreras i matematikundervisningen som ett medierande redskap utan att lärarna lär eleverna hur de kan använda räknarens funktioner på ett effektivt sätt. Samtidigt måste lärarna se till att bygga broar och knyta ihop räknarens funktioner med arbetet med papper och penna. Det är lärarens uppgift att se till att eleverna arbetar med räknaren (artefakten) istället för på den (Guin & Trouche, 1999). Detta stämmer väl överens med Säljö (2005) som menar att lärande om ett medierande redskaps funktion inte kan ske utan att någon som redan besitter kunskapen förmedlar den (Säljö, 2005).
Den som förmedlar kunskapen måste också vara uppmärksam på att det medierande redskapet kan användas på ett icke fördelaktigt sätt. Doerr och Zangor (2000) beskriver en situation där eleverna använder räknaren som ett privat redskap. Eleverna sluter sig och testar sina tankar och idéer på räknaren istället för att testa dem tillsammans med sina klasskamrater. Efter detta blev det svårt för eleverna att samtala om problemet i gruppen igen eftersom deras tankar och idéer om problemet hade utvecklats åt olika håll och utan att de andra i gruppen hade fått följa med i tankeprocessen (Doerr & Zangor, 2000). Vid detta tillfälle används inte den grafritande räknaren som ett medierande
18
redskap av eleverna, såsom det definierats inom den sociokulturella teorin. För att ett redskap ska vara medierande i ett sociokulturellt perspektiv krävs det att det används tillsammans med andra personer så att en diskussion kan uppstå (Säljö, 2005).
4.3 Det didaktiska kontraktet
Enligt Brosseau (1997) tillför läraren syften och förväntningar i varje didaktisk situation. Utifrån de villkor läraren sätter i klassrummet lär sig eleverna vad som förväntas av dem. De lär sig hur de ska svara på frågor och hur olika situationer ska hanteras. Eleverna lär sig vad det är läraren önskar i varje situation och vilka tankesätt som värderas högre än andra. Baserat på detta vet eleverna hur de ska svara för att deras svar ska anses som godtagbara av läraren. Det didaktiska kontraktet gör även att läraren vet vilket beteende hon kan förvänta sig av eleverna (Brousseau, 1997).
Även läraren har ett ansvar i det didaktiska kontraktet. Frågor som läraren ställer under en lektion ska syfta till att leda eleverna till ny kunskap. Innehållet i frågorna ska handla om det område som behandlas och eleverna ska kunna besvara dem med de kunskaper de redan besitter. Läraren förbinder sig att inte ställa frågor som ligger för långt ifrån elevernas kunskapsnivå. Under examination är det lärarens ansvar att ställa frågor inom det behandlade området (Brosseau, 1997).
I undersökningen blir en konsekvens av det didaktiska kontraktet att lärarens undervisning automatiskt speglas i elevernas användning av räknaren, förutsatt att det didaktiska kontraktet efterföljs.
19
5 Metod
För att besvara frågeställningarna användes gruppenkäter, dvs. enkätformulären delades ut till större grupper och samlades därefter in igen vid undersökningstillfällets slut. Detta ökar svarsfrekvensen och ger alltså större reliabilitet åt undersökningen. Ett annat alternativ hade varit brevenkäter, där forskaren skickar hem enkätformulären till respondenterna som returnerar dem per post, en metod som ofta medför lägre svarsfrekvens (Larsen, 2009).
Enkät är en kvantitativ undersökningsmetod som har flera fördelar. Genom enkäter kan frågorna och antalet svarsalternativ begränsas så att endast det som undersöks besvaras. En annan fördel är att enkäter är en effektiv metod att nå många på en kort tid, vilket gör att mängden insamlad data ökar och generella slutsatser kan dras förutsatt att urvalet är tillräckligt stort och slumpmässigt gjort. Genom att låta respondenten vara anonym ökar också sannolikheten för ärliga svar (Larsen, 2009).
Nackdelar med metoden är att det är svårt att formulera enkätfrågorna så att de besvarar de uppställda forskningsfrågorna. Det finns alltid en risk att forskarnas egna värderingar lyser igenom i formuleringen av enkätfrågorna eller att informationen som kan utläsas ur svaren inte är tillräcklig för att besvara forskningsfrågorna. Detta påverkar validiteten negativt då all relevant information inte har framkommit till forskarna (Larsen, 2009). Enkät valdes över både intervju och observation eftersom enkäter tillåter forskaren att arbeta med en större population. Intervjuer med samma antal deltagare hade varit för tidskrävande för att passa inom undersökningens tidsramar. Intervju och observation innebär också att respondenten lättare kan påverkas av forskaren. Det finns även en risk att människor som observeras ändrar sitt beteende (Larsen, 2009).
Både Lärarenkäten och Elevenkäten består av slutna frågor där vissa frågor har ett tillägg som ger respondenten möjlighet att även lämna en öppen motivering eller förklaring till sitt svar. Slutna frågor används för att underlätta kategoriseringen, medan möjligheten att förklara sig är till för att minska eventuella missförstånd mellan forskare och respondent. Enligt Larsen (2009) är en blandning av öppna och sluta frågor en bra metod för att komma från nackdelarna som de båda metoderna har i sina renodlade former. Vissa av de slutna frågorna tillät respondenten att ange flera svarsalternativ. Detta för att inte tvinga respondenten att välja mellan alternativ som för honom/henne
20
uppfattas som likvärdiga. Utöver frågorna med formulerade svarsalternativ ombeds både lärare och elever att i vissa frågor ta ställning genom att på en linje markera hur väl påståendet stämmer överens med deras uppfattningar. Linjen ska uppfattas som en skala och ändpunkternas betydelse var utskrivna.
För att garantera respondenterna anonymitet, enligt Vetenskapsrådets Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning, kodades alla enkäterna med en symbol specifik för varje klass. Symbolens syfte var att senare kunna koppla klassen till undervisande lärare. Elevenkäterna numrerades och respondenterna fick samma nummer på Del I och Del II. Detta för att i efterhand kunna koppla ihop svaren på de två enkäterna, då Del II inte delades ut förrän Del I besvarats. Valet har även gjorts att genomgående i arbetet benämna alla lärare ”hon” och alla elever ”han” oavsett deras biologiska kön, för att göra identifieringen svårare.
5.1 Urval
Försökspersonerna bestod av 79 stycken elever och deras respektive matematiklärare ( ) från en medelstor skola i en akademisk stad i södra Sverige. Alla elever läste under undersökningen Matematik C och gick ett av de nationella programmen Naturvetenskapliga programmet (NV) eller Samhällsvetenskapliga programmet (SP). Detta innebär att undersökningen riktar sig till elever i både årskurs 2 och 3, eftersom Matematik C läses redan i årskurs 2 på NV men inte förrän i årskurs 3 på SP. Inom varje program deltog minst 30 elever. Enligt Larsen (2009) är statiska analyser godtagbara om urvalsgrupperna som ska jämföras var för sig består av minst 30 personer. Dock går resultaten inte att generalisera eftersom alla eleverna är hämtade från samma skola. Resultatet kan sägas vara giltigt bland NV- och SP-eleverna på denna skola.
Eleverna och lärarna valdes ut genom ett så kallat stratifierat urval (Larsen, 2009) genom att de matematiklärare som undervisade i Matematik C skrevs upp och två lärare som undervisade NV samt två lärare som undervisade SP valdes ut. Lärarna tillfrågades muntligt om de ville delta med sin klass. Enligt Vetenskapsrådet räcker det med lärarens godkännande när elever ska undersökas om undersökningen inte är av etiskt känslig karaktär (Vetenskapsrådet, inget årtal).
21
Ytterligare en klass på skolan valdes ut för en pilotstudie. Eftersom det uppstod flera missförstånd i det första enkätförslaget utfördes ytterligare en pilotstudie med modifierat material på en ny klass. Denna klass bestod av matematiklärarstudenter under sin första termin. Detta val gjordes eftersom det var svårt att få tag i ytterligare en klass på gymnasieskolan inom tidsramarna för undersökningen. De lärarstuderande valdes ur första terminen eftersom dessa mycket nyligen påbörjat sina ämnesstudier och därför inte har mycket mer än sina gymnasiekunskaper till förfogande. Eftersom den andra pilotstudien utfördes enbart för att förfina formuleringarna i den nya enkäten behöver hänsyn inte tas till att studenterna i den andra pilotstudien troligen är mer intresserade av matematik än gymnasieeleverna. Vid genomgång av den andra pilotstudiens resultat konstaterades det att dessa studenter inte låg på en högre matematisk nivå än gymnasieeleverna i första pilotstudien.
5.2 Elevenkäterna
Vid undersökningstillfället deltog endast en av författarna till detta examensarbete. Detta val gjordes för eleverna skulle känna sig mindre övervakade när de besvarade enkäten och för att till största del efterlikna en vanlig provsituation. Undersökningarna genomfördes i elevernas ordinarie matematiksal med ordinarie lärare på plats. De elever som pratade blev tillsagda att det var en enskild övning. Förhoppningsvis minskar detta tillvägagångssätt bortfallet då eleverna troligen är mer benägna att göra ett försök på varje uppgift då de sätts i en provsituation. Detta ökar i sin tur undersökningens validitet då det finns fler svar att basera analysen på. Under pilotstudierna visade det sig att eleverna gärna arbetade med uppgifterna i grupp. Detta gör att resultaten inte speglar varje enskild elev som var målet med undersökningen. Även av denna anledning har valet gjorts att efterlikna en provsituation. Risken finns dock att eleverna på detta sätt tvingas in i det didaktiska kontraktet, men eftersom eleverna informerats om att deras betyg inte kommer att påverkas av resultatet är förhoppningen att eleverna kan bortse från kontraktet och arbeta på det sätt som passar varje elev bäst.
Innan enkäten fick eleverna inte fullständig information om undersökningens syfte, tvärtemot vad Vetenskapsrådet rekommenderar. De fick endast veta att de skulle delta i ett examensarbete inom Lärarutbildningen. Förhoppningsvis blir svaren mer autentiska eftersom eleverna inte medvetet kan ge tillrättalagda svar som styrker eller stjälper
22
syftet. Efter genomförd enkät fick eleverna ställa frågor om syftet med undersökningen och avgöra om de ville vara med genom att lämna in sin enkät.
I första pilotstudien avkrävdes en underskrift av deltagarna där de gav sitt medgivande till att enkätsvaren fick användas i undersökningen. Eleverna kände sig dock inte trygga med detta eftersom deras anonymitet då försvann och de var osäkra på om resultatet kunde påverka deras betyg. Efter första pilotstudien togs underskrifterna bort och eleverna informerades om att de gav sitt samtycke genom att lämna in enkäten. Enligt Vetenskapsrådet behöver elevers vårdnadshavare endast kontaktas för godkännande om eleven är under 15 år eller undersökningen är av etiskt känslig karaktär. Eftersom det är gymnasieelever som undersöks och undersökningen inte berör ett känsligt ämne har det inte funnits någon anledning att kontakta vårdnadshavarna, utan elevernas medgivande räcker i denna fråga. Eleverna informerades även om att undersökningen inte på något sätt kommer att påverka deras betyg i ämnet.
Eleverna hade ungefär 45 minuter på sig att besvara enkäterna. Efter 30 minuter rekommenderades de att avsluta Del I och påbörja Del II.
5.2.1
Del I
Elevenkät Del I (Bilaga 1) bestod av fem uppgifter som behandlade olika områden inom funktionsläran i Matematik B och Matematik C. Eleverna fick instruktioner om att de skulle lösa dessa uppgifter för att sedan besvara Del II av enkäten. Noggrann information gavs om att eleverna fick lösa uppgifterna på valfritt och att de hade tillgång till papper, penna och grafritande räknare. De uppmuntrades att göra ett försök på varje uppgift och ingen värdering lades i på vilket sätt de valde att lösa uppgifterna, det poängterades att en lösning var bättre än ingen lösning.
Uppgifterna i Del I av elevenkäten var konstruerade så att det skulle ligga ungefär lika mycket ansträngning bakom en algebraisk lösning som bakom en lösning gjord med hjälp av räknaren. Alla numeriska beräkningar skulle enkelt kunna klaras av genom huvudräkning, om inga speciella hinder förelåg.
23
5.2.2
Del II
I Elevenkät Del II (Bilaga 2) får eleven i de första tio frågorna besvara hur de har valt att lösa uppgifterna i Del I. Eleverna ges ett antal svarsalternativ på hur uppgiften skulle kunna ha lösts där det första alternativet alltid är ”För hand med papper och penna”. De övriga alternativen beskriver olika tillvägagångssätt för lösning med räknaren, både grafiska och numeriska metoder. Också alternativet ”Annat” ges. Även om det finns flera metoder för att lösa uppgiften för hand finns endast ett alternativ för detta (”För hand med papper och penna”), eftersom det går att utläsa hur eleven har gjort ur Del I. Detta ger en inblick i hur eleverna använt räknaren även vid tillfällen då de inte dokumenterar användningen i redovisningen av lösningen, till exempel om de ritat en graf eller om de kontrollerat sin algebraiska lösning med en grafisk metod.
Andra halvan av Del II inleds med att fråga efter elevens betyg i föregående matematikkurs. Valet har gjorts att ha betyget från elevens senast genomgånga matematikkurs som ett mått på om eleven tillhör de högpresterande eller de lågpresterande eleverna. Detta eftersom det tydligt står i läroplanen (Lpf 94) att betyget ”uttrycker i vad mån den enskilda eleven har uppnått de kunskapsmål som uttrycks i kursplanen för respektive kurs och som definieras i betygskriterier” (Lärarens handbok, 2004). Del II fortsätter sedan med ett antal frågor som behandlar elevens eget användande av räknaren, både hur de använder den och hur de ser på sitt eget användande. De får svara på vad de anser att fördelarna och nackdelarna med räknaren är och gradera hur väl de behärskar vissa av räknarens funktioner. Detta görs för att komplettera lärarens svar gällande hennes undervisning om den grafritande räknarens funktioner.
5.3 Lärarenkäten
Lärarenkäten (Bilaga 3) börjar med att mycket kort introducera examensarbetets undersökningsområde. Medvetet presenteras inte hela frågeställningen för att förhindra att lärarna ger tillrättalagda svar. Eftersom undersökningen behandlar bland annat lärarnas undervisningsmetoder och hur väl eleverna tar till sig det som undervisas kan det vara en nackdel om lärarna känner till syftet med undersökningen. I sådana fall kan det hända att lärarna försöker matcha sina svar med vad de tror att eleverna kommer att
24
svara på motsvarande frågor i elevenkäten. Precis som eleverna fick lärarna i efterhand information om vad syftet med undersökningen var.
Förutom den muntliga förfrågan om att delta i undersökningen informeras lärarna vid undersökningstillfället även om att de ger sitt godkännande till att svaren används genom att lämna in enkäten ifylld.
Vetenskapsrådet rekommenderar att respondenterna har möjlighet att i efterhand kunna kontakta forskarna för frågor eller för att ta del av resultatet. Lärarna på skolan fick tillgång till telefonnummer till den forskare som deltog vid undersökningstillfället och fick löfte om att få ta del av rapporten.
Davidsson och Mårtensson (2006) har i sitt examensarbete på lärarutbildningen på Malmö högskola undersökt hur gymnasielärare använder sig av den grafritande räknaren i sin undervisning. Genom intervjuer fann de att lärarna, enligt lärarna själva, lärde ut räknarens funktioner genom att demonstrera för eleverna hur den fungerade samt vilka knappar de skulle trycka på. De fann också att räknaren användes för att rita kurvor, avläsa maximivärden, minimivärden, nollställen och derivator, anpassa funktioner till givna värden samt numeriskt beräkna derivator. Med utgångspunkt i denna undersökning har lärarenkäten konstruerats för att ta reda på om de lärare som undersöktes då stämmer överens med de lärare som figurerar i denna undersökning. En utökning av Davidssons och Mårtenssons (2006) undersökning gjordes även genom att lärarna fick specificera inom vilka områden i funktionsläran som räknaren användes. Davidsson och Mårtensson (2006) hade i sina intervjuer även undersökt lärarnas attityder till olika lösningsmetoder genom att presentera en algebraisk lösning och en grafisk lösnig. Lärarna fick värdera lösningarna utifrån vilken de ansåg vara den bäst genomförda lösningen. De flesta av de intervjuade lärarna värderade den algebriska lösningen högre än den grafiska. Lärarenkäten kontrollerar även om denna inställning besannas genom att ställa ett antal attitydfrågor som behandlar olika sätt att lösa uppgifter. Lärarna presenteras också för de uppgifter som eleverna fått att lösa och får svara på hur de helst vill att eleverna löser dem.
25
5.4 Databehandling
Databehandlingen skedde med hjälp av Microsoft Excel 2007. Varje svarsalternativ i de slutna frågorna gavs en förkortning som fördes in i en tabell. Genom att använda inbyggda funktioner i Excel kunde enkätsvaren lätt analyseras. Vissa frågor gav respondenten möjlighet att ange flera svarsalternativ. Vid dessa tillfällen användes flera kolumner i Excel till samma fråga. På så sätt kunde det utläsas dels svarsfrekvensen på varje alternativ och dels vilka alternativ var och en av respondenterna hade angivit. På de öppna frågorna kategoriserades svaren i efterhand beroende på svarens innebörd. Dessa användes sedan för att förtydliga svaren från de slutna frågorna och till diskussionen av resultatet.
De frågor som respondenten besvarade genom att markera på en linje behandlades genom att en mall gjordes på ett genomskinligt papper. Mallen delade in linjen i fält, graderade från 1 till 10. Genom att placera mallen ovanpå enkäten kunde respondenternas svar sorteras enligt skalan. Eftersom denna metod innebär att en kontinuerlig datamängd konverteras till en diskret redovisas svaret på dessa frågor i histogram, där de olika intervallen tydliggörs.
5.5 Bortfall
Det totala urvalet bestod av de elever som var närvarande vid lektionstillfället. Alla enkäter som lämnades ut samlades också in vilket betyder att bortfallet är noll i avseendet besvarade enkäter. Däremot finns det ett bortfall på enskilda uppgifter där lärare och elever av en eller annan orsak valt att inte svara på frågan eller försökt lösa uppgiften. Bortfallen i Elevenkäten Del I beror troligen på att eleven inte vet hur uppgiften ska lösas. Flertalet elever som inte angivit något svar har börjat lösa uppgiften men sedan suddat ut och lämnat in blankt. Bortfallen i Elevenkät Del II och i Lärarenkäten är svårare att förklara då lärare och elever svarat på liknande frågor tidigare eller senare i enkäten. Detta bortfall går inte att diskutera vidare eftersom bortfallet är väldigt spritt både vad gäller fråga och respondent.
26
6 Resultat
Nedan redovisas resultaten av enkäterna. Resultaten presenteras både i löpande text och i tabeller och diagram enligt de riktlinjer Backman (2008) beskriver.
6.1 Lärarenkäten
Hur många år har lärarna i undersökningen varit yrkesverksamma?
Fråga 1 i Lärarenkäten undersöker hur många år lärarna har varit yrkesverksamma som lärare. Lärare 1 har varit det i 10 år, Lärare 2 i 30 år, Lärare 3 i 34 år och Lärare 4 i 40 år.
Hur undervisar läraren i den grafritande räknarens funktioner? Här redovisas Fråga 3, Fråga 4 och Fråga 8 ur Lärarenkäten.
I Fråga 3 undersöktes det om lärarna använde en grafritande räknare i sin undervisning och i så fall till vad. Alla lärarna använde sig av en grafritande räknare. Användningsområdena redovisas i Tabell 1 där vi kan se att samtliga lärare använde sig av räknaren för att utföra beräkningar, för att rita kurvor och för att numeriskt beräkna derivator. Det finns heller inte något av de givna användningsområdena som inte undervisas av någon lärare.
Tabell 1. Räknarfunktioner som lärare undervisar i
Räknarfunktion Lärare 1 Lärare 2 Lärare 3 Lärare 4
Utföra beräkningar X X X
Läsa av funktioners nollställen X X X Lösa ekvationssystem grafiskt X X X Anpassa linje till punkter X X
Rita kurvor X X X X
Läsa av maximi- och minimivärden X X Numeriskt beräkna derivator X X X X
Lärarna tillfrågades i Fråga 4 om de uppmuntrade sina elever att använda den grafritande räknaren. Lärarnas svar på detta och deras kommentarer redovisas i Tabell 2
27
där vi kan se att alla lärarna uppmuntrar sina elever att använda räknaren vid något tillfälle.
Tabell 2. Uppmuntrar lärare sina elever att använda den grafritande räknaren?
Lärare 1 Lärare 2 Lärare 3 Lärare 4
Uppmuntrar? Ibland Ja Ibland Ja
Kommentar Som kontroll att de har räknat rätt. Ibland kan de ställas inför problem de inte kan hantera på annat sätt än grafiskt.
För att visualisera en algebraisk lösning och för att skapa en större förståelse. För att få eleverna att upptäcka mönster, t.ex. deriveringsreglerna för potensfunktioner. Oftast för att kontrollera/åskådliggöra en algebraisk lösning. Både och. Jag vill att eleverna ska förstå och ibland ritar vi någon graf för hand.
I Fråga 8 fick lärarna ange hur viktigt de tyckte det var att eleverna kunde använda sig av angivna räknarfunktioner. Lärarna satte en markering på en skala från 1 till 10 där 1 betydde ”Oviktigt” och 10 betydde ”Viktigt”. I Figur 1 redovisas lärarnas svar. De olika figurerna anger var varje lärare satte sin markering. I det andra och tredje påståendet som lärarna skulle ta ställning till i Fråga 8 har Lärare 4 valt att inte svara, vilket utgör bortfallet i denna fråga. I Figur 1 syns att alla lärarna anser att det är viktigt att eleverna kan rita kurvor och undersöka funktioner med räknaren. Alla lärarna tycker också att eleverna ska kunna lösa uppgifter grafiskt. Lärare 1 och Lärare 2, som båda undervisade SP-elever, tycker inte att det är viktigt för eleverna att kunna anpassa funktioner till datapunkter. Detta tycker dock Lärare 3 och Lärare 4, som undervisade NV-elever, att eleverna ska kunna. En förklaring till detta är att denna funktion på räknaren används mycket inom fysikundervisningen, vilket Lärare 4 uttryckte.
28
Figur 1. Lärarnas bedömning av hur viktigt/oviktigt det är att eleverna kan använda räknaren inom givna användningsområden.
Hur ser lärare på den grafritande räknaren som ett hjälpmedel vid prov?
Här redovisas Fråga 5 och 6 i Lärarenkäten som båda behandlar hur lärare konstruerar och bedömer prov. Även resultatet av lärarnas lösningsförslag på hur de vill att eleverna ska gå tillväga för att lösa de fem uppgifterna i Elevenkät Del I presenteras.
Två av lärarna anger att de begränsar användandet av den grafritande räknaren vid provtillfällen genom att ha en räknarfri del eller ett helt räknarfritt prov. De två övriga lärarna tillåter alltid räknaren vid prov. Den ena av dessa lärare påpekar att hon inte godkänner lösningar där eleven endast redovisat vilka knappar han tryckt på i räknaren. Tre av lärarna godkänner endast ibland att uppgifter löses på den grafritande räknaren. En av dessa lärare menar att eleverna måste få lov att använda räknaren om den tillåts under provtillfället och att uppgifterna istället ska anpassas så att de testar elevernas kunskaper trots tillgången till räknare. Den fjärde läraren godkänner aldrig lösningar gjorda på räknaren men godkänner ibland grafiska lösningar gjorda för hand.
0 2 4 6 8 10 Rita kurvor för att undersöka funktioner
Beräkningar som annars skulle kräva en skriftlig algoritm
Programmera enkla lösningsprogram
Lösa uppgifter grafiskt Anpassafunktioner till en given
datamängd/talföljd Lösa derivator och integraler numeriskt
Skala 1-10 (1 = oviktigt, 10 = viktigt)
Lärare 1 Lärare 2 Lärare 3 Lärare 4
29
På alla uppgifter i Elevenkät Del I ville samtliga lärare helst ha algebraiska lösningar. Lärare 2 utmärkte sig dock genom att på två av uppgifterna ge två, enligt henne, godkända lösningsalternativ. I Uppgift 2 godkände läraren, utöver den algebraiska lösningen, att eleverna ritade den räta linjen för hand och utifrån figuren avläste k- och m-värden. I Uppgift 3 hade läraren även godkänt ett resonemang kring koefficienterna till termerna vilket skulle leda fram till rätt funktion. I Uppgift 1 önskade läraren även att eleverna kontrollerade sin lösning grafiskt med räknaren. Att endast göra en grafisk lösning med räknaren var dock inget godkänt lösningsalternativ.
Även Lärare 4 kunde tänka sig att eleverna förde ett resonemang som ledde fram till rätt funktion i Uppgift 3.
Upplever lärare att elever använder räknaren som de instrueras att göra?
Fråga 7 i Lärarenkäten undersöker om lärarna upplever att eleverna använder den grafritande räknaren som de instrueras att göra. Lärare 1, som undervisade SP-elever, ansåg att detta var fallet. En kommentar lämnades också som uttryckte att det var lättare att påverka SP-elever att använda räknaren på ett specifikt sätt, då dessa elever hade mindre kunskaper om räknarens funktioner än till exempel NV-elever. De övriga tre lärarna svarade att eleverna använde räknaren både som de instruerades till och på egna sätt. Kommentarer som lämnades var att eleverna spontant inte använde räknaren på ett undersökande sätt och att de ibland hittade egna vägar som inte alltid höll i längden.
6.2 Elevenkäten
Vilka räknarfunktioner anser sig eleverna behärska?
För att kunna besvara vad eleverna använder räknaren till är det viktigt att veta hur väl de känner till dess funktioner. I Elevenkät Del II, Fråga 18, fick eleverna markera på en linje hur väl de ansåg sig behärska åtta olika funktioner hos räknaren som alla kan användas under funktionsläran i Matematik C. Skalan som eleverna markerade på var en kontinuerlig skala som med hjälp av en mall omvandlades till en diskret skala för mer överskådlig redovisning. Av denna anledning redovisas resultatet av Fråga 18 i histogram. Skillnaden mellan SP och NV synliggörs i histogrammen då det fanns en
30
distinkt skillnad i hur lärarna på SP och NV svarade kring vissa av räknarens funktioner. Genom att även dela upp elevernas resultat efter programtillhörighet kan det undersökas om lärarnas användning speglas i elevernas.
Som Figur 2 visar anser sig nästan alla elever behärska vanliga beräkningar Mycket väl. SP- och NV-elever skiljer sig inte nämnvärt åt.
Figur 2. Hur väl eleverna anser sig behärska räknaren till att utföra vanliga beräkningar.
Gällande räknarens ”Trace”-funktion var det inte stor skillnad mellan de båda programmen. Inom programmen var resultatet väldigt spritt, det fanns både elever som ansåg dig behärska funktionen Mycket väl och de som inte behärskade den alls.
Resultatet av hur väl eleverna anser sig behärska ”Zero”-funktionen skiljde sig inte heller åt mellan programmen. Dock kände sig många osäkra på hur funktionen fungerade.
Räknarens ”Intersect”-funktion kände sig NV-eleverna något säkrare på än SP-eleverna. Dock fanns elever från båda programmen representerade på alla nivåer på skalan.
Som Figur 3 visar skiljer sig kännedomen kring räknarfunktionen ”LinReg” markant mellan de båda programmen. De allra flesta av SP-eleverna har uppgett att de inte behärskar funktionen alls eller väldigt lite, medan många av NV-eleverna har uppgett att de behärskar den Väl eller Mycket väl. Bland NV-eleverna finns också ett bortfall på 1 %. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A n d e l e le v e r (% )
1 = Inte alls, 10 = Mycket väl
NV SP
31
Figur 3. Hur väl eleverna anser sig behärska räknarfunktionen ”LinReg”.
Figur 4. Hur väl eleverna anser sig behärska räknarfunktionen ”Y=”.
Resultatet av hur väl eleverna anser sig behärska räknarfunktionen ”Y=” redovisas i Figur 4. Det är tydligt att den absolut största delen av eleverna på båda programmen anser att de behärskar funktionen Mycket väl. Någon utmärkande skillnad mellan de två programmen finns inte. Här finns även ett bortfall på 1 % bland NV-eleverna och 2 % bland SP-eleverna, vilket ger att totalt bortfall på 3 %.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A n d e l e le v e r (% )
1 = Inte alls, 10 = Mycket väl
NV SP 0 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A n d e l e le v e r (% )
1 = Inte alls, 10 = Mycket väl
NV SP
32
Resultatet av hur väl eleverna anser sig behärska räknarens ”max(”- och ”min(”-funktioner är även det väldigt spritt inom programmen. Den största andelen av eleverna anser sig dock ligga på den övre halvan av skalan. Ingen nämnvärd skillnad mellan programmen går att finna.
Figur 5 visar hur väl eleverna anser sig behärska funktionen ”nDeriv(”. Det syns en stor skillnad mellan SP- och NV-eleverna. Majoriteten av NV-eleverna anser att de behärskar funktionen Väl eller Mycket väl medan SP-elevernas resultat till största delen återfinns på den nedre delen av skalan. På denna fråga är bortfallet 4 % bland NV-eleverna och 2 % bland SP-NV-eleverna. Det totala bortfallet blir då 6 %.
Figur 5. Hur väl eleverna anser sig behärska räknarfunktionen ”nDeriv(”.
Vilka åsikter har eleverna om räknaren och sin användning av den?
För att utreda till vilka matematiska moment eleverna använder räknaren har undersökningen dessutom inriktat sig på vilka för- och nackdelar eleverna anser att räknaren har, samt hur ofta de använder räknaren och vad de anser om sin egen användning. Detta för att en insikt i elevernas åsikter ger en bredare bas att stå på vid analysen av elevresultaten. Här har valet gjorts att inte separera SP- och NV-elevernas resultat eftersom lärarnas svar på om de uppmuntrade eleverna att använda räknaren inte skiljde sig åt mellan programmen. Någon nämnvärd skillnad mellan programmen återfanns inte heller när databehandlingen skedde program för program.
0 5 10 15 20 25 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A n d e l e le v e r (% )
1 = Inte alls, 10 = Mycket väl
NV SP
33
I Figur 6 redovisas resultatet på Fråga 13 i Elevenkät Del II. Frågan behandlade hur ofta eleverna använder sig av räknaren vid lösandet av uppgifter. Den största andelen av eleverna använder sig av räknaren ”På nästan varje uppgift”, ”På fler än hälften av uppgifterna” eller ”På ungefär hälften av uppgifterna”.
Figur 6. Hur ofta använder sig eleverna av räknaren när de löser uppgifter?
Figur 7. Hur uppfattar eleverna sin användning av räknaren?
Resultatet på Fråga 14 i Elevenkät Del II redovisas i Figur 7. Frågan var hur eleverna uppfattar sin egen användning av räknaren. Majoriteten av eleverna anser att de använder räknaren varken för mycket eller för lite. Väldigt få anser att de använder den för lite medan fler anser att de använder den för mycket eller alldeles för mycket.
0 5 10 15 20 25 30 35 På varje uppgift
På nästan varje uppgift På fler än hälften av uppgifterna På ungefär hälften av uppgifterna På färre än hälften av uppgifterna Nästan aldrig Aldrig Vet inte
Andel elever (%)
0 10 20 30 40 50 60 Jag använder räknaren alldeles för mycket
Jag använder räknaren lite för mycket Jag använder den varken för mycket eller för lite Jag använder den lite för lite Jag använder den alldeles för lite Vet inte
34
Eleverna gavs även möjlighet att lämna en kommentar till sin användning. Tabell 3 redovisar de vanligaste svaren som eleverna lämnat samt hur stor andel av eleverna som angett varje svar. Kategoriseringen av svar är gjord av författarna.
Tabell 3. Elevernas kommentarer till hur ofta de anser sig använda räknaren
Kategori Elevkommentar Andel (%)
Kontroll Kontroll av svar
Kontroll av sådant jag egentligen kan
14 5 Huvudräkning Använder huvudet före räknaren
Använder huvudräkning när det känns möjligt Försöker använda huvudet för att träna huvudräkning
6 5 4 Lathet Jag gör onödiga tal som jag egentligen kan i huvudet
Jag orkar inte räkna i huvudet även om jag kan Man blir lat av att använda räknaren
Användningen beror på vilket humör jag är på
10 9 6 5 Bristande kunskaper Räknaren används när det är för svårt för
huvudräkning
Använder räknaren när det behövs
8 6 Tidsbesparande Det går fortare att slå på räknaren än att räkna i
huvudet
6 Används inom speciella områden Jag ritar grafer på räknaren 4 Vana Man blir beroende av räknaren och osäker utan den
Ju mer man använder den desto säkrare blir man på den och desto mer nytta har man av den vid prov och under tidspress
Det är säkrare att använda räknaren
3
3 1
Fråga 15 och Fråga 16 behandlar elevernas tankar om vilka för- och nackdelar det finns med att använda räknaren. Svaren redovisas i Figur 8 respektive Figur 9. Eleverna gavs möjligheten att ange flera svarsalternativ som de ansåg stämde. Av den anledningen summeras inte andelen elever till 100 %. Som synes i Figur 8 anser de flesta eleverna att fördelarna med att använda räknaren är att det går fortare, de gör färre slarvfel, de kan kontrollera sina lösningar och de kan använda räknarens inbyggda funktioner.
35
Figur 8. Fördelar med att använda den grafritande räknaren.
I Figur 9 redovisas elevernas tankar om vilka nackdelar det finns med att använda den grafritande räknaren. Den tydligaste nackdelen anser eleverna vara att de blir sämre på huvudräkning. Nästan hälften av eleverna menar också att de blivit sämre på att reflektera över rimligheten i de svar de ger.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Det går fortare
Jag gör färre slarvfel
Jag har blivit bättre på huvudräkning
Jag kan kontrollera min lösning Jag kan programmera program som
effektiviserar lösningen Jag kan använda inbyggda funktioner som inte finns i vanliga miniräknare för att effektivisera
min lösning
Det finns inga fördelar
Annat
Vet inte
36
Figur 9. Nackdelar med att använda den grafritande räknaren.
Vilka lösningsmetoder använder eleverna sig av?
För att undersöka till vilka matematiska moment eleverna använder räknaren presenteras deras lösningsmetoder till de olika uppgifterna i Elevenkät Del I. Att känna till deras lösningsmetoder möjliggör även att hitta en koppling mellan lärarnas undervisning och attityder och elevernas användning. Vilka lösningsmetoder eleverna använt sig av fick de möjlighet att besvara i Fråga 1, Fråga 3, Fråga 5, Fråga 7 och Fråga 9 i Elevenkät Del II. Elevsvaren presenteras klassvis eftersom det fanns vissa skillnader i vad lärarna till respektive klass ansåg vara viktigt att kunna. Lärarna hade även olika åsikter om hur uppgifterna i Elevenkät Del I skulle lösas. Klasserna numreras här i enlighet med lärarna, vilket betyder att det är Lärare 1 som undervisar Klass 1. Eleverna hade möjlighet att ange flera svarsalternativ för hur de löst uppgiften i de fall
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Jag blir sämre på huvudräkning Jag har blivit sämre på att reflektera över
rimligheten i mina svar
Det går långsammare
Jag gör fler slarvfel På ett prov får jag högre poäng om jag inte använder den grafritande räknaren för att lösa
problemet
Det finns inga nackdelar
Annat
Vet inte
37
de använt sig av flera metoder. Av den anledningen kan andelen elever i de olika klasserna inte summeras till 100 %. I varje uppgift finns även ett bortfall som är så pass litet att det inte påverkar resonemanget nämnvärt. Bortfallet består i de elever som inte svarat på vilken metod de använt sig av.
I Uppgift 1 ombads eleverna lösa ett ekvationssystem med två räta linjer. Elevernas lösningsmetoder redovisas i Figur 10. Majoriteten av eleverna i alla klasserna löste uppgiften algebraiskt. Det finns även enstaka elever i Klass 2 och Klass 4 som har valt att lösa uppgiften på ett annat sätt eller kompletterat sin lösning med ytterligare en metod.
Figur 10. Elevernas lösningsmetoder på Uppgift 1.
Figur 11. Elevernas lösningsmetoder på Uppgift 2.
0 20 40 60 80 100 120 Algebraiskt Grafiskt på räknaren Grafisk kontroll Löste ej Andel svar (%) Klass 1 (SP) Klass 2 (SP) Klass 3 (NV) Klass 4 (NV) 0 20 40 60 80 100 120 Algebraiskt Grafiskt manuellt Löste ej Andel svar (%) Klass 1 (SP) Klass 2 (SP) Klass 3 (NV) Klass 4 (NV)
38
Uppgift 2 bad eleverna att ange ekvationen för den räta linje som gick genom punkterna (1, 5) och (3, 8). Även här syns att majoriteten av eleverna använde sig av en algebraisk metod (se Figur 11). Klass 2 utmärker sig dock genom att ungefär en fjärdedel av klassen har använt sig av en grafisk manuell metod, de har alltså ritat för hand.
I Uppgift 3 skulle eleverna koppla ihop en graf med rätt funktion. Alternativ till möjliga funktioner gavs. Som synes i Figur 12 är den vanligaste metoden i alla klasserna att resonera sig fram till ett svar. En stor andel av NV-eleverna använde sig av en algebraisk metod till exempel att faktorisera med hjälp av grafens nollställen. En ganska stor andel av eleverna i varje klass använde sig av en grafisk metod på räknaren. Ett flertal av dessa har även tillämpat resonemangsmetoden men kompletterat med den grafiska metoden när de inte kom längre i sitt resonemang.
Figur 12. Elevernas lösningsmetoder på Uppgift 3.
Värt att notera är att många av de elever som svarade fel på uppgifter i Elevenkät Del I höll sig till en och samma metod genom hela lösningsprocessen. Detta är tydligt i Uppgift 3 där eleverna ofta började med att resonera sig fram och uteslöt således flera av de felaktiga funktionerna. När elevernas resonemang inte räckte ända fram valde många att, istället för att använda räknaren, ge två möjliga svar på uppgiften. Eleverna var medvetna om att två svar inte kunde vara rätt då det endast finns en riktig funktion till den angivna grafen.
I Uppgift 4 skulle eleverna hitta nollställen till funktionen . I Figur 13 redovisas resultatet av elevernas lösningsmetoder. Även här är den vanligaste
0 20 40 60 80 100 Algebraiskt
Grafiskt på räknaren
Resonera sig fram
Löste ej Andel svar (%) Klass 1 (SP) Klass 2 (SP) Klass 3 (NV) Klass 4 (NV)
39
metoden i alla klasserna den algebraiska. En liten andel i varje klass har istället använt sig av en grafisk metod på räknaren.
Figur 13. Elevernas lösningsmetoder på Uppgift 4.
Ett annat resultat av intresse i Uppgift 4 är att många elever som valde den grafiska lösningsmetoden missade ett av nollställena på grund av bristande fönsterinställningar på räknaren. Flera elever missuppfattade även uppgiften och beräknade funktionens extrempunkter istället för dess nollställen.
Figur 14. Elevernas lösningsmetoder på Uppgift 5.
I Uppgift 5 skulle eleverna beräkna om . Även här kan vi i Figur 14 tydligt se att den vanligaste lösningsmetoden är den algebraiska. Här utmärker Klass 3 sig genom att det är den enda klassen där någon elev uttryckligen har
0 20 40 60 80 100 Algebraiskt Grafiskt på räknaren Löste ej Andel svar (%) Klass 1 (SP) Klass 2 (SP) Klass 3 (NV) Klass 4 (NV) 0 20 40 60 80 100 120 Algebraiskt Grafisk kontroll Numeriskt på räknaren Löste ej Andel svar (%) Klass 1 (SP) Klass 2 (SP) Klass 3 (NV) Klass 4 (NV)
40
gjort en grafisk kontroll. Det är även den enda klassen där någon har valt att lösa uppgiften numeriskt med räknarens inbyggda funktion ”nDeriv(”.
Använder eleverna räknaren till att utföra beräkningar?
Huruvida eleverna har använt sin räknare till att utföra beräkningar är intressant eftersom även beräkningar räknas som ett matematiskt moment. Uppgifterna i Elevenkät Del I är av karaktären att alla beräkningar blir av det slag som borde klaras av i huvudet om inga särskilda hinder föreligger. I Fråga 2, Fråga 4, Fråga 6, Fråga 8 och Fråga 10 i Elevenkät Del II ombeds eleverna svara på om de använt räknaren till beräkningar i uppgifterna i Elevenkät Del I.
Figur 15. Användningen av räknaren till beräkningar i de olika uppgifterna.
I Figur 15 visas resultatet av huruvida eleverna använder räknaren för att utföra beräkningar. Även om svaret blev rätt eller fel går att utläsa. Generellt är det få som faktiskt har använt räknaren till beräkningar. Störst andel i alla uppgifterna är de som inte använt räknaren och fått rätt svar. Därefter kommer de som inte använt räknaren och fått fel svar. De elever som valt att använda räknaren till beräkningar och fått fel svar har oftast angripit uppgiften på fel sätt och därmed inte fått beräkningar som är lämpade för huvudräkning. De beräkningar som utfördes på räknaren i dessa fall var dock riktigt genomförda.
0 10 20 30 40 50 60
Uppgift 1 Uppgift 2 Uppgift 3 Uppgift 4 Uppgift 5
A n d e l e le v e r (%
) Använde räknaren till
beräkningar och fick rätt svar Använde INTE räknaren till beräkningar och fick rätt svar Använde räknaren till beräkningar och fick fel svar Använde INTE räknaren till beräkningar och fick fel svar
41
Hur skiljer sig räknaranvändningen mellan högpresterande och lågpresterande elever?
I ett försök att besvara frågan om det är högpresterande eller lågpresterande elever som använder den grafritande räknaren på ett visst sätt har valet gjorts att försöka koppla betygen till hur räknaren används för att utföra beräkningar. Även en koppling mellan betyg och vald lösningsmetod där räknaren användes har gjorts.
Betygsfördelningen mellan de båda programmen skiljer sig åt något (se Figur 16). Det är fler elever på SP än på NV som har både Godkänt och Väl godkänt i Matematik B. Det är en betydligt större andel av NV-eleverna än av SP-eleverna som har Mycket väl godkänt.
Figur 16. Betygsfördelning inom de två programmen
De flesta eleverna inom alla betygskategorierna valde att använda sig av en lösningsmetod som inte innefattade den grafritande räknaren. Av eleverna med Godkänt var det 64 %, av eleverna med Väl godkänt var det 57 % och av eleverna med Mycket väl godkänt var det 59 % som aldrig använde en räknarbaserad lösningsmetod. Det är således ingen större skillnad mellan betygsgrupperna beträffande hur räknaren används för grafiska lösningsmetoder.
På liknade sätt var resultatet i fråga om andelen elever inom de olika betygsstegen som använde räknaren till att utföra beräkningar. 55 % av eleverna med Godkänt, 24 % av eleverna med Väl godkänt och 36 % av eleverna med Mycket väl godkänt använde inte räknaren till att utföra beräkningar under någon av de fem uppgifterna. Detta resulterar i
0 10 20 30 40 50 60 G VG MVG Andel elever (%) NV SP
42
att eleverna med Väl godkänt är de som använder räknaren mest och eleverna med Godkänt är de som använder den minst till att utföra beräkningar.
