Att representera matematiskt kunnande, Konkreta, ikoniska och symboliska aspekter av matematik i grundskolan

0

Självständigt arbete

30 högskolepoäng, avancerad nivå

Att representera matematiskt

kunnande

Konkreta, ikoniska och symboliska aspekter av

matematik i grundskolan

To represent mathematical knowledge

Concrete, iconic, and symbolic aspects of mathematics in

elementary school

Biljana Petrovic

Masterexamen i pedagogik, 120 hp

Datum för slutseminarium:

Examinator: Peter Bengtsson Handledare: Anna Jobér

0 BLANK SIDA

1

Abstract

This study is based on a quantitative research, which examines and analyzes the ability of pupils to associate several key abstract and conceptual aspects of maths with reality. First, I analyze aspects of Bruner's theory of three modes of representation. Then I formulate a test model with different tasks, based on the interaction between the current representation forms - enactive, iconic and symbolic. I will use this model to understand where the failure mostly occurs, and the difference between the age groups. Diagnostic tests have been conducted at five different schools during the maths lessons.

My main task is to examine the three systems with a quantitative approach, in order to see how the transfer of knowledge between reality, perceptions / images and

symbolism. The intention is to investigate how the students observe and create images of things and their phenomena, and perform symbolic operations. At the same time, I will explain the design of tasks for the four important elements such as structure, maturity, initiative, and motives. According to Bruner (1966), the symbolic form is properly developed at the age of ten, and therefore. We had participants from grade one up to grade four and, age seven to ten.

Keywords: mathematic, concretization and abstraction, three modes of representation, mathematizing, triad, triadic model, transition, two-way transition, mathematization, manipulative aids.

Nyckelord: matematik, konkret och abstrakt, representationsformer, övergångar, tvåvägsövergångar, matematiserande, triad, manipulativa modeller.

2

Innehållsförteckning

4.3. KOGNITIVT PERSPEKTIV INOM MATEMATIK DIDAKTIK ... 11

4.4. TIDIGARE FORSKNING ... 12

4.5. STUDIENS TEORETISKA UTGÅNGSPUNKT ... 16

4.5.1. BRUNERS FYRA ELEMENT ... 17

4.5.2. Bruners tre RF ... 18

4.5.3. Tidiga matematiska begrepp och triad ... 20

4.6. TILLÄMPNING AV DET TEORETISKA RAMVERKET FÖR UNDERSÖKNINGEN ... 25

4.7. KRITIK MOT BRUNERS RF ... 26

5. METODVAL ... 28

5.1. KVANTITATIV METOD ... 28

5.2. RELIABILITET OCH VALIDITET ... 28

5.2.1. Reliabilitet ... 28

5.2.2. Validitet ... 29

5.3. METODOLOGISKA ÖVERVÄGNINGAR ... 30

3

5.4.1. UNDERSÖKNINGSGRUPP ... 34

5.4.2. UPPGIFTERNA I STUDIEN, DEN DIDAKTISKA MODELLEN ... 34

5.4.3. METOD, DATAINSAMLING OCH PROCESSEN ... 37

5.5. ETISKA ÖVERVÄGANDEN ... 39

6. RESULTAT OCH ANALYS ... 40

6.1. VALET AV DEN TRIADISKA MODELLEN ... 40

6.2. ÅRSKURS 1. ... 41

6.3. ÅRSKURS 2. ... 42

6.4. ÅRSKURS 3. ... 43

6.5. ÅRSKURS 4. ... 44

6.6. SLUTSATS ... 45

6.6.1. Procent och Chi – Square Tests ... 45

6.6.2. Medelvärdet ... 48

6.6.3. Sammanfattning ... 48

7. DISKUSSION ... 50

7.1. STUDIENS RESULTAT I RELATION TILL DESS TEORETISKA UTGÅNGSPUNKTER ... 50

7.1.1. Svårigheter med RF ... 51

7.1.2. Skillnader mellan åldersgrupperna ... 56

7.2. TEORETISKA OCH PEDAGOGISKA IMPLIKATIONER OCH SLUTSATSER ... 57

7.3. MÖJLIGA ORSAKAR ... 59

7.3.1. Struktur ... 59

7.3.2. Intuitivt och analytiskt tänkande ... 64

4

7.3.4. Mognad ... 68

7.3.5. Lärarens roll ... 70

7.3.6. Sammanfattning ... 71

7.4. Förslag till fortsatt forskning ... 72

8. REFERENSLISTA ... 74 9. BILAGOR ... 84 9.1BILAGA 1... 84 9.2BILAGA 2... 88 9.3.BILAGA 3 ... 92 9.4.BILAGA 4 ... 96 9.5.BILAGA 5 ... 101 9.6.BILAGA 6 ... 105 9.7.BILAGA 7 ... 109 9.8.BILAGA 8 ... 113 9.9.BILAGA 9 ... 119 9.10.BILAGA 10 ... 139 9.11.BILAGA 11 ... 145

5

1.

Inledning

I denna studie undersöks samt analyseras ett antal elevers möjlighet att koppla abstrakta och begreppsmässiga aspekter av matematik till verkligheten.

I dagens skola möts ständigt elever med olika förutsättningar, intressen och tidigare kunskaper. En del av eleverna har svårigheter att koppla ihop och applicera sina matematikkunskaper med verkliga exempel och vice versa. Den verkliga världen och skolmatematiken upplevs som två skilda faktorer. Som matematiklärare har jag hört yttranden som: ”Du måste anknyta matematiken till verkligheten”, ” Ge mening till symbolerna” eller ”Rita en figur för att förstå uppgiften bättre.” Det är viktigt för eleverna att förstå sambandet mellan den konkreta och abstrakta matematiken. Enligt mina erfarenheter får en del av eleverna svårigheter med problemlösningar om de inte förstår sambandet mellan komponenterna, d.v.s. relationen mellan konkret och abstrakt. Därför har jag valt att undersöka relationen mellan den konkreta och abstrakta

matematiken.

Med konkret matematik menas matematik som har uppstått ur vardagen, verkligheten. Det abstrakta begreppet hänvisar till idéer eller föreställningar och har inga fysiska referenser. Så länge eleverna relaterar till verkligheten är de på handlingsbaserad nivå. Den bildmässiga nivån innefattar mer avancerat tänkande som oftast involverar mentala bilder, eftersom idéer inte kommer till en person i form av språk utan i bilder. Den mest avancerade nivån är den symboliska och den bygger på att eleverna har erfarenheter av de andra nivåerna (Bruner, 1966). Enligt mina erfarenheter förstår oftast eleverna den konkreta matematiken, därefter när de ska övergå till bild eller symbol, och även i motsats riktning, möter en del av eleverna svårigheter.

Matematiken, utifrån Bruners (1966) perspektiv, är utvecklad ur vardagliga händelser och tillhandahåller de former och mönster som är utgångspunkten i uppfattningen av regelbundenheter i naturen. Enligt Kiselman och Mouwitz (2008) är matematik en abstrakt och generell vetenskap. Devlin (2001) påpekar att ett naturligt tal är en abstraktion. Ett exempel på en konkret situation är att två äpplen och tre äpplen tillsammans är fem äpplen medan, å andra sidan, 2+3=5 är en abstraktion och kan användas i alla situationer oavsett om det handlar om äpplen, bilar eller planeter. Därför

6

kan inlärningen av matematik ses som en process där målet är att upptäcka och använda abstrakta strukturer och relationer (Ibid).

Fokus med denna uppsats är problematiken kring svårigheter att växla mellan

kunskaper. A. Mandic, D. Mandic och Zeljic (2013) menar att den främsta orsaken till elevernas dåliga relationer till matematik samt den låga nivån i förståelse för innebörden av matematiska begrepp kan härledas till att detta är ett ämne som är baserat på ett speciellt formellt språk och användning av matematiska symboler. Detta kan leda till att det vanligaste problemet i skolan är elevernas oförmåga att koppla samman abstrakta och begreppsmässiga aspekter av matematik med verkligheten (Mandic, et al., 2013). Det finns två olika typer av kunskap, så kallad ”figurativ” kunskap som är baserad på fysisk inlärning medan den andra typen av kunskap, som Piaget kallar för ”logisk- matematisk inlärning”, ger eleverna en s.k. operativ kunskap (Hundeide, 1985). Enligt Hundeide (1985) måste eleverna ha sin grund i det konkreta för att kunna lära sig abstrahera d.v.s. symboler har både en figurativ och operativ sida. Vidare anser han att symbolens yttre form är figurativ men meningen bakom tecken är operativ. Om en konkretisering sker blir det lättare för eleverna att förstå det abstrakta samt operativa i matematiken och därför har pedagogen i uppgift att se till att eleverna får en ansenlig förståelse genom att lära sig konkretisera olika symbolers och termers innebörd. Det är betydelsefullt att eleverna får bra baskunskaper vilket leder till en minimering av risken att det abstrakta blir ett hinder när eleverna ska förstå och uttrycka sig. En undervisning måste ske med både inlärning och utveckling och måste överensstämma med både de inlärnings- och utvecklingsteorier till vilka de ansluter sig till (Löwing, 2006). Det är av stor vikt för eleverna att redan i tidig ålder få möjlighet att utveckla en god

taluppfattning utifrån sina erfarenheter och sitt tänkande (Emanuelsson & Emanuelsson, 1997). Även om eleverna har goda informella kunskaper i matematiken har de

svårigheter med att förstå vad matematiska symboler representerar i den fysiska världen. Enligt mina erfarenheter hanterar de flesta elever lätt den informella matematiken, men när de ska överföra kunskap till den abstrakta matematiken uppstår problem.

7

2.

Syfte

Syftet med denna studie är att utreda och analysera de ovan nämnda aspekterna samt betydelsen för elevernas svårigheter att växla mellan kunskaper, i detta fall elevernas möjlighet att knyta an abstrakta och begreppsmässiga aspekter av matematik med verkligheten - bild och symbolik. För att kunna uppnå detta kommer jag att skapa undersökningsuppgifter där min avsikt är att se hur eleverna hanterar

konkreta/handlingsbara, bildmässiga och abstrakta övergångar. Målgruppen är yngre elever, från sju upp till tio års ålder.

Utgångspunkten för min studie är Bruners (1966) tre representationsformer. Bruner (1966) påpekar att ”människan har utvecklat tre parallella system för bearbetning av information och återgivning av den – ett som använder sig av manipulation och handling, ett som bygger på organisation av varseblivningar och bilder, och ett som utnyttjar en apparat av symboler” (s. 40).

8

3.

Frågeställning

1. Var någonstans i de tre representationsformerna uppkommer svårigheter hos eleverna mest?

9

4. Litteraturgenomgång

I detta kapitel beskrivs centrala begrepp, styrdokument, det kognitiva perspektivet i matematikdidaktik samt tidigare forskning. Fortsättningsvis kommer en redogörelse för Bruners kunskapssyn, samt hur andra forskare har använt Bruners teorier i matematiken, tillämpning av det teoretiska ramverket för undersökningen samt kritiska

förhållningssätt mot Bruners representationsformer.

4.1.

Centrala begrepp

I denna del kommer centrala begrepp att definieras.

Bruner (1966) anser att informationer vi tar emot från omvärlden måste presenteras på så sätt att vi kan använda dem. Tidigare erfarenheter är inte användbara om de endast är staplade, däremot är de användbara om de "kodas" och sorteras på ett visst sätt. Bruner (1966) kallar slutprodukten av ett sådant kodningssystem för representation. Hall (1997) menar att människor använder sig av representationssystem, vilka innefattar begrepp och tecken för att kunna förstå och tolka världen. Begrepp betecknar i detta sammanhang de mentala kartor människor använder för att kunna förstå, bland annat ett visuellt eller talat uttryck, genom att kunna sätta detta i samband med en mental

föreställning om objektet, samt att förstå att tecken är de symboler som betecknar objektet (Hall, 1997). Begreppet representation som används i denna studie betecknar processen som länkar relationen mellan exempel/verklighet, ikoner och

tecken/symboler. De komponenter betecknas i studien som representationsformer och kommer att kategoriseras som ”RF”. Det anda begreppet som lyfts fram i studien är matematik och enligt Nationalencyklopedin är matematik (u.å.) en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. Matematiken är inriktad på

studium och uppbyggnad av strukturer av de mest varierande slag, såväl för att lösa specifika problem som för att utveckla allmänna metoder att lösa problem samt att ange dessa problemens begränsningar. I studien undersöks elevernas kunnande. Begreppet kunnande används här i egenskap av ”knowing” som syftar på att något sker i praktik (Wenger 2001). Med kunnande menas att kunna fungera effektivt i den miljö vi lever. Enligt Polyanis står kunnande för kunskap som är i ständig rörelse och den är dynamisk samt skapas i våra handlingar (Rolf, 1991). I centrum sätts handling och det som

10

faktiskt sker. Definitionen av konkret (u.å.) betecknar enligt Nationalencyklopedin: ” något som kan vägas och direkt uppfattas med sinnena, till exempel varelser, föremål och material.” Definitionen av abstrakt (u.å.) betecknar enligt Nationalencyklopedin: ” ett icke-påtagligt fenomen (utan massa), t.ex. egenskap, tillstånd, händelse och tid.” I studien lyfts fram begreppet matematiserande. Freudenthal (2002) anser att

matematiserande är en process som fortsätter så länge vår verklighet förändras, utvidgas och fördjupas under olika förhållanden, som i sin tur förändrar verkligheten. Clements och Sarama (2009) beskriver matematiserande som aktiva processer då elever skapar och återskapar kunskap samt att strukturen och innehållet i processen är sammanflätade. För studien är begreppet triad centralt som ramverk för analys, där utifrån den triadiska modellen tolkas och analyseras insamlad data. Genom att utveckla Bruners idéer, ger Marjanovic (2002) en schematisk representation av matematiska begrepp som

trekomponentellt: exempel/konkret situation, mentala bilder, namn (symboler) (Bild 1.5). Det ömsesidiga beroendet benämns som triad i studien. En genomgripande beskrivning finns under avsnittet 4.5.3. Begreppet manipulativa modeller står för en förenkling eller generalisering av verkligheten men även en konkretisering. Med manipulativa modeller menas kategorier som ligger halvvägs mellan den konkreta och verkliga världen, d.v.s. föreställningar av symboler, vilket i sin tur representerar verkliga situationer eftersom de är gjorda av fysiskt material (Post, 1988). Begreppen tvåvägsövergångar och övergångar kommer som en naturlig produkt av studien och betecknar relation mellan konkret/handlingsbar, bildmässig och abstrakt i två riktningar (se Bild 1.7.). Det finns sex aktuella övergångar som undersöks i studien.

4.2.

Styrdokument

I skolans läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11 (Skolverket, 2011b) ska undervisningen syfta till att använda matematiska

uttrycksformer för att lära eleverna kommunicera matematik och koppla den till vardagen. Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer (Skolverket, 2011b).

11

4.3.

Kognitivt perspektiv inom matematik didaktik

I tidig ålder börjar barn uppleva matematiken på olika sätt. Redan då möter barn olika situationer där de måste använda sig av olika matematiska begrepp. Innan de börjar använda sig av termer, d.v.s. olika benämningar och symboler som används i

matematiken, måste de möta verkliga situationer och bygga upp en mental bild. I likhet med Bruner menar Piaget (1973) att genom assimilativt eller additivt lärande införlivas och anpassas sinnesintryck från omgivningen. Den vanliga formen av inlärningen är den som vi praktiserar i vardagens olika sammanhang. De både komponenterna,

sinnesintryck och omgivning, adderas till och bygger upp redan etablerade mentala scheman. Samtidigt kan det assimilativa lärandet, som är bundet till ett bestämt mentalt schema, ha nackdelar på grund av snabba och oförutsägbara förändringar i vårt moderna samhälle (Illeris, 2007).

Enligt Piaget (1973) är barns kognitiva utveckling biologiskt betingade och kan därför placeras in i ett åldersschema: 1) den sensomotoriska fasen som (0 till ca 2 år; tänkandet är beroende av sinnesintryck och motoriska färdigheter); 2) den pre-operationella fasen (2 till ca 6/7 år; tänkande är baserade på specifika aktiviteter och direkt observation); 3) den konkret-operationella fasen (6/7 till ca 11/12 år; tänkandet är kopplat till en specifik föreställning baserat på observation eller sensorisk upplevelse, samt möjligheten för sammansättning och reversibilitet); 5) den formel-operationella fasen (11/12 år till ca 15 år; tänkandet kännetecknas av elevernas förmåga att deduktivt dra slutsatser utan att förlita sig på prestandan och perception).

Aebli (1963) menar att i inlärningsprocessen behöver eleverna möta ett antal fakta och typiska exempel där de kommer att ta in ömsesidigare förebilder, jämföra och bedöma de väsentliga egenskaperna hos de alla erbjudna representanterna. Processen att avskilja invarianta eller väsentliga egenskaper, som har alla objekt i en separat klass, kallas abstraktion. Därför räcker det inte att uppfatta matematiska begrepp endast genom observationer och via sensoriska erfarenheter utan även genom abstraktion som utan tvekan har sina rötter i sensorisk kunskap. Under påverkan av sensoriska upplevelser byggs uppfattningen, som finns kvar, upp i minnet. För att kunna uppnå den

12

tankerörlighet att operationer på något sätt kopplas till den kognitiva nivån och därefter drar sig i motsatt riktning (Ibid).

4.4.

Tidigare forskning

Föreliggande avsnitt tar sin utgångspunkt i studier, som har utgångsläget i abstrakta och begreppsmässiga aspekter av matematik, och Bruners representationsformer. I sökandet efter litteratur har databaser som t.ex. Libsearch, Google Scholar, ERIC, EBSCO och Libris använts. Sökord som har använts och kombinerats på olika sätt har varit t.ex. Bruner teori, Bruner, abstrakt och konkret matematik, manipulativa modeller, matematiserande, Bruners representationsformer, studier/rapporter/forskning med Bruners representations teori. Engelska termer som har tagits i anspråk är t.ex.

”manipulative aids”, ”Mathematization”, ”Brunes modes of representation”, “abstract and concrete math”, “Bruner´s theory”.

I studien kommer representationsformer att betecknas med ”RF”.

Bruner (1966) föreslår att lärande bör vara strukturerat i en disciplin. När eleverna upptäcker grundläggande principer för sig själva leder detta till större intellektuellt engagemang. I sin studie om matematikens natur skriver Post (1988) om Bruners inverkan på annan forskning. Han tar upp Emanuelssons omarbetade schema av Leshs (refererad i Post, 1988) schema över RF. Enligt Post (1988) hjälper manipulativa modeller eleverna att växla mellan kunskaper från konkreta situationer och problem till abstrakta idéer.Med manipulativa modeller menas kategorier som ligger halvvägs mellan den konkreta och den verkliga världen. De föreställer symboler, vilket i sin tur representerar verkliga situationer eftersom de är gjorda av fysiskt material. Till exempel kan chips användas för att ersätta bilar i ett problem (Post, 1988). Vidare menar han att psykologiska studier dock visar att manipulativa modeller bara är en del av

utvecklingen av matematiska begrepp. Med utgångspunkt av Lesh, Landau och Hamiltons studie anmärker han att andra RF, såsom bild-, språk-, symboliska och verkliga situationer också spelar roll.När eleverna lär sig ett nytt matematiskt begrepp är det viktigt att eleverna ser begreppet ur olika perspektiv eller tolkningar (Post, 1988). Tolkningar av de olika formerna att representera matematiska begrepp är viktigt för läraren och forskaren.Dessa former, som visas i Bild 1.1, representerar en förlängning

13

av Bruners arbete med RF (refererad i Post, 1988). Begreppet ”manipulativa modeller” ("Manipulative Aids") i denna figur hänför sig till Bruners enaktiva form, "bilder" avser Bruners ikoniska form och ”skrivna symboler” ("Written symbols") avser Bruners symboliska form.Lesh lade till verbalisering ("Spoken symbols") och "verkliga situationer" (Real Word Situations) till Bruners modell och betonade ömsesidigt beroende mellan de RF.Att utvidga (till fem) antalet RF och att betona de olika

tolkningarna inom och bland dessa former är de två viktigaste bidragen i denna modell. Enligt Lesh kan schemat ses som ett slags tankeinstrument för hur läraren kan välja arbetssätt till innehåll i undervisningen (Emanuelsson, 1995). Det handlar om att lösa problem och uttrycka idéer i vardagssituationer, laborativt, med bild, muntligt, skriftligt, med symboler eller i andra representationer på ett fruktbart sätt. Lesh menar att en fördjupad förståelse innebär att eleven får tillgång till alltfler uttrycksformer och översättningar mellan representationer (Ibid).

Bild 1.1 Leshs (1979)omarbetade modell av Bruners tidiga arbete med RF. (Bilden finns i Post 1988).

I en annan studie använder Lianghuo, Ngai-Ying, Jinf, och Shiqi (2004) Bruners RF för att förklara begreppen matematiserande. Enligt Freudenthal (2002) utformar barnen matematiska erfarenheter genom sina handlingar. Dessa handlingar som inkluderar barnens matematiska utforskande benämns som matematiserande. Barnen bör utmanas att själva hitta strukturer till att lösa och diskutera problem med hjälp av deras

erfarenheter. Vidare gör Freudenthal (2002) en åtskillnad mellan horisontellt och vertikalt matematiserande. Vid det horisontella matematiserandet använder barnen matematiska verktyg för att organisera och lösa ett problem som sätts i en realistisk situation.Det vertikala matematiserandet är en process, vilket kan beskrivas som att

14

barnen generaliserar, bevisar regelbundenhet samt kombinerar och integrerar modeller. Således innebär horisontellt matematiserande att gå från verkligt liv till symbolernas värld, medan vertikalt matematiserande innebär att röra sig inom symbolerna.Båda processerna måste uppnås för god utveckling. Samtidigt menar Freudenthal (2002) att skillnaden mellan dessa två typer av matematiserande inte alltid är tydliga.Lianghuo et al. (2004) utvecklar vidare och delar in konceptet inlärning i två faser: ”formalisering” och ”sökning efter mening”. I ett exempel väljer de att undersöka inlärningen av division med rester.Läraren introducerar rest och division med rest genom att använda barnens erfarenhet av att dela ut bönor.Lianghuo et al. (2004) väljer sju bönor (Bild 1.2.). Hur många bönor finns på varje tallrik och hur många stannar kvar om sju bönor fördelas jämnt på tre tallrikar?Då återstår resten och försöket med att placera bönor på varje tallrik anses som provkvot. På så sätt refereras omvandlingen från fysiskt objekt till den aritmetiska formen, som refereras till en formaliseringsprocess.Processen från den aritmetiska formen till tolkningen kallas "sökning efter mening".Vidare skiftas matematiserande modeller till konkret, halvkonkret, halvabstrakt och mellan fysisk form och aritmetisk form (Lianghuo, et al., 2004).

Bild 1.2. Bildande och förstärkning av delning med rest (Lianghuo, et al., 2004). Att uppleva den matematiserande processen förstärker inte bara elevernas förståelse för delning med rest utan hjälper även eleverna att söka efter regler i de aritmetiska

formerna.Till exempel, när eleverna uppmanas till att hitta relationer mellan dividend, divisor, kvot och rest, kan de förstå att divisorn multiplicerad med kvoten plus

restvärdet är lika med dividend. Samtidigt kan de även förklara att anledningen till att rester är mindre än divisorn är att om restvärdet är större än divisorn, är antalet

15

resterande bönor större än antalet tallrikar. Följaktligen kan varje tallrik tilldelas minst en böna.

Eleverna bör erbjudas tillrättalagda situationer så att spontana strategier aktiveras, utvecklas och utmanas. Det är viktigt att läraren inte tvingar barnen, utan erbjuder verktyg så att barnen utgår från egna tidigare erfarenheter och utvecklar nya insikter (van Nes, 2009). Det finns stort gap mellan fysisk och aritmetisk form. En erfaren lärare kan utnyttja följande process: för det första visar läraren sättet att fördela bönor och sedan gör ett försök när bönorna och tallrikarna tas bort. Efter upprepning av denna process kan gapet fyllas automatiskt. Detta sätt att hantera delning med rest kan illustreras med följande bild (Bild 1.3) med de tre RF som har föreslagits av Bruner (1966), nämligen konkret/handlingsbaserad (enaktiv), ikonisk och symbolisk. Dessutom är den ikoniska representationen ett viktigt verktyg för att realisera transformationen från enaktiv representation till symbolisk representation (Lianghuo, et al. 2004).

Bild 1.3. Bildande och förstärkning av delning med rest (Lianghuo, et al., 2004)

Enligt Heddens (1986) är fördelen med RF att de går att sätta in i alla situationer och anpassa till alla uppgifter. Genom att arbeta med de korrekta RF kan det generella och abstrakta tydligt påvisas för eleverna. Vidare säger han att mittemellan det abstrakta och konkreta existerar två klassificeringar till, som han kallar för semikonkret och

semiabstrakt. Den konkreta nivån representerar ofta en verklig situation och med den abstrakta nivån menar han att bilder och informella symboler ersätts med formella symboler, räkneregler, räknelagar och andra konventioner. Den första kvalificering som ligger mittemellan det abstrakta och konkreta är semikonkret/halvkonkret och innebär en representation av en verklig situation, bilder, istället för dem verkliga sakerna i sig.

16

Den andra kvalificering som han kallar semiabstrakt/halvabstrakt är då symboliska representationer av konkreta saker men de behöver inte se ut som sakerna de

representerar, d.v.s. bilderna byts mot informella symboler som t.ex. ringar eller streck (Bild 1.4)

Bild 1.4. Kontinuitet i lärandet från abstrakt till konkret (Heddens, 1986) Anledningen till att jag presenterar de här studierna beror på att de har samma utgångspunkt, Bruners RF med den triadiska modellen. När jag planerade min studie reflekterade jag över resultat från andra studier och på så sätt planerade jag min egen studie. Det var viktigt att utforma testuppgifterna på så sätt att jag skulle kunna få ett tillförlitligt resultat samt hitta bra exempel till de olika tvåvägsövergångarna i RF. De här studierna hjälpte mig att förstå hur jag borde utforma uppgifterna till vissa

övergångar. Dessutom, bevisar de olika studierna betydelsen av RF för elevernas matematiserande samt förklarar hur de olika övergångarna fungerar i olika sammanhang.

4.5.

Studiens teoretiska utgångspunkt

En av kognitivismens förgrundsgestalter är Jerome Bruner. Därförär utgångspunkt för min studie Bruners (1966) tre RF. Bruner (1966, s. 40) menar att ”människan har utvecklat tre parallella system för bearbetning av information och återgivning – ett som använder sig av manipulation och handling ett som bygger på organisation av

varseblivningarna samt bilder och ett som utnyttjar en apparat av symboler”. Jag vill undersöka de tre aspekterna för att kunna se hur kunskaper skiftar mellan

17

någonstans i tvåvägsövergångarna misslyckanden sker oftast. I nästa avsnitt förklaras Bruners teoribildning.

4.5.1.

Bruners fyra element

Bruner (1966) ser barnen som aktiva problemlösare som är redo att utforska svåra ämnen. Hans undervisningsmodell bygger på fyra olika element:1) struktur och kunskapsutformning; 2) mognad för att lära; 3) intuitivt och analytiskt tänkande; 4) lärandets motiv. Bruner (1966) anser att strukturen i inlärning är viktig. Eleven ska lära sig hur saker hänger ihop i stället för att bara lära fakta och tekniker. På samma gång ska eleven ha nytta av det som han/hon har lärt sig. Att eleven har förståelse för strukturen innebär att mycket annat kan relateras på ett meningsfullt sätt. Läraren ska vid undervisningen, klargöra hur de nya kunskaperna hänger ihop i det stora

sammanhanget. Han säger vidare att om den tidigare inlärningen ska göra den senare inlärningen lättare måste helhetsbilden med relationen mellan det eleverna har stött på tidigare och det nya materialet göras så tydlig som möjligt. Förenkling av information ska göras på så sätt att eleven lättare kan handskas med kunskapsmängden, men samtidigt måste elevernas nivå och begåvning beaktas. Om informationen inte är förenklad eller uppbyggd till ett språk som eleven kan förstå i sitt försök att lösa problem är de upplysningarna inte heller till någon nytta (Ibid).

Strukturen är även viktig vid prov. Provet ska utformas på så sätt att tonvikten läggs på förståelsen av ämnets grundprinciper. Även om det inte är lätt att utforma sådana prov som kan gå på djupet ska läraren försöka ställa krav på eleverna att förstå och förklara samband mellan enskilda kunskapsområden och stoff. Bruner (1966) anser att varje kunskapsområdes struktur kan karakteriseras på tre sätt: med utgångspunkt från det framställningssätt som används, dess ekonomi och dess effektivitet. Alla tre strukturer varierar efter olika åldrar, olika inlärningsstil och olika ämnesstoff. Framställningssätt och ekonomi av ett kunskapsområde syftar på den informationsmängden som måste hållas i minnet och bearbetas för att uppnå förståelse. Effektivitet är nästa steg och innebär elevens uppfattningsförmåga att klarlägga problemet genom noggrann analys av hur han/hon tar itu med sin uppgift. Även om eleven klarar av att hålla informationen i minnet och bearbeta informationen (ekonomi) kan han/hon sakna effektivitet. Samtidigt är det viktigt vid strukturering att systemet byggs på så sätt att eleven inte blir beroende

18

av lärarens rättelser utan att eleven själv övertar den funktion som den som rättar och upptäcker.

Mognad för att lära är ett viktigt element där Bruner (1971) anmärker att barnen kan lära sig mer komplicerat material om det pedagogiska materialet är upplagt på ett anpassat vis. Slutligen tar Bruner (1966) upp intuitivt och analytiskt tänkande och lärandets motiv. Enligt honom är intuitivt tänkande ett viktigt sätt att tänka produktivt och att det krävs att i största möjliga mån väcka barnens intresse att lära sig. Det är av stor vikt att specificera vilka sekvenser som är mest effektiva när läraren presentarar det materialet som ska läras ut. Grund till ökat intresse att lära sig kan bl.a. vara en ökad tilltro till egen förmåga att förstå materialet, samt fördjupar sig i ämnet, och även se att det går framåt. Samtidigt är det viktigt att hålla intresse vid liv vidare och inte enbart på kort sikt.

För att kunna behärska de mer komplicerade färdigheterna är det viktigt att kunna hantera och bemästra de grundläggande. Ifall de grundläggande färdigheterna brister blir det omöjligt att klara av de mer komplicerade. Följaktligen är det nödvändigt att ha ett steg avklarat för att kunna förstå nästa. Det går alltid att börja med en lätthanterlig modell som kan hjälpa eleven att lättare och grundligare kan lära sig att behärska det. Vid inlärningen är det viktigt att eleven inser inlärningens kumulativa inflytande. Läraren ska vid sina undervisningstillfällen presentera ett fenomen på så sätt att det på något vis möjliggör att eleven upplever en intellektuell stimulering, att det är värt att kunna och även att han/hon kan använda de kunskaperna i andra situationer (Bruner 1966). Det fjärde elementet innefattar lärandets motiv, d.v.s. belöning som bör

förekomma under inlärnings- och undervisningsprocessen. Det finns yttre belöningar, såsom beröm från lärarens sida, och även inre belöningar, som ligger i själva faktumet att eleven har löst ett komplicerat problem. Belöningar kan vara omedelbara eller komma senare (Ibid).

4.5.2. Bruners tre RF

Enligt Bruner (1990) finns det tre RF: 1) den första är den enaktiva, d.v.s.

handlingsbaserad och innebär att eleven får kunskap genom upplevelser; 2)det andra är den ikoniska, d.v.s. bildmässiga, där verkliga händelser kan representeras i form av

19

bilder av olika slag; 3) den tredje är den symboliska, och den bygger på att eleven har erfarenheter av de andra nivåerna. Här sker all matematik med symboler.Bruner (1990) anser att RF börjar utvecklas i olika åldrar: enaktiv (0 - 1 år) - detta utvecklas först och innebär avkodning för aktionsbaserad information som lagras i vårt minne, ikonisk (1 - 6 år) - här lagras informationen visuellt i form av bilder (en mental bild i sinnet) och symbolisk (7 år och framåt) - detta utvecklas senast, här lagras informationen i form av en kod eller symbol.

Symboler är flexibla eftersom de kan manipuleras och klassificeras på så sätt att användaren inte är begränsad av handlingar eller bilder. I den symboliska RF lagras kunskapen främst som ord, matematiska symboler eller andra symbolsystem. McLeod (2008) påpekar att enligt Bruners teori kan barn även i tidig ålder lära sig nya kunskaper så länge instruktionerna är ordnade på ett lämpligt sätt, d.v.s. att de vid inlärningen bör följa en progression från konkret/handlingsbaserad (enaktiv) till ikonisk till symbolisk RF. Detta gäller även för vuxna elever. Följaktigen menar Bruner (1966) att kunskap är en process, inte en produkt, vilket bildas av eleverna genom en rekonstruktion av verkligheten, inte genom en imitation av den. Eleverna behöver bygga eller konstruera sina egna begrepp inifrån snarare än att ha de begreppen som åläggs av någon extern kraft (Dienes, 1960). Bruner (1966) betonar riskerna med att bedriva en undervisning som endast baseras på föreläsningar i klassrummet. Eleverna riskerar då att tappa intresset för ämnen de tidigare ansett roliga. Det gäller samma för matematiken. När eleverna endast får kunskap om räkneregler, men inte förstår den form som

matematiken bygger på, kan de tappa intresset för själva ämnet.

I sin studie från 1996 påpekar Tomic att läraren spelar en större roll hos Bruner än hos Piaget. Författaren anmärker att enligt Piaget bör läraren förbli i bakgrunden och erbjuda lämpligt material. Dock, enligt Bruner, bör lärare introducera

problemsituationer som kommer att stimulera eleverna i en sådan utsträckning att de själva försöker upptäcka ämnets struktur. Beteckningen struktur hänvisas i detta sammanhang till ramen för grundläggande idéer, relationer eller generella mönster för ämnet, eller till grundläggande information (Tomic, 1996). På samma sätt anser Aebli (1963) att internalisering av operationer utförs genom fler steg: 1) konkret nivå innebär att effektivt utföra åtgärder på konkret material eller föremål; 2) det andra steget

20

använder figurbildmässiga eller ikoniska presentation av ämnet som är fri från alla obetydliga element; 3) på den tredje, symboliska, graden använder elever symboler. 4.5.3. Tidiga matematiska begrepp och triad

Ett sätt att få förståelse för de ovannämnda processerna är genom att begripa hur barnen börjar förstå matematiska uttryck. Marjanovic (2002) bygger på Bruner och säger att ett begrepp består av en triad, d.v.s. tre förbindande komponenter såsom ”klassexempel”, ”mentalbild” och ”namn”. Utifrån Marjanovics (2002) triad kan begreppet ”tidig matematisk term” förklaras med ett schema som består av tre komponenter: verkliga situationer, mental bild samt benämning och symboler (Bild 1.5).

Bild 1.5. Triad. Egen bild. Omarbetad bild av Marjanovics bild. (Marjanovic., 2002)

De tre linjerna som förbinder varje komponent tjänar till att ställa ut det ömsesidiga beroendet mellan de komponenterna i den meningen att var och en av dem kan påverka utseendet på den andra. Verkliga situationer (handling eller objekt), ligger på den sensoriska (observations) nivån. De kan inte betraktas som ett begrepp utan som ett fenomen. Vi observerar ett fenomen och bildar begrepp genom abstraktion. Mental bild är en föreställning som bildas i vårt sinne och den integrerar egenskaper som en verklig situation har och som samtidigt motsvarar ett visst begrepp. Det betyder emellertid inte att vi kan skilja dessa egenskaper åt utan att mentala bilders funktion reduceras till sinnets förmåga att binda ord som är en benämning för verkliga situationer samt att skilja verkliga situationer som hör till ett visst begrepp från dem som inte tillhör det. När vi vill objektivisera våra mentala bilder använder vi ikoner. Vi säger att de

representerar spatial begreppskodifiering. Genom att benämna ett begrepp, det vill säga genom att tilldela ett namn, gör vi språkkodifiering av begreppen (Marjanovic, 2002).

21

Barnen råkar ut för olika situationer i vardagen t.ex. när de ska dela föremål. När de delar föremål strukturerar de en mental bild som är oberoende av placering, typer och egenskaper. De föremålen har även en matematisk struktur. Mandic, et al. (u.å.) som bygger på Bruner och Marjanovic tar upp ett schema i tre delar. Bild 1.6 visar en triad där en situation med tre äpplen föreställer en konkret situation. Det andra steget är att vi får en mental bild i hjärnan som föreställer antalet föremål som tillhör en lägre grad av abstraktion. Det tredje steget, begrepp eller symbol, kan betraktas som en slutprodukt och är högre grad av abstraktion och leder till de matematiska symboler 3 (Bild 1.6). Enligt Skemp (1987) är symbol ett ljud eller något synligt, mentalt kopplat till idén. Denna idé är symbolens mening.

Bild 1.6. Begreppet nummer tre. Egen bild. Omarbetad bild av Marjanovic bild (finns i Mandic, et.al., u.å.),

Alla tre objekt, oavsett vilken typ av objekt vi väljer, föreställer talet tre (3). Tre cirklar representerar kanske bäst den gemensamma egenskapen hos alla trepartsuppsättningar. Namnet är ett ord som talas eller skrivs "tre" och dess symboliska betäckning är 3. Linjer visar hur en av komponenterna kan aktivera den andra, vilket gör det möjligt för oss att flytta mellan alla nivåer av abstraktionen. På den grunden baserar vi vårt

tillvägagångssätt vid bildandet av ett tal. Barnaktiviteter på konkret/handlingsbar- (enaktiv) och bildnivå utgör grunden i samband med att bilda ett tal (Mandic, et al., u.å.). Den viktiga uppgiften är att eleverna måste kunna anpassa sig till förändringarna och ha sinne för kontraster och konkretion. Pinker (2007) ger på samma sätt ett

argument att avancerat tänkande oftast involverar mentala bilder och att idéer inte kommer till en person i form av språket utan i bilder. Dessutom säger han att en särskild tanke i huvudet omfattar en stor mängd information. I praktiken kan tänkande inte

22

separeras från andra dimensioner av mentala, emotionella och intellektuella egenskaper med avseende att kognitiva processer inbegriper känslor och önskningar (Ibid).

Marjanovic (2002) menar att om matematiska benämningar och symboler är kopplade till verkliga situationer kan det sägas att de ligger på den perceptionella nivån och är elementära, d.v.s. tidiga matematiska termer. Sådana objekt, som är matematiska situationer benämner vi som fenomen. Människor uppfattar ett fenomen men

matematiska begrepp utvecklas genom observationer. Å andra sidan är uppfattningen om matematiska termer den slutliga produkten av tankeprocessen, d.v.s. abstraktioner som finns kvar i huvudet hos eleven. De flesta matematiska termer i årskurs ett och två ligger på en nivå av tidiga matematiska termer (Marjanovic, 2002). Själva

undervisningen bör baseras på konkreta och vardagsvänliga situationer. Begrepp som barnen bildar i praktiska sammanhang i direkt kontakt med miljön och till följd av direkta erfarenheter betraktas som spontana eller ovetenskapliga begrepp. För att bemästra vetenskapliga termer som t.ex. nummer tre eller kvadrat räcker det inte bara med sensoriska erfarenheter och enkla observationer utan det handlar även om tankar som ligger bakom elevernas aktiviteter i inlärningsprocessen. På grund av erfarenheter och upplevelser som stannar kvar i hjärnan utvecklas ett tankesätt som i sin tur

utvecklar olika begrepp, uppfattningar, slutsatser och även integrerar matematiska kunskaper. När barnen kopplar sin vardag och sina erfarenheter till matematiska termer är det fortfarande inte på en vetenskaplig nivå, eftersom det inte räcker att bara utifrån erfarenheter, beröring och synen få en uppfattning av symbolen tre. Så länge det uppmärksammas på just äpplena (se Bild 1.6) kommer inte eleverna att tänka på själva symbolen. Bakom äpplena ska en uppfattning, en idé eller en tanke träda fram.

Slutligen, när eleverna upptäcker och förstår vad de symbolerna står för, kan de börja återgå till de lägre nivåerna, d.v.s. enskilda fall, och kontrollera genom konkreta försök (Bruner, 1966).

23

Bild 1.7. Interpretation av Bruners tre RF. Egen bild. Omarbetad bild av Mandics e .al. (u.å.) bild (finns i Mandic et al., u.å.)

På Bild 1,7 (Mandic, et al., u.å.) syns samband mellan olika komponenter. I tidiga åldrar tänker barnen i bilder och senare övergår det till den symboliska presentationen av begrepp. Således menas det inte att det finns olika stadier utan snarare en fråga om att tonvikten läggs på olika ting under utvecklingens gång. Mellanstadiet i de tre olika komponenterna, d.v.s. RF, kommer att benämnas i studien som övergångar, eller tvåvägsövergångar (Bild 1,7). Bruner (1966) benämner alla övergångar som går mot handling som aktion medan övergångar mot bilder betecknar han som ikonisering och övergångar till symboler som formalisering. Eleven uppskattar först den verkliga situationen och därefter introducerar de in i den ikoniska nivån. Samtidigt är det nödvändigt att kunna omvandla den ikoniska nivån till själva handlingen. Vidare formaliserar eleven den ikoniska situation till den symboliska situationen som sedan ikoniseras i motsatt riktning från den symboliska tillbaka till den ikoniska. Den sista nivån är övergången från den symboliska till den verkliga situationen och konkretiserar symboliken till verkligheten och dessutom formaliserar i motsats riktning. På Bild 1.7 syns det att det går att direkt formalisera från den verkliga situationen till den

symboliska och även gå i motsats riktning utan att först ikonisera. I vissa fall har eleven en välutvecklad symbolisk framställning och kan förbigå de tidigare stadierna. Dock riskerar eleven ett försämrat bildspråk och får problem med de första två stadierna. Det

24

kan leda till att eleven har svårigheter med problemlösningar. Den lägre formen av representation utgör grunden för det högre. Enlig Mandic, et al. (u.å.) är det särskilt viktigt att tillhandahålla tvåvägsövergångar av ikoniska och symboliska RF. Den ikoniska RF som ger upphov till addition (eller subtraktion) är särskilt lämplig för simultan uppfattning av olika alternativ som utförs sekventiellt i följd en efter en. Ikonisering kan ofta vara ett bättre val än att utföra specifika (konkreta) handlingar, eftersom aktion kan störa förståelse av helheten. Förståelse av helheten är grund till förståelsen av matematiska begrepp och regler. Vidare påpekar Mandic, et al. (2013) att det också är värt att skilja mellan språkformuleringar och representationer av

matematiska symboler inom den abstrakta symboliska nivån. Språket har flera mycket viktiga funktioner. Förutom att benämna (tilldela namn) matematiska begrepp, är språkets funktion även att bestämma innehållet i matematiska begrepp. Bruners

representationsteori om de aktiviteter där vi tillhandahåller rörelse i alla övergångar och i alla riktningar ligger till grund till vår matematiska verksamhet i förskolan och i tidig skolålder (Mandic, et al., 2013). På samma gång menar Bruner (1966) att det i

symbolsystemet finns regler som kan vända upp och ned på verkligheten. Därför är det viktigt att få ordning och struktur i den symboliska världen för att uppnå målet att göra tänkbara omkodningar. Bruner (1966, s. 23) skriver att ”ett föremål är vad man gör med det”. Barnens vana att bedöma saker och ting efter utseendet hindrar dem att använda symboliska kategorier när de ska ta itu med situationer. Således bör barnen lösa

problemet i huvudet innan, så att den symboliska framställningen träder fram innan den ikoniska uppfattningen kan monopolisera situationen. Vygotsky (1999) påpekar att tänkandet är en inre version av denna dialogkonst. Bruner (1966) säger att människans förmåga att utveckla sitt intellekt beror på hennes förmåga att utveckla och använda redskap eller instrument eller teknologier som gör det möjligt för henne att ge uttryck och öka sin kapacitet.

Presno (1997) som utgår från Bruner, påpekar att RF är effektiva när de håller både makt och ekonomi för eleven. Representationsekonomin möjliggör skapandet av en lakonisk bild av verkligheten, samtidigt som det upprätthåller noggrannhet. Hon anser att begreppen makt och ekonomi faktiskt är oskiljaktiga eftersom den mest kraftfulla representationen också är den mest ekonomiska. Dessa två begrepp är centrala för Bruners teori om undervisning, d.v.s. att det är lärarens uppgift att hjälpa eleverna att

25

hitta de mest ekonomiska och kraftfulla sätten att representera sin värld och i sin tur bli en självständig problemlösare (Ibid).

4.6.

Tillämpning av det teoretiska ramverket för

undersökningen

Meningen med denna studie är att undersöka hur barnen handskas med de

övergångarna/sekvenserna mellan verklig/handlingsbaserad (enaktiv) situation, ikonisk situation och symbolisk situation. När jag utformar uppgifter kommer jag att ta hänsyn till alla tvåvägsövergångar i varje RF (se Bild 1.7). Undervisningen består av en serie formuleringar och omformuleringar av ett problem eller samling av fakta som hjälper eleven att förstå samt omvandla och tillämpa det han/hon har lärt sig. Därför kommer jag att utforma testuppgifterna på så sätt att de följer en ordning där eleven redan är bekant med materialet. Meningen är att proven ska genomföras på slutet av vårterminen då att jag vill vara säker på att eleverna genomgått alla delmoment i kunskapskraven för respektive årskurs. Samtidigt kommer jag att diskutera provens innehåll med de aktuella lärarna på de berörda skolorna och min respondent. Avsikten är att resonera tillsammans med lärarna vilka uppgifter som kan vara aktuella för eleverna och vad de har arbetat med tidigare. Min huvudsakliga uppgift är att undersöka elevers förmåga att koppla samman det abstrakta och verkligheten. Avsikten är att undersöka hur de iakttar och skapar sig bilder av ting och företeelser och utför symboliska operationer. I studien kommer vikten läggas vid samband som dessa färdigheter står till och teknologier som har gjort att människorna har utformat tankegång på ett annat effektivt sätt. Samtidigt kommer jag vid utformningen av uppgifterna att ta hänsyn till de fyra viktiga elementen (Bruner 1971) såsom struktur, mognad, initiativ och motiv. Enligt Bruner (1966) är den symboliska formen ordentligt utvecklad vid 10 års ålder och därför kommer jag att ha ett större antal undersökningsdeltagarna från årskurs ett upp till årskurs fyra. Mer stöd hittar jag i Piagets (2013) utvecklingsstadier. I detta fall kommer jag att uppmärksamma det konkret-operationella stadiet. Piaget (2013) säger att i det konkret-operationella stadiet (7 år till 12 år) kan barnen tillämpa logiska resonemang, men deras tankar är fortfarande beroende av deras verkliga handlande med objekten. Han menar att barnen kan tillämpa logiska operationer.

26

De kritiska förhållningssätten mot Bruners och Piagets utvecklingsstadier kommer jag att bearbeta i diskussionen.

4.7.

Kritik mot Bruners RF

I detta avsnitt iakttas kritiska observationer av Bruners RF.

Enligt Kilpatrick, Swafford, och Findell (2001) kräver alla matematiska idéer RF. Deras användbarhet förbättras genom användning av flera RF. Samtidigt har de olika RF både för och nackdelar beroende på individ och sammanhang d.v.s. eleven måste kunna välja och växla mellan RF. Tallinjens särställning, tal i decimalform är betydelsefulla

representationsverktyg. Dock är det viktigt att eleverna även har erfarenheter i andra användbara interpretationer och tolkningar, vilka tillsammans med RF, blir

betydelsefulla beståndsdelar av en helhet. Även om RF hjälper eleverna att nå en djupare matematisk förståelse menar Schultz och Waters (2000) att många elever aldrig får möjligheten att bygga broar mellan olika RF. Gunnarsson (2009) anser att RF starkt bidrar till problemlösningsförmåga och ökad förståelse i matematik. Trots det kände hon en viss frustration över att eleverna i hennes studie inte kom längre fram i

utvecklingen. Hon tvekar och anser att undervisning med RF kan vara krävande. Hon är inte säker om problemens art har varit för grundläggande, men samtidigt tror hon att problemen inte får vara för avancerade i introduktionen av de olika RF, eftersom det är viktigt att eleverna förstår sambanden mellan de olika uttryckssätten (Gunnarsson, 2009). Presno (1997) påpekar att de tre RF uppträder successivt i utvecklingen och att det mest rimliga och logiska är att lära sig dessa former i samma ordning. Samtidigt erkände även Bruner att det kanske inte alltid är praktiskt eller möjligt att strukturera undervisningsmodellerna på det sätt att de följer ordningen. Till exempel kan en elev som har ett välutvecklat symboliskt system kunna kringgå de två första RF. Bruner varnade lärare om att elever ofta faller tillbaka till en bildstruktur, även om den abstrakta formen är greppad. Ändå förblev han flexibel med ordföljden av de tre RF med hänsyn till ämnets natur, elevutveckling, tidigare erfarenheter och andra

individuella skillnader som kan få en elev att föredra ett läge mer än det andra (Presno, 1997).

27

En överdriven användning och översättning mellan flera RF kan skapa problem för elever (Dündar, 2015). Med överdriven översättning menar författaren att lärare övergår mellan RF för ofta, även vid tillfällen då det inte behövs. Detta kan leda till att elever kan stöta på problemet på så sätt att de blandar ihop de olika RF samt att de har svårt att välja vilken RF som är lämplig att arbeta med. På samma sätt beskriver Superfine, Canty och Marshall (2009) att vissa elever ofta upplever svårigheter att observera likheterna mellan RF. Detta leder till att översättningen och förståelsen för sambanden mellan RF påverkas. Även om resultatet i studien tyder på att matematisk förståelse innebär samordning av olika RF indikerar det också på att denna samordning kan variera beroende på individuell kunskap om matematiska begrepp (d.v.s. objekt, egenskaper och relationer) och informationsstrukturen som är associerad till dessa begrepp. När eleverna har delkännedom om dessa begrepp och informationsstrukturer kan de bara stödja partiell översättning och därmed visa begränsad matematisk

förståelse (Canty & Marshall, 2009). Samtidigt påpekar Tomic (1996) att enligt Kingma har många pedagogiska experiment använt Bruners metod för att framkalla en konflikt mellan RF. I de flesta av dessa studier har forskare inte inkluderat en kontroll för att avgöra huruvida RF har påverkat inlärningen. Studierna har mest fokuserats på barnens förmåga att hitta framgångsrika lösningar på uppgifterna de har tränats i, d.v.s. att bestämma huruvida träningen har lyckats (Tomic, 1996). Dessutom, anser Tomic (1996) att dessa studier oftast använder olika kriterier för att bedöma överföringsproblemen i RF. Till exempel, vid lösning av ett bevarandeproblem ombeds eleven endast att

bedöma huruvida en viss aspekt förblir konstant efter att en formförändring har ägt rum. Det är mer sannolikt att sådana mätprocesser ger fler positiva resultat än när eleven ombeds att framföra korrekt och logiskt argument för sin utvärdering (Tomic, 1996). Gravemeijer och Terwel (2000) tar upp Freudenthals syn på pedagogiska processer. Freudenthals såg pedagogiska processer som diskontinuerliga: från rika, komplexa strukturer i vardagen till abstrakta strukturer med symboler och inte tvärtom. Enligt honom bör utgångspunkter hittas och situationer "organiseras", samt att kategorierna inte är fördefinierade utan utvecklas av elever och behöver anpassas efter deras behov.

28

5.

Metodval

Under detta avsnitt beskriver jag undersökningens val av metod, verktyg och ansats. Jag kommer att förklara genomförandet och beskriva hur jag kommer att förhålla mig till de etiska avvägningarna.

5.1. Kvantitativ metod

Med den kvantitativa metoden beskrivs, förklaras och bevisas samband. Det

generella/universella eftersöks. Forskaren utgår från frågor som går att få bevisade och mätbara resultat. Den kvantitativa metoden ger resultat i form av siffror, konkret

angivna mängder, tillfällen (när och hur ofta), svar som kön, ålder, och andra saker som är möjliga att räkna på d.v.s. faktorer som vi enkelt kan kvantifiera. Dessutom utvecklas kausalt förståelse för att därefter hitta orsaksförklaringar. Statistik används ofta som redovisningsredskap vilket syftar till att en så exakt sanning för händelsen som tas fram (Djurfeldt, Larsson & Stjärnhagen, 2010). Till kvantitativ metod hör exempelvis

experiment, prov, enkäter, frågeformulär med mera. Siffror och tal används (Backman, 2016).Det är viktigt att tänka igenom vissa saker såsom val av urvalsgrupp, vilka regler undersökningen ska innefatta, metod och vad som ska undersökas, d.v.s. variabel. Variabeln kan eventuellt få olika värden (Björkdahl Ordell 2007). Jag har valt att inte använda mig av kvalitativ metod, eftersom syftet med undersökningen inte är att förklara eller att få en framåtblickande uppfattning.

Metodologiska övervägningar kommer att behandlas i stycke 5.3.

5.2.

Reliabilitet och validitet

Begreppen reliabilitet och validitet beskriver exaktheten i undersökningarna och mätinstrumentet. Rudberg (1993) menar att ju fler olika slumpfaktorer som spelar in, desto lägre blir reliabiliteten och validiteten. Vidare säger han att det inte går att lita till fullo på undersökningen om det är ett lågt värde av reliabilitet och validitet.

5.2.1. Reliabilitet

Reliabilitet handlar om mätningens eller mätinstrumentets noggrannhet och frihet från slumpinflytande, d.v.s. huruvida undersökningen är tillförlitlig (Rudberg, 1993). Det är

29

ofta forskaren själv som konstruerar mätinstrumenten, vilket innebär att det finns en risk att dess tillförlitlighet blir låg (Ejvegård, 1996). Kravet på reliabilitet innebär att data och resultat ska vara tillförlitliga (Hartman, 2003). Reliabiliteten är hög om samma undersökning görs flera gånger och resultatet blir samma, eller nästan samma, varje gång. En god reliabilitet innebär att undersökningen och analysen skulle kunna

upprepas av en annan forskare som kan komma fram till samma slutsats (Rosengren & Arvidsson, 2002).

Data som jag använder mig av i min studie, diagnostiska prov, kan andra forskare utan svårigheter studera och lätt komma fram till samma slutsats när de följer mitt

resonemang och aktuella teorier i min studie. De bakomliggande teorierna har förklarats noggrant för att öka reliabiliteten. Tillvägagångssättet beskrivs detaljerat. Dock har jag använt uppgifter i provet som har hög reliabilitet och uppgifter som kan anses ha lägre och låg reliabilitet. Anledningen till detta är att de tillgängliga uppgifterna med hög reliabilitet inte kunde motsvara alla tvåvägsöverergångar i Bruners triadiska modell. För att höja reliabiliteten har jag utformat uppgifterna i samarbete med lärarrepresentanter på de aktuella skolorna samt har diskuterat upplägget av uppgifterna med min

respondent. Följaktigen anses reliabiliteten vara tillfredsställande i studien (Bilaga 9).

5.2.2. Validitet

Validitet innebär att undersökningens instrument mäter det som studien har för avsikt att mäta d.v.s. att studien undersöker det som avses att undersökas och ingenting annat (Rudberg, 1993). Forskningsmaterialet ska vara relevant för problemställningen både vad gäller avgränsning och djup (Hartman, 2003). Det handlar även om frånvaron av systematiska mätfel och hur väl teoretiska och empiriska begrepp är sammanbundna (Rosengren & Arvidsson, 2002). Validitet brukar delas upp i extern och intern validitet. Med det interna validitet menas hur projektets ingående delar läggs upp. Den externa validiteten handlar om projektet i helhet och hur väl det går att generalisera utifrån den specifika studien (Svenning, 2003).

Jag anser att jag har använt en lämplig metod för att kategorisera det material som undersökningen utgår från. För att kunna nå en hög validitet är det viktigt att

30

att den har gjort. Diagnostiska prov är utformade efter Bruners triadiska modell. Eftersom jag har bred och även konkret data menar jag att generaliserbarheten och den externa validiteten är tillfredsställande. Angående den interna validiteten har jag tydligt och regelmässigt lagt upp ingående delar med aktuella övergångar från Bruners

triadiska modellen. Detta innebär att den informationen jag använt mig av är valida och stärker således studiens validitet. För att öka validiteten har alla uppgifter i studien utformats med stöd och hjälp av lärarrepresentanter och är granskade av min respondent. I Bilaga 9 visas validering av alla uppgifter för samtliga elever. Tillvägagångssättet finns beskrivet, vilket borde bidra till en högre validitet.

För att öka reliabiliteten och validiteten i min studie har jag gjort en så kallad pilotstudie med diagnostiska prov med mina egna elever, dock utan att senare använda materialet i själva studien. Data i studien är relevant till undersökningsproblem och aktuella

frågeställningar (Rosengren & Arvidson, 2002).

5.3.

Metodologiska övervägningar

I studien väljer jag kvantitativ metod eftersom den syftar till att exakt fastställa orsaks- och verkanssamband, kausala anslutningar och sammanhang. Kraven är riktade till möjlighet att kontrollera fakta och orsakar för ett fenomen. Metoden uppmärksammas mer på resultat och förlitar sig till den statistiska verkligheten och strävar efter syntes, sammanställning, resultat, som härrör från omständigheterna att vetenskapen bygger på fakta och deras orsaker, dock är det bara första steget. Den kvantitativa aspekten anses vara meningslös om det inte är exakt bestämt vad talen hänvisar till (Djurfeldt, Larsson & Stjärnhagen, 2010). En kvantitativ studie innebär hög grad av standardisering, vilket kvalitativa studier inte eftersträvar. Kvantitativ forskning utgår mer ifrån forskarens perspektiv medan kvalitativ försöker se genom respondenternas ögon (Alvesson & Sköldberg, 2008).

Kvantitativ metod är lämplig för studien samt datainsamlingen (diagnostiska prov) och den metodiska ramen stämmer in i studiens ändamål. Med hjälp av resultaten på diagnostiska prov är det möjligt med statistisk analys att mäta direkt oberoende av människors tro och tolkningar. Forskaren kan inte påverka data från deltagaren och objektiv forskning utan värderingars inverkan anses därmed vara möjlig. Med statistisk

31

analys är analysenheterna variabler och analysen sker efter datainsamlingen. Eftersom det är viktigt i denna studie att se skillnader mellan grupper för att få en statistisk evidens för korrelation, är kvantitativ metod lämpligare än kvalitativ, samt att man får en deskriptiv statistik som är syftet med min studie (Statens beredning för medicinsk utvärdering, 2014, kapitel 8). Med kvantitativ metod kan frågorna såsom: Hur mycket? Hur många? Finns det en statistisk skillnad mellan…? Finns det en korrelation? Vilka är de starkaste predikoturerna för...? besvaras.

Det finns vissa brister med den kvantitativa metoden såsom att det är svårt att ha ett nära och direkt förhållande till det som studeras, eller att fördjupa sig i aktörernas egna verklighetsuppfattningar, motiv och tankesätt, samt att utgå från studieobjektens

perspektiv, som med kvalitativ analys. I den kvalitativa analysen används data snarare i form av ord än siffror. Ord är särskilt organiserade i händelser eller berättelser och resultat sammanfattas inte med siffror (Miles & Huberman, 1994). På grund av forskningskaraktären behöver jag en empirisk-analytisk metod med exakta mätningar för att kunna besvara studiens frågeställningar. Samtidigt studeras inte enbart en, eller några få miljöer, utan ett större antal deltagare, för att kunna fastställa kausala

anslutningar och sammanhang och upprätta ett orsakssamband. Kausalitet i sin enklaste form kan definieras som en relation mellan tillstånd eller mellan hela system. Dessa relationer kan närmast beskrivas som orsakssamband. I studien antas en vanlig och allmän definition av kausalitet, där kausaliteten innebär händelser som följer varandra och som är relaterade till varandra så att den ena orsakar den andra (Schaffer, 2016). Med detta menas att förståelse av RF och de aktuella övergångarna i Bruners triadiska modell påverkar varandra ömsesidigt samt påverkar matematisk förståelse och elevernas matematisering i helhet.

De internationella proven TIMSS och PISA är exempel på olika typer av

kartläggningar. I TIMSS används diagnostiska prov för att senare kunna beskriva och jämföra elevprestationer och att redovisa elevers erfarenheter av och attityder till matematik och naturvetenskap, både nationellt och internationellt. Kunskaper som ligger närmare kursplanerna mäts (Skolverket, 2017).

32

I PISA-kartläggningen utformas prov på så sätt att stor vikt läggs på elevernas förmåga att sätta kunskaper i ett sammanhang så att eleverna ska kunna förstå processer, tolka och reflektera över information samt lösa problem. PISA mäter kunskaper och förmågor som lär vara involverade i elevernas vardag och livslånga lärande (Skolverket, 2012). Fördelen med diagnostiska prov är även att de kan göras på ett stort urval som kan ge möjlighet att få en bredare översikt samt djupare och mer övergripande resultat. Nackdelen med diagnostiska prov kan vara att det endast ges en summativ bedömning, men inte formativ (Lindström & Lindberg, 2007). Med summativ bedömning menas en bedömning när undervisningen av ett moment är avslutat och har för syftet är att mäta vad eleverna lärt sig. Formativ bedömning är en bedömning läraren gör under själva undervisningsprocessen och har syftet att bedömningen ska vara ett stöd för både läraren och eleven för att på bästa sätt kunna gå vidare i lärandeprocessen. Elever och lärare diskuterar och värderar exempel på arbetsprestationer av olika kvalitet samt bedömningsexempel arbetas fram tillsammans med eleverna (Skolverket, 2014). Hindret med summativ bedömning är att läraren kan kontrollera vad eleven har gjort, men eleven får ingen återkoppling till vad han/hon ska göra för att komma vidare. Eleven får oftast inte en chans att ändra sitt resultat eftersom bedömningen är sammanfattad, d.v.s. avslutad. Å andra sidan får eleven ett stöd i sitt lärande med formativ bedömning (Jönsson, 2013). Samitidigt är meningen med studien att

sammanfatta elevernas resultat och se vad eleverna kan. Enligt Lindström och Lindberg (2007) mäter proven en viss uppnådd kunskap vid ett visst tillfälle. Ytterligare säger de att bedömning har som syfte att även diagnosticera och främja lärandet. På samma gång ska läraren se till elevens lärprocess och inte endast bedöma efter prov som bara kan visa en summativ bedömning. Därför kan diagnostiska prov inte i helheten undersöka vad eleverna verkligen har lärt sig. Lärarens förmåga att granska elevernas

kunskapsnivå på fler olika sätt är viktig och är även en utmaning. Lindström och Lindberg (2007) menar att en uppföljning av bedömningen är viktig för lärandet och en återkoppling. På samma gång säger de att de proven har en summativ effekt och det är svårt att anpassa en provform till formativ bedömning (Lindström och Lindberg 2007). Enligt Skolverket (2009) ska provet: vara ett stöd för lärarens bedömning av elevers måluppfyllelse och pröva hur väl den enskilde eleven har uppnått målen; ge underlag

33

för en kunskapsprofil i syfte att stödja kunskapsutvecklingen mot målen; kunna användas i uppföljande och utvärderande syfte på olika nivåer; kunna infogas på ett naturligt sätt i undervisningen; bestå av uppgifter som känns bekanta för eleverna; i fråga om format, innehåll och tidsåtgång ta hänsyn till elevernas ålder och varierande utveckling.

Proven i studien består av sex olika uppgifter som är anpassade till varje övergång (Bild 1.7) och varje årskurs. Från början gjorde jag prov med tre uppgifter till varje övergång. Det var sammanlagt 18 uppgifter. Sannolikheten att få fel mätdata var stor. För det första var lärarna motvilliga att ställa upp när de såg så omfattande prov. De lärare som accepterade och såg till att eleverna gjorde uppgifterna fick göra proven vid fler olika tillfällen. Somliga elever orkade inte och var för trötta att lösa uppgifterna. Även rent praktiska orsaker, såsom elevernas frånvaro, lärarnas planering m.m., påverkade insamling av data och jag fick ofullständiga prov, där många elever inte klarade mer än hälften av uppgifterna. Data som jag fick hade jag inte någon nytta av, det var för få antal elever som hann arbeta med alla uppgifter och jag var inte säker på om eleverna gjorde sitt bästa på grund av de ovan nämnda orsakerna. Även om jag kunde få mer genomgripande resultat med fler uppgifter, har jag valt att göra prov med sex uppgifter, en uppgift för varje övergång. På så sätt kunde jag, även rent praktiskt, få mer

tillförlitlig data.

När jag konstruerade proven har jag försökt göra likvärdiga uppgifter till varje övergång och till varje årskurs. På samma gång är jag medveten om att det är väldigt svårt att konstruera uppgifter som skulle vara likvärdiga till 100 % i alla övergångar och alla årskurser. Även om utgångspunkten är att uppgifterna inte är till 100 % likvärdiga, anser jag, att avvikelser inte kommer att vara så betydelsefulla och påverka resultatet avsevärt. Samtidigt är uppgifterna korta, tydliga och lätta att förstå. Det behövdes inte mycket för eleverna att förstå uppgifterna och det krävdes inte instruktioner från lärarna. Enbart i uppgift ett för årkurs två instruerade läraren eleverna, samt i uppgift sex för årkurs tre använde eleverna sig av manipulerade modeller som de gjorde i förväg, enligt lärarens instruktion (Bilaga 9). Följaktligen var vissa elever klara på 15 minuter, medan de andra i stort sätt bara behövde ett lektionstillfälle. På så sätt kunde jag få tillförlitlig data som jag kunde analysera vidare och även få ett större antal elever som gjorde

34

uppgifterna. I början av undersökningen hade jag även tänkt undersöka ett

genusperspektiv. På grund av att studien var för omfattande och stor, valde jag att ta bort det.

5.4. Genomförande

I detta avsnitt beskrivs undersökningsgrupp, uppgifter i studien, den didaktiska modellen, etiska överväganden samt metod, datainsamling och processen.

5.4.1. Undersökningsgrupp

Enligt Bruner (1966) är den symboliska formen ordentligt utvecklad vid tio års ålder. Samtidigt kommer jag att ta hänsyn till barns kognitiva utveckling och den konkret-operationella fasen enligt Piaget (1973). Därför kommer jag att ha

undersökningsdeltagare från årskurs ett upp till årskurs fyra.

5.4.2. Uppgifterna i studien, den didaktiska modellen

Uppgifterna har konstruerats för att kunna undersöka tvåvägsövergångarna i Mandics, et al. (u.å., Bild 1.7.) triadiska modellen. För att kunna genomföra denna studie har jag därför använt redan befintligt material samt konstruerat somliga uppgifter själv. Enligt Marjanović (2002) kan själva ikonerna vara bilder som visar begreppet på olika nivåer av abstraktion. Han menar att ikoner kan ha en tvåfaldig betydelse, d.v.s. att de kan representera konkret, fysisk, handlingsbar situation och även mentala bilder/situationer. I studien betecknas bilder som representerar konkret/fysisk situation som

konkreta/handlingsbara situationer, medan mentala bilder representerar ikoniska situationer.

För att utforma proven på ett lämpligt sätt har lärarna på de aktuella skolorna tillfrågats om hjälp. På varje skola fanns en eller två lärare som var representanter för arbetslaget. Med ett visst stöd och hjälp från de lärarrepresentanterna har samtliga prov utformats. Lärarrepresentanter har granskat fler olika uppgifter till varje övergång som de fick i förfogande av mig. Därefter har vi diskuterat var och en uppgift, såsom vilken uppgift som skulle passa bäst till de aktuella övergångarna i förhållande till elevernas

förkunskaper, om uppgifterna var bekanta för eleverna, om uppgifternas svårighetsgrad m.m. (Bilaga 9). Lärarna har fått insikt i studiens teoretiska utgångspunkt i förväg.