Tillämpad Matematik III Övning ODE

5 10 15 20 25

20 10 10 20

Tillämpad Matematik III Övning ODE

Allmänt

Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.

Uppgifter

Typuppgifter i första hand Läsvecka 1

1. Verifiera allmänna lösningen a) 1 x y' y y C1 x 1 b) y'' y 0 y C1 t C2 t

c) 2 y' y x 1 y C1

1

2x x 3 d) y' _{1 xy}^y2 ln y xy C1 e) 2x y² 2xyy' 0 x² xy² C1

Lösningsförslag: Derivera allmänna lösningen, sätt in i (ODE).

a) Derivera y C1x 1 y' C1 1 x y' 1 x C1 y, vilket är (ODE).

b) y' C1 t C2 t y'' C1 t C2 t y'' y C1 t C2 t C1 t C2 t 0, vilket är (ODE).

c) y' ¹₂C1

1

2x 1 2 y' y 2 ¹₂C1

1

2x 1 C1

1

2x x 3 x 1, vilket är (ODE).

d) Derivera implicit ln y xy C1 y'

y y xy' y' y² xyy' 1 xy y' y², vilket är (ODE).

e) Derivera implicit x² xy² C1 2x y² x 2yy' 0, vilket är (ODE).

2. Visa att y ¹₄x⁴ 2cos x 1 är en partikulärlösning till BVP y' x³ 2sin x ODE

y 0 3 BV .

Lösningsförslag: Först y 0 ¹₄0⁴ 2cos 0 1 0 2 1 3, sedan y' x³ 2sin x , vilket är (ODE).

3. Visa att y 2 ^13x3 är en partikulärlösning till BVP y' x²y ODE y 0 2 BV .

Lösningsförslag: Först y 0 2 ⁰ 2, sedan med kedjeregeln y' 2 ^13x31₃3x² x²y, vilket är (ODE).

4. Integrera direkt a) y' 3x² 6x 5 b) y' 5x^{2 4}_x c) y' 4 ^x d) y' 1 2x² e) y' _{tan x}¹ f) x g Lösningsförslag: a) y x³ 3x² 5x C1 b) y ⁵₃x³ 4ln x C1 c) y 4 ^x C1 d) y ¹₆ 1 2x³ C1 e) y ln sin x C1 f) x ¹₂gt² C1t C2

5. Integrera direkt (BVP) a) y' x² 5 ODE

y 0 2 BV b) y' x² _x⁵₂ ODE

y 1 1 BV c) y' 3 2x³ ODE

y 1 2 BV

d) y' 4 ^{x 2x} ODE

y 0 3 BV e) x 2t sin t ODE

x 0 1 BV f) x tan t ODE

x 0 2 BV

Lösningsförslag: a) y ¹₃x³ 5x 2 b) y ¹₃x^{3 11}₃ ⁵_x c) y ¹⁷₈ ¹₈ 3 2x⁴ d) y ¹⁵₂ 4 ^{x 1}₂ ^2x e) x t² cos t 2 f) x 2 ln cos t

6. Separabla a) y' ^x_y b) y' ^x_y c) y' ^y_x d) y' 2x xy e) y' 2x x² 0 f) yy' x y'

Lösningsförslag: a) x² y² C1 b) x² y² C1 c) y C1x eller y 0 d) y 2 C1

1

2x² e) y x^{2 1}₃x³ C1

f) y² 2 y x² C1

7. Separabla a) y' _{1 y}^{2 x} b) y' 1 x 1 y c) y' _y^{x 1}_{4 1} d) xy' y² 1 e) y²x^{3 2}_y' f) y' ^{1 y}_{2 x}

Lösningsförslag: a) ¹₂y² y x² C1 b) ln 1 y ¹₂x² x C1 c) ¹₅y⁵ y ¹₂x² x C1 d) arctan y ln x C1 e) y C1 3

x²

1

3 f) y C12 x 1

Läsvecka 2

8. Separabla a) x²y x²y' y²x y² b) xyy' ^x_{1 y}^{2 1} c) xy' y xy d) yy' tan x _cos^{4 y}₂²_x e) xy'cos y sin y 0 f) y' ^{x x y}

Lösningsförslag: a) ln y ¹_y ln x ¹_x C1 eller y 0 b) ¹₃y³ ₂¹y^{2 1}₂x² ln x C1 c) y C1x ^xeller y 0 d) y² C1tan²x 4 e) sin y ^C_x¹eller y 0 f) ln 1 ^{y x} C1

9. Linjära a) y' 5 y ^x b) y' 3 y 0 c) xy' 5 y xy d) xy' 5 y x² e) y' 2x xy f) sin x y' cos x y ¹₂cos 2x Lösningsförslag: a) y ¹₆ ^x C1 5x b) y C1 3xeller y 0 c) y C1x^{5 x}eller y 0 d) y ¹₃x² C1x⁵

e) y 2 C1

1

2x² f) y ¹₂cos x _{sin x}^C1

10. Linjära a) y'x y x³ b) 1 x y' y 1 x² c) xy' 5 y x⁷ d) y' 2 y ^5x e) 1 x²y' xy 1 x² f) y' y tan x sin x

Lösningsförslag: a) xy ¹₄x⁴ C1 b) y ¹₃ 1 x² _{1 x}^C1 c) y ¹₂x⁷ C1x⁵ d) y ¹₃ ^5x C1 2x

e) y ^{x C1}

1 x² f) y cos x C1 ln cos x

11. Blandat a) y'x 1 1 y' b) y' xy x c) y' ¹_xy ¹

x² d) x y 3 y' 4 y e) xy' y x³ 3x² 2x f) y' _x²₂y 0

Lösningsförslag: a) y 2ln 1 x C1 b) y 1 C1

1

2x² c) y ^C_x^{1 ln x}_x d) x⁴y³ C1 y

e) 2 y x³ 6x² 4xln x C1x f) y C1

2 x

12. Blandat a) y' 2 y ^3x b) y' tan y tan x tan y c) y' 7 y ^x d) x³ 1 y²y' 0 e) y' ²_xy ²₃x⁴ f) y' _{10 2x}² y 4

Lösningsförslag: a) y ₅^{1 3x} C1 2x b) y arcsin_{cos x}^{C1 x} eller y nΠ c) y C1 7x 1 6 x

d) 3 x⁴ 4 1 y³ C1 e) ²₉x⁵ C1x² f) y ^2x2_{x 5}^{20x C1}

13. (BVP) a) y' xy x ODE

y 0 3 BV b) y' _{y cos y}^4x2 ODE

y 1 Π BV c) x _{2x 2}^{2t 1} ODE

x 0 1 BV

Lösningsförslag: a) y 1 4 ^12x2 b) 3y² 6sin y 8x³ 3Π² 8 c) 1 x² t² t 4

Läsvecka 3

14. Lös (ODE) a) y'' 4 y' 3 y 0 b) y'' 4 y' 4 y 0 c) y'' 4 y' 5 y 0

Lösningsförslag: a) y C1 x C2 3x b) y C1 C2x ^2x c) y ^2x C1cos x C2sin x

15. Lös (ODE) a) y'' 4 y' 5 y x b) y'' 4 y' 5 y x² c) y'' 4 y' 4 y sin x d) y'' 2 y' y ^x Lösningsförslag: a) y ₂₅^{4 x}₅ ^2xC1cos x C2sin x b) y ₁₂₅²² ₂₅⁸x ¹₅x^{2 2x} C1cos x C2sin x c) y C1 C2x ^2x ₂₅¹ 4cos x 3sin x d) y ¹₂ ^xx² C1x C2

16. Lös (BVP) med (BV) y 0 1

y' 0 0 a) y'' 2 y' 5 y x b) y'' 2 y' 3 y x²

Lösningsförslag: a) y ₂₅¹ 5x 2 ^x27cos 2x 11sin 2x b) y ₁₀₈¹  36x² 48x 56 29 ^3x 135 ^x

17. Lös (BVP) med (BV) y 0 0

y' 0 1 a) y'' 2 y' 3 y 1 x b) y'' 2 y' y 1 c) y'' 2 y' 5 y ^x Lösningsförslag: a) y ₃₆¹ 4 3x 5 7 ^3x 27 ^x b) y 1 ^x c) y ¹₈ ^x cos 2x 3sin 2x ¹₈ ^x

18. Bestäm a och b så att ax bx x cos₄^t får partikulärlösningen a) 5sin₄^t b) a cos₄^t. Lösningsförslag: a) a 16, b ⁴₅ b) a 8 4 3 , b 0

19. Bestäm x x samt x t då a 0 och a) x ax b) x ax c) x ax²

Lösningsförslag: a) x² ax² C1

x C1 a t C2 a t b) x C1 ax eller x 0

x C1 C2 at c) x C1 ax eller x 0 x ¹_aln at C1 C2

Läsvecka 4-5

20.För tillväxten av skogsmöss m t i Storskogen har man funnit modellen

BVP m' t 0.4m t ODE

m 0 100 BV

a Lös BVP . b Bestäm m 5 .

c Rita m t , t 0, 10 , i grått med Plot. Pynta axlarna.

Lösningsförslag: a) Både separabel och homogen linjär differentialekvation av första ordningen m' t 0.4m t 0 med lösningen m t C1 0.4t. Konstanten C1 fixeras av (BV) m 0 100 : 100 C1 0 C1 100.

möss DSolve m ' t 0.4 m t , m 0 100 , m t , t

m t 100. ^{0.4 t}

b) Så äntligen svaret på frågan, m 5 100 ^{0.4 5} 739 st.

möss . t 5 m 5 738.906

c) Så här ser tillökningen ut. Typexempel på exponentiell tillväxt.

Plot m t . möss, t, 0, 10 , PlotStyle Gray, AxesLabel "t", "m t "

2 4 6 8 10 t

1000 2000 3000 4000 5000 m t

21.Den klotformade magen på en snögubbe smälter så att hastigheten av volymändringen är proportionell mot dess area. Man observerade att diametern var 50 cm från början och att den efter 72 timmar var 40 cm.

a Formulera och lös BVP som bestämmer diametern d t . b När har snögubbens mage smält bort?

Lösningsförslag: a) Vi har magens volym V k1d³ och area A k2d². Enligt uppgift gäller att ^V_t k3A. Med kedjeregeln har vi då

V

t k3A^KR _dk1d³ ^d_t k3k2d² 3k1d^{2 d}_t k3k2d^{2 d}_t k, så vi har begynnelsevärdesproblemet

BVP

d

t k ODE

d 0 50 BV

d 72 40 RV

med lösningen till ODE BV

dAvt DSolve d ' t k, d 0 50 , d t , t First d t k t 50

Randvillkoret d 72 40 fixerar k.

kVärde Solve d t 40 . dAvt . t 72 First

k 5

36^

b) Och slutligen livslängden i timmar.

Solve d t 0 . dAvt . kVärde t 360

Å en titt på bantningen över tid.

Plot d t . dAvt . kVärde, t, 0, 360 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t h ", "d t cm "

50 100 150 200 250 300 350 t h 10

20 30 40 50 d t cm

22.En iskub som glömts på stranden smälter så att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot dess area. Antag att sidan var 3 cm från början och att den smält till 2 cm på 5 min.

a Formulera och lös BVP som bestämmer sidan s t . b Hur länge dröjer det innan den har smält bort?

Lösningsförslag: a) Enligt uppgift har vi ^V_t kA. Med sidan s får vi då ^V_t kA^{KR V}_s ^s_t kA _ss³ ^s_t k6s² 3s^{2 s}_t k6s^{2 s}_t k, med omdöpning av k. Varav s kt m. Begynnelsevärde och randvillkor ger sedan

3 k 0 m

2 k 5 m k ¹₅och m 3.

Slutligen svaret på den brännande frågan: 0 ¹₅t 3 t 15 min. Eller sAvt DSolve s ' t k, s 0 3 , s t , t First

s t k t 3

Randvärde (RV) bestämmer k

kVärde Solve s t 2 . sAvt . t 5 First

k 1 5^

som sedan opereras in i s t om vi verkligen vill få s t . sAvt sAvt . kVärde

s t 3 t 5^ b) Slutligen smälttiden

Solve s t 0 . sAvt First t 15

23.En bakteriekultur dubbleras på 30 min. Antag att tillväxten vid varje tidpunkt är proportionell mot antalet bakterier.

a Formulera och lös BVP som bestämmer antalet bakterier b t . b Hur lång tid tar det innan bakteriekulturen har tiodubblats?

Lösningsförslag: a) Efter översättning av texten har vi b' t kb t . Lägg till BV b 0 B.

bAvt DSolve b ' t k b t , b 0 B , b t , t First

b t B ^{k t}

Kravet på dubblering fixerar proportionalitetskonstanten k ekv b t 2 B . bAvt . t 30

B ^{30 k} 2 B

kVärde Solve ekv, k, Reals First

k log 2 30 ^

b) Slutligen tiden i minuter till tiodubbling ekv b t 10 B . bAvt . kVärde B 2^{t 30} 10 B

t10 Solve ekv, t, Reals First N

t 30 log 2 log 5

log 2 ^

t 99.6578

24.Den radioaktiva isotopen Thorium 234 sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot kvarvarande mängd. Antag att 200 g reduceras till 164 g på 7 dagar.

a Formulera och lös BVP som bestämmer mängden m t . b Vilken halveringstid har isotopen?

c Hur lång tid tar det tills det finns endast₁₀₀₀¹ kvar av den ursprungliga mängden?

Lösningsförslag: a) Efter översättning av texten har vi m' t km t med (BV) m 0 200.

mAvt DSolve m ' t k m t , m 0 200 , m t , t First

m t 200 ^{k t}

Randvillkoret m 7 164 fixerar proportionalitetskonstanten k

kVärde Solve m t 164 . mAvt . t 7, k, Reals First

k 1

7 log 2 2 log 5 log 41 

Slutligen m t

mAvt mAvt . kVärde

m t 200 ¹⁷t  log 2 2 log 5 log 41 

Plot m t . mAvt, t, 0, 100 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t dagar ", "m t g "

20 40 60 80 100t dagar 50

100 150 200

m t g

b) Halveringstid Τ bestäms som namnet antyder av mΤ ¹₂m 0

Solvem t 1

2 200 . mAvt . t Τ, Τ, Reals

N

Τ 7 log 2

log 2 2 log 5 log 41 ^

Τ 24.4495

c) Tid till ₁₀₀₀¹ kvar, det vill säga lös m t ₁₀₀₀¹ m 0

Solvem t 1

1000

200 . mAvt, t, Reals Simplify N

t 21 log 10 log⁵⁰₄₁ 

t 243.659

25.Kaffet i en kopp har temperaturen 90 C. Temperaturen sjunker från 90 C till 75 C på 5 min då rumstemperaturen är 20 C. Antag att Newtons avsvalningslag gäller.

a Formulera och lös BVP som bestämmer temperaturen T t . b Vad är temperaturen efter 15 min?

c Hur lång tid tar det tills kaffet är 50 C?

Lösningsförslag: a) Newtons avsvalningslag med (BV) T 0 90.

TAvt DSolve T ' t k 20 T t , T 0 90 , T t , t First Simplify

T t 70 ^{k t} 20

Randvärdet T 5 75 fixerar nu k

ekv T t 75 . TAvt . t 5 70 ^{5 k} 20 75

kVärde Solve ekv, k, Reals Simplify

k 1 5log 14

11 ^

b) Temperaturen efter 15 min?

TAvt . kVärde . t 15 N

T 15 20 70 3 log 2 log 7 log 11 

T 15. 53.9541

c) När är temperaturen 50 C?

Solve T t 50 . TAvt . kVärde N

t 5 log 6 log 14 log 11 log 14 ^

t 17.567

Slutligen en liten bild över spektaklet. Som väntat antar kaffet rumstemperatur så småningom.

Plot T t . TAvt . kVärde, 20 , t, 0, 100 , PlotRange 0, 100 ,

PlotStyle Brown, Orange, Dashed , AxesLabel "t min ", "T t C "

0 20 40 60 80 100t min 20

40 60 80 100

T t C

26.Ett järn placeras för avsvalning under rinnande vatten med temperaturen 10 C. Efter 15 s var temperaturen i järnet 120 C och 90 C efter 25 s. Antag att Newtons avsvalningslag gäller.

a Formulera och lös BVP som bestämmer temperaturen T t . b Hur varmt var järnet då avsvalningen inleddes?

Lösningsförslag: a) Newtons avsvalningslag med RV T 15 120.

TAvt DSolve T ' t k 10 T t , T 15 120 , T t , t First Simplify

T t 110 ^{k t 15} 10

Randvärdet T 25 90 fixerar nu k

ekv T t 90 . TAvt . t 25 110 ^{10 k} 10 90

kVärde Solve ekv, k, Reals N

k 1

10 log 11 3 log 2 

k 0.0318454

Avsvalningen över tiden ner till vattentemperaturen 10 C.

Plot T t . TAvt . kVärde, 10 , t, 0, 200 , PlotRange 0, 200 ,

PlotStyle Red, Blue, Dashed , AxesLabel "t min ", "T t C "

0 50 100 150 200t min 50

100 150 200 T t C

b) Slutligen temperaturen lite mera precist vid t 0

TAvt . kVärde . t 0 Simplify N

T 0 10

605 ¹¹₂

8 ^

T 0. 187.356

Här kan det vara lämpligt att nämna ett litet trick Om vi även låter k vara en funktion av tiden, det vill säga k t med vetskap om att den faktiskt är konstant k ' t 0 kan vi lösa ett system av differentialekvationer istället. Detta ger oss möjlighet att ta med randvillkoret T 25 90 direkt. Kom ihåg att vi kan bara sätta lika många BV RV som vi har totalt antal derivator. Nu har vi ju två, T ' t och k ' t .

TÅk DSolve T ' t k t 10 T t , k ' t 0, T 15 120, T 25 90 , T t , k t , t

k t Π log ¹⁰11

2^{3 10} , T t 5 16

t Π log¹⁰¹¹

23 10 121 22 32 ^{t Π log}

1011 23 10 ,

k t log ¹⁰11

2^{3 10} , T t 5 11^{t 10}121 2^{3 t 10} 11 16 2 11^{t 10}

8 2 ^,

k t log ⁵ 1 ¹⁰11

2^{3 10} , T t 1

8 2 5 11 ^{t 10} ⁵ 1

t 121 2^{3 t 10} 11 16 2 11^{t 10} ⁵ 1  t

,

k t log ⁵ 1 ¹⁰11

2^{3 10} , T t 1

8 2 5 1 ^{t 5}11^{t 10} 121 2^{3 t 10} 11 16 1^{t 5} 2 11^{t 10},

k t log 1^{2 510}11

2^{3 10} , T t 1

8 2 5 11 ^{t 10} 1^{2 5} ^t 121 2^{3 t 10} 11 16 2 11^{t 10} 1^{2 5}^t,

k t log 1^{2 510}11

2^{3 10} , T t 1

8 2 5 1 ^{2 t 5}11 ^{t 10}121 2^{3 t 10} 11 16 1^{2 t 5} 2 11^{t 10},

k t log 1^{3 510}11

2^{3 10} , T t 1

8 2 5 11 ^{t 10} 1^{3 5} ^t121 2^{3 t 10} 11 16 2 11^{t 10} 1^{3 5}^t,

k t log 1^{3 510}11

2^{3 10} , T t 1

8 2 5 1 ^{3 t 5}11 ^{t 10} 121 2^{3 t 10} 11 16 1^{3 t 5} 2 11^{t 10},

k t log 1^{4 510}11

2^{3 10} , T t 1

8 2 5 11 ^{t 10} 1^{4 5} ^t 121 2^{3 t 10} 11 16 2 11^{t 10} 1^{4 5}^t,

k t log 1^{4 510}11

2^{3 10} , T t 1

8 2 5 1 ^{4 t 5}11 ^{t 10}121 2^{3 t 10} 11 16 1^{4 t 5} 2 11^{t 10}

Många lösningar blir det Det blir inte alltid så här. Vi är dock bara intresserade av de(n) reella TÅk SelectTÅk, Im k t . 0 & FullSimplify

k t 1 10log 11

8 , T t 5 2^{3 t10 72} 11^{52 10t} 10

Ok, slutligen livet vid t 0 TÅk . t 0

N

k 0 1 10log 11

8 , T 0 10

605 ¹¹₂

8 ^

k 0. 0.0318454, T 0. 187.356

27.Blod som medför ett ämne strömmar med flödet 3 cm³ s genom ett organ med volymen 125 cm³. Antag perfekt omrörning i organet, och att ämnets koncentration i det inkommande blodet är 0.4 g cm³. a Formulera och lös BVP som bestämmer koncentrationen c t i organet om koncentrationen var 0.1 g cm³från början.

b När når koncentrationen i organet 0.2 g cm³?

Lösningsförslag: a) Typiskt blandningsproblem. Med kända beteckningar har vi (BVP)

t V c cinqin cutqut

c 0 c0 perfekt omrörning cut c

V konstant 125, q_in qut 3, c_in 0.4 125 ^c_t 3 0.4 c c 0 0.1 och dess lösning

cAvt DSolve 125 c ' t 3 0.4 c t ,

c 0 0.1 , c t , t First Simplify

c t 0.4 0.3 ^{0.024 t}

b) När är koncentrationen 0.2 g cm³? Solve c t 0.2 . cAvt

t 16.8944

Å så här ser skådespelet ut under de första sekunderna.

Plot c t . cAvt, 0.4 , t, 0, 200 , PlotRange 0, 0.4 , PlotStyle Red, Cyan, Dashed , PlotRange All, AxesLabel "t s ", "c t g cm³ "

0 50 100 150 200t s 0.1

0.2 0.3 0.4 c t g cm³

Vi ser både i den analytiska lösningen och i figuren ovan att ämnets koncentration i organet efter lång tid närmar sig den inkom- mande. Verkar ju rimligt.

28.En sjö har volymen 10⁵m³. Från en å rinner det in rent vatten med flödet 2 m³h. Vid en tidpunkt uppmättes koncentrationen kvicksilver i sjön till 4 mg m³. Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volym är konstant över tiden.

a Formulera och lös BVP som bestämmer koncentrationen kvicksilver c t efter uppmätningen.

b Hur länge dröjer det innan koncentrationen har sjunkit till hälften?

Lösningsförslag: a) Typiskt blandningsproblem. Med kända beteckningar har vi (BVP)

t V c cinqin cutqut

c 0 c0 perfekt omrörning c_ut c

V konstant 10⁵, q_in qut 2, c_in 0 10^{5 c}_t 2 0 c c 0 4

Denna kan lösas antingen som linjär eller separabel. Vi börjar känna igen att det är "samma" (ODE) antingen vi har blandningsprob- lem, Newtons avsvalningslag, radioaktivt sönderfall Matematik är användbart!

cAvt DSolve10⁵c ' t 2 0 c t ,

c 0 4, c t , t First Simplify

c t 4 ^{t 50 000}

b) Halveringstiden.

Solve c t 2 . cAvt, t, Reals t 50 000 log 2

Å så här ser skådespelet ut under de tjugo första åren

PlotEvaluate c t . cAvt . t 365 24 t , t, 0, 20 , PlotStyle Brown, PlotRange All, AxesLabel "t år ", "c t mg m³ "

5 10 15 20 t år 1

2 3 4 c t mg m³

Vi ser både i den analytiska lösningen och i figuren ovan att föroreningen i sjön efter lång tid närmar sig den i inloppet. Verkar ju rimligt.

29.En sjö har volymen 10³m³. Från en å rinner det in rent vatten med flödet 2 m³ h och från en annan å med flödet 3 m³h vatten förorenat med kvicksilver 10 mg m³. Låt sjön vara helt ren från början. Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volym är konstant över tiden. Låt Pb t mg m³vara mängden kvicksilver i sjön vid tiden t.

a Rita för hand en bild över situationen med sjö och åar vid godtycklig tidpunkt t.

b Formulera med hjälp ava BVP som bestämmer Pb t mg m³. c Lös BVP med DSolve.

d Rita Pb t , t 0, 1000 h i brunt med Plot. Pynta axlarna med lämplig text.

e Sök Pb t efter lång tid.

f När är koncentrationen Pb t lika med 3 mg m³i sjön? Använd NSolve.

Lösningsförslag: Typiskt blandningsproblem. Vi får direkt a)

Pb_in1t 0 mg m³ q_in1 2 m³h

Pb_in2t 10 mg m³ q_in2 3 m³h

Sjö 10³m³

Pb t ^{Pbutt Pb t mg m3} pga perfekt omrörning qut 2 3 m³h

Vid varje tidpunkt t måste under kommande lilla tidsperiod t "ökningen av mg i sjön = mg_in - mg_ut" på grund av massans oförstörbarhet. Så med dimensionsanalys har vi direkt b) till c).

PbAvt DSolveD10³Pb t , t 2 0 3 10 2 3 Pb t , Pb 0 0, Pb t , t First Simplify

Pb t 6 6 ^{t 200}

En reseberättelse i d).

PlotPb t . PbAvt, t, 0, 1000 , PlotStyle Brown, AxesLabel "t h ", "Pb t mg m³ "

200 400 600 800 1000t h 1

2 3 4 5 6 Pb t mg m³

e) Pb t efter lång tid.

PbAvt . t

Pb 6

f) Restid till 3 mg m³.

NSolve Pb t 3 . PbAvt, t, Reals t 138.629

30.En tank i form av en stående cylinder är helt fylld med vatten. Så öppnas en kran i botten så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot kvadratroten ur vattendjupet , Torricellis lag.

a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet h t .

b Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till hälften?

Lösningsförslag: a-b) Vi har enligt uppgift _dt^dΠR²h Ak h om R är tankens radie och A är kranrörets area, det vill säga ΠR²h' t Ak h t h' t ^Ak

ΠR² h t h' t k h t . Denna är separabel som vi exempelvis löser för hand med bestämd integral. Antag att tanken har höjden H så har vi att h 0 H och h T ^H₂. Detta fixerar integrationsgränserna och bestämmer C1

och k. Tömningstiden Τ får vi slutligen genom en repris med integrationsgränserna hämtade ur h 0 H och hΤ 0.

ekv 

H H 2 1

h

h 

0 T

k t, 

H 0 1

h

h 

0 Τ

k t

 2 2 H k T, 2 H kΤ

ΤÅk Solve ekv, k, Τ Simplify First

k ^ 2 2 H

T ,Τ 2 2T

Naturligtvis går det lika bra att använda vår kära vän...

hAvt DSolveh ' t k h t , h 0 H, h t , t

h t 1

4^ 4 H k t 4 H k²t²,h t 1

4^4 H k t 4 H k²t²

Här gäller den andra lösningen eftersom k 0 enligt modellen så att h t 0. Så slutligen både k och tömningstiden

ΤÅk Solveh t H 2

, 0 . hAvt 2 . t T, Τ , k, Τ  FullSimplify

k ^ 2 2 H

T ,Τ 2 2T,k ^2 2 H

T ,Τ  2 2T

Här gäller första lösningen, eftersom Τ T.

b) Förloppet över tid.

Ploth t H

. hAvt 2 . t u Τ . ΤÅk 1 , u, 0, 1 , PlotStyle Blue, PlotRange All,

Ticks JoinRange 0, 1, 0.2 , T Τ

. ΤÅk 1 , "T Τ",

Join Range 0, 1, 0.2 , 0.5, "1 2" , AxesLabel "t Τ", "h t H" ,

Epilog Red, Dashed, Line

0 0.5

T Τ 0.5

T

Τ 0

. ΤÅk 1 

0.2TΤ 0.4 0.6 0.8 1. ^tΤ 0.2

0.4 0.6 0.8 1.

1 2 h t H

31.En tank i form av en rak cirkulär kon med spetsen vänd nedåt är helt fylld med vatten.

En kran i spetsen öppnas så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot vattendjupet.Ledning:Vkon 1

3Πr²h.

a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet h t .

b Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till halva höjden?

Lösningsförslag: a-b) De två första meningarna ger oss modellen _dt^d¹₃Πr²h Akh, där h är vattendjupet, r är vattenytans radie, A kranrörets area och k proportionalitetskonstanten. Men om konen har toppradien R och höjden H ger likformiga trianglar att _R^r _H^h, så _dt^d¹₃Π_H^R h²h Akh _dt^d¹₃Π_H^R²h³ Akh Π_H^R²h t²h' t Akh t h t h' t K. Denna är separabel med

BV h 0 H och RV h T ^H₂. Detta bestämmer K och tömningstiden Τ

ekv 

H H 2

h h 

0 T

K t, 

H 0

h h 

0 Τ

K t

 3 H²

8 K T, H² 2 KΤ

Solve ekv, K, Τ

K 3 H² 8 T ,Τ 4 T

3 ^

a-b) brutal version som går direkt på "urmodellen" och bestämmer såväl h t som "ursprungligt" k.

hÅk DSolveD1 3

Π R H

h t

2

h t , t A k t h t ,

k ' t 0, h 0 H, h T H 2

, h t , k t , t

k t 3ΠR² 8 A T, h t

H²R²3 t 4 T T

2 R ^,k t 3ΠR² 8 A T, h t

H²R²3 t 4 T T

2 R ^

Här duger bara den andra lösningen, eftersom h t 0, sedan tömningstiden som ovan.

Solveh t 0 . hÅk 2 , t

t 4 T 3 ^

Avslutningsvis en reseberättelse.

Ploth t . hÅk 2 . H 1, R 1, T 1 , t, 0, 4 3 , PlotStyle Blue, PlotRange All, AxesLabel "t Τ", "h t H" 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 tΤ 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

h t H

32.En vattenho avsedd för djurhållning är avbildad till höger. Plötsligt springer den läck i botten så att vattnet strömmar ut med ett flöde som i varje ögonblick är proportionellt mot kvadratroten ur vattendjupet, Torricellis lag. I detta fall visar sig proportionalitetskonstanten vara 0.6 m^{5 2} h.

a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet h t . b Hur lång tid tar det för en full vattenho att tömmas?

Lösningsförslag: a-b) Vi börjar symboliskt med de uppenbara beteckningarna B, H och L för dimensionerna på hon. Vid tiden t har vi vattendjupet h och vattenytans dimensioner b L. Andra meningen ger oss sedan modellen ^V_t k h _t¹₂bhL k h .

Likformiga trianglar kopplar b och h: _B^b _H^h, så efter elimination av b har vi _t¹₂B_H^hhL k h h t h' t ^kH_BL. Denna är separabel med BV h 0 H. Detta bestämmer tömningstiden T. Så med handräkning

ekv 

H 0

h h 

0 T k H

B L t 2 H^{3 2}

3

H k T B L

tömningsTid Solve ekv, T

T 2 B H L 3 k ^

Dimensionskontroll visar att T har dimensionen tid som sig bör, så till slut med givna numeriska data.

tömningsTid . B 4, H 3, L 6, k 0.6 T 46.188

Det vill säga nästan två dygn.

a-b) Djupet som funktion av tiden på ett modernare sätt.

hAvt DSolveD1 2

b h t L . b B H

h t , t k h t , h 0 3, h t , t

h t 3 2

2 3 2 3 B L H k t B L

2 3



Tömningstiden blir naturligtvis densamma.

Solve h t 0 . hAvt . B 4, H 3, L 6, k 0.6 t 46.188

33.En vattentank har formen av en stående cylinder med radien 1 m och höjden 3 m. Tanken fylls på genom en i locket placerad ventil, som är så konstruerad att volymflödet genom den är proportionellt mot avståndet ner till vattenytan. Proportionalitetskonstanten ärΠm²min.

a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet h t . b Hur lång tid tar det att fylla en tom tank till hälften?

Lösningsförslag: a) Låt tanken ha radien R och höjden H. Problemtexten säger att i varje ögonblick t är ^V_t k H h t , där V t ΠR²h t är aktuell vattenvolym. Så med kedjeregeln har vi då

V

t k H h t ^V_h ^h_t k H h t ΠR^{2 h}_t k H h t .

Nu är det bara att meka in lite numeriska data, R 1, H 3 och k , så har vi begynnelsevärdesproblemet (BVP)

h

t 3 h t ODE

h 0 0 BV

h

t h t 3 ODE

h 0 0 BV .

Vi har tydligen en inhomogen differentialekvation av första ordningen med homogena lösningen hht C1 t. Sedan ansätter vi partikulärlösningen hpt A, dvs polynom av samma gradtal som högerledet. Insättning i (ODE) ger

0 A 3 hpt 3.

Så allmänna lösningen h t hh hp C1 t 3. Slutligen fixeras C1 av BV h 0 0 : 0 C1 0 3 C1 3.

Varav äntligen h t 3 ^t 3. Naturligtvis håller Mathematica med

hAvt DSolve h ' t 3 h t , h 0 0 , h t , t ExpandAll

h t 3 3 ^t

Plot h t . hAvt, t, 0, 10 , PlotStyle Blue, PlotRange All, AxesLabel "t", "h t "