Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp
Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!
Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.
Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien “Något om...”.
För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.
Lycka till! Bertil Del A
10 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.
1. Separera xy' y xy. (1p)
a Går ej b 1y y x 1 x c y y 1 1x x d 1y y 1 1x x e Inget av a till d.
2. Lös differentialekvationen x 2yy'. (1p) a y x C1 1
2x2 b y x C1x3 c y x xln y C1 d y x C1x e Inget av a till d.
3. Lös differentialekvationen yy' x y'. (1p) a y2 y x2 C1 b y2 2 y 12x2 C1
c 12y2 y x2 C1 d y2 2 y x2 C1 e Inget av a till d.
4. Bestäm integrerande faktorn y' 6 y x. (1p)
a Går ej b IF 6x c IF 3x2 d IF x e Inget av a till d.
5. Lös differentialekvationen y' 3xy 1x. (1p)
a y x x42 Cx21 b y x x53 Cx1 c y x Cx31 d y x 13 Cx31 e Inget av a till d.
6. Bestäm homogena lösningen till y'' 4 y' 4 y x 1. (1p) a y x 2x C1cos 2x C2sin 2x b y x 2xC1 C2x
c y x C1 2x C2 x d y x C1 2x C2 4x e Inget av a till d.
7. Bestäm homogena lösningen till y'' 4 y' 3 y 9x. (1p)
a y x 3x C1cos 2x C2sin 2x b y x 3xC1 C2x
c y x C1 2x C2 x d y x C1 3x C2 x e Inget av a till d.
8. Bestäm homogena lösningen till y'' 4 y' 5 y cos x . (1p) a y x 2x C1cos x C2sin x b y x 2xC1 C2x
c y x C1 2x C2 x d y x C1 2x C2 4x e Inget av a till d.
9. Bestäm en partikulärlösning till y'' y' 2x 1. (1p)
a y x 2 b y x 2x2 c y x x2 x d y x 2x e Inget av a till d.
10. Lös BVP t y' 2 y 3t 1 ODE
y 2 1 BV . (1p)
a DSolve t y' t 2 y t 3 t 1, y 2 1, y t , t b DSolve t y' t 2 y t 3 t 1, y 2 1, y t , t c DSolve t y ' t 2 y t 3 t 1, y 2 1 , y t , t d DSolve t y ' t 2 y t 3 t 1, y 2 1 , y t , t e Inget av a till d.
1
Del B
10 poäng med fokus på modellering och Mathematica.
11̅15.Antalet bakterier på ett julbord tillväxer vid varje tidpunkt med en hastighet som är proportionell mot antalet bakterier.
11. Låt b t vara antalet bakterier vid tiden t och k proportionalitetskonstanten. Formulera och lös (BVP) om b 10 då t 0. (1p)
a bAvt DSolve b ' t k b t , b 10 0, b t , t b bAvt DSolve b ' t k b t , b 0 10, b t , t c bAvt DSolve b ' t k b t , b 0 10 , b t , t d bAvt DSolve b ' t k b t , b 0 10 , b t , t e Inget av a till d.
12. Bestäm proportionalitetskonstanten om b 5 100 st. (1p)
a kVärde Solve b 5 100 . bAvt, k
b kVärde Solve b t 100 . t 5 . bAvt, k c kVärde Solve b t 100 . bAvt . t 5, k d kVärde Solve b t 100 . bAvt . t 5, k e Inget av a till d.
13. Rita b t , t 0, 10 , i orange och dekorera axlarna med lämplig text. (1p)
a Plot bAvt . kVärde, t, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
b Plot bAvt . k kVärde, t, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
c Plot b t . kVärde, t, PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
d Plot b t . bAvt . kVärde, t, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
e Inget av a till d.
14. Hur många bakterier är det vid t 8? (1p)
a bAvt . t 8 . k kVärde b b 8 . bAvt . kVärde
c b t . bAvt . t 8 . kVärde d bAvt . kVärde . t 8 e Inget av a till d.
15. Vid vilken tidpunkt är det 1000 bakterier? (1p)
a Solve b t 1000 . bAvt . k kVärde, t b Solve b t 1000 . kVärde . bAvt, t c NSolve b t 1000 . bAvt . kVärde, t d NSolve bAvt 1000 . kVärde, t
e Inget av a till d.
16̅20.En sportbilstillverkare begränsar prestandan för en av modellerna genom att vid full gas styra bränsletillförseln så att accelerationen i varje ögonblick är proportionell mot skillnaden mellan önskad toppfart 80 m s och aktuell fart med proportionalitetskonstanten till 0.1 s 1. Låt bilen starta från stillastående med gasen i botten.
16. Formulera och lös det (BVP) som bestämmer bilens läge x t . (1p)
a xAvt DSolve x '' t 80 0.1 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t b xAvt DSolve x '' t 0.1 80 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t c xAvt DSolve 0.1 x '' t 80 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t d xAvt DSolve x '' t 0.1 80 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t e Inget av a till d.
2
17. Rita x t under den första minuten. Låt grafen vara grön och pynta axlarna. (1p)
a Plot xAvt, t, 0, 1 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
b Plot x t . xAvt, t, 0, 60 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
c Plot xAvt . x t , t, 0, 60 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
d Plot x t . xAvt, t, 0, 1 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
e Inget av a till d.
18. Rita x t och tillåten maxfart under den första minuten i samma figur med blå respektive röd färg. Pynta axlarna. (1p)
a PlotD xAvt, t , 80, t, 0, 60 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "x t "
b Plotx' t . xAvt, 80, t, 0, 60 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "x t "
c Plot x' t , 80 , D xAvt, t , t, 0, 60 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "x t "
d Plot xAvt, 80 , x t , t, 0, 60 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "x t "
e Inget av a till d.
19. Rita x x under den första halvminuten. Låt grafen vara brun och pynta axlarna. (1p)
a Plot x t , x' t . xAvt . D xAvt, t , t, 0, 30 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
b Plot x t , x' t . xAvt, t, 0, 30 ,
PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
c ParametricPlot x t , x' t . xAvt . D xAvt, t , t, 0, 30 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
d ParametricPlotx t . xAvt, x ' t . D xAvt, t , t, 0, 30 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
e Inget av a till d.
20. Bestäm tidpunkt och fart då bilen kört en kvarts engelsk mile. En mile är ungefär 1609 m. (1p)
a D xAvt, t . FindRootx t 1609
4 . xAvt, t, 10 b D xAvt, t . FindRootx t 1609
4 , t, 10 . xAvt c D xAvt, t . FindRootx t 1609
4 . D xAvt, t , t, 10 d xAvt . FindRootx t 1609
4 , t, 10 . D xAvt, t e Inget av a till d.
3
