Tentamen i Matematik II–Integralkalkyl och linj¨ar algebra

Tentamen i Matematik II–Integralkalkyl och linj¨ar algebra

Kurskod M0043M

Tentamensdatum 2011-01-11

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30.

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Via studentwebben kan man f˚ a infor- mation om n¨ar skrivningen finns att h¨amta ut p˚ a studenttorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare.

Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨or teknikvetenskap och matematik

1 (3)

Uppgift 1

Approximera integralen

1

Z

0

dx 1 + x

med trapetsregeln, stegl¨angd h = 0.25. Svaret avrundas till 3 decimaler. (5 p)

Uppgift 2

(a) Best¨am

Z 3 dx

x

− 4x + 5 ,

(2 p) (b) Ber¨akna

1

Z

0

cos(1 + √ x) dx.

Exakt svar, ej n¨armev¨arde. (3 p)

Uppgift 3

L¨os f¨oljande matrisekvation med avseende p˚ a X:

AX − B = A, d˚ a A = 3 5

1 2



resp. B = 1 2 2 1



(5 p)

Uppgift 4

Best¨am volymen av den kropp som uppkommer d˚ a omr˚ adet begr¨ansat av y = sin x, 0 ≤ x ≤ π och y = 0 roterar kring

(a) x-axeln, (2 p)

(b) y-axeln. (3 p)

Exakt svar, ej n¨armev¨arde, i b¨agge deluppgifterna.

2 (3)

Uppgift 5

(a) F¨or vilka v¨arden p˚ a a har ekvationssystemet

(1)







(1 − a)x − y + 4z = −3 3x + 2y − z = 2 2x + y − (1 + a)z = a

entydig l¨osning? (3 p)

(b) L¨os systemet (1) i det eller de fall d˚ a systemet har o¨andligt m˚ anga

l¨osningar. (3 p)

Uppgift 6

L¨ os en och endast en av f¨ oljande uppgifter.

Uppgift 6.1 Betrakta linjen

L :







x = 1 + t y = 1 + t/2 z = 1 − t/2

(a) Visa att L ¨ar parallell med planet 2x + y + 5z = 3. (1p) (b) Ber¨akna linjens avst˚ and till planet. Exakt svar, ej n¨armev¨arde. (3p) Uppgift 6.2

Ber¨akna l¨angden av kurvan y = x

− ln x

8 mellan x = 1 och x = 2.

Exakt svar, ej n¨armev¨arde. (4 p)

3 (3)