Olika kulturers bidrag till matematik
Alexei Iantchenko
Malm¨o H¨ogskola
Sweden
Abstract
Introduktion
Tidigaste historia
Matematikens historia i perspektiv av kultur och k¨on
Stora matematiker
Seminarium och projekt
Abstract
Matematiken ¨ar internationell och det matematiska spr˚aket -symboler ¨ar samma ¨overallt i v¨arden. M˚anga olika kulturer har bidragit till matematikens utveckling. Vi ska diskutera
matematikutveckling i olika l¨ander och matematiker av olika ursprung. Vi ska begr¨ansa oss till 1800-1900.
Reference:
http://www.idt.mdh.se/kurser/ct3620/ht04/matte-idehistoria2.pdfav
Kimmo Eriksson
http://www.mdh.se/personal/VisaPerson?fornamn=Kimmo&efternamn=Eriksson
Matematik
Enligt Nationalencyklopedin ¨ar matematik vetenskapen som studerar det abstrakta, inte den yttre verkligheten. Studier av det abstrakta sker inom matematik p˚a s˚a s¨att att man inledningsvis g¨or definitioner av abstrakta objekt och antaganden om vissa abstrakta f¨oruts¨attningar och d¨arefter enligt logiska principer argumenterar fram till slutsatser. De logiska principerna ¨ar s˚avitt vi vet universella, det vill s¨aga g¨aller alltid och ¨overallt.
Uppt¨
acks eller uppfinns?
En klassisk fr˚aga ¨ar huruvida matematiken uppt¨acks eller uppfinns. Med andra ord, existerar all matematik redan i en platonsk
id´ev¨arld? Eller ¨ar matematiken en m¨ansklig konstruktion? Svaret ¨ar att matematiken b˚ade uppfinns och uppt¨acks i ett intimt samspel. Definitioner ¨ar m¨anskliga konstruktioner - de uppfinns. Men s˚a fort en definition ¨ar uppfunnen skapas genom de logiska principerna en v¨arld av slutsatser som matematikerna kan utforska - slutsatserna uppt¨acks.
Matematikens tidigaste historia
Den mest typiska abstraktionen som vi till¨ampar logiska principer f¨or att studera ¨ar tal. De f¨orsta skriftliga bevisen p˚a r¨akning med tal ¨ar 5000 ˚ar gamla lertavlor fr˚an Mesopotamien. Talen anv¨andes f¨or administrativt bruk (r¨akning av djur och ¨atbara saker) och nedtecknades p˚a mycket avancerade s¨att. Positionssystem med olika baser anv¨andes beroende p˚a vad som r¨aknades (levande varelser eller d¨oda ting).
Ren och till¨
ampad matematik
I Mesopotamien anv¨ande man tydligen matematik f¨or att r¨akna p˚a h¨ogst konkreta saker som djur och frukt. Hur g˚ar det ihop med att matematik ¨ar vetenskapen som studerar det abstrakta?
Mots¨agelsen ¨ar bara skenbar. Abstraktioner som r¨aknetal har ju tillkommit just f¨or att f˚anga egenskaper hos konkreta f¨oreteelser. Mellanledet mellan det konkreta och det abstrakta kallas
modellering. Den som anv¨ander matematik f¨or att utforska den yttre verkligheten s¨ags ¨agna sig ˚at till¨ampad matematik.
Ren och till¨
ampad matematik
Den som utforskar den matematiska id´ev¨arlden, utan avseende p˚a dess b¨aring p˚a den yttre verkligheten, s¨ags ¨agna sig ˚at ren
matematik. Liksom alla kategoriseringar ¨ar uppdelningen i ren och till¨ampad matematik bara anv¨andbar ibland. Ren matematik kan f˚a till¨ampningar senare, och till¨ampningar kan driva fram rent
matematiska fr˚agest¨allningar.
I historien kan sj¨alvfallet modesv¨angningar sk¨onjas mellan ren och till¨ampad matematik:
Ren och till¨
ampad matematik
Den f¨orsta matematiken f¨or tusentals ˚ar sedan var utan tvekan till¨ampad; det g¨allde att h˚alla reda p˚a antal.
I det antika Grekland fanns ett fokus p˚a ren matematik inom geometri och talteori, med klimax i Euklides Elementa.
F¨orst med Arkimedes, och sedan fr˚an 1600-talet och fram˚at, har matematisk och teknisk-naturvetenskaplig utveckling g˚att hand i hand: Newton, Gauss, Cauchy, Fourier, Poisson, Ampere, von Neumann, Wiener.
Ren och till¨
ampad matematik
Sedan 1800-talet finns dessutom en str¨omning f¨or ren matematik av rena matematiker, som b¨orjade med Abel och Galois och som sedan dess har varit dominerande bland dem som kallar sig matematiker. De som har utvecklat matematiken fr˚an till¨ampade utg˚angspunkter har kallats exempelvis teoretiska fysiker och teoretiska dataloger.
Matematikens spr˚
ak
En stor del av matematikens utveckling har utgjorts av
utvecklingen av det matematiska spr˚aket. Med detta spr˚ak kan matematik formuleras koncist, exakt och l¨attbegripligt (n˚aja) f¨or matematiker fr˚an alla l¨ander.
Matematikens spr˚
ak
Best˚andsdelarna i detta spr˚ak ¨ar:
s¨arskilda symboler med givna matematiska betydelser, s˚asom P, Q,R
T, ⇒, N, ∅, Z, Q, R, C, . . .
konventioner f¨or vilka symboler som ska v¨aljas att representera olika storheter, s˚asom x, y, z, π, e, i, f (x), f0(x), α, β, . . . accepterade resonemangstyper, f¨oljande logiska principer stilelement i ett matematiskt resonemang, s˚asom sats, bevis, lemma, ekvation, hypotes
Matematikens spr˚
ak
Den symboliska notationen ¨ar effektiv men lurar m˚anga m¨anniskor att tro att matematikens v¨asen ligger i symbolmanipulationen. S˚a ¨ar det inte alls. I sj¨alva verket ¨ar symbolerna relativt sena p˚afund, ofta utvecklade under de senaste trehundra ˚aren.
Matematikens psykologi
M¨anniskans f¨orm˚aga att hantera tal verkar vara medf¨odd, och denna r¨aknetalinstinkt torde vara m˚anga miljoner ˚ar gammal. B˚ade nyf¨odda m¨anniskobarn och stora djur har n¨amligen i psykologiska experiment visat sig besitta f¨orm˚agan att skilja p˚a sm˚a antal (som ett och tv˚a). Experiment p˚a vuxna visar att tal upp till ungef¨ar 4 verkar vara h˚ardkodade i v˚ara hj¨arnor; om vi ser ett antal objekt som ¨ar h¨ogst fyra beh¨over vi inte r¨akna efter hur m˚anga det ¨ar utan ser antalet p˚a ett direktare s¨att.
Matematikens psykologi
F¨or arbete med matematik kr¨avs ett antal olika hj¨arnfunktioner ut¨over talinstinkten, bland annat spr˚ak, arbetsminne,
l˚angtidsminne och koncentrationsf¨orm˚aga. Se boken The origin of mind¨av utvecklingspsykologen David Geary (2004).
Matematiken i kulturen och kulturen i matematiken
L¨as g¨arna och diskutera artikel av Christer Kiselman
Matematikens historia i perspektiv av kultur
De flesta matematiska artiklar ¨ar skrivna p˚a engelska. De flesta matematiska insitutioner finns i USA. S˚a ¨ar de flesta matematiker amerikaner eller engelsm¨an? Detta ¨ar inte representativt f¨or matematikhistorien! Varje k¨and stor kultur under de senaste 5000 ˚aren har haft egen matematisk verksamhet: Kina, Indien,
Babylonien, Arabien, Maya, Grekland, etc. I viss m˚an har dessa kulturer ocks˚a p˚averkat varandras matematik. Exempelvis kommer v˚ara siffror ursprungligen fr˚an Indien, via arabiska matematiker.
Matematikens historia i perspektiv av k¨
on
De flesta matematiker ¨ar m¨an. Detta ¨ar i viss mening representativt f¨or matematikhistorien. De ber¨omda kvinnliga matematikerna (s˚asom Hypatia fr˚an Alexandria, Sophie Germain, Emmy Noether, Sonia Kovalevskij) ¨ar ganska f˚a, och tillh¨or inte gruppen av de allra mest ber¨omda namnen inom matematik genom tiderna. De har dock varit ledande matematiska forskare som med eftertryck har visat att det inte finns n˚agra genetiska begr¨ansningar f¨or kvinnor att ¨agna sig ˚at matematik.
Kulturella begr¨ansningar har d¨aremot funnits i allra h¨ogsta grad. Hypatia blev brutalt m¨ordad, och Germain, Noether och
Kovalevskij blev alla p˚a systematiskt vis motarbetade i den
akademiska v¨arlden d¨arf¨or att de var kvinnor. Fortfarande s¨oker sig m¨an i mycket st¨orre utstr¨ackning ¨an kvinnor till matematik, s¨arskilt i Sverige, trots att den akademiska v¨arlden numera st˚ar ¨
oppen f¨or alla. En f¨orest¨allning om matematiken som ett p˚a n˚agot s¨att okvinnligt ¨amne tycks ¨annu leva kvar i folkdjupet.
N˚
agra stora matematiker och n˚
agot minnesv¨
art de gjort
Pythagoras, grek, 500-talet f Kr: Pythagoras sats (men den var k¨and l˚angt f¨ore Pyhagoras...)
Euklides, grek, 300-talet f Kr: Elementa, om geometri, v¨arldens l¨angst anv¨anda l¨arobok
Arkimedes, fr˚an Syrakusa, 200-talet f Kr: ber¨aknade ytor och volymer
N˚
agra stora matematiker och n˚
agot minnesv¨
art de gjort
Ren´e Descartes, fransman, 1600-talet: analytisk geometri Isaac Newton, engelsman, 1600-talet: differentialkalkyl Gottfried Wilhelm von Leibniz, tysk, 1600-talet: ocks˚a differentialkalkyl (i prioritetsstrid med Newton) Leonhard Euler, schweizare, 1700-talet: komplexa tal Carl Friedrich Gauss, 1800-talet: algebrans fundamentalsats Niels Henrik Abel, norrman, 1800-talet: femtegradsekvationens ol¨osbarhet
N˚
agra stora matematiker och n˚
agot minnesv¨
art de gjort
Evariste Galois, fransman, 1800-talet: gruppteori
Srinivasa Ramanujan, indier, 1900-talet: talteoretiska identiteter John von Neumann, ungrare, 1900-talet: datorn, atombomben, spelteori
F¨
orslag till Seminarium- och projekt-uppgift
V¨alj tv˚a matematiker som kommer fr˚an olika l¨ander men arbetar i ungef¨ar samma omr˚ade och samma tid. Anv¨and bok- och
intern¨atreferencer f¨or att studera och j¨amf¨ora deras biografier och arbeten.
T¨ank p˚a att besvara f¨oljande fr˚agor:
F¨odelseort och dag? Var bodde de? Hur utvecklades deras karj¨ar? Beskriv intressanta facta fr˚an deras liv. Deras viktigaste insatser i matematiken.
J¨amf¨or dem. Vilken tycker du ¨ar mest betydande matematiker? Varf¨or? Vilkas insats tycker du blir mest betydande 100 ˚ar fram¨over?
T¨ank p˚a att den mest betydande matematiker beh¨over inte vara den mest ber¨omda.
Internetl¨
ankar:
http://svemat.kevius.com/svmmat.html
d¨ar speciellt “Matematik - Den sk¨ona vetenskapen” av Bo Nystr¨om http://www.pixe.lth.se/bossen/matematik/index.htm
Leonhard Euler (1707-1783)
mest produktiva matematikern dittills genom tiderna
http://www.kosmologika.net/Scientists/Euler.html
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) “matematikens konung”
http://www.kosmologika.net/Scientists/Gauss.htmloch http://www.pixe.lth.se/bossen/fysik/monad/gauss.htm
“Matematikhistorien ¨ar full av m¨arkliga, bisarra och egendomliga personer och ¨oden. Newton och Gauss ¨ar kanske de st¨orsta matematiker som n˚agonsin levat, men som personer intresserar de inte s¨arskilt, ¨aven om i synnerhet Newton hade klara bisarra drag. De mest fascinerande personerna ¨ar, liksom i alla andra romantiska sammanheng, de snabbt och kortvarigt blommande snillena, som Galois och Abel. ”
Evariste Galois (1811-1832)
http://www.kosmologika.net/Scientists/Galois.html
Niels Henrik Abel (1802-1829)
http://www.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Abel.pdfnorska l¨ankar http://www.abel.org/nhan.html
Nikolai Ivanovich Lobachevskij (1793-1856) ”parallella linjer kan ha sk¨arningspunkt”
http://www.kosmologika.net/Scientists/Lobachevskij.html
Jules Henri Poincar´e (1854-1912) “den siste universalisten”
G¨osta Magnus Mittag-Leffler (1846-1927) en matematikens entrepren¨or
http://www.kosmologika.net/Scientists/Mittag-Leffler.htmloch http://www.svd.se/dynamiskt/kultur/did_9280394.asp
Laurent Schwartz (1915-2002) matematik, politik och fj¨ariljakt
http://www.annales.org/archives/x/laurentschwartz.htm
