LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Institutionen f¨or matematik

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Institutionen f¨or matematik

¨Amneskod M0027M

Tentamensdatum 2008-12-17

Skrivtid 09.00-14.00

Omtentamen i M0027M Matematik och musik.

Antal uppgifter: 6 (5 po¨ang per uppgift).

L¨arare: Staffan Lundberg.

Telefon: 0920-49 18 69.

Resultat: Resultatet meddelas via studentportalen.

Betygsgr¨anser: 14–23=G, 24–30=VG.

Tillåtna hj¨alpmedel:

Valfri minir¨aknare, bifogad formelsamling M0027M.

Observera f ¨oljande: Till alla uppgifter skall fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas. Resone-

mang, l¨osningsmetodik och utr¨akningar får inte vara så knapph¨andigt presenterade att de

blir svåra att f¨olja. Enbart svar på uppgifter av matematisk karakt¨ar ger 0 po¨ang.

1. (a) F¨orenkla så långt som m¨ojligt (3a ² − 12)(a ² − 1) (a + 1)(a + 2) .

(b) F¨orenkla så långt som m¨ojligt (x − 4)(x − 5) − 3x(2x − 3).

(c) Nedanstående takt ¨ar ofullst¨andig. Vilket tidsv¨arde (notv¨arde eller paustecken) måste man tillfoga f¨or att takten skall bli fullst¨andig?

Redovisa tydligt dina kalkyler/ditt resonemang.

2. Werckmeister III ¨ar ett exempel på en oregelbunden temperering. N¨amn några faktorer som karakteriserar en oregelbunden temperering.

3. Ett halvtonsteg i den liksv¨aviga temperaturen har frekvensf¨orhållandet

12

√

2 = 2

≈ 1, 0595 .

Antag att c ¹ (ettstrukna c) har frekvensen 261,6 Hz. Best¨am (i den liksv¨aviga temperaturen) frekvensen f¨or

(a) d ^{] 3} (trestrukna diss), (b) A ^[ (Stora ass).

Svaren anges med en decimal. Redovisa tydligt dina kalkyler.

4. Redog¨or kortfattat hur Gyllene snittet kan till¨ampas i ett musikaliskt sam- manhang. Ge exempel på tons¨attningar, d¨ar Gyllene snittet anv¨ands.

5. En av många medeltonstempereringar ¨ar 1/3 syntoniskt komma (SK) me- delton. Den går ut på att f¨ordela SK ¨over de tre kvinterna C-G, G-D samt D-A. ¨Ovriga kvinter ¨ar pythagoreiska.

(a) Visa att 1/3 SK motsvaras av bråket (3/2) ^4/3

5 ^1/3 .

(b) Best¨am den tempererade kvintens frekvensf¨orhållande som ett ratio- nellt uttryck (bråk) eller i cent.

(c) I 1/3 SK medelton klingar den lilla tersen kliniskt rent. Best¨am den lilla tersens frekvensf¨orhållande i bråkform.

Redovisa tydligt dina kalkyler.

6. Behandla en och endast en av f¨oljande två alternativa uppgifter.

Alternativ 6.1.

Alla har vi någon gång h¨ort hur sirenernas ton från en f¨orbipasserande ambulans ¨andras. Då ambulansen n¨armar sig ¨okar frekvensen f¨or att se- dan minska då ambulansen f¨orsvinner bort. Bara n¨ar ambulansen befinner sig vinkelr¨att mot observat¨oren kommer observat¨oren att h¨ora ljudet med den frekvens som verkligen uts¨ands. Fenomenet kallas Dopplereffekt och be- ror på en frekvensf¨or¨andring av ljudet, beroende på om k¨allan n¨armar sig eller avl¨agsnar sig i f¨orhållande till den stillastående observat¨oren. Den fre- kvensf¨or¨andring som Dopplereffekten ger upphov till beskrivs av formeln

f obs = f ₀ · v ljud

v _ljud − v

d¨ar f obs ¨ar den frekvens som uppfattas av observat¨oren, f ₀ frekvensen hos ljudk¨allan, v ljud ljudhastigheten i luft, och v hastigheten med vilken ljudk¨allan r¨or sig. Observera att v > 0 n¨ar k¨allan n¨armar sig observat¨oren, medan v < 0 n¨ar k¨allan avl¨agsnar sig från observat¨oren.

Antag att sirenernas frekvens ¨ar 740 Hz. Antag vidare att ambulansens hastighet ¨ar 29,4 m/s (ca 106 km/h) och att ljudhastigheten i luft ¨ar 340 m/s.

(a) Vilken frekvens kommer observat¨oren att uppfatta n¨ar ambulansen n¨armar sig observat¨oren?

(b) Vilken frekvens kommer observat¨oren att uppfatta n¨ar ambulansen avl¨agsnar sig från observat¨oren?

(c) I termer av liksv¨avig temperatur, ange ett intervall (prim, stor/liten sekund etc.) på den observerade frekvensf¨or¨andringen.

Alternativ 6.2.

Konstruera med hj¨alp av pythagoreiska kvart-/kvintsprång den mixolydiska

diatoniska skalan. Skalan skall ligga i oktaven (”de vita tangenterna”) mellan g

och g ¹ . Antag att referenstonen g (i lilla oktaven) har frekvensen (tonh¨ojden)

ν. F¨or varje ton i skalan skall frekvensf¨orhållandet relativt referenstonen

anges, antingen i cent eller som rationellt tal (bråk). Centtalet anges utan

decimaler. Redovisa tydligt dina kalkyler.

Tentamen M0027M(081217) - L¨ osningar.

Med f¨orbeh˚ all f¨or ev. felaktigheter.

Uppgift 1

(a) (3a ² − 12)(a ² − 1)

(a + 1)(a + 2) = 3a ² − 9a + 6 = 3(a − 1)(a − 2).

Svar: 3a ² − 9a + 6 = 3(a − 1)(a − 2).

(b) (x − 4)(x − 5) − 3x(2x − 3) = −5(x + 2)(x − 2).

Svar: −5(x + 2)(x − 2).

(c) Antag att x ¨ar det tidsv¨arde som s¨oks. Vi f˚ ar ekvationen 2

8 + 3 32 + 2

64 + x = 32 64 . En del kalkyler ger att x = 8/64 = 1/8.

Svar: S¨okt tidsv¨arde ¨ar 1 8 . Uppgift 2

Se kompendiet.

Uppgift 3

(a) d ^]3 inneb¨ar 27 halvtonsteg upp˚ at fr˚ an c ¹ : d ^]3 har frekvensen 261, 6 · 2 ^{27 /12} ≈ 1244, 4 Hz.

Svar: 1244, 4 Hz.

(b) A ^[ inneb¨ar 16 halvtonsteg ned˚ at fr˚ an c ¹ : A ^[ har frekvensen 261, 6 · 2 ^{− 16 /12} ≈ 103, 8 Hz.

Svar: 103, 8 Hz.

Uppgift 4

Se kompendiet.

1

Uppgift 5

(a) Det syntoniska kommat 81/80 = ₂ ³

· 5

⁴

skall f¨ordelas j¨amnt ¨over 3 kvinter. Centtalet f¨or det syntoniska kommat, c SK , ¨ar

c SK = 1200 · lg 2 · 5 ³

⁴

lg 2 .

1/3 syntoniskt komma, c m , har d¨armed centtalet c m = c SK

3 = 1200 · lg 2 ³

· 5

⁴ 3 · lg 2 .

Antag att 1/3 syntoniskt komma har frekvensf¨orh˚ allandet r m . Med diverse r¨akneregler f˚ ar vi

r m =

 3

2 · 5 ^{1 /4}

 ⁴ /3

= 3 ^{4 /3} 2 ^{4 /3} · 5 ^{1 /3} , och vi ¨ar klara.

(b) Vi tempererar den rena kvinten med 1/3 SK medelton. Den tempe- rerade kvinten f˚ ar d˚ a frekvensf¨orh˚ allandet

3/2

(3/2) ^{4 /5} · 5 ^{1 /5} = 3 ^{1 /5} · 5 ^{1 /5} 2 ^{1 /5} . Omr¨aknat till cent blir den tempererade kvinten

3/2

(3/2) ^{4 /3} · 1/5 ^{1 /3} = 2 ^{1 /3} · 5 ^{1 /3}

3 ^{1 /3} =  10 3

 ¹ /3

(≈ 695 cent).

Svar: ≈ 695 cent.

(c) Den lilla tersen AC ¨ar ett exakt rationellt tal. Efter tre spr˚ ang med v˚ ar tempererade kvint f˚ ar vi n¨amligen

 10 3

 ³ /3

· 1 2 = 5

3 ,

efter korrekt nedtransponering. Sedan ¨ar det enkelt att best¨amma molltersen:

2 5/3 = 6

5 . Svar: Molltersen motsvaras av br˚ aket 6/5.

2

Uppgift 6

Alternativ 6.1. (a) Med f¨oreskrivna v¨arden f˚ ar vi f obs = 740 · 340

340 − 29, 4 ≈ 810 Hz.

Svar: ≈ 810 Hz.

(b)

f obs = 740 · 340

340 − (−29, 4) ≈ 681 Hz.

Svar: ≈ 681 Hz.

(c) Frekvensf¨orh˚ allandet

810

681 ≈ 300 cent.

Svar: I liksv¨avig temperatur uppfattar vi frekvensf¨or¨andringen som en liten ters.

Alternativ 6.2. Utg˚ aende fr˚ an starttonen e, antagen frekvens ν, b¨orjar vi processen.

• g, frekvens ν

• d ¹ , frekvens 3 2 ν

• a, frekvens ( 3 2 ) ² ν 1

2 = 9 8 ν

• e ¹ , frekvens 9 8 3

2 ν = 27 26 ν

• b, frekvens ( 3 2 ) ⁴ 1

4 ν = 81 64 ν

• c ¹ , frekvens 4 3 ν

• f ¹ , frekvens ( 4

3 ) ² ν = 16 9 ν

Vi sammanst¨aller till sist den mixolydiska skalan p˚ a tabellform:

3

Skal- Frekv.f¨ orh. Cent ton rel. grundton

g 1 0

a 9

8 204

b 81

64 408

c ¹ 4

3 498

d ¹ 3

2 702

e ¹ 27

16 906

f ¹ 16

9 996

g ¹ 2 1200

4